PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Câu (5,0 điểm) 1) Thực phép tính : A 53.39 47.39 53.21 47.21 113113 B 113113.114 114114.113 114114 2) Cho biểu thức : 12 22 32 42 992 1 1 D C 1.2 2.3 3.4 99.100 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 2 C 1 Tính C D So sánh với D Câu (4,0 điểm) x 1) Tìm số tự nhiên x biết 30 12 2) Cho phân số 17 Biết cộng tử mẫu phân số cho với số tự nhiên n ta phân số có giá trị Tìm số tự nhiên n y 3) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện x Câu (4,0 điểm) 100 1) Cho E 5 Tìm số dư chia E cho n n n 3 2) Chứng tỏ với số tự nhiên n 3) Tìm số nguyên tố nhỏ 200, biết chia số cho 60 số dư hợp số Câu (5,5 điểm) 1) Cho đoạn thẳng MN 10cm Lấy điểm P đoạn thẳng MN cho MP 2cm a) Tính độ dài đoạn thẳng PN b) Lấy điểm Q đoạn thẳng PN (Q không trùng với P N) Gọi A B trung điểm đoạn thẳng PQ QN Tính độ dài đoạn thẳng AB 2) Cho xOy 60 Vẽ yOz kề bù với xOy Gọi Om tia phân giác yOz Chứng tỏ tia Oy tia phân giác xOm Câu (1,5 điểm) a a 1 bc b c 1) Cho a, b, c số tự nhiên khác Chứng tỏ chưa tối giản 2) Tìm ba số tự nhiên khác có tổng nghịch đảo chúng ĐÁP ÁN Câu (5,0 điểm) 3) Thực phép tính : A 53.39 47.39 53.21 47.21 39 53 47 21 53 47 3900 2100 1800 113113 114114 113.1001 113 113.114.1001 113.114.1001 114.1001 114 B 113113.114 114114.113 4) Cho biểu thức : 12 22 32 42 992 1 1 D C 1.2 2.3 3.4 99.100 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 2 C 1 Tính C D So sánh với D 1 1 1 99 1 2 99 100 100 100 2 2 1.2.3 99 1.2.3 99 1 99 D 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 (1.2.3 99).(2.3 100) 100 C 1 2 (C 1) 1 D 100 100 100 Câu (4,0 điểm) x 4) Tìm số tự nhiên x biết 30 x 12 x 15 x 14 x 7 30 60 60 60 12 5) Cho phân số 17 Biết cộng tử mẫu phân số cho với số tự nhiên n ta phân số có giá trị Tìm số tự nhiên n Theo đề ta có : 12 n 12 n 4 17 n 60 5n 68 n n 8 17 n y 6) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện x y y x 1 8 8.1 1(do x 1le ~) x 1 y 8 x 1 1 x 1 x; y 0;8 ; 1; Câu (4,0 điểm) 100 4) Cho E 5 Tìm số dư chia E cho E 5 52 53 54 5100 5 53 599 6 53 599 6 E 6 n n n 3 5) Chứng tỏ với số tự nhiên n Xét trường hợp : n 3k ; n 3k 1; n 3k 2, k N n 3k n3 n n n 3 n 3k n 4 3k 33 n n n 3 n 3k n 3k 93 n n n 3 n n n 3 Vậy với n 6) Tìm số nguyên tố nhỏ 200, biết chia số cho 60 số dư hợp số Gọi p số ngun tố cần tìm Ta có : p 60k r 22.3.5.k r , k , r N ;0 r 60 r hợp số Do p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2;3;5 Chọn hợp số nhỏ 60, loại số chia hết cho 2,3,5, ta r 49 p 169 132 ( ktm) p 60k 49,do p 200 p 109 Suy Câu (5,5 điểm) 3) Cho đoạn thẳng MN 10cm Lấy điểm P đoạn thẳng MN cho MP 2cm M P A Q B N c) Tính độ dài đoạn thẳng PN Vì P thuộc đoạn MN nên P nằm M N Suy MP PN MN hay PN 10 PN 8cm d) Lấy điểm Q đoạn thẳng PN (Q không trùng với P N) Gọi A B trung điểm đoạn thẳng PQ QN Tính độ dài đoạn thẳng AB AQ PQ 1 Do A trung điểm PQ nên BQ QN Do B trung điểm NQ nên Ta có PA PQ PB điểm A, Q, B nằm phía điểm P nên Q nằm A B Suy AQ QB AB , kết hợp (1) (2) ta có : 1 1 AB AQ QB PQ QN PQ QN PN 4cm 2 2 yOz xOy 60 xOy 4) Cho Vẽ kề bù với Gọi Om tia phân giác yOz Chứng tỏ tia Oy tia phân giác xOm y m 60° O z x Do xOy yOz hai góc kề bù nên xOy yOz 180 yOz 180 xOy 180 60 120 1 yOz mOz mOy yOz 120 60 2 Vì Om tia phân giác xOm 180 mOz 180 60 120 xOy xOm Tính Suy tia Oy nằm hai tia Ox, Om 3 , mà xOy yOm 60 Từ (3) (4) suy tia Oy phân giác xOm Câu (1,5 điểm) 3) Cho a, b, c số tự nhiên khác Chứng tỏ a a 1 bc b c chưa tối giản a a 1 2 1 Vì a a+1 hai số tự nhiên liên tiếp nên Mặt khác Trong hai số b, c có số chẵn bc(b c) 2 bc b c 2 Hai số b, c lẻ Do bc b c 2 với số tự nhiên b,c khác (2) a a 1 bc b c Từ (1) (2) suy chưa tối giản 4) Tìm ba số tự nhiên khác có tổng nghịch đảo chúng 1 1 1 1 a , b , c Gọi ba số tự nhiên cần tìm Giả sử a b c Ta có a b c 1 1 1 a ma` a a 2 a Vì a b c a Thay vào (1) ta : 1 2 b c Lại tìm khoảng giá trị b ta b b 3 c 6 1 1 Vậy