Tư luận goc và khoảng cách (đáp án chi tiết)pb2

Tốn tự luận 10 BÀI GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Bài GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH I GÓC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : ax  by  c 0 , d : ax  by  c0 1) Góc d d tính theo cơng thức    n.n   cos  d , d     (với n, n theo thứ tự vectơ pháp tuyến d , d ) n n 2) Góc d d tính theo công thức sau    u.u   cos  d , d     (với u, u theo thứ tự vectơ phương d , d ) u u  n.u Hay sin  d , d     n u     n.n0 3) d  d     u.u0 Dạng toán 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG Câu Cho đường thẳng d : x  y 1 0 , d : x  y  0 Tính cơsin góc đường thẳng trên? Lưu ý Lời giải   d có vtpt n(1;1) ; d có vtpt n(2;  1)  n.n 2 10 cos  d , d       10 n n  x 1  2t  x 3 1.1 Cho đường thẳng d : y 3  t , d : y 2  5t Tính cơsin góc đường thẳng Lời giải:   d có vtcp u (2;1) ; d có vtcp n(0;5)  u.u 5 cos  d , d       5.5 u u 1.2 Cho đường thẳng d :3x  y  0 , d :  x 2  t y 6  t Tính gần góc đường thẳng Lời giải:   d có vtpt n(3;  4) ; d có vtcp n( 1;1)    n.u   sin  d , d         d , d  81 52 5 n u Dạng tốn 2: BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG Câu Cho tam giác ABC có A(0;1), B(3;5), C (2;1) Viết phương trình Lưu ý Trang -1- Tốn tự luận 10 BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH  đường phân giác d góc BAC Lời giải   AB(3;4), AC (2;0)  AB 5, AC 2     Vậy d qua A(0;1) có vectơ phương u 2 AB  AC (16;8) hay  vectơ pháp tuyến n(1;  2) Vậy d : x  y  0 2.1 Cho hai đường thẳng d: x  y 1 0 d’: x  y  0 Viết phương trình đường phân giác góc đường thẳng d d’ Lời giải d, d’ cắt điểm M ( 1;0)    d, d’ có vectơ phương u(2;  1), u(1;2)    Có u.u0  d  d  có đường phân giác hai đường vng góc với M       u u   a u  u(3;1) vectơ phương 2.2 Cho hai đường thẳng d :4 x  y  0, d :5 x  12 y  0 Viết phương trình đường phân giác góc đường thẳng cho Lời giải d cắt d’ điểm A(1;1) d d có vectơ phương    u(3;  4), u(12;5)   u 5, u 13 đường phân giác (gọi  )     Có u.u16  nên góc d d’ góc Chọn n (1;  3) vectơ pháp tuyến  vectơ phương Suy đường phân giác có vectơ    Vậy  : x  y 1 0  :3x  y  0 đường phương a 13u  5u(99;  27) Chọn vectơ pháp phân giác lại  tuyến n (3;11) Vậy phương trình đường phân giác qua A(1;1) là: 3x 11y  14 0 Câu Cho điểm M (1;2) đường thẳng d: x  0 Viết phương trình đường thẳng d’ qua M cho góc d d’ 60 Lưu ý Lời giải Giả sử d khơng vng góc với trục Ox, có hệ số góc k Phương trình d : y k ( x  1)   kx  y   k 0   d,d’ có vectơ pháp tuyến n (2;0), n(k ;  1) cos  d , d  cos60  2k 1   k  k 1.2 2 Vậy phương trình d là: x  y   0 x  y   0 II KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm M ( x0; y0 ) đến đường thẳng  : ax  by  c 0 ta áp dụng công thức sau: d ( M , )  ax0  by0  c a2  b2 Khoảng cách đường thẳng song song  : ax  by  c 0  ': ax  by  c ' 0(c c ') là: Trang -2- Toán tự luận 10 BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH d  ,  ' d (M ,  ')  ax0  by0  c ' ( M ) a  b2 Dạng toán 3: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (1;2) đường thẳng  :3x  y  26 0 Tính khoảng cách từ M đến  Lưu ý Lời giải Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  là: 3.1  4.2  26 d ( M , )  3 32  42 1.1 Tính khoảng cách từ điểm M (2;  3) đến đường 1.2.Cho đường thẳng qua hai điểm A(1;0), B(0;3) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến thẳng  : x  y  0 đường thẳng AB Lời giải Lời giải Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  là: y  2.( 3)  Đường thẳng AB : x  1  3x  y  0 d ( M , )   12  22 Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là: 3 10 d (O, AB)  2  10 1 Câu Tính khoảng cách hai đường thẳng Lưu ý  : x  y 1 0 : x  y  0 Lời giải Chọn M ( 1;0)  Do  //  nên khoảng cách đường thẳng d (M , )  10 2.1 Tính khoảng cách hai đường thẳng 2.2 Tính khoảng cách hai đường thẳng x 2  t x 2  3t x 2  3t '  :3x  y 1 0 : : : y   3t y   2t y 2t '   Lời giải    có VTPT n  3;1 ,  có VTCP u   1;3  n.u 0 nên  //  ' 3.2  1 32 12 10   (M  2;  5  ') 10 d  ,  ' d (M , )  Vậy:  Lời giải  Ta có:  ,  có VTCP u   3;  , M (2;0)   ', M   nên  //  ' Vậy:  : 2( x  2)  3( y  0) 0  x  y  0 Trang -3- Toán tự luận 10 BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH d  ,  ' d ( N ,  ')   2.2  3.( 1)  22  32 3 13  ( N  2;  1 ) 13 13 Dạng tốn 4: BÀI TỐN LIÊN QUAN KHOẢNG CÁCH Lưu ý Câu Cho đường thẳng có phương trình V1 : x + y + = 0; V2 : x - y - = 0; V3 : x - y = Tìm tọa độ điểm M nằm V3 cho khoảng cách từ M đến V1 lần khoảng cách từ M đến V2 Li gii M ẻ D ị M ( 2tt; ) Khoảng cách từ M đến V1 lần khoảng cách từ M đến V2 nên ta có d ( M ; D ) = 2d ( M ; D ) Û 2tt+ tt+ =2 - - é3tt+ = ( - 4) ét =- 11 ê Û ê Û ê3tt+ =- - ê t =1 ( ) ê ë ë Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 ( - 22; - 11) , M2 ( 2;1) 3.1 Cho đường thẳng d : x  y  0 điểm M (1;3) Viết phương trình đường thẳng  song song với d cho khoảng cách từ M đến  Lời giải Phương trình đường thẳng  có dạng x  y  m 0 ( m 2 ) 4m 3  m 2 (loại)  m  10 (thỏa mãn) Vậy  : x  y  10 0 d (M , ) 3  3.2 Cho đường thẳng d : x  y  0 điểm M (1;0) Viết phương trình đường thẳng  vng góc d cho khoảng cách từ M đến  Lời giải Phương trình đường thẳng  có dạng x  y  m 0 2m m 3 d ( M , )       m  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn đk đề bài: x  y  0, x  y  0 Câu Cho tam giác ABC có A(0;1), B(1;  1), C (5;2) Tính diện tích tam giác ABC Lưu ý Lời giải tham khảo Trang -4- Toán tự luận 10  BÀI GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH BC (4;3) , BC 5  Đường thẳng BC qua B(1;  1) có vectơ pháp tuyến n (3;  4) nên có phương trình 3x  y  0 Chiều cao tam giác ABC d ( A, BC )    11  32  42 11 Vậy diện tích tam giác ABC là: S  BC  2 4.1 Cho hình vng ABCD biết B(3;0) đường thẳng chứa đường chéo AC có phương trình  :4 x  y  0 Tính diện tích hình vng ABCD Lời giải Có BD 2.d ( B, ) 4 Vậy diện tích hình vng ABCD S  BD 8 4.2 Cho hình thoi ABCD có D(0;2) , đường thẳng chứa đường chéo AC có phương trình   : x  y  0 , góc BAD 60 Tính diện tích hình thoi ABCD Lời giải Có BD 2.d ( D, ) 2 Tam giác ABD nên AC 2 BD 2 15 Vậy diện tích hình thoi ABCD S  AC.BD 10 Lưu ý Câu Cho hai điểm A(1;2), B(5;4) Viết phương trình đường Giải cách khác: thẳng d qua gốc tọa độ cho khoảng cách từ A, B đến d  d qua O, có VTPT n (a;b) Lời giải TH 1: d // AB  d : ax  by 0 (a  b 0)   AB (4;2)  chọn n (1;  2) vectơ pháp tuyến d , mà d Ta có d ( A, d ) d ( B, d ) qua O(0;0) nên pt d : x  y 0 TH2: d qua trung điểm AB Gọi I trung điểm AB  I (3;3) là:  a  2b  5a  4b  d qua O I nên nhận vectơ phương OI (3;3)  chọn  vectơ pháp tuyến n (1;  1)  d : x  y 0  a  2b 5a  4b  Vậy  a  2b  5a  4b  4a  2b 0 (chon a 1, b  2)   6a  6b 0 (chon a 1, b  1) có đường thẳng cần tìm là: d : x  y 0 d : x  y 0 5.1 Cho điểm A(0;1), B(6; 4), C (1;0) Viết phương trình đường thẳng d qua C cho khoảng cách từ A đến d gấp đôi khoảng cách từ B đến d , đồng thời A, B nằm khác phía so với d 5.2 Cho điểm A( 1; 2), B (1;1), C (1;  1) A(-1;2) Viết phương trình đường thẳng d qua C cho khoảng cách từ A đến d gấp đôi khoảng cách từ B đến d , đồng thời A, B nằm phía so với d Trang -5- Tốn tự luận 10 BÀI GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Lời giải   Gọi M thuộc đoạn AB, AM 2MB  M (4;3) Lời giải   Gọi điểm M thỏa mãn AM 2BM  M (3;0) Chứng minh đường thẳng d qua C M thỏa Chứng minh đường thẳng d qua C M thỏa mãn yêu cầu toán mãn yêu cầu toán   Vậy d nhận CM (3;3) vectơ phương Chọn Vậy d nhận CM (2;1) vectơ phương Chọn   n (1;  1) vectơ pháp tuyến n (1;  2) vectơ pháp tuyến Phương trình d: x  y  0 Phương trình d: x  y  0   Cách2: d qua C (1;0), VTPT n(a; b) là: Cách2: d qua C (1;  1), VTPT n( a; b) là: d : a( x  1)  b( y  0) 0  ax  by  a 0 d : a( x  1)  b( y  1) 0  ax  by  a  b 0 d ( A, d ) 2d ( B, d )  b  a 2 6a  4b  a d ( A, d ) 2d ( B, d )  3b  2a 2 2b  11a  7b 0 (chon a 7, b  11)   9a  9b 0 (chon a 1, b  1) Vậy  d : x  11 y  0 (loai )  d : x  y  0   2a  b 0 (chon a 1, b  2)    2a  7b 0 (chon a 7, b 2) Vậy  d : x  y  0  d : x  y  0 (loai)  Lưu ý Câu Cho đường thẳng cắt d: x  y 1 0 , d’: x  y  0 Viết phương trình đường phân giác góc nhọn góc tù d d’ Lời giải Gọi M ( x; y) điểm tùy ý thuộc hai đường phân x  y 1 x  y   giác Khi d (M , d ) d (M , d  5 x  y  0    3x  y  0 Vậy phương trình đường phân giác x  y  0, 3x  y  0 6.1 Cho đường thẳng d :7 x  y  0 6.2 Cho tam giác ABC có A(1;4), B( 1;0), C (5;2) d :7 x  y  0 Viết phương trình đường thẳng  Trong đường thẳng cách đỉnh A, B, C , viết phương trình đường thẳng vng góc với đường cách đường thẳng d , d thẳng  :3x  y  0 Lời giải Gọi M ( x; y) điểm tùy ý thuộc  Khi Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm d Khi d 7x  y  7x  y  d (M , d ) d (M , d   đường trung trực tam giác ABC 50 50  Đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n (3;1)  x  y  0  Do d    d nhận n (3;1) vectơ phương Vậy  :7 x  y  0   Nhận thấy BC (6;2) phương với n (3;1) nên d qua trung điểm I AB , I (0;2)  Vậy d qua I (0;2) , vectơ pháp tuyến n (1;  3) Trang -6- Tốn tự luận 10 BÀI GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH  d : x  y  0 Câu Cho điểm I (3;2) đường thẳng  : x  y  0 Viết phương trình đường trịn (C) tâm I tiếp xúc với  Lưu ý Lời giải (C) tâm I tiếp xúc với  nên R d ( I , )  10 Vậy phương trình đường trịn (C ):  x  3 ²   y  2 ²  10 7.1 Cho đường tròn (C ) :  x  5 ²   y 1 ² 10 7.2 Cho đường tròn (C ):  x  2 ²  y ² 5 điểm đường thẳng d : x  y  18 0 Viết phương trình M (7;0) Viết phương trình đường thẳng  qua đường thẳng  song song với d tiếp xúc với M tiếp xúc với (C ) đường tròn (C ) Lời giải Lời giải (C ) có tâm I (2;0), R  (C ) có tâm I (5;  1), R  10 Nhận thấy  khơng vng góc với trục Ox nên gọi  song song với d nên phương trình  có dạng phương trình Ox là: y k ( x  7)  kx  y  7k 0 d : x  y  m 0 (m  18) 2k  7k d ( I , ) R    k  2  tiếp xúc với đường tròn (C ) nên: k 1 8m m 2 Vậy 1 : x  y  0,  : x  y  0 d ( I , ) R   10   m  18 ( l ) 10  Vậy  : x  y  0 7.3 Cho điểm I ( 1;3) đường thẳng 7.4 Cho đường tròn (C ) có tâm I (3;1) , bán kính  : x  y  0 Viết phương trình đường trịn (C ) R  13 đường thẳng d : x  y  0 Gọi  tâm I , cắt đường thẳng  theo dây cung đường thẳng vng góc với d , cắt (C ) điểm AB 3 A, B cho diện tích tam giác IAB lớn Viết Lời giải phương trình đường thẳng  Lời giải AB  Có d d ( I , )   R   d 17  Có IA IB R   1 SIAB  R sin AIB  R   SIAB  max  R Vậy (C ):  x  1 ²   y  3 ²  17 2 AIB 90  AB R  26 Do   d   :5x  y  m 0 14  m h d ( I , )  26 m  AB  (14  m)2 26 h2    R   13    26 14     m  27 Vậy 1 :5 x  y  0,  :5 x  y  27 0 Câu Cho điểm A(3;1) , B(5;0) Viết phương trình đường thẳng d qua B cho khoảng cách từ A đến d lớn Lưu ý Lời giải tham khảo Gọi H hình chiếu A d, có d ( A, d )  AH  AB Vậy  d ( A, d ) Max H trùng với B, nghĩa AB(2;  1) vtpt d Trang -7- Tốn tự luận 10 BÀI GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Vậy d :2 x  y  10 0 Trang -8-