PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình ẩn f ( x ) g ( x) (1) Nên nêu định nghĩa TXĐ phương trình tập tất số thực x cho biểu thức f(x) g(x) có nghĩa Cho phương trình f ( x ) g ( x) có TXĐ D x0 nghiệm (1) x D "f ( x0 ) g ( x0 ) )"là mệnh đề Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định phương trình Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ phương trình, ta thường gặp trường hợp sau: – Nếu phương trình có chứa biểu thức cần điều kiện P ( x) 0 P( x ) – Nếu phương trình có chứa biểu thức P( x ) cần điều kiện P ( x) 0 + Các nghiệm phương trình f ( x) g ( x) hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y f ( x ) y g ( x) Phương trình tương đương, phương trình hệ Cho hai phương trình f1 ( x) g1 ( x) (1) có tập nghiệm S1 Và f ( x ) g ( x) (2) có tập nghiệm S2 Phương trình (1) (2) tương đương với kí hiệu (1) (2) S1 = S2 Phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) kí hiệu (1) (2) S1 S2 Phép biến đổi tương đương Phép biến đổi tương đương phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình Phép biến đổi tương đương biến phương trình thành phương trình tương đương với Nếu phép biến đổi phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định ta phương trình tương đương Ta thường sử dụng phép biến đổi sau: – Cộng hai vế phương trình với hàm số xác định D – Nhân hai vế phương trình với hàm số xác định D có giá trị khác với x D Khi bình phương hai vế phương trình,ta phương trình hệ phương trình cho Khi ta phải kiểm tra thử lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương hai vế ta phương trình tương đương Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bài 1: Tìm điều kiện xác định phương trình 5 3x 12 x x Lời giải tham khảo ĐKXĐ phương trình là: x 0 x 4 1.2: x 1( x x 2) 0 1.4: x x x x 1.1: 3x 2 15 x 3 x 3 1.3: x x 1.5: x x Dạng 2: Giải biện luận phương trình: ax b 0 ax b 0 (1) Hệ số Kết luận (1) có nghiệm x a 0 a 0 b 0 b 0 b a (1) vô nghiệm (1) nghiệm với x Chú ý: Khi a 0 (1) gọi phương trình bậc ẩn Bài 2: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: (m 2) x 2m x Lời giải tham khảo Ta có: 2.1: ( m2 m) x 2x m (m2 2) x 2m x (m2 1) x 2m Ta thấy m 0, m R nên phương trình cho có 2m nghiệm là: x m 1 Bài 3: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: m( x m) x m 3.1: ( m 1) x (2m 5) x m 3.2: mx 3x m 3.3: m( x 1) 2 x m 3.4: m ( x 1) m x(3m 2) 3.5: m( x m 3) m( x 2) Dạng 3: Tìm điều kiện m để phương trình thõa mãn đk cho trước Bài 4: Tìm giá trị tham số để phương trình: ( m2 2m 3) x m a) Có nghiệm b) Có vơ số nghiệm c) Vô nghiệm Lời giải tham khảo ( m 2m 3) x m (m 1)(m 3) x m a) Để phương trình có nghiệm m 1 a 0 m b) Để phương trình có vơ số nghiệm a 0 (m 1)(m 3) 0 m 1 b 0 m 0 c) Để phương trình vô nghiệm a 0 (m 1)(m 3) 0 m b 0 m 0 4.1: ( m 1) x (3 3m) x 4m 0 4.2: (mx 2)( x 1) ( mx m ) x 4.3: ( m2 m) x 2x m2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax bx c 0( a 0) Cách giải : ax bx c 0( a 0) b2 4ac Chú ý: (1) Kết luận 0 (1) có nghiệm phân biệt x1,2 0 (1) có nghiệm kép x 0 (1) vơ nghiệm b 2a – Nếu a + b + c = (1) có hai nghiệm x = x = c a b 2a – Nếu a – b + c = (1) có hai nghiệm x = –1 x = c a b – Nếu b chẵn ta dùng cơng thức thu gọn với b 2 Định lí Vi–et Hai số x1 , x2 nghiệm phương trình bậc hai ax bx c 0 chúng thoả mãn b c P x1 x2 a a Dạng 1: Giải biện luận phương trình hệ thức S x1 x2 Để giải biện luận phương trình: ax bx c 0 ta cần xét trường hợp xảy hệ số a: - Nếu a 0 trở giải biện luận phương trình bx c 0 - Nếu a 0 xét trường hợp Bài 1: Giải biện luận phương trình sau: x 5x 3m 0 Lời giải tham khảo Tacó: 29 12m 29 ,phương trình cho vơ -Nếu m 12 nghiệm 29 -Nếu m 0 Phương trình có nghiệm 12 (kép) x 29 Phương trình có hai nghiệm -Nếu m 12 29 12m phân biệt: x 1.2: ( m 1) x 2( m 1) x m 0 1.1: 2x 12x 15m 0 Bài 2: Cho biết nghiệm phương trình: x mx m 0 có nghiệm là: x Tìm nghiệm cịn lại? 2.1: 2x 3m2 x m 0 có nghiệm x 1 Tìm nghiệm cịn lại? Lời giải tham khảo Vì phương trình có nghiệm x nên: 3m 13 m 0 m 2 Nghiệm cịn lại phương trình là: x 5 2.2: ( m 1) x 2( m 1) x m 0 có nghiệm x 2 2.3: x 2(m 1) x m 3m 0 có nghiệm x 0 Dạng 2:Dấu nghiệm số phương trình : ax bx c 0( a 0)(1) +) (1) có hai nghiệm trái dấu P < 0 +) (1) có hai nghiệm dương P S 0 +) (1) có hai nghiệm dấu P 0 (1) +) có hai nghiệm âm P S Chú ý: Trong trường hợp yêu cầu hai nghiệm phân biệt Bài 3: Xác định m để phương trình x 5x 3m 0 a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm âm phân biệt c) Có hai nghiệm dương phân biệt Lời giải tham khảo a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac 3m m b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt 29 m 29 m 12 29 12 S m 12 P 3m m 0 3.1: mx 2(m 3) x m 0 c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 29 m 12 S P 3m Do khơng tồn m thỏa mãn toán 3.2: x 2(m 1) x m 0 3.3: x 4x+m 0 Dạng 3: Áp dụng định lí viet Biểu thức đối xứng nghiệm số: b c Ta sử dụng công thức S x1 x2 , P x1.x2 để biểu diễn biểu thức đối xứng nghiệm a a x1 , x2 theo S , P Ví dụ: x12 x 22 (x1 x ) 2x1 x2 S P x13 x 32 (x1 x )3 3(x1 x2 )x1 x2 S 3SP Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm u, v phương trình có dạng: x Sx P 0 Với S u v, P uv Bài 4: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình: x x 4.1: 2x 3x 0 Không giải phương trình tính 2 a) x1 x 3 b) x1 x 4 c) x1 x d) x1 x2 e) (2x1 x2 )( x1 2x ) Lời giải tham khảo 2 a) x1 x ( x1 x2 ) x1 x2 11 3 b) x1 x ( x1 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) 16 4 2 c) x1 x [( x1 x2 ) x1 x2 ] 2( x1 x2 ) 71 d) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 19 2 e) (2x1 x2 )( x1 2x ) 2( x1 x2 ) x1x 2( x1 +x ) x1x 4.2: 3x 10x 0 4.3: x 2x 15 0 Bài 5: Cho phương trình: x 2(2m 1) x m 0 (*) a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1 , x2 5.1: x 2( m 1) x m 3m 0 (*) b) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập m 3 c) Tính theo m, biểu thức A=x1 x d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm Lời giải tham khảo a) Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 0 (2m 1) (3 4m) 0 4m 0 m m b) ta có với điều kiện câu a x1 x2 2(2m 1) Thì: x1 x2 3 4m Hệ thức độc lập nghiệm với tham số 2(x1 x2 ) x1 x2 1 3 c) A=x1 x (x1 x ) 3x1x (x1 x ) 64m3 48m 12m 10 d) 2m x2 x1 x2 2(2m 1) 2m 3( ) 3 4m x1 x2 3 4m x 3x x1 x2 2(2m 1) 112 m 12 12m 4m 0 112 m 12 Đối chiếu điều kiện câu a ta thấy hai giá trị m thỏa mãn toán