Tốn tự luận BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình ẩn f ( x) g ( x) (1) Nên nêu định nghĩa TXĐ phương trình tập tất số thực x cho biểu thức f(x) g(x) có nghĩa Cho phương trình f ( x) g ( x) có TXĐ D x nghiệm (1) x D "f ( x0 ) g ( x0 ) )"là mệnh đề Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định phương trình Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ phương trình, ta thường gặp trường hợp sau: – Nếu phương trình có chứa biểu thức P ( x ) cần điều kiện P ( x) 0 – Nếu phương trình có chứa biểu thức P ( x) cần điều kiện P ( x) 0 + Các nghiệm phương trình f(x) = g(x) hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y f ( x) y g ( x) Phương trình tương đương, phương trình hệ Cho hai phương trình f1 ( x) g1 ( x) (1) có tập nghiệm S1 f ( x) g ( x ) (2) có tập nghiệm S2 Phương trình (1) (2) tương đương với kí hiệu (1) (2) S1 = S2 Phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) kí hiệu (1) (2) S1 S Phép biến đổi tương đương Phép biến đổi tương đương phép biến đổi khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình Phép biến đổi tương đương biến phương trình thành phương trình tương đương với Nếu phép biến đổi phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định ta phương trình tương đương Ta thường sử dụng phép biến đổi sau: – Cộng hai vế phương trình với hàm số xác định D – Nhân hai vế phương trình với hàm số xác định D có giá trị khác với x D Khi bình phương hai vế phương trình,ta phương trình hệ phương trình cho Khi ta phải kiểm tra thử lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương hai vế ta phương trình tương đương Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bài 1: Tìm điều kiện xác định phương trình 5 3x 12 x x Lời giải tham khảo ĐKXĐ phương trình là: x 0 x 4 1.2: x 1( x x 2) 0 Lời giải ĐKXĐ phương trình là: x 0 x Trang -1- 3x 2 15 x 3 x 3 1.1: Giải: ĐKXĐ phương trình là: x 0 x 1.3: x x Giải: 1 x 0 x 1 x x x ĐKXĐ phương trình là: Vậy không tồn giá trị x để phương trình xác định Tốn tự luận BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN x x x x 1.4: Giải: ĐKXĐ phương trình là: x x x x 1.5: Giải: ĐKXĐ phương trình là: x R Dạng 2: Giải biện luận phương trình: ax b 0 ax b 0 (1) Kết luận Hệ số x a 0 a 0 b 0 b 0 (1) có nghiệm (1) vô nghiệm (1) nghiệm với x b a Chú ý: Khi a 0 (1) gọi phương trình bậc ẩn Bài 2: Giải biện luận phương trình sau theo tham ( m2 2) x 2m x số m: Lời giải tham khảo 2 Ta có: (m 2) x 2m x (m 1) x 2m Ta thấy m 0, m R nên phương trình cho 2m x m 1 có nghiệm là: Bài 3: Giải biện luận phương trình sau theo tham m( x m) x m số m: Giải: Ta có m( x m) x m (m 1) x m m (m 1) x (m 1)(m 2) Nếu m 1 : Phương trình có có dạng: 0.x 0 nên phương trình có vơ số nghiệm Nếu m 1 : Phương trình có nghiệm có dạng x (m 2) 3.2: mx 3x m Giải: mx 3x m (m 3) x m (1) Nếu m 3 phương trình (1) có vơ số nghiệm Nếu m 3 phương trình (1) có nghiệm nhất: x m 3.4: m ( x 1) m x (3m 2) Giải: Trang -2- 2 2.1: ( m m) x 2x m Giải: Ta có ( m m) x 2x m (m m 2) x m Do m m 0, m R nên phương trình có m2 x m m2 nghiệm có dạng là: 3.1: ( m 1) x (2m 5) x m Giải: Ta có: (m 1) x (2m 5) x m (m 4) x m (m 2)(m 2) x m Nếu m : Phương trình có dạng: 0.x 0 nên phương trình có vơ số nghiệm Nếu m 2 : Phương trình có dạng: 0.x 4 nên phương trình vơ nghiệm Nếu m m 2 : phương trình có nghiệm x m nhất: 3.3: m( x 1) 2 x m Giải: m( x 1) 2 x m (m 2) x 2m(1) Nếu m 2 phương trình (1) vơ nghiệm Nếu m 2 phương trình (1) có nghiệm 2m x m nhất: 3.5: m( x m 3) m( x 2) Giải: Toán tự luận BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN m ( x 1) m x (3m 2) (m 3m 2) x m m ( m 1)( m 2) x m(m 1) Nếu m 1 phương trình cho có vơ số nghiệm Nếu m 2 phương trình cho vơ nghiệm Nếu m 1, m 2 phương trình có nghiệm là: x m m m( x m 3) m( x 2) 0.x m 5m 0 m 2 m 5m 0 m 3 Nếu Thì phương trình có vơ số nghiệm m 2 m 5m 0 m 3 Nếu Thì phương trình vơ nghiệm Dạng 3: Tìm điều kiện m để phương trình thõa mãn đk cho trước Bài 4: Tìm giá trị tham số để phương trình: ( m 2m 3) x m a) Có nghiệm b) Có vơ số nghiệm c) Vô nghiệm Lời giải tham khảo ( m 2m 3) x m ( m 1)( m 3) x m a) Để phương trình có nghiệm m 1 a 0 m b) Để phương trình có vơ số nghiệm a 0 ( m 1)( m 3) 0 m 1 b 0 m 0 c) Để phương trình vơ nghiệm a 0 ( m 1)( m 3) 0 m b 0 m 0 4.2: ( mx 2)( x 1) ( mx m ) x Giải: (mx 2)( x 1) (mx m ) x x(m m 2) 2 a) Để phương trình có nghiệm m 2 a 0 m2 m 0 m b) Do b 0 Nên không tồn m để phương trình có vơ số nghiệm c)Để phương trình vơ nghiệm m a 0 m 2 4.1: (m 1) x (3 3m) x 4m 0 Giải: (m 1) x (3 3m) x 4m 0 4(m 1) x 6 4m a) Để phương trình có nghiệm a 0 m 1 b) Để phương trình vơ số nghiệm a 0 4(m 1) 0 b 0 6 4m 0 Không tồn giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn c) Để phương trình vơ nghiệm a 0 4(m 1) 0 m 1 b 0 6 4m 0 2 4.3: ( m m) x 2x m Giải: (m m) x 2x m (m m 2) x m (m 1)(m 2) x (m 1)(m 1) a) Để phương trình có nghiệm b) Để phương trình có vơ số nghiệm a 0 (m 2)(m 1) 0 m b 0 (m 1)(m 1) 0 c) Để phương trình vô nghiệm a 0 (m 2)( m 1) 0 m 2 b 0 (m 1)(m 1) 0 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax bx c 0(a 0) Cách giải: ax bx c 0(a 0) Trang -3- (1) Tốn tự luận BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN b 4ac Kết luận x1,2 (1) có nghiệm phân biệt b x 0 2a (1) có nghiệm kép (1) vơ nghiệm c Chú ý: – Nếu a + b + c = (1) có hai nghiệm x = x = a – Nếu a – b + c = (1) có hai nghiệm x = –1 x = b 2a c a b b – Nếu b chẵn ta dùng cơng thức thu gọn với Định lí Vi–et x ,x Hai số nghiệm phương trình bậc hai ax bx c 0 chúng thoả mãn b c S x1 x2 P x1 x2 a a hệ thức Dạng 1: Giải biện luận phương trình Để giải biện luận phương trình: ax bx c 0 ta cần xét trường hợp xảy hệ số a: - Nếu a 0 trở giải biện luận phương trình bx c 0 - Nếu a 0 xét trường hợp Bài 1: Giải biện luận phương trình sau: x x 3m 0 Lời giải tham khảo Tacó: 29 12m 29 m 12 -Nếu ,phương trình vơ nghiệm 29 m 0 12 -Nếu Phương trình có nghiệm x (kép) 29 m 12 -Nếu Phương trình có hai nghiệm 29 12m phân biệt: 1.2: ( m 1) x 2( m 1) x m 0 x Giải: x Nếu m pt có nghiệm: Nếu m , xét (m 1) (m 1)(m 2) m Nếu m Phương trình vơ nghiệm Trang -4- 1.1: x 12 x 15m 0 Giải: 36 30m m -Nếu pt vô nghiệm m 0 -Nếu pt có nghiệm (kép) x m -Nếu pt có hai nghiệm phân biệt: x 36 30m Toán tự luận BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN Nếu m 3 0 phương trình có nghiệm kép x Nếu m 3, m phương trình có hai (m 1) m m 1 nghiệm phân biệt: Bài 2: Cho biết nghiệm phương trình: x x mx m 0 có nghiệm là: Tìm nghiệm lại? Lời giải tham khảo x nên: Vì phương trình có nghiệm 3m 13 m 0 m 2 Nghiệm cịn lại phương trình là: x 5 x 2.2: ( m 1) x 2( m 1) x m 0 có nghiệm x 2 Giải: TH1: a 0 m Vì phương trình có nghiệm x 2 nên m 0 m Khi nghiệm cịn lại phương trình là: x TH2: a 0 m ta có phương trình: 4x 0 x phương trình có nghiệm Kết luận phương trình có nghiệm x 2 nghiệm x lại là: 2 2.1: x 3m x m 0 có nghiệm x 1 Tìm nghiệm cịn lại? Giải: Vì phương trình có nghiệm x 1 nên m 1 3m m 0 m x Với m 1 nghiệm lại là: m x nghiệm lại là: Với 2 2.3: x 2( m 1) x m 3m 0 có nghiệm x 0 Giải: x 2( m 1) x m 3m 0 cónghiệm x 0 nên m 0 m 3m 0 m 3 Với m 0 Phương trình có nghiệm cịn lại là: x Với m 3 nghiệm cịn lại phương trình là: x 4 Dạng 2:Dấu nghiệm số phương trình : ax bx c 0(a 0)(1) +) (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 P S +) (1) có hai nghiệm dương 0 P +) (1) có hai nghiệm dấu Trang -5- Tốn tự luận BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN 0 P S +) (1) có hai nghiệm âm Chú ý: Trong trường hợp yêu cầu hai nghiệm phân biệt Bài 3: Xác định m để phương trình 3.1: mx 2(m 3) x m 0 x 5x 3m 0 Giải: a) Có hai nghiệm trái dấu mx 2(m 3) x m 0 có hai nghiệm trái dấu a) b) Có hai nghiệm âm phân biệt ac m(m 1) m c) Có hai nghiệm dương phân biệt b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Lời giải tham khảo a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu m m ac 3m m m 3 S m m b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P m m0 29 m 1 29 0 m 12 m m m 29 12 S m c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 12 P 3m m 9 m m 5 c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m 3 m 29 S m 12 P m m m 1 m S m 0 P 3m m Không tồn m thõa mãn tốn m Do khơng tồn thỏa mãn toán 2 3.3: x 4x+m 0 3.2: x 2(m 1) x m 0 Giải: Giải: a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac m m ac m không tồn giá trị Vậy với m thỏa mãn tốn m thỏa mãn tốn b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt b) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt 4 ( m 1) (m 1) m 1 S 4 S ( m 1) m P m P m2 m 0 m thỏa mãn tốn Khơng tồn Vậy với m thỏa mãn phương trình c) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt c)Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 4 (m 1) (m 1) m 1 3 m 1 m S 4 S (m 1) m m m P m P m2 m 0 Vậy với m thỏa mãn toán Dạng 3: Áp dụng định lí viet Trang -6- Tốn tự luận BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN Biểu thức đối xứng nghiệm số: b c S x1 x2 , P x1.x2 a a để biểu diễn biểu thức đối xứng nghiệm Ta sử dụng công thức x1 , x2 theo S , P Ví dụ: x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 S P x13 x23 ( x1 x2 )3 3( x1 x2 ) x1 x2 S 3SP Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm u , v phương trình có dạng: x Sx P 0 Với S u v, P uv 4.1: 2x 3x 0 Bài 4: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình: Giải: x x Khơng giải phương trình tính 23 2 x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 x x a) a) 3 x x2 153 3 b) x x ( x x ) x x ( x x ) 2 2 x x24 b) c) d) x1 x2 e) (2 x1 x2 )( x1 x2 ) Lời giải tham khảo x x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 11 a) x x23 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x2 ) 16 b) x x24 [( x1 x2 ) x1 x2 ]2 2( x1 x2 ) 71 c) d) 137 x14 x24 [( x1 x2 ) x1 x2 ]2 2( x1 x2 )2 16 c) 65 x1 x2 ( x1 x2 )2 x1 x2 d) (2 x1 x2 )( x1 x2 ) 2( x12 x22 ) x1 x2 e) 2( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 19 (2 x1 x2 )( x1 x2 ) 2( x12 x22 ) x1 x2 e) 2( x1 x2 ) x1 x2 4.2: x 10 x 0 Giải: a) b) c) x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 82 x13 x23 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x2 ) 730 27 x14 x24 [( x1 x2 ) x1 x2 ]2 2( x1 x2 ) d) e) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 6562 81 4.3: x 2x 15 0 Giải: x x22 ( x1 x2 ) x1 x2 34 a) x3 x23 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x2 ) 98 b) x x24 [( x1 x2 ) x1 x2 ]2 2( x1 x2 ) 706 c) d) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 8 (2 x1 x2 )( x1 x2 ) 2( x12 x22 ) x1 x2 e) 2( x1 x2 ) x1 x2 (2 x1 x2 )( x1 x2 ) 2( x12 x22 ) x1 x2 209 Bài 5: Cho phương trình: 2( x1 x2 ) x1 x2 2 5.1: x 2( m 1) x m 3m 0 (*) Trang -7- Toán tự luận BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN x 2(2m 1) x 4m 0 (*) a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1 , x2 b) Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập m A=x13 x 32 c) Tính theo m, biểu thức d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm Lời giải tham khảo a) Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 0 (2m 1) (3 4m) 0 4m2 0 m m b) ta có với điều kiện câu a x1 x2 2(2m 1) x x 3 4m Thì: Hệ thức độc lập nghiệm với tham số 2(x1 x2 ) x1 x2 1 A=x13 x 32 (x1 x )3 3x1x (x1 x ) c) 64m3 48m 12m 10 d) 2m x2 x1 x2 2(2m 1) 2m 3( ) 3 4m x1 x2 3 4m x 3x x1 x2 2(2m 1) 112 m 12 12m 4m 0 112 m 12 Đối chiếu điều kiện câu a ta thấy hai giá trị m thỏa mãn tốn Trang -8- Giải: a) Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 0 (m 1) ( m 3m) 0 m 0 m b) ta có với điều kiện câu a x1 x2 2(m 1) Thì: x1 x2 m 3m Hệ thức độc lập nghiệm với tham số ( x1 x2 ) x1 x2 0 A=x13 x 32 (x1 x )3 3x1x (x1 x ) c) 2m3 48m 6m d) Ta có: m x2 x1 x2 2(m 1) m 2 ) m 3m x1 x2 m 3m 3( x 3x x1 x2 2( m 1) x 3 12 m 6m 0 x 3 12 Từ điều kiện câu a ta thấy hai giá trị m thỏa mãn