Hdg bdnlth toán 7 chương iii hình học phần 3

Bài 13 ĐƯỜNG TRUNG TRỰC - ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG Bài Vì D, C thuộc đường trung trực AB (gt) D  DA DB; CA CB (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Xét ADC ABC ta có: B A C DA DB(cmt )   DC chung   DAC DBC (c.c.c) CA CB(cmt )     DCA DCB ( góc tương ứng) Bài C D H A B Vì: AH DH (gt); AH đường cao ABC  AH  BC  BC đường trung trực cạnh AD  CA CD; BA BD (tính chất đừng trung trực đoạn thẳng) Xét ABC DBC ta có: BA BD(cmt )   CA CD(cmt )   ABC DBC (c.c.c)    BC chung   BAC BDC 900 (2 góc tương ứng)  BCD vng D Bài Vì đường trung tực AB AC cắt O  OA OC ; OA OB (t/c đường trùn trực đoạn thẳng)  OB OC (đpcm) C O B A Bài Ta có: CA=CB ( Vì ABC cân C) C DA = DB ( Vì DAB cân D) A M  CD đường trung trực đoạn thẳng AB B Mà: MA MB ( M trung điểm AB)  M  CD D Bài Vậy ba điểm C, M, D thẳng hàng a) Vì D thuộc vào đường trung trực AB  DA DB A D thuộc vòa đường trung trực AC  DA DC  DB DC b) Ta có DB = DC (cmt) D B AB = AC ( Vì tam giác ABC cân A) M C MB = MC ( M trung điểm BC)  A, D, M thuộc đường trung trực BC Vậy ba điểm A, D, M thẳng hàng Bài Ta có: A  ABI IBC   ABC ( gt )   1  ACI ICB     ACB( gt )   ACI ICB  ABI IBC  ABC  ACB(cmt)    I B C   Xét IBC có: IBC ICB (cmt)  IBC cân I Vì IBC cân I (cmt)  IB IC (t/c)  I thuộc đường trung trực BC AB = AC (vì ABC cân A)  A thuộc đường trung trực BC  AI đường trung trực đoạn thẳng BC.(đpmt) Bài A Gọi Bx  AC  N  ; Cy  AB  M  ; AD  BC  K  +)Xét BCM vuông M CBN vng N ta có: x y M B N BC cạnh chung D K   MBC NCB (vì tam giác ABC cân A)  BCM = CBN (ch.gn) C    MCB  NBC (2 góc tương ứng)  DBC cân D  DB DC Xét ADB ADC có: AB = AC ( tam giác ABC cân A) AD cạnh chung DB = DC (cmt)  ADB = ADC (c.c.c) +)Xét ABK ACK có:   BAK CAK ( ADB = ADC ) AB = AC (cmt) ABC  ACB (cmt )  ABK ACK ( g c.g ) AKB  AKC (2 góc tương ứng)   Mà AKB  AKC 180 ( góc kề bù) 1800  AKB  AKC  900  AD  BC (đpcm) Bài +)Xét MBD vuông D MCD vng D ta có: A MD cạnh chung MB = MC ( MD đường trung trực BC) K D B C  MBD MCD (2 cạnh góc vng)  MB MC ( cạnh tương ứng) H M +) Xét AHM vng H AKM vng K, ta có:   HAM KAM  gt  AM cạnh chung  AHM AKM (ch- gn)  HM KM (2 cạnh tương ứng) +) Xét HBM vuông H KCM vng K có: HM =KM (cmt) MB = MC (cmt)  HBM KCM (ch-cgv) Bài 1.Ta có: M thuộc đường trung trực BD  MB MD (t/c B đường trung trực đoạn thẳng) M thuộc đường trung trực AC  MA MC (t/c đường M trung trực đoạn thẳng) C A D Xét MBA MDC ta có: MB MD(cmt )   AB CD ( gt )   MBA MDC (c.c.c ) MA MC (cmt )  2.Vì MA=MC(cmt)  MAC cân M   MAC MCA (t/c ta giác cân)   Mà MAB MCD (vì MBA MDC )     MAC MAB  AM phân giác BAC Bài 10 Xét tam giác ABC có: B D  AC ( gt )  AD  DC  AC Mà AD  DB  AC G  DC = DB  D thuộc đường trung trực BC C A D Mà D thuộc AC Vậy D giao điểm AC đường trung trực BC Bài 11 1) + Do HD  AB  HI  AB D (1), mà DI DH  D M trung điểm HI (2) Từ (1) (2) suy AB đường trung trực IH K A G E I + Chứng minh tương tự ta có AC D đường trung trực HK + Ta có AI  AH (AB đường trung trực đoạn IH) AK  AH (AC đường trung trực đoạn HK)  AI  AK  AIK cân A 2) Xét hai tam giác AGH AGI có AH  AI , GH GI (A, G nằm đường trung trực đoạn IH), AG chung  AGH AGI (c.c.c) Chứng minh tương tự ta có  AMH AMK 3)  AHG  AIG (AGH AGI )       AHM  AKM (AMH AMK )  HAG  AHM  HA    AIG  AKM (AIK cân)  tia phân giác GHM Bài 12 B H C a) Do d đường trung trực AC nên MA  MC  MA  MB  MC  MB BC M B b) MA  MB ngắn  MC  MB  BC  M  I I A C d TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC Bài 13 Do AD, BE đường cao tam giác ABC A nên H trực tâm ABC  đường thẳng CH E đường cao ABC  CH  AB H B C D Bài 14 Trong BCD có C BA  CD (BA  CA), DE  BC (HE  BC )  BA, DE đường cao BCD  H trực tâm BCD  đường thẳng CH đường cao BCD  CH  BD H A D Bài 15 E B Trong BCD có C BA  CD (BA  CA), CH  BD (CH  Bx )  BA, CH đường cao BCD  H trực tâm BCD  đường thẳng DH đường cao BCD  DH  BC H B A x D Bài 16  DI //AB (gt )  DI  AC  AB  AC ( gt ) + Ta có  (từ C x vng góc đến song song) hay AI  DK mà KE  AD ( Bx  AD )  AI , KE H D I K y E đường cao ADK  H trực tâm ADK B A + ADH có DI, HE đường cao  K trực tâm ADH  đường thẳng AK đường cao ADH  AK  DH Bài 17  HE //AC ( gt )  HE  AB  AB  AC ( gt ) Ta có  (từ vng C E góc đến song song) mà AD  BE ( AD  BC )  EH , AD D đường cao ABE  H trực tâm ABE  đường thẳng BH đường cao A H B ABE  BH  AE Bài 18  A 90  ADH  AD  AH   ADH có vng cân A C I  ADH 45 H   hay IDB 45 ABC vuông cân A nên ABC 45 hay  IBD 45 B A D Trong IBD có:    BID 180  IDB  IBD 180  45  45 90  DI  BC BCD có CA  BD (gt ), DI  BC (cmt )  CA, DI đường cao BCD  H trực tâm BCD  đường thẳng BH đường cao BCD  BH  CD Bài 19 1) Ta có A  BA  CF ( gt )  BF  CH    BF , CE  CA  BE ( gt ) CE  BH F đường cao BHC  A trực tâm H E BHC 2) B trực tâm HCA , C trực tâm HBA Bài 20 B D C 1) AH  BC (gt )  AHC vuông H C    HCA  HAC 90 mà       HAB  HAC 90  HCA  HAB  ICA  DAB H   hay KCA KAB D I     2) Ta có KAC  KCA  KAC  KAB 90 Trong K A KAC có B    KAC  KCA 90  AKC 90  AKC vuông K  AH  CD  AH , CK  CK  AD  Tam giác ACD có đường cao ACD  I trực tâm ACD 3) I trực tâm ACD  DI  AC , mà AB  AC  DI //AB (từ vng góc đến song song) Bài 21 Tam giác BHC có B D  HD  BC (gt )   BF  CH (gt )  HD, BF , CE CE  BH (gt )  F đường cao BHC  BF , CE , DH C E đồng quy I Bài 22 H   Ta có A1  A2 (AD đường phân giác B tam giác ABH)  A   B (cùng phụ với C ) D    Mà ADC  B  A1 (tính chất góc H tam giác)    DAC   ADC  A3  A  ACD cân C A 12 E C Do đường thẳng CE đường phân giác tam giác cân ACD nên đường thẳng CE đường cao tam giác ACD  E trực tâm ACD  đường thẳng DE đường cao tam giác ACD  DE  AC mà AB  AC  DE //AB (Từ vng góc đến song song) ĐƯỜNG CHỦ YẾU TRONG TAM GIÁC CÂN Bài 23 ABC có BD CE hai đường cao  H A trực tâm ABC  đường thẳng AH đường cao ABC , mà ABC cân đường phân giác ABC hay tia AH tia  phân giác BAC D E A  đường thẳng AH đồng thời H B C Bài 24 ABC cân A có đường thẳng AI đường A phân giác nên AI đồng thời đường cao, mà CD đường cao ABC  I trực tâm ABC  đường thẳng BI D đường cao ABC  BI  AC I C B Bài 25 ABC có hai đường phân giác BD CE cắt A I nên đường thẳng AI đường phân giác ABC hay AH đường phân giác ABC Mà ABC cân D E A nên AH đồng thời đường cao I ABC  AH  BC B C H Bài 26 ABC có BD CE hai đường cao nên H A trực tâm ABC  đường thẳng AH đường cao ABC , mà ABC cân A nên đường thẳng AH đồng thời đường trung tuyến ABC  A, H , M thẳng hàng Bài 27 D E H B M C 1) ABC có hai đường trung tuyến BM CQ A cắt G nên G trọng tâm ABC Q E Vì G trọng tâm ABC nên đường thẳng AG đường trung tuyến ABC , mà G H ABC cân A nên đường thẳng AG đường cao ABC (1)  G thuộc đường M D B C I cao AI ABC 2) ABC có hai đường cao BD CE cắt H nên H trực tâm ABC nên đường thẳng AH đường cao ABC (2) Từ (1) (2) suy A, G, H thẳng hàng Bài 28 1) Ta có  =90 ) CA  AB ( xAy  CAO   OI //CA  O (so le trong)  OI  AB (OI trung trực AB) x B I  =90 )  BA  AC ( xAy  BAO   OK //BA  O (So le trong)  OK  AC (OK trung trực AC)  O  CAO      O  BAO CAB 90 Vậy IOK 90 2) AOB có OI vừa đường trung trực, vừa đường cao  O   AOB   O  AOB nên OI đường phân giác hay AOB 2 AOI   Chứng minh tương tự ta có AOC 2 AOK 3) Ta có A O K C y          BOA  AOC 2 IOA  AOK 2 IOA  AOK 2IOK 2.90 180  B, O, C thẳng hàng (1) OB OA (t/c đường trung trực)  OB OC  OA  OC (t/c đườ n g trung trự c ) Lại có  (2) Từ (1) (2) suy O trung điểm BC Bài 29 1) ABC cân A có AE đường trung tuyến nên AE D 1   CAE  CAB đồng thời đường phân giác Ta có A F  AB  AD (A trung điểm BD)  AC  AD  CAD   AB  AC (ABC caân) cân A CAD cân A có AF đường trung tuyến nên AF 1  CAF  CAD đồng thời đường phân giác nên Ta có  1     FAE CAE  CAF  CAB  CAD  BAD  180 90 2    Vậy FAE 90 2) Ta có: ABC cân A có AE đường trung tuyến nên AE đồng thời đường cao  AE  BC (1)  Do FAE 90  AF  AE (2) Từ (1) (2) suy AF //BC (3) Do CAD cân A có AF đường trung tuyến nên AF B E C đồng thời đường cao  AF  CD (4) Từ (3) (4) suy CD  BC Bài 30 ABE cân A có AI đường phân giác nên A AI đồng thời đường cao  AI  BÊI hay EI  AD H ADE có EI, DH đường cao nên K trực suy đường thẳng AK đường cao B E K I tâm ADE C D ADE  AK  DE Bài 31 ABE có BA BE  ABE tam giác cân, B mà BD tia phân giác 12  góc ABC  đường thẳng BD đường phân H giác ABE K  đường thẳng BD đường cao ABE  K trực tâm ABE  EK  AB (1), mà ABC vuông A  AC  AB (2) Từ (1) (2) suy EK //AC A E D C