Bồi dưỡng năng lực tự học toán 7 chương III hình học

Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài : QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC � � C Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm So sánh B � A C Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm So sánh � � A B Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, AC = 12cm So sánh � Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm; BC = 5cm So sánh góc tam giác ABC Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm; BC = 7cm So sánh góc tam giác ABC 0 � � Bài 6: Cho tam giác ABC có B  60 ; C  40 So sánh cạnh tam giác ABC Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = 5cm; AC = 12cm, BC =13cm 1) Tam giác ABC tam giác gì? 2) So sánh góc tam giác ABC Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tác A có AB = 6cm; BC = 10cm 1) Tính AC 2) So sánh góc tam giác ABC � Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A có B  50 So sánh cạnh tam giác ABC � Bài 10: Cho tam giác ABC cân A có A  50 So sánh cạnh tam giác ABC Bài 11: Cho tam giác ABC vng A có AB = 10cm; AC = 24cm So sánh góc tam giác ABC � Bài 12: Cho tam giác ABC cân A có B  70 So sánh cạnh tam giác ABC � Bài 13: Cho tam giác ABC cân A có B  40 So sánh cạnh tam giác ABC � Bài 14: Cho tam giác ABC cân A có góc ngồi đỉnh A  100 So sánh cạnh tam giác ABC � � Bài 15: Cho tam giác ABC có A  60 ; B  80 có phân giác AD ADB 1) Tính � 2) So sánh cạnh tam giác ABD Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp 3) So sánh cạnh tam giác ADC � � Bài 16: Cho tam gác ABC có góc ngồi đỉnh A  120 ; B  70 Kẻ phân giác BE AEB 1) Tính � 2) So sánh cạnh tam giác ABE 3) So sánh cạnh tam giác BEC � Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A có B  60 Kẻ phân giác BD � ADB BDC 1) Tính � 2) So sánh cạnh tam giác ABD 3) So sánh cạnh tam giác BDC � Bài 18: Cho tam giác ABC vng A có C  40 phân giác CE � � 1) Tính AEC BEC 2) So sánh cạnh tam giác AEC 3) So sánh cạnh tam giác BEC � Bài 19: Cho tam giác ABC vuông A có B  45 � 1) Chứng minh C  45 2) So sánh cạnh tam giác AEC 3) So sánh cạnh tam giác BEC Bài 20: Cho tam giác ABC vuông B Kéo dài trung tuyến AM lấy MD = MA 1) So sánh CD với AB, CD với AC � � 2) So sánh BAM với MAC Bài 21: Cho tam giác ABC có AB < AC < BC 1) So sánh góc cua tam giác ABC � 2) Chứng minh C  60 � Bài 22: Cho tam giác ABC cân A có B  60 � 1) Chứng minh A  60 2) So sánh cạnh tam giác ABC � Bài 23: Cho tam giác ABC vng A có B  45 � � C 1) So sánh B Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp 2) So sánh cạnh tam giác ABC � Bài 24: Cho tam giác ABC vng A có C  45 � � C 1) So sánh B 2) So sánh cạnh tam giác ABC � Bài 25: Cho tam giác ABC vuông A có A  60 � 1) Chứng minh B  60 2) Chứng minh AB > BC AC > BC Bài 26: Cho tam giác ABC Lấy điểm D cạnh BC � 1) Chứng minh ADB  60 2) Chứng minh: AB > AD 3) So sánh cạnh tam giác ABD Bài 27: Cho tam giác ABC Lấy điểm I cạnh BC � 1) Chứng minh AIC  60 2) Chứng minh AC > AI 3) So sánh cạnh tam giác AIC Bài 28: Cho tam giác ABC có phân giác AD 1� � ADC  � ABC  BAC 1) Chứng minh: 2) So sánh AC DC Bài 29: Cho tam giác ABC có phân giác AD 1� � ADB  � ACB  BAC 1) Chứng minh: 2) So sánh AB BD Bải 30: Cho tam giác ABC có phân giác BD � �  BAC � 1� ADC  � ABC  � ABC BDC ABC 2 1) Chứng minh 2) So sánh BC DC 3) So sánh AB AD Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Lớp Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 9: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH CHIẾU ĐƯỜNG XIÊN VÀ ĐƯỜNG VNG GĨC Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ AH  BC H 1) Chứng minh: AC > AH 2) Chứng minh: AB > AH Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A 1) Chứng minh AB < BC 2) Chứng minh: AC < BC Bài 3: Chứng minh tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC cạnh lớn Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ AH  BC H 1) Chứng minh AH < AB AH < AC AH  (AB AC) 2) Chứng minh Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD  AC D, CE  AB E 1) Chứng minh AB > BD 2) Chứng minh AC > CE 3) Chứng minh AB + AC > BD + CE Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD  AC D, CE  AB E 1) Chứng minh BC > BD 2) Chứng minh: BC > CE BD  CE BC  3) Chứng minh: Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ BD  AC D, CE  AB E 1) Chứng minh: AB + AC > BD + CE BD  CE BC  2) Chứng minh: Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao 1) Chứng minh: AC > AH AC < BC 2) Chứng minh AH < BC Bài 9: Cho tam giác ABC, D nằm A C (BD khơng vng góc với AC) Gọi E F chân đường vng góc hạ từ A C đến đường thẳng BD 1) Chứng minh AE < AD 2) Chứng minh: AE + CF < AC Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A có đường phân giác BD Kẻ DH  BC H Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp 1) So sánh tam giác ABD tam giác HBD 2) Chứng minh DA < DC Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ AH  BC H Trên BC lấy K cho BK = BA, AC lấy I cho AI = AH 1) Chứng minh tam giác ABK cân � � 2) Chứng minh: BAH  ACB �  KAI � 3) Chứng minh: HAK 4) Chứng minh: AC  KI 5) Chứng minh: BC – AB > AC – AH 6) Chứng minh: AH + BC > AB + AC Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Gọi E F chân vuông góc vẽ từ A C đến đường thẳng BM 1) Chứng minh: ME = MF 3) Chứng minh: AB < BM BE  BF  AB 2) Chứng minh: BE + BF = 2MB 4) Chứng minh: Bài 13: Cho tam giác DEF, I trung điểm EF Từ E F kẻ EH  DI H; FK  DI K 1) Chứng minh: IH = IK 2) Chứng minh: DE + DF > DH + DK 3) Chứng minh: DH + DK = 2DI 4) Chứng minh: DE + DF > 2DI Bài 14: Cho tam giác ABC cân A Lấy D �AB E � tia đối tia CA cho CE = BD Kẻ DH EK vng góc đường thẳng BC H K 1) So sánh tam giác BHD tam giác CKE 2) Chứng minh BC = HK 3) Chứng minh BC < DE Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC đường cao AE Tia phân giác góc B cắt AE H Kẻ HF  AB F 1) So sánh HF HE 2) Chứng minh HC > HF � Bài 16: Cho xOy  60 tia phân giác Oz Lấy M �Ox N � Oy Kẻ MH NK  Oz H K 1) Chứng minh OM + ON = 2(MH + NK) 2) So sánh OM + ON với 2MN Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC Kẻ đường cao BD CE Lấy F thuộc AB với AF = AC 1) So sánh FI CE 2) Kẻ FH  BD H Chứng minh FI = HD Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp 3) Chứng minh AB – AC > BD - CE Bài 18: Cho tam giác ABC đều, BC lấy D, AC lấy E cho BD  CE � Kẻ Cx phân giac C từ D, E kẻ DH  Cx H; kẻ EK  Cx K 1) Chứng minh: tam giác DHC, tam giác EKC nửa tam giác 2) Chứng minh: CD  DH ; CE  EK BC DE � Chứng minh: Xác định vị trí D, E để độ dài DE đạt giá trị nhỏ ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH CHIẾU Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ AH  BC H, biết HC  HB Chứng minh AC  AB Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB  AC Kẻ AH  BC H, AH lấy điểm D Chứng minh BH  CH , BD  CD Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AC  AB Kẻ AH  BC H, AH lấy điểm D 1) Chứng minh BH  CH 2) Chứng minh BD  CD Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, tia đối tia AC lấy D cho AD  AC 1) Tìm hình chiếu BC BD lên đoạn thẳng AC 2) So sánh BC BD � Bài 5: Cho tam giác ABC có AB  AC Kẻ AE  BC E, tia phân giác B cắt AE H Kẻ HF  AB F Chứng minh HC  HF Bài 6: Cho tam giác ABC cân A, H trung điểm BC, M nằm H B 1) Chứng minh AH  BC 2) Chứng minh AH  AC 3) Chứng minh AM  AM 4) Chứng minh AH  AM  AC Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A Lấy D �AB E �AC ( D �A B, E �A C) 1) Tìm hình chiếu DE, DC lên AC; CD, CB lên AB 2) So sánh: DE DC; DE BC Bài 8: Cho tam giác ABC có điểm D tam giác AD  AB Tia BD cắt đoạn AC I H trung điểm BD Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn, gọi B lớn góc C AH đường cao thuộc cạnh BC, M điểm thuộc đoạn HB, N điểm nằm tia đối tia BC Chứng minh: 1) HB  HC 2) AM  AB  AN Bài 10: Cho tam giác ABC cân A có H trung điểm BC AHB 1) Tính số đo góc � 2) Lấy điểm M đoạn thẳng HB điểm N đoạn thẳng HC cho HM  HN So sánh đoạn AB, AM AN � � Bài 11: Cho tam giác ABC nhọn có B  C H hình chiếu điểm A lên đường thẳng BC 1) So sánh HB HC 2) Lấy điểm M tia đối tia BC điểm N đoạn thẳng HC So sánh AM AN Bài 12: Tam giác ABC vng A có đường phân giác BD Lấy điểm E tia đối tia AC cho AE  AC 1) Tam giác BCE tam giác gì? 2) So sánh BE với BD 3) So sánh DA với DC Bài 13: Tam giác ABC vng A có đường phân giác BD Kẻ DH  BC H 1) So sánh DA với DH 2) Chứng minh DA  DC 3) Lấy điểm E tia đối tia AC cho AE  AD So sánh BE với BC � � Bài 14: Cho tam giác ABC nhọn có B  C điểm H hình chiếu điểm A lên đường thẳng BC Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD  HA 1) Tam giác BAD tam giác CAD tam giác gì? 2) So sánh BH với CH DC với DB Bài 15: Tam giác ABC cân A có H trung điểm BC Lấy điểm D đoạn HB E đoạn HC cho BD  CE 1) Chứng minh HD  HE ADE với � AED 2) So sánh � Bài 16: Tam giác ABC vuông A Lấy điểm D đoạn thẳng AC điểm E tia đối tia AC cho AE  AC 1) So sánh AE với AD �  BED � 2) Chứng minh BDE Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn có điểm H hình chiếu điểm A lên đường � � thẳng BC B  C 1) Chứng minh HB  HC � � 2) Lấy điểm D tia đối tia HA So sánh DBC với DCB � � Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn có B  C Gọi M trung điểm BC H hình chiếu điểm A lên BC 1) So sánh BH với HC 2) Chứng minh điểm H nằm hai điểm B M � � Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn có B  C Gọi M trung điểm BC H hình chiếu điểm A lên BC 1) So sánh BH với HC 2) Chứng minh điểm H nằm hai điểm C M Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 10: BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC Bài 1: Dựa vào bất đăngt hức tam giác, kiểm tra xem ba ba đoạn thẳng có độ dài cho sau ba cạnh tam giác Trong trường hợp còn lại hãy dựng tam giác có độ dài cạnh 1) 2cm; 3cm; 4cm 2) 2cm; 4cm; 6cm 3) 3cm; 4cm; 6cm Bài 2: Cho ba đoạn thẳng có đọ dài sau: 1) 2cm; 3cm; 4cm 2) 1cm; 2cm; 3,5cm 3) 2,2cm; 2cm; 4cm Hãy vẽ tam giác có đọ dài ba cạnh lần lượt ba (nếu vẽ được) Trong trường hợp khơng vẽ được, hãy giải thích sao? Bài 3: Có thể có tam giác có ba cạnh sau không? 1) 6cm; 10cm; 8cm 2) 6cm; 16cm; 8cm 3) 6cm; 14cm; 8cm 4) 5cm; 10cm; 12cm 5) 1m; 2m; 3,3m 6) 1,2m; 1m; 2,2m BC  cm , AC  7cm Hãy tìm đọ dài AB, biết Bài 4: Cho tam giác ABC có độ dài số nguyên Tam giác ABC tam giác gì? Bài 5: Cho tam giác ABC cân có AB  3,9cm ; BC  7,9cm 1) Tính AC 2) Tam giác cân đỉnh nào? 3) Tính chu vi tam giác ABC Bài 6: Tính chu vi tam giác cân ABC biết: 1) AB  5cm; AC  12cm 2) AB  7cm; AC  13cm Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao AH Chứng minh 2AH  BC  AB  AC Bài 8: Cho tam giác OBC cân O Trên tia đối tia CO lấy điểm A Chứng minh AB  AC Bài 9: Cho tam giác OBC cân O Trên tia OC, lấy điểm A Chứng minh AB  AC Bài 10: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Trên tia đối cuartia MA lấy MD  MA 1) Chứng minh AMB  DMC 2) Chứng minh AB  AC  AM Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 10 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 11: Cho tam giác ABC có AB  AC AC lấy F cho AC  AF Gọi AD đường phân giác tam giác ABC Trên AD lấy điểm E tùy ý 1) Chứng minh AEC  AEF 2) Chứng minh AB  AC  BF 3) Chứng minh BE  EC  BF Bài 12: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC AB  AC  AM Chứng minh � Bài 13: Cho tam giác ABC có M thuộc tia phân giác C Trên tia đối tia CA lấy CI  CB 1) So sánh MI với MB 2) Chứng minh MA  MA  AC  BC � Bài 14: Cho tam giác ABC có x tia đối tia CB Gọi Cy phân giác ACx x lấy N cho CN  CA Bài 15: Cho tam giác ABC cân A có D �AB Kẻ DE / / BC ( E �AC ) Lấy M bất kỳ Cy Trên 1) Tam giác ADElaf tam giác gì? 2) So sánh BC CD 3) BE cắt CD O Chứng minh OB  OC  OCD  OE  DE  BC 4) Chứng minh 2BE  BD  EC Bài 16: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt trung điểm BC, CA, AB Trên tia đối tia DA lấy I cho D trung điểm AI 1) So sánh AB CI 2) Chứng minh AB  AC  AD 3) Chứng minh AB  AC  BC  AD  BE  CF Bài 17: Cho tam giác ABC có AM phân giác AB  AC Lấy I �AB cho AI  AC 1) So sánh MC với MI 2) Chứng minh MB  MC  AB  AC �  90o � xOy Bài 18: Cho tia phân giác Oz Lấy điểm M xOz Kẻ MH  Ox H, MK  Oy K MK cắt tia Oz A Từ A kẻ AI  Ox I MH  Ox H, MK  Oy K MK cắt tia Oz A Từ A kẻ AI  Ox I 1) So sánh AI AK 2) So sánh MH với MI; MI với MK 3) Chứng minh MH  MK Bài 19: Cho tam giác ABC có điểm M nằm tam giác BM cắt AC D Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 11 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp 1) Chứng minh MB  MC  DB  DC 2) So sánh DB  DC với AB  AC 3) Chứng minh MB  MC  AB  AC 4) So sánh MA  MA  MC với AB  BC  CA Bài 20: Cho B, C thuộc đoạn AD cho AB  CD Lấy điểm M nằm đường thẳng AD Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Trên tia đối tia IM lấy IJ  IM 1) Chứng minh MA // D J MC // BJ 2) MB kéo dài cắt AJ H So sánh MA  AH  HJ với MB  BJ 3) Chứng minh MA  MD  MB  MC Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 12 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 11 BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC Bài 1: Cho ABC có hai đường trung tuyến BE CF cắt G Chứng minh G trọng tâm ABC (Gợi ý: trọng tâm điểm chung ba đường trung tuyến nên trọng tâm điểm chung ) Bài 2: Cho ABC cân A có đường phân giác AD 1) Chứng minh ADB  ADC Điểm D gì? 2) Chứng minh đường phân giác AD hai đường trung tuyến BE, CF ABC đồng qui điểm Bài 3: Cho ABC có hai đường trung tuyến BE CF cắt G D trung điểm BC Đường AD đường điểm G điểm ABC ? Chứng minh A, G, D thẳng hàng Bài 4: Cho ABC có hai đường trung tuyến BE CF cắt G AG kéo dài cắt BC M Chứng minh MB  MC Bài 5: Cho ABC cân A có hai đường trung tuyến BD CE cắt G Kéo dài AG cắt BC H 1) So sánh AHB AHC 2) Gọi I K lần lượt trung điểm GA GC Chứng minh AK, BD, CI đồng qui Bài 6: Cho ABC có đường trung tuyến AD trọng tâm G Đã biết GA  AD , hãy chứng minh GA  2GD , AD  3GD (tính chất được phép sử dụng tập sau) Bài 7: Cho ABC có hai đường trung tuyến AD qua BE cắt G Kéo dài GD thêm đoạn DI  DG Chứng minh G trung điểm AI Bài 8: Cho ABC có trọng tâm G đường trung tuyến AD Kéo dài GD thêm đoạn DI  DG Gọi E trung điểm AB IE cắt BG M Chứng minh M trọng tâm ABI Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 13 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 9: Cho ABC có M trung điểm BC Kéo dài từ B đến A thêm đoạn AD  AB AC cắt DM G BG kéo dài cắt CD I 1) Chứng minh GC  2GA 2) Đoạn BI BCD ? Bài 10: Cho ABC có AB  AC  cm BC  cm D trung điểm BC 1) ABD tam giác gì? Tính AD 2) Trung tuyến BE cắt AD G Tính AG Bài 11: Cho ABC vng A có AB  cm , BC  10 cm Trung tuyến AD cắt trung tuyến BE G 1) Tính AC AE 2) Tính BE BG 3) Kéo dài CG cắt AB K Tính CK Bài 12: Cho ABC có đường tuyến AO Kéo dài từ A đến O thêm đoạn OD  OA Gọi H K lần lượt trung điểm BD CD AH AK lần lượt cắt BC E F 1) Trong ABD ACD , điểm E F được gọi gì? EF  BC 2) So sánh EO với BO, OF với OC Chứng minh Bài 13: Cho ABC có hai đường trung tuyến AD BE cắt K Gọi I trung điểm AK CI cắt KE G 1) Điểm G ACK So sánh EG EK EK EG 2) So sánh EK với EB so sánh EG với EB (tính EB EB ) Bài 14: Giả sử hai đường trung tuyến BD CE ABC có độ dài cắt G 1) BGC tam giác gì? 2) So sánh BCD CBE 3) ABC tam giác gì? Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 14 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 15: Cho ABC có hai đường trung tuyến BI CK cắt G Kéo dài AG thêm đoạn GD  GA AD cắt BC M 1) Chứng minh MBD  MCG BD 2) Hãy so sánh BD với CK (tính CK ) Bài 16: Cho ABC có đường trung tuyến AD Lấy điểm G đoạn AD cho AG  2GD Gọi E trung điểm AC Chứng minh AG  AD B, G, E thẳng hàng Bài 17: Cho ABC Vẽ hai đoạn thẳng BI CK dài vng góc với BC cho I K hai bên đường thẳng BC IK cắt BC D 1) Chứng minh D trung điểm BC 2) Lấy điểm G AD cho AG  AD Điểm G ABC AIK ? Bài 18: Trên đường trung tuyến AD ABC , lấy hai điểm I G cho AI  IG  GD Gọi E trung điểm AC 1) Chứng minh B, G, E thẳng hàng so sánh BE với GE 2) CI cắt GE O Điểm O ACG ? Chứng minh BE  9OE Bài 19: Cho ABC Trên BC có điểm T cho BT  2TC Kéo dài từ A đến C thêm đoạn CD  CA 1) Điểm T ABD ? 2) DT cắt AB E Chứng minh E trung điểm AB Bài 20: Cho ABC có M G lần lượt trung điểm AB AC Kéo dài MG thêm đoạn GD  2GM 1) Điểm G ABD ? 2) BD cắt AC O Chứng minh O trung điểm BD GC Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 15 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 21: Cho ABC có G trung điểm BC I trung điểm BG Kéo dài từ A đến I thêm đoạn DG cắt AC M Chứng minh M trung điểm AC Bài 22: Cho ABC vng A có AC  cm , BC  10 cm Lấy điểm M cạnh AB cho BM  cm Lấy điểm D cho A trung điểm CD 1) Tính AB Điểm M BCD 3) Gọi E trung điểm BC Chứng minh D, M, E thẳng hàng Bài 23: Cho ABC có BC  BA M trung điểm BC BD đường phân giác ABC Hai tia BA MD cắt E 1) Chứng minh BDA  BDM 2) Chứng minh BAC  BME 3) Điểm D BCE ? So sánh DC DA Bài 24: Giả sử ABC có hai đường trung tuyến BD CE có độ dài Chứng minh ABC cân A Bài 25: Cho ABC Vẽ hai đoạn thẳng BI CK dài vng góc với BC cho I K hai phía đường thẳng BC Chứng minh ABC AIK có trọng tâm Bài 26: Cho ABC có G thuộc cạnh AC cho AG  2GC D trung điểm AB Kéo dài DG BC cắt E Chứng minh BC  CE Bài 27: Cho ABC có BC  BA BD đường phân giác ABC Chứng minh DC  DA Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 16 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 12 TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC � Bài 1: Cho điểm M nằm tia phân giác At xAy nhọn Kẻ MH  Ax H MK  Ay K 1) So sánh MH MK 2) Chứng minh tam giác AMH tam giác AKM Bài 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường phân giác Kẻ MH  AB H MK  AC K 1) So sánh MH MK 2) Chứng minh tam giác BHM tam giác CKM 3) Tam giác ABC tam giác gì? Bài 3: Tam giác ABC cân A có hai đường phân giác BD CE cắt H Đường thẳng AH cắt BC M 1) Đường thẳng AM đường đặc biệt tam giác ABC 2) So sánh tam giác ABM tam giác ACM � 3) Tính số đo AMB Bài 4: Tam giác ABC cân A có AM đường trung tuyến � � 1) So sánh BAM với CAM 2) Lấy điểm D AM Kẻ DH  AB H DK  AC K Chứng minh tam giác DHK cân � Bài 5: Cho tam giác ABC cân A có A  80�và trung tuyến AM 1) Tính số đo góc B góc C � 2) Tia phân giác góc B cắt AM I Tính số đo ACI Bài 6: Tam giác ABC cân A Hai tia phân giác góc B góc C cắt I Gọi M trung điểm BC Chứng minh A, I, M thẳng hàng Bài 7: Tam giác ABC có I giao điểm hai phân giác đỉnh B C, E giao điểm hai phân giác đỉnh B C Chứng A, I, E thẳng hàng Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 17 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 8: Tam giác ABC cân A có AB  cm ; BC  cm Đường phân giác AD cắt đường trung tuyến BM I � 1) Chứng minh ADB  90�và tính BD 2) Tính độ dài AD, ID Bài 9: Tam giác ABC cân A có đường phân giác AD cắt đường trung tuyến BM I � 1) Tính số đo ADB 2) Tam giác IBC tam giác gì? ID 3) Tính tỉ số AD Bài 10: Tam giác ABC cạnh 10 cm có phân giác AD 1) Tính độ dài BD AD 2) Đường trung tuyến CE tam giác ABC cắt AD I Tính DI 3) Kéo dài BI cắt AC F Tính AF, EC Bài 11: Tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B góc C cắt I � � 1) Tính số đo BAI CAI 2) Kẻ ID  AB D; IE  AC E; IF  BC F Chứng minh điểm I cách ba cạnh tam giác ABC Bài 12: Tam giác ABC có phân giác hai góc ngồi đỉnh B đỉnh C cắt I Kẻ ID  AB D; IE  BC E; IF  AC F 1) Chứng minh ID  IE  IF � 2) AI BAC � Bài 13: Tam giác ABC nhọn có A  60� Hai đường phân giác BD CE tam giác ABC cắt I � � 1) Tính số đo BAI CAI � � � 2) Tính IBC  ICB suy số đo BIC � � 3) Tính số đo BIE CID Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 18 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 14: Tam giác ABC vng A có hai tia phân giác góc B góc C cắt I Kẻ ID  AB D; IE  AC E; IF  BC F Chứng minh AD  AE ; BD  BF ; CE  CF Bài 15: Tam giác ABC cân A có hai đường trung tuyến BM CN cắt I 1) Chứng minh tam giác AMN cân 2) So sánh tam giác AMI tam giác ANI 3) Kéo dài AI cắt BC P Biết AB  10 cm ; BC  16 cm Tính độ dài BP; AI; BI; CN � Bài 16: Tam giác ABC có A  60�và đường phân giác BD Tia phân giác góc A cắt BD I � 1) Tia CI ACB ? � 2) Tính số đo BIC � � CID 3) Kéo dài CI cắt AB E Tính số đo BIE � 4) Tia phân giác BIC cắt BC F Chứng minh IE  IF  ID � ADB  � ABC D � AC E � AB Bài 17: Tam giác ABC vuông A Lấy , cho ; � ACE  � ACB BD cắt CE I � � � � với IBC 1) So sánh EBI ; DCI với ICB � � � 2) Tính số đo BIC ; EIB ; DIC � � 3) Hai tia phần giác IBC ICB cắt F So sánh tam giác EIB với tam giác FBI; tam giác DCI với tam giác FCI 4) Tam giác DIE tam giác gì? � Bài 18: Tam giác ABC có B  60� Hai đường phân giác BD CE tam giác ABC cắt I � 1) AI BAC ? Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 19 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp � � 2) Tính số đo AIC EIA � F �AC  � � 3) IF tia phân giác AIC  So sánh EIA FIA 4) Chứng minh tam giác AEF cân Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 20 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 13 ĐƯỜNG TRUNG TRỰC - ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG Bài 1: Cho hai điểm C , D thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Chứng � � minh DCA  DCB Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có AB  AC đường cao AH Kéo dài AH thêm đoạn HD  HA Chứng minh BCD vuông D Bài 3: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Đường trung trực AB AC cắt O Chứng minh OB  OC Bài 4: Vẽ ABC cân A DBC cân D M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh ba điểm A, M , D thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Hai đường trung trực AB AC cắt D Chứng minh rằng: 1) DB  DC 2) Ba điểm A, M , D thẳng hàng � � Bài 6: Cho tam giác ABC cân A Hai tia phân giác ABC ACB cắt điểm I 1) Chứng minh BIC cân I 2) Chứng minh AI đường trung trực BC Bài 7: Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia Bx vng góc với BA, tia Cy vng góc với CA Hai tia Bx Cy cắt D Chứng minh ADB  ADC AD vng góc với BC Bài 8: Cho tam giác ABC có AB  AC Đường trung trực đoạn thẳng BC cắt � tia phân giác BAC điểm M Gọi H , K lần lượt hình chiếu vng góc với điểm M lên hai cạnh AB, AC So sánh MBH MCK Bài 9: Cho tam giác ABC có AB  AC Lấy điểm D cạnh AC cho CD  AB Đường trung trực BD cắt đường trung trực AC điểm M 1) So sánh MAB MCD � 2) MAC tam giác gì? Chứng minh AM tia phân giác BAC Bài 10: Cho tam giác ABC có AB  AC Hãy rõ cách tìm điểm D cạnh AC cho DA  DB  AC Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 21 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC có AH đường cao Vẽ HD, HE lần lượt vng góc với AB, AC D E Kéo dài HD thêm đoạn DI  DH Kéo dài HE thêm EK  EH 1) AB IH ? AC HK ? Chứng minh AIK cân A AB, AC lần lượt G M Chứng minh 2) IK cắt AGH  AGI ; AMH  AMK � 3) Chứng minh HA tia phân giác GHM Bài 12: Cho d đường trung trực đoạn thẳng AC Lấy điểm B cho A, B nằm phía với đường thẳng d BC cắt d điểm I Điểm M di động d 1) So sánh MA  MB với BC 2) Tìm vị trí điểm M BC cho MA  MB nhỏ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC Bài 13: Cho ABC nhọn có hai đường cao AD, BE cắt H Chứng minh CH vng góc với AB Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm H thuộc cạnh AB Vẽ HE vng góc với BC E Tia HE cắt CA điểm D Điểm H BCD Chứng minh CH vng góc với BD Bài 15: Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm H thuộc cạnh AB Vẽ tia Bx vng góc với CH cắt tia CA điểm D Chứng minh DH vng góc với BC Bài 16: Cho tam giác ABC vng A có AB  AC D trung điểm đoạn thẳng BC Vẽ tia Bx vng góc với AD E cắt CA điểm H Vẽ tia Dy song song với AB cắt AC , Bx lần lượt I K Điểm H ADK ? Chứng minh DH vng góc với AK Bài 17: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AD Lấy điểm H đoạn thẳng AD điểm E đoạn thẳng CD cho HE song song với AC Chứng minh BH vng góc với AE Bài 18: Cho tam giác ABC vuông cân A Lấy điểm H cạnh AC Kéo dài AB thêm đoạn AD  AH Kéo dài DH cắt BC I Chứng minh BH vuông góc với CD Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 22 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 19: Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE , CF đồng quy trực tâm H 1) BF CE đường điểm A điểm BHC ? 2) Hãy trực tâm HCA HBA ( khơng cần giải thích ) Bài 20: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH AD đường phân giác ABH ; CI đường phân giác ACH CI cắt AD điểm K � � � � 1) Chứng minh HCA  HAB KCA  KAB 2) Chứng minh AKC vuông K Điểm I ACD 3) Chứng minh DI / / AB � Bài 21: Cho BHC có BHC góc tù đường cao HD Vẽ BF vng góc với CH F ; CE vng góc với BH E Chứng minh ba đường thẳng BF , CE , DH đồng quy Bài 22: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH AD đường phân giác ABH ; CE đường phân giác ACH Chứng minh DE / / AB ĐƯỜNG CHỦ YẾU TRONG TAM GIÁC CÂN Bài 23: Cho tam giác ABC cân A có đường cao BD, CE cắt H Chứng � minh AH tia phân giác BAC Bài 24: Cho tam giác ABC cân A có đường cao CD cắt tia phân giác góc � BAC I Chứng minh BI vng góc với AC Bài 25: Cho tam giác ABC cân A có hai đường phân giác BD, CE cắt I AI cắt BC H Chứng minh AH vng góc với BC Bài 26: Cho tam giác ABC cân A có đường cao BD, CE cắt H M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh A, H , M thẳng hàng Bài 27: Cho tam giác ABC cân A có hai đường cao BD CE cắt H ; hai đường trung tuyến BM CQ cắt G 1) Điểm G tam giác ABC? Chứng minh G thuộc đường cao AI tam giác ABC 2) Chứng minh A, G , H thẳng hàng � Bài 28: Cho xAy  90 Lấy điểm B thuộc Ax, C thuộc Ay cho AB  AC , I K lần lượt trung điểm đoạn thẳng AB AC Đường trung trực AB AC cắt O Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 23 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp � 1) Tính IOK � � � � 2) Chứng minh AOB  2AOI AOC  AOK 3) Chứng minh O trung điểm đoạn thẳng BC Bài 29: Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cho A trung điểm đoạn thẳng BD Gọi E F lần lượt trung điểm đoạn thẳng BC CD Chứng minh : �  CAB � ; CAF �  CAD � CAE � 2 1) Tính FAE 2) Chứng minh AF / / BC CD vng góc với BC Bài 30: Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC đường phân giác AD Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE  AB Vẽ DH vng góc với AC H BE cắt AD DH lần lượt I K Chứng minh AK vng góc với DE Bài 31: Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH đường phân giác BD cắt K Lấy điểm E thuộc BC cho BE  BA Chứng minh EK song song với AC Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 24 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Mục lục Bài : QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC .1 Bài 9: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH CHIẾU ĐƯỜNG XIÊN VÀ ĐƯỜNG VNG GĨC ĐƯỜNG XIÊN – HÌNH CHIẾU Bài 10: BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC Bài 11 BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC 12 Bài 12 TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC 16 Bài 13 ĐƯỜNG TRUNG TRỰC - ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC .19 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 19 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC .20 ĐƯỜNG CHỦ YẾU TRONG TAM GIÁC CÂN 21 Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 25 ... 16: Cho tam gác ABC có góc đỉnh A  120 ; B  70 Kẻ phân giác BE AEB 1) Tính � 2) So sánh cạnh tam giác ABE 3) So sánh cạnh tam giác BEC � Bài 17: Cho tam giác ABC vng A có B  60 Kẻ phân giác...  AC 3) Chứng minh AM  AM 4) Chứng minh AH  AM  AC Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A Lấy D �AB E �AC ( D �A B, E �A C) 1) Tìm hình chiếu DE, DC lên AC; CD, CB lên AB 2) So sánh: DE DC; DE... hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn có điểm H hình chiếu điểm A lên đường � � thẳng BC B  C 1) Chứng minh HB  HC � � 2)