Khóa luận phiếm hàm tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH SVTH : NGUYỄN THỊ DUNG Lớp : K17B - ĐHSP Toán GVHD: Lê Anh Minh THANH HÓA, 4/2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH SVTH: Nguyễn Thị Dung Lớp: K17B - ĐHSP Toán GVHD: LÊ ANH MINH THANH HĨA, 4/2018 LỜI CẢM ƠN Khóa luận hoàn thành Khoa Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn Thầy Lê Anh Minh Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Thanh Hóa, tháng năm 2018 Nguyễn Thị Dung ii LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN iii MỞ ĐẦU Chương KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH Chương : PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH KẾT LUẬN 30 Tài liệu tham khảo 31 iii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN • R: tập hợp số thực; • E: Khơng gian tuyến tính; • X: Khơng gian Khơng gian tuyến tính định chuẩn; • δ : hàm δ -Dirac; • X: khơng gian liên hợp X; • X khơng gian liên hợp X; • f : Là phiếm hàm tuyến tính MỞ ĐẦU Giải tích hàm ngành giải tích tốn học nghiên cứu khơng gian vectơ trang bị thêm cấu trúc topo phù hợp tốn tử liên tục chúng Chính việc nghiên cứu phổ toán tử dẫn đến việc nghiên cứu đại số topo, đối tượng khác giải tích hàm Các kết phương pháp thâm nhập vào nhiều đề tài giải tích khác lý thuyết phương trình vi phân thường gặp, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết toán cực trị biến phân, , đặc biệt đề tài "phiếm hàm tuyến tính" Cho đến đề tài tích lũy nhiều thành tựu quan trọng trở thành chuẩn mực việc nghiên cứu trình bày kiến thức tốn học toán học Đồng thời đề tài bổ ích hấp dẫn sinh viên sư phạm mơn tốn Vì tơi chọn đề tài " phiếm hàm tuyến tính" để nghiên cứu làm đề tài khóa luận tốt nghiệp nhằm nâng cao kiến thức tầm hiểu biết ứng dụng mơn chun ngành số môn khác Một hướng nghiên cứu phiếm hàm tuyến tính giải tích hàm nghiên cứu khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach, phiếm hàm tuyến tính Trong bao gồm khái niệm mà ta thường gặp như: khơng gian tuyến tính; chuẩn, nửa chuẩn khơng gian tuyến tính; khơng gian banach; phiếm hàm tuyến tính, , tính chất chúng Việc nghiên cứu phiếm hàm tuyến tính thu nhiều kết cho nhiều lớp phương trình vi phân giải tích hàm Trong khn khổ khóa luận tốt nghiệp này, tơi có sử dụng số bất đẳng thức số định lý để chứng minh phiếm hàm tuyến tính Nội dung khóa luận gồm 02 chương Chương 1: Khơng gian định chuẩn, không gian Banach Trong chương này, giới thiệu khái niệm khơng gian tuyến tính, ví dụ; khơng gian định chuẩn, định nghĩa chuẩn, nửa chuẩn; số khái niệm liên quan; định nghĩa khơng gian Banach Chương 2: Phiếm hàm tuyến tính Trong chương này, tơi tìm hiểu định nghĩa phiếm hàm tuyến tính, khơng gian liên hợp, mở rộng phiếm hàm tuyến tính, khơng gian liên hợp không gian liên hợp hội tụ yếu Chương 1.1 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH Khơng gian tuyến tính (Khơng gian vectơ) Cho tập E, E xây dựng hai phép toán: (i) Phép cộng hai phần tử E; (ii) Phép nhân vô hướng phần tử E với số thuộc trường số K (R C) Thỏa mãn tiên đề sau: (1) a + b = b + a, với a, b ∈ E; (2) (a + b) + c = a + (b + c), với a, b, c ∈ E; (3) Tồn phần tử cho: a + = a, với a ∈ E; (4) Với a ∈ E, tồn (−a) ∈ E cho: a + (−a) = 0; (5) Với α, β ∈ K, với a ∈ E thì: a(αβ ) = (aβ )α; (6) Với α, β ∈ K, với a ∈ E thì:(α + β )a = αa + β a; (7) Với α ∈ K, a, b ∈ E thì: α(a + b) = αa + αb; (8) Với a ∈ E thì: 1a = a Ví dụ 1.1.1 Khơng gian Pn : Tập hợp đa thức bậc ≤ n (hữu hạn chiều) Ví dụ 1.1.2 Khơng gian tuyến tính dãy số có giá hữu hạn (S∗ ) S∗ = {(xn ), xn ∈ K : x = (xn ), ∃n0 : xn = 0∀n > n0 } Trong S∗ khơng gian tuyến tính với hai phép tốn: (i) x = (xn ), y = (yn ): x + y = (xn + yn ); (ii) λ ∈ K, λ x = (λ xn ) Mệnh đề sau nói độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính số chiều khơng gian tuyến tính Mệnh đề 1.1.3 (i) Hệ {x1 , x2 , , xn } gọi phụ thuộc tuyến tính tồn (αn ) khơng đồng thời không cho: n ∑ αk xk = k=1 (ii) Hệ khơng phụ thuộc tuyến tính gọi độc lập tuyến tính Một hệ vơ hạn có phần tử (xk ) (với k = 1, , ∞ )được gọi độc lập tuyến tính với n ∈ N hệ {x1 , x2 , , xn } ⊂ (xk ) độc lập tuyến tính (iii) Số phần tử sở gọi số chiều không gian vơ hạn chiều chứa tập gồm phần tử độc lập tuyến tính Một khơng gian hữu hạn chiều hay vơ hạn chiều tồn cở sở đại số phần tử thuộc khơng gian tuyến tính biểu diễn qua tổ hợp tuyến tính phần tử thuộc sở 1.2 Khơng gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ k.k : E → R+ gọi chuẩn E thỏa mãn tính chất sau: (i) kxk ≥ với x ∈ E, kxk = ⇔ x = 0; (ii) kλ xk = |λ |.kxk với x ∈ E, λ ∈ K; (iii) kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ E Định nghĩa 1.2.2 Một khơng gian tuyến tính với chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn hay đơn giản không gian định chuẩn X = (E, k.k) Chú ý 1.2.3 Để đơn giản ta gọi E không gian định chuẩn 1.3 Các chuẩn tương đương Định nghĩa 1.3.1 Giả sử không gian tuyến tính E, ta trang bị hai chuẩn: k.k1 , k.k2 hai chuẩn gọi tương đương tồn số c C cho: ckxk2 ≤ kxk1 ≤ Ckxk2 , với x ∈ E k.k1 gọi mạnh k.k2 tồn c cho kxk2 ≤ ckxk1 Chú ý 1.3.2 Một không gian hữu hạn chiều chuẩn tương đương Nếu hai chuẩn tương đương dãy hội tụ theo chuẩn hội tụ theo chuẩn Định nghĩa 1.3.3 Dãy hội tụ Trong không gian X, dãy (xn ) = (x1 , x2 , , xn ) hội tụ x với lân cận mở U x có số nguyên dương N cho xn ∈ U với n ≥ N Khi x điểm giới hạn dãy (xn ) viết lim xn = x n→∞ 1.4 Không gian Banach Định nghĩa 1.4.1 Cho X = (E, k.k) Dãy (xn ) ⊂ X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn n0 = n0 (ε), với p ∈ N ∗ thì: kxn+1 + xn+2 + · · · + xn+p k < ε Cách phát biểu khác: với ε > 0, tồn n0 = no (ε),với m, n > n0 thì: kxm − xn k < ε Nhận xét 1.4.2 (i) Với (xn ) dãy Cauchy X ta có: |kxm k − kxn k ≤ kxm − xn k Dãy giá trị chuẩn kxn klà dãy Cauchy R+ Theo giải tích cổ điển dãy Cauchy R+ hội tụ, suy tồn lim kxn k n→∞ (ii) Tồn lim kxn k suy (kxn k) bị chặn.Vậy tồn M cho kxn k ≤ M, n→∞ với n ∈ N∗ hay (xn ) ⊂ X bị chặn Định nghĩa 1.4.3 Một không gian định chuẩn X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ phần tử thuộc X Ví dụ 1.4.4 (Q, k.k), kxk = |x| khơng gian định chuẩn không đầy đủ Z b |I| = x(t)dt ≤ max |x(t)|(b − a) a Dấu"=" xảy x số Ví dụ 2.1.7 Cho y0 (t) hàm số cố định liên tục [a, b] Với x(t) ∈ C[a, b] tùy ý, ta có: Z b f (x) = a x(t)y0 (t)dt phiếm hàm tuyến tính C[a, b] vì: Z b f (αx + β y) = a (αx(t) + β y(t))yo (t)dt Z b =α a Z b x(t)y0 (t)dt + β a y(t)y0 (t)dt = α f (x) + β f (y) Chứng minh phiếm hàm bị chặn: Ta có Z b Z b