Chuyên đề bội chung ước chung (48 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN CHUYÊN ĐỀ.BỘI CHUNG-ƢỚC CHUNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Ƣớc bội 1) Định nghĩa ƣớc bội Ƣớc: Số tự nhiên d  đƣợc gọi ƣớc số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ƣớc a Nhận xét: Tập hợp ƣớc a Ƣ  a   d  N : d | a Bội: Số tự nhiên m đƣợc gọi bội a  m chia hết cho a hay a ƣớc số m Nhận xét: Tập hợp bội a  a   B  a   0; a;2a; ; ka , k  Z 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ƣớc số nguyên - Các số -1 ƣớc số nguyên - Nếu Ƣ  a   1; a a số nguyên tố - ố lƣợng ƣớc số : Nếu d ng ph n t ch th a số nguyên tố số tự nhiên A a x b y c z số lƣợng ƣớc A b ng  x  1 y  1 z  1 Thật ƣớc A số c d ng mnp đ : m c x  cách chọn 1, a, a , , a x ) n c y  cách chọn 1, b, b2 , , b y ) p c z  cách chọn 1, c, c , , c z ), Do đ , số lƣợng ƣớc A b ng  x  1 y  1 z  1 II Ƣớc chung bội chung 1) Định nghĩa Ƣớc chung (ƢC): Nếu hai tập hợp Ƣ a) Ƣ b) c phần tử chung phần tử đ gọi ƣớc số chung a b Kí hiệu ƢC a; b) | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG Nhận xét: Nếu ƢC  a; b   1 a b nguyên tố Ƣớc chung lớn (ƢCLN): Số d  N đƣợc gọi ƣớc số chung lớn a b  a; b  Z  d phần tử lớn tập hợp ƢC a; b) K hiệu ƣớc chung lớn a b ƢCLN a; b) (a;b) gcd(a;b) Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) B(b) có phần tử chung phần tử đ gọi bội số chung a b Kí hiệu BC(a; b) Bội chung nhỏ (BCNN): Số m  đƣợc gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC(a; b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN(a; b)  a; b  lcm(a;b) 2) Cách tìm ƢCLN BCNN a) Muốn tìn ƢCLN hai hay nhiều số lớn ,ta thực bƣớc sau : Phân tích số th a số nguyên tố 2.- Chọn th a số nguyên tố chung 3.- Lập tích th a số chọn, th a số lấy với số mũ nhỏ T ch đ ƢCLN phải tìm Ví dụ: 30  2.3.5, 20  2.5  ƢCLN 30; 20)  2.5  10 Chú ý : - Nếu số cho không c th a số nguyên tố chung ƢCLN chúng - Hai hay nhiều số c ƢCLN gọi số nguyên tố - Trong số cho, số nhỏ ƣớc số cịn l i ƢCLN số cho ch nh số nhỏ b) Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bƣớc sau : 1- Phân tích số th a số nguyên tố 2- Chọn th a số nguyên tố chung riêng 3- Lập tích th a số chọn , th a số lấy với số mũ lớn chúng T ch đ BCNN phải tìm Ví dụ: 30  2.3.5, 20  2.5  BCNN(30; 20)  22.3.5  60 Chú ý: - Nếu số cho t ng đơi ngun tố BCNN chúng tích số đ V dụ : BCNN(5 ; ; 8) = = 280 - Trong số cho, số lớn bội số l i BCNN số cho ch nh số lớn đ V dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 3) Tính chất Một số tính chất ƣớc chung lớn nhất: ● Nếu  a1 ; a2 ; ; an   ta n i số a1 ; a2 ; ; an nguyên tố ● Nếu  am ; ak   1, m  k ,m, k  1;2; ; n ta n i số a1 ; a2 ; ; an đôi nguyên tố a b c c ● c ƢC (a; b)  ;    a; b  c a b ;   d d  ● d   a; b    ●  ca; cb   c  a; b ●  a; b    a; c    a; bc   ●  a; b; c     a; b  ; c  ● Cho a  b  - Nếu a  b.q  a; b   b - Nếu a  bq  r  r    a; b    b; r  Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: ● Nếu  a; b  M  M ; M    a b  ●  a; b; c   a; b ; c ●  ka, kb  k  a, b; ●  a; b. a; b   a.b 4) Thuật tốn Euclid việc tính nhanh ƢCLN BCNN “Thuật toán Euclid” thuật toán cổ đƣợc biết đến, t thời Hy L p cổ đ i, sau đ đƣợc Euclid –clit) hệ thống phát triển nên thuật toán mang tên ơng Về số học, “Thuật tốn Euclid” thuật toán để xác định ƣớc số chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: số nguyên) Khi c ƢCLN ta t nh nhanh đƣợc BCNN Thuật toán khơng u cầu việc phân tích thành th a số số nguyên Thuật toán Oclit – dùng để tìm ƢCLN số nguyên | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG Để tìm ƢCLN hai số nguyên a b ta dùng cách chia liên tiếp hay gọi “vòng lặp” nhƣ sau:  Bước 1: Lấy a chia cho b: Nếu a chia hết cho b ƢCLN a, b) = b Nếu a không chia hết cho b dƣ r) làm tiếp bƣớc  Bước 2: Lấy b chia cho số dƣ r: Nếu b chia hết cho r ƢCLN a, b) = r a b b r1 q r1 r2 q1 r3 q2 Nếu b chia r dƣ r1 ( r1  ) làm tiếp bƣớc  Bước 3: Lấy r chia cho số dƣ r1 : Nếu r chia cho r1 dƣ ƢCLN a, b) = r1 Nếu r chia r1 dƣ r2 ( r1  ) làm tiếp bƣớc Bước 4: Lấy r1 chia cho số dƣ r2 : Nếu r1 chia hết cho r2 ƢCLN a, b) = r2 Nếu r1 cho cho r2 dƣ r3 ( r3  ) làm tiếp nhƣ đến số dƣ b ng rn rn1 (a, b) qn Số dư cuối khác dãy chia liên tiếp ƯCLN (a,b) Ví dụ: T nh ƣớc số chung lớn 91 287  Trƣớc hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 14 đƣợc dùng cho vòng lặp kế) Theo thuật tốn Euclid, ta có ƢCLN 91,287) = ƢCLN 91,14) Suy tốn trở thành tìm ƢCLN 91,14) Lặp l i quy trình phép chia khơng số dƣ nhƣ sau: 91 = 14.6 + (14 đƣợc dùng cho vòng lặp kế) 14 = 7.2 (khơng cịn số dƣ suy kết thúc, nhận làm kết quả) Thật vậy: = ƢCLN 14,7) = ƢCLN 91,14) = ƢCLN(287,91) Cuối ƢCLN 287, 91) = Tính BCNN nhanh Để việc giải toán BCNN ƢCLN đƣợc nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Biết r ng: hai số nguyên a, b có BCNN [ a,b] ƢCLN a,b) a.b   a, b   a, b    a, b   a.b  a, b  ,  a, b   a.b  a, b  Nghĩa là: T ch số nguyên a.b  ƢCLN a,b) x BCNN a,b) Ví dụ: c a = 12; b = 18 suy ƢCLN 12,18) = thì: BCNN (12,18) = (12 x 18) : = 36 Nếu làm theo cách phân tich th a số ngun tố phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = x 32 suy BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 Nhận xét: Với cặp số ngun có nhiều chữ số việc phân tích th a số nguyên tố nhiều thời gian; lấy tích số bấm máy tính cầm tay nhanh dễ 5) Phân số tối giản a phân số tối giải  a, b   b Tính chất: i) Mọi phân số khác đƣa phân số tối giản ii) D ng tối giản phân số iii) Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản B CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP  Dạng 1: Các toán liên quan tới số ƣớc số * Cơ sở phƣơng pháp: Nếu d ng ph n t ch th a số nguyên tố số tự nhiên A a x b y c z số lƣợng ƣớc A b ng  x  1 y  1 z  1 Thật ƣớc A số c d ng mnp đ : m c x  cách chọn 1, a, a , , a x ) n c y  cách chọn 1, b, b2 , , b y ) p c z  cách chọn 1, c, c , , c z ), | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG Do đ , số lƣợng ƣớc A b ng  x  1 y  1 z  1 * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số ƣớc số 1896 Hướng dẫn giải   96 Ta có : 1896  32.2  3192.296 Vậy số ƣớc số 1896  96  1192  1  97.193  18721 Bài toán Chứng minh r ng số tự nhiên lớn số ch nh phƣơng số ƣớc số số lẻ Hướng dẫn giải a a a Giả sử n  p1 p2 pk k với pi nguyên tố  N * n số ch nh phƣơng a1 , a2 , , ak số chẵn đ  a1  1 a2  1  ak  1 số lẻ Mặt khác  a1  1 a2  1  ak  1 số số ƣớc n, đ toán đƣợc chứng minh Bài toán Một số tự nhiên n tổng bình phƣơng số tự nhiên liên tiếp Chứng minh r ng n c 17 ƣớc số Hướng dẫn giải Tổng bình phƣơng số tự nhiên liên tiếp c d ng : n   m  1  m2   m  1  3m2  số ch nh phƣơng 2 Nếu n c 17 ƣớc số n số ch nh phƣơng tốn 1), vơ l T đ suy điều phải chứng minh  Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết * Cơ sở phƣơng pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia phần nguyên dƣ, sau đ để thỏa mãn chia hết số chia phải ƣớc phần số nguyên dƣ, t đ ta tìm đƣợc số nguyên n thỏa mãn điều kiện * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2) CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Hướng dẫn giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2) Do đ 5n + 14) chia hết cho (n +2)  chia hết cho (n + 2)  n + 2) ƣớc  (n +2)  1 ; ; 4  n  0 ; 2 Vậy với n 0; 2 (5n + 14) chia hết cho (n + 2) Bài tốn Tìm số tự nhiên n để n  15 số tự nhiên n3 Hướng dẫn giải Để n  15 số tự nhiên (n + 15) chia hết cho (n + 3) n3  [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3)  12 chia hết cho (n +3)  n + 3) Ƣ 12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12  n  0; 1; 3; 9 Vậy với n  0; 1; 3; 9thì n  15 số tự nhiên n3 Bài tốn Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n +  n + Hướng dẫn giải Ta có: n2 + 3n +  n + Suy ra: n (n + 3) +  n +   n + => n +  Ƣ 6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = Bài toán Tìm số nguyên n để phân số 4n  có giá trị số nguyên 2n  Hướng dẫn giải Ta có: 4n  4n   n(2n 1)  7 =  n 2n  2n  2n 1 2n 1 Vì n nguyên nên để 4n  nguyên nguyên 2n  2n  | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG => 2n –  Ƣ 7) = {–7; –1; 1; 7}  2n  {– 6; 0; 2; 8}  n  {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n  {– 3; 0; 1; 4} 4n  có giá trị số nguyên 2n  Bài tốn Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B 2n  5n  17 3n   n2 n2 n2 Hướng dẫn giải Ta có: B  2n  5n  17 3n 2n   5n  17  3n 4n  19     n2 n2 n2 n2 n2 4(n  2)  11 11  4 n2 n2 Để B số tự nhiên 11 số tự nhiên n2  11  (n + 2)  n +  Ƣ 11) = 1; 11 Do n + > nên n + = 11  n = Vậy n = B  N Bài tốn Tìm k ngun dƣơng lớn để ta có số n   k  1 k  23 số nguyên dƣơng Hướng dẫn giải  k  1 k  2k   k  23 k  21  484 484 Ta có: n     k 1 , k  Z  n k  23 k  23 k  23 k  23 số nguyên dƣơng k  23 | 484, k  23  23  k  23  121  k  98 Ta có 484 = 222 = 4.121= 44.21     k  21  k  23  44 Với k = 98, ta c n = 81 Với k = 21, ta c n = 11 Vậy giá trị k lớn thỏa mãn yêu cầu toán 98  Dạng 3: Tìm số biết ƢCLN chúng * Cơ sở phƣơng pháp: CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN * Nếu biết ƢCLN a, b) = K a = K.m b = K.n với ƢCLN m; n) = điều kiện số m, n cần tìm) , t đ tìm đƣợc a b * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm hai số tự nhiên a, b, biết r ng: a + b = 162 ƢCLN a, b) = 18 Hướng dẫn giải Giả sử a  b Ta có: a  b  162,  a, b   18 a  18m Đặt  với  m, n   1, m  n  b  18 n   T a  b  162  18  m  n   162  m  n  Do ( m, n ) = 1, lập bảng: m n a 18 36 loai 72 b 144 126 90 Kết luận: Các số cần tìm là: 18;144  ;  36;126  ;  72;90  Bài toán Tìm hai số nhỏ 200, biết hiệu chúng b ng 90 ƢCLN 15 Hướng dẫn giải Gọi hai số cần tìm a, b  a, b  N ; a, b  200  Ta có: a  b  90;  a, b   15   m, n    m, n   a  15m   Đặt         b  15n m  n  15  m  n   90 15m  200  m  13 L i có: a, b  200     15n  200  n  13   m n a b 13 195 105 11 65 75 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG 85 15 Vậy:  a, b   195;105 ,  65;75 , 85;15 Bài tốn Tìm hai số tự nhiên có tích b ng 432 ƢCLN b ng Hướng dẫn giải Ta có: ab  432;  a, b    a  b  Đặt a  6m, b  6n với m, n) = m ≤ n  36mn  432  mn  12 Ta đƣợc: m n a b 12 72 18 24 Vậy  a, b    6;72  , 18, 24  Bài tốn Tìm hai số a, b biết 7a = 11b ƢCLN a; b) = 45 Hướng dẫn giải T giả thiết suy a > b a  45a1 T ƢCLN a; b) = 45   b  45b1 Mà:  a1 ; b1   1,  a1  b1  a  45.11  495 a 11 a  11 a 11  a1; b1   =>      b b1 b  45.7  315 b1  Vậy hai số a,b cần tìm a = 495 b = 315  Dạng 4: Các toán phối hợp BCNN số với ƢCLN chúng * Cơ sở phƣơng pháp: * Nếu biết BCNN (a, b) = K ta gọi ƢCLN a; b) = d a = m.d b = n.d với ƢCLN m; n) = điều kiện số m, n cần tìm) , t đ tìm đƣợc a b * Ví dụ minh họa: Bài toán Cho a  1980, b  2100 a) Tìm  a, b   a, b b) So sánh  a, b  a, b  với ab Chứng minh nhận xét đ hai số tự nhiên a b khác tùy 10 CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG  18n  3 (cịn 21n  ln chia hết cho 7)  18n   21  18  n  1 Vậy n  7k  1 k    n  1  18n  3,21n    Câu 31 Bài tốn khơng u cầu tìm giá trị n mà cần vô số giá trị n để  n  5, n  72  Do đ ngồi cách giải nhƣ trên, giải nhƣ sau: Gọi d  ƢC  n  5, n  72  57 d Do  n  15 d , 57 d nên tồn t i n cho n  15  57k  d  Nếu ta chọn n  57k  14  k  1,2,3,   n  15, n  72   , rõ ràng có vơ số giá trị n Câu 32 a) ƢCLN  a  b, a  b  b ng a b lẻ, b ng a b có số chẵn số lẻ b) 29 Câu 33 a) Gọi a  da ', b  db ', (a ', b ')  Ta có:  a, b   ab  da ' b ' Theo đề bài, ta có: da ' b ' d  55 hay d  a ' b ' d   55 Nhƣ a ' b '1 d ƣớc 55, mặt khác a ' b '  Ta có lần lƣợt d a ' b ' a 'b ' a' b' a b 11 = 22 11 44 10 50 11 10 = 2.5 10 25 54 54 27 27 54 = 2.33 55 b) Giải tƣơng tự c u a) ta đƣợc: d  a ' b ' 1  T đ : d a ' b ' a 'b ' a' b' a b 6 3 2 10 c) Có cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70) 34 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Câu 34 a) 1; b) 1111 Câu 35 Đặt A   n, n  1 B   A, n  2 Áp dụng tính chất  a, b, c   a, b , c  , ta có B   n, n  1, n  2 Dễ thấy  n, n  1  , suy  n, n  1  n  n  1 L i áp dụng tính chất  a; b     a, b. a, b   ab  n  n  1 n   a.b  n, n  1, n  2   a; b   n  n  1 , n  2  Gọi d  n  n  1 , n  Do  n  1, n    nên d   n, n     n,2  Xét hai trƣờng hợp: - Nếu n chẵn d = 2, suy  n, n  1, n  2  n  n  1 n   - Nếu n lẻ d = 1, suy  n, n  1, n  2  n  n  1 n   Câu 36 Gọi d ƣớc chung 3n  5n  ( d  * ) Ta có 3n  d 5n  d nên  3n   –  5n  1 d  17 d  d 1;17 Để 3n  5n  c ƣớc chung lớn 1, ta phải có 3n  17 hay  n –10  17 mà UCLN  ; 17   nên  n –10 17 n –10  17k (k  ) Vì n  , n  30  10  n –10  20 nên k  0 ; 1 Với k   n  10 , đ 3.10  17 5.10  17 (thỏa mãn) Với k   n  27 , đ 3.27  17 5.27  17 (thỏa mãn) Vậy n 10 ; 27  Câu 37 Để 2n  có giá trị số nguyên 2n  n  (1) n2 Vì n  n  nên  n   n  (2) T (1) (2) 2  n     2n  1 n  3 n2 Vì n  nguyên nên n  1; 3;1;3  n 3; 5; 1;1 Vậy với  n 3; 5; 1;1 phân số 2n  số nguyên n2 35 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG Câu 38 Giả sử sau a phút kể t lúc 6h) xe l i xuất phát t i bến lần thứ Lập luận để suy a BCNN  75,60,50  Tìm đƣợc BCNN  75,60,50   300 (phút) = Sau 5h xe l i xuất phát, lúc đ 11h ngày  2n  d  6n    2n  1 d  d  d  1;2 Câu 39 Giả sử d UCLN  2n  1,6n  5   6 n  d Vì n số nguyên dƣơng nên 2n   d   d  Vậy với số nguyên dƣơng n phân số Câu 40 Cho ph n số: P  6n  n  3n  2n  tối giản 6n   a) Chứng tỏ r ng ph n số P ph n số tối giản Gọi d  ƢC  6n  5,3n  2 với d  * )  6n  d 3n  d   6n  5   3n   d  d  d  Vậy ph n số P ph n số tối giản b) Với giá trị n ph n số P c giá trị lớn nhất? Ta có: P  6n   3n    1   2 3n  3n  3n  Với n  3n    1 5   2  P 3n  2 3n  2 Dấu “=” xảy  n  Vậy n  ph n số P c giá trị lớn b ng  a  d a1 Câu 41 Gọi UCLN  a; b   d    a1; b1   b  d b1 Mà : a  2b  48  da1  2db1  48  d  a1  2b1   48  d U  48 (1) Ta l i c : 3.BCNN a; b) + ƢCLN a; b) = 114 => d  3.a1.b1.d  114  d 1  3a1.b1   114  d U 114  T (1) (2) => d UC (48;114)  1;2;3;6 Mà : d 1  3a1.b1   114  3.38  d  d = d = 36 (2) CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN a  2b1  16 a  2b1  16 TH1 : d = 3=>  (lo i)   1  3a1.b1  38 3a1.b1  37 a  2b1  a  2b1  a   a  12 TH2 : d        1  3a1.b1  19 a1.b1  b1   b  18 Vậy a = 12 b = 18 Câu 42 Đặt (11a + 2b, 18a + 5b) = d 55a  10b d   19a d 36a  10b d 198a  36b d  19b d 198a  55b d  Và  19a d  19 d (vì (a, b) = 1) 19b d Do đ  Vậy d  1;9 Câu 43 Ta có  a, b    a,a  b    a  a  b,a  b    2a  b,a  b    2a  b,3a  2b    5a  3b,3a  2b    5a  3b,  5a  3b   3a  2b    5a  3b,13a  8b    ab  bc  ca  p  abc p Câu 44 Giả sử tồn t i số nguyên tố p cho  a p  T abc p  b p  c p b p c p Giả sử a p  ab  ac p  bc p   Điều mâu thuẫn với (a, b) = (a, c) = 37 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG     Câu 45 Ta có a  b,a  ab  b2  a  b,  a  b   a  ab  b 2    a  b,3ab  Do (a, b) = nên (a + b, ab) = Vì  a  b,a  ab  b2    a  b,3ab    a  b,3  d  1;3 * Xét d = Khi đ a  b  ab    3ab  9  2 a  ab  b2 73 a  ab  b  73 Điều khơng xảy a, b  N * Xét d = Khi đ  a;b   17;7  a  b  24 ab    3ab      2 a  ab  b 73  a;b    7;17  a  ab  b  219 Thử l i ta đƣợc hai cặp số thỏa mãn điều kiện toán   Câu 46 Đặt d  22  1, 22   d lẻ n n Ta có   2  2 2n 1 2   22   d  d  (vì d lẻ) n 1   1  1 n 1   1  1  1   1 22   22  22  n Do đ  2n 2n 1   2n 2 2n 2 2n 2 2m 2m  1 d  n  Vậy 22  1, 22   n n Câu 47 Đặt d = m, n) Khi đ tồn t i số tự nhiên r, s cho rn - sm = d   Đặt d1  2m  1, 2n   d1 lẻ Ta có: 38 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN 2n  2d  (vì n d ) 2m  2d  (vì m d ) Do đ d1 2d  2n  d1  2rn  d1  Mặt khác:  m  2rn  2sm  2sm  2rn sm  1  2sm  2d  1 d1 sm  2  d1   d1 Mà  2,d1    2d  d1 T đ suy d1  2d    Vậy 2m  1, 2n   2 m,n  1 Câu 48 Giả sử a  b a  15.m Do ƢCLN a, b) = 15    m  n  ,  m, n   , b  15.n Khi đ BCNN a; b) = 15.m.n Do đ : ƢCLN a; b).BCNN a; b)  15.m.n  15  15m  15n   a.b  ab  300.15  4500 mn  20  15m.15n  4500    mn Ta có bảng: m n a b 20 15 300 60 75 Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (15 ;60), (300 ; 75) đảo ngƣợc l i Câu 49 Giả sử d   a, a    d | a d | a   d | a   a  d  d = Với a lẻ (a, a + 2) = Với a chẵn (a, a + 2) = Câu 50 Giả sử d | 1  a   a m1  d |  a  1 ,suy : 39 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG d |  a m1  1   a m2  1    a  1  m  d | m Vậy d | m d | a  Ngƣợc l i, d | a d | a  d  mm1   a  1 Vậy 1  a   a m1, a 1   m, a 1  Câu 51 Giả sử d | a, b | d , c | d d lẻ Ta có a  b d a  b  a  b 2d   2, d   1  Tƣơng tự: ab d bc cd d d 2 Vậy d ƣớc ab bc ca , , 2 Ngƣợc l i, giả sử d ƣớc ab bc ca ab ac bc d ƣớc , ,    a 2 2 2 Tƣơng tự d | b d | c ab bc ca  Vậy:  , ,    a, b, c  2   Câu 52 Giả sử d   a1 , a2 , ,a 49  ,khi đ a1  a2   a49  999 d , suy d ƣớc 999  33.37 Vì d | ak  k  1, 2, , 49  nên ak  d , k  999  a1  a2   a49  49d  d  99  21 Vậy 29 d nhận giá trị 1,3, Giá trị d lớn b ng a1  a2   a48  9; a49  567 (vì 9.48  567  999 ) Câu 53 Giả sử d  11a  2b,18a  5b  , đ d |18a  5b d |11a  2b , suy d |1118a  5b   18 11a  2b   19b  d |19 d | b - Nếu d | b t d | 11a  2b   318a  5b   a  5b  d | a  d |  a, b    d  40 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN - Nếu d |19 d = d = 19 Vậy (11a + 2b, 18a + 5b) b ng b ng 19   Câu 54 Giả sử d  m  n, m2  n2 đ d | m  n d | m2  n2 suy d |  m  n    m2  n2   2mn d | m  n d | 2mn suy d | 2m  m  n   2mn  2m2 d | 2n  m  n   2mn  2n2     Do đ d | 2m2 ,2n2  m2 , n2   d  d = Nếu m, n lẻ d = Nếu m, n khác tính chẵn lẻ d = Câu 55 a) Giả sử d   21n  4,14n  3 , đ d | 21n  d |14n  suy d |  21n   d | 314n  3  d | 14n  3   21n     d  Vậy 21n  phân số tối giản 14n    b) Giả sử d  2n  1, 2n  2n suy d | 2n  2n  n  2n  1  n T d | 2n  d | n suy d | 2n   2n   d  Vậy 2n  phân số tối giản 2n  2n Câu 56 a) Ta có: phân số 18n  3  6n  1 Mà  3,7    3,3n  1   6n  1,3n  1  nên để  21n  7  3n  1 18n  tối giản ta phải có  6n  1,7   21n  Mặt khác, 6n + = 7n – (n – 1), đ :  6n  1,7     n  1,7    n  7k   k  Z  Vậy, với n chia cho khơng dƣ 18n  phân số tối giản 21n  41 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG b) Ta có 2n  11 tối giản   n  7,11   n  11k   k  Z  ,  2 n7 n7 Câu 57 Không tính tổng qt ta giả sử a  b Vì  a, b   16 nên a  16a1 , b  16b1 với  a1 , b1   T a  b  128 suy 16  a1  b1   128  a1  b1  Với điều kiện a1  b1  a1 , b1   ta có a1  1, b1 a1  3, b1  T đ ta c a  16, b  112 a  48, b  80 Câu 58 Ta có ab  ba  10a  b  10b  a  11 a  b  ;33  11.3 Vì (a + b) không chia hết cho   nên ab  ba,33  11 Câu 59 Số có chữ số tận 136 chia hết có ƣớc số dƣơng 1, 2, 4, Câu 60 d | a, d | b d | ma  nb, d | ka  lb; d | ma  nb, d | ka  lb d | k  ma  nb   m  ka  lb   b  d | b Tƣơng tự : d | a Câu 61 Ta có 123456798 – 123456789 = nên ƢCLN phải tìm 1, 9, mà tất số cho chia hết ƢCLN phải tìm Câu 62  d | a  2a  b    a  ab   a  d   2a  b, a  ab     d |  a , b2    d  2  d | b  2a  b    a  ab   b  2a Câu 63 a) d  12n  1,30n    d | 12n  1  30n     d  Vậy phân số 12n  phân số tối giản 30n  b) d  15n2  8n  6,30n2  21n  13  d | 15n2  8n    30n2  21n  13   d | 5n   d | 3n  5n  1  15n  8n    d | 5n   d |  5n     5n  1  d | d | 5n   d |1  d    d |5 42 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Vậy phân số Câu 64 15n  8n  phân số tối giản 30n  21n  13 n  13 15 tối giản 15, n     1 n2 n2 Do đ n – không chia hết cho Do đ để phân số n  13 tối giản n  3k  2, n  5l  n2 Câu 65 Chứng minh n lẻ không chia hết cho Câu 66 Các số cho c d ng k   n  2 n2 k  1 tối giản  k  7,8, ,31 Mà k k k   n  2   n  2, k    n  nguyên tố với 7,8, ,31và n  nhỏ  n   37  n  35 Câu 67 a) a = 6, b = 60 a = 12, b = 30  a  b  ; b) Các cặp số (a, b) với a  b cần tìm 1;54  ,  2;27  ,  5;50  , 10;25 11;44  Câu 68 n   2,3,4,5,6,7,8,9  5.7.8.9  2520 Vậy n  2519 Câu 69 Ta có: N  ab  ab  1 2ab  1 chia hết cho số: 1; a ; b  ab  1 2ab  1 ; b ; a  ab  1 2ab  1 ; ab  ; ab  2ab  1 ; 2ab  ; ab  ab  1 ; N ; ab ;  ab  1 2ab  1 ; b  ab  1 ; a  2ab  1 ; a  ab  1 ; b  2ab  1 có 16 ƣớc dƣơng Nên để N c 16 ƣớc dƣơng a; b; ab  1; 2ab  số nguyên tố Do a, b   ab   Nếu a; b lẻ ab  chia hết hợp số vô lý) Do đ không t nh tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ  a  Ta c b không chia hết cho 2ab   4b  ab   2b  chia hết cho hợp số vô lý)  b  Vậy a  2; b  2 2 Câu 70 Đặt A = p  pq  2q B = p  pq  q Xét trƣờng hợp: +) p  q  , không thoả mãn 43 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG +) p  2, q  3, đ  A, B     2q  2q ,8  2q  q     q  q ,8  p  q  (vì  p  q 2 )    3q,8  2q  q     q,8    q  q  , (vì  p  q ) = d Suy d lẻ d Do đ d = +) q  2, p  3, đ  A, B    p2  2p 8,2p2  p     p2  2p 8,p2  p   , (vì p  p  )   p  6, p  p     p  2, p  p   , (vì p  p  )   p  2, p     p  2,  p    p   d Suy d p , d lẻ d  p Do đ d = +) p, q  3, Vì p, q số lẻ nên p  q p  q số chẵn Suy A  p  p  q   2q 2 B  p  q  q  p  Vậy A B khơng ngun tố Tóm l i: p  2, q  3, q nguyên tố q  2, p  3, p nguyên tố Câu 71 Gọi  a  b, a  b2   d  a  b d a  b2 d  a2  2ab  b2 d  2ab d  a, b     ab, a  b     2ab, a  b    2, a  b   d ƣớc số  2ab, a  b   d ƣớc số  2, a  b   d ƣớc số cùa  d  d  44 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN a  b  a  b  a  a    Nếu d       ab  12 b  b  a  b  25     a  b  14 Nếu d    vô nghiệm a  b  50 Tóm l i  a, b    3, 4 ,  4,3 Câu 72 Đặt A  m  n B  m2  n2 Gọi d ƣớc chung lớn A B với d  Khi đ ta c A d; B d hay ta đƣợc m  n d; m2  n2 d     Ta l i c A2  B   m  n   m  n  2mn Mà A2  B d nên suy 2mn d L i c m  n d nên 2n  m  n  d  2mn  2n d Kết hợp với 2mn d ta đƣợc 2n d Hoàn toàn tƣơng tự ta chứng minh đƣợc 2m d Theo m n nguyên tố nên m n không t nh chẵn Ta xét trƣờng hợp sau:  Trƣờng hợp 1: Trong hai số m n c số chẵn số lẻ, đ m  n số lẻ nên t m  n chia hết cho d ta suy đƣợc d số lẻ T đ ta đƣợc m n chia hế cho d Mà ta l i c m n nguyên tố nên suy d   Trƣờng hợp 2: Cả hai số m n số lẻ, đ t m  n số chẵn nên t m  n chia hết cho d với d lớn ta suy đƣợc d số chẵn Đặt d  2d' , đ t 2m d 2n d ta đƣợc m d' n d' Do m n nguyên tố nên suy d'  , đ d  Vậy ta c hai kết nhƣ sau:   + Nếu hai số m n c số chẵn số lẻ m  n, m  n    + Nếu hai số m n lẻ m  n, m  n  Câu 73 Giả sử số nguyên dƣơng a, b thỏa mãn yêu cầu toán, đ ta có  4a  1, 4b  1  16ab  a  b  Ta có  4a  1 4b  1  16ab   a  b  a  b  L i c 4a   4b    a  b   a  b  Mà  4a  1, 4b  1  45 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG Nếu hai số 4a  a  b chia hết cho số nguyên tố p đ , t 4a   4b  chia hết cho  a  b  ta suy đƣợc 4b  p , điều m u thuẫn với giả thiết  4a  1, 4b  1  T đ suy  4a  1,a  b   Ta có  4a  1 4b  1  a  b   4a  1,a  b   nên suy 4b   a  b  Ngƣợc l i giả sử a, b số nguyên dƣơng thỏa mãn 4b   a  b  Khi đ t  4a  1 4b  1 a  b  ta suy đƣợc 16ab a  b  Nếu hai số 4a  4b  chia hết cho p p số nguyên tố lẻ Ta l i c 4a   4b    a  b   a  b  , suy 4b  p Do đ ta đƣợc 4b    4b  1  p , điều m u thuẫn với p số nguyên tố lẻ T đ ta đƣợc  4a  1, 4b  1  Nhƣ hai số nguyên dƣơng a, b thỏa mãn  4a  1, 4b  1  16ab  a  b  tƣơng đƣơng với hai số nguyên dƣơng a, b thỏa mãn 4b   a  b  Chú ý 4b  số lẻ 4b    a  b  nên t 4b   a  b  ta suy đƣợc  4b   a  b a  3b     4b    a  b   b  3a  Nhƣ cặp số nguyên dƣơng  a; b   c; 3c  1 ,  3c  1; c  với c  N* Câu 74 Ta có: N  ab  ab  1 2ab  1 chia hết cho số: 1; a ; b  ab  1 2ab  1 ; b ; a  ab  1 2ab  1 ; ab  ; ab  2ab  1 ; 2ab  ; ab  ab  1 ; N ; ab ;  ab  1 2ab  1 ; b  ab  1 ; a  2ab  1 ; a  ab  1 ; b  2ab  1 có 16 ƣớc dƣơng Nên để N c 16 ƣớc dƣơng a; b; ab  1; 2ab  số nguyên tố Do a, b   ab   Nếu a; b lẻ ab  chia hết hợp số vô lý) Do đ không t nh tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ  a  Ta c b khơng chia hết cho 2ab   4b  ab   2b  chia hết cho hợp số vô lý)  b  Vậy a  2; b  Câu 75 Gọi d ƢCLN m, n) suy m2 , n2 , mn chia hết cho d 46 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Do m  n  m2  n  m  n số nguyên nên m2  n2  m  n chia hết cho d   n m mn Suy m + n chia hết cho d  m  n  d  m  n  d Câu 76 a) Dễ thấy số  a, b, c   1,3,7  thỏa mãn đề b) Đặt S  a  b  c  ab  bc  ac T giả thiết suy S chia hết cho a, b, c Vì a, b, c đơi khác nhau, đ a, b, c đồng thời số nguyên tố S abc hay S  kabc(k  ) Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c Nếu a  b, c lẻ  b  c  bc lẻ nên không chia hết cho Do đ a  nên b  5, c  T S  kabc(k  ) suy 0k  1 1 1       1 k  ab ac bc a b c Vậy a, b, c đồng thời số nguyên tố Câu 77 Thay x  2n   A  4n  n  3  4n  n     4n  n  1  8n Câu 78 Ta cần tìm ab ; cho biết ab ab với  a, b   ab  nab với n số tự nhiên khác  10a  b  nab  10a  b  na  1  10a  na  1 Nếu a   b  n  1  10  lập bảng để chọn: b n 1 10 n 11 Nếu a    an  1   an  ƣớc số 10  an  11;2;5  an 2;3;6   an  1, n    2;1 ,  3;1 ,  2;3 , 3;2  47 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ :BỘI CHUNG –ƯỚC CHUNG Thay  a, n  vào ta t nh đƣợc b Ta có:  a; b    2;4  ,  3;6  Đáp số: ab 11;12;15; 24;36 48