Chuyên đề 14 chứng minh đẳng thức đại số

Chuyên đề 14 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ A Một số ví dụ Chứng minh đẳng thức đại số phép biến đổi đại số, chứng minh hai vế tập xác định chúng Trong chuyên đề trước gặp giải số tập liên quan tới chứng minh đẳng thức đại số Trong chuyên đề này, khắc sâu số kỹ thuật biến đổi chứng minh đẳng thức đại số I BIẾN ĐỔI VẾ NÀY THÀNH VẾ KIA Ví dụ l Với n nguyên dương Chứng minh rằng: 2n - n2 + + + = 4 +14 + 34 4n2 +1 +( n - 1) (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2009 - 2010) Giải Tìm cách giải Quan sát đẳng thức, nhận thấy vế trái tổng phân thức viết theo quy luật vế trái dài, phức tạp vế phái Những tốn có vế phức tạp vế đơn giản, biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản Do định hướng biến đổi vế trái thành vế phải Nhận thấy vế trái tổng phân thức viết theo quy luật, tách phân thức thành hiệu hai phân thức để khử liên tiếp Trình bày lời giải Ta có: + m = ( m + m + 4) - m = ( m + 2) - ( m) 2 é( m - 1) +1ù = ( m + 2m + 2)( m - 2m + 2) = é (ëm +1) +1ù ê ú ú ûê ë û Thay m = 2k +1 ta có: é( k - 2) +1ù Þ +( 2k - 1) = é (ë2k ) +1ù ê ú ú ûê ë û ( k - 1) ( 2k ) +1- ( 2k - 2) - = = Nên 2 4 +( k - 1) +( k - 1) ( 2k - 2) +1 ( 2k ) +1 1 2 ù 1é 1 ê ú Þ = ê 2 ê( k - 2) +1 ( k ) +1 ú +( k - 1) ú ë û 2k - Cho k = 1,2,3, n ta được: ù 1é 1 1 1 ú VT = ê + + + ú 2 2 2 4ê + + + + ( 2n - 2) +1 ( 2n) +1ú ê ë û 1é ù n2 ú= = ê1 2 4ê ë n +1ú û + 4n Suy VT = VP Điều phải chứng minh II BIẾN ĐỔI CẢ HAI VẾ CÙNG BẰNG BIỂU THỨC THỨ BA Ví dụ Chứng minh đẳng thức: a2 + 3ab a - 5ab - 3b a + ab + ac + bc + = a - 9b ab - a - 9b2 3bc - a - ac + 3ab Giải Tìm cách giải Đẳng thức nhận thấy vế phải có c, vế trái khơng có c Tức biến đổi rút gọn nhằm triệt tiêu c Vế trái tổng hai phân thức, vế phải phân thức, ta biến đổi vế trái thành phân thức rút gọn Những tốn hai vế phức tạp, biến đổi hai vế, chứng tỏ biểu thức thứ ba Trình bày lời giải  Biến đổi vế phải VP =  Biến đổi vế trái VT = = ( a + b) ( a + c ) ( a + b) ( a + c ) a + b = = (1) 3b ( c + a) - a ( a + c) ( a + c) ( 3b - a) 3b - a a ( a + 3b) ( a - 3b) ( 2a + b) + ( a - 3b) ( a + 3b) - ( a - 3b) a 2a + b - a - b a +b = = a - 3b a - 3b a - 3b 3b - a (2) Từ (1) (2) ta có vế trái vế phải, suy điều phải chứng minh III TỪ ĐIỀU KIỆN TẠO RA THÀNH PHẦN MỘT VẾ Ví dụ Cho a b c + + = Chứng minh rằng: b +c c + a a +c a2 b2 c2 + + =0 b +c c + a a +c Giải Tìm cách giải Quan sát kĩ phần giả thiết phần kết luận Chúng ta thấy có phần giống phần khác Từ giả thiết tạo vế trái đẳng thức Do từ giả thiết cần nhân với phận thích hợp để tạo vế trái đẳng thức, sau biến đổi phần cịn lại triệt tiêu Trình bày lời giải Từ giả thiết, nhân hai vế với a + b + c ổa b c ữ ị ỗ + + ữ ỗ ữ.( a + b + c) = a + b + c ỗ ốb + c c + a a + b ø a2 b2 c2 Þ +a + + b +c + = a +b +c b +c c +a a +b Þ a2 b2 c2 + + =0 b +c c +a a +b Điều phải chứng minh Nhận xét Quan sát mẫu thức: b + c; c + a; a + b ta thấy chúng khơng thể dấu Nên ta thay kết luận kết luận: ba số a, b, c có số âm, số dương IV PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Ví dụ Với a, b, c số thực khác thỏa mãn đẳng thức ( a + b) ( b + c) ( c + a) = 8abc Chứng minh rằng: a b c ab bc ca + + = + + + a + b b + c c + a ( a + b) ( b + c ) ( b + c ) ( c + a) ( c + a) ( a + b ) (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2013 - 2014) Giải Tìm cách giải Bài tốn chứng minh đẳng thức có điều kiện Bài tốn vận dụng điều kiện biến đổi hai vế biểu thức thứ ba Tuy nhiên, ví dụ sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp biến đổi tương đương muốn chứng minh A = B, chứng minh A = B C = D ị ẳ X = Y Nếu X = Y hiển nhiên giả thiết, chúngta kết luận A = B Trình bày lời giải Biến đổi tương đương: a b c ab bc ca + + = + + + a + b b + c c + a ( a + b) ( b + c ) ( b + c ) ( c + a) ( c + a) ( a + b ) Û a ỉ b b ỉ c c ỉ a ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 1+ 1+ 1= ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ b +c ứ b +c ố ỗ c +aứ c +a ố ỗ a +bứ a +b è Û ac ba cb + + = ( a + b) ( b + c ) ( b + c ) ( c + a ) ( c + a ) ( a + b ) Û ac ( a + c) + ba ( b + a) + cb ( c + b) = ( a + b) ( b + c ) ( c + a) Û ac ( a + c) + ba ( b + a) + cb ( c + b) = 6abc Û ac ( a + c) + b ( a + b + c) ( a = c ) = 8abc Û ( a + c) ( ac + ab + b2 + bc) = 8abc Û ( a + c) ( b + c) ( b + a) = 8abc Đẳng thức nên điều phải chứng minh V PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Ví dụ Với a, b, c số thực khác thỏa mãn đẳng thức ( a + b) ( b + c) ( c + a) = 8abc Chứng minh rằng: a b c ab bc ca + + = + + + a + b b + c c + a ( a + b) ( b + c ) ( b + c ) ( c + a) ( c + a) ( a + b ) (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2013 - 2014) Giải Tìm cách giải Ví dụ này, phần trước chứng minh phương pháp biến đổi tương đương Trong phần này, sử dụng phương pháp đổi biến để giải Quan sát phần kết luận, nhận thấy hai vế đẳng thức có phần giống nhau: vế trái tổng ba phân thức, phần biến vế phải tích cặp hai phân thức ba phân thức ấy, nghĩ tới đặt biến phụ: Đặt x= a b c ;y = ;z = cần chứng minh x + y + z = + xy + yz + zx Do ta có lời giải a +b b +c c +a đẹp sau: Trình bày lời giải Đặt x = a b c ;y = ;z = Từ giả thiết, suy xyz = a +b b +c c +a Ta có: - x =1 - a b b c c a = ;1- y =1 = ;1- z =1 = ; a +b a +b b +c b +c c +a c +a Từ suy ra: xyz = ( 1- x ) ( - y) ( - z) Û xyz = 1- ( x + y + z) +( xy + yz + zx ) Û x + y + z = + xy + yz + zx Vậy a b c ab bc ca + + = + + + a + b b + c c + a ( a + b ) ( b + c ) ( b + c ) ( c + a) ( c + a) ( a + b ) Điều phải chứng minh Ví dụ Cho a, b, c ba số thực phân biệt Chứng minh rằng: 3+ ( a + b ) ( b + c ) ( b + c ) ( c + a ) ( 2c + a ) ( a + b ) a + b b + c c + a + + = + + a- b b- c c- a ( a - b) ( b - c ) ( b - c ) ( c - a) ( c - a) ( a - b) Giải Tìm cách giải Quan sát phần kết luận, nhận thấy hai vế đẳng thức có phần giống nhau: vế phải tổng ba phân thức, phần biến vế trái tích cặp hai phân thức ba phân thức Do ví dụ trước nghĩ tới đặt biến phụ: Đặt x = 2a + b 2b + c 2c + a ;y = ;z = cần chứng a- b b- c c- a minh + xy + yz + zx = x + y + z Do ta có lời giải đẹp sau: Trình bày lời giải Đặt x = 2a + b 2b + c 2c + a ;y = ;z = a- b b- c c- a Khi x +1 = Và x - = 3a 3b 3c ; y +1 = ; z +1 = a- b- c c- a 3b 3c 3c ;y- = ;z - = a- b b- c c- a Từ suy ( x +1) ( y +1) ( z +1) = ( x - 2) ( y - 2) ( z - 2) Khai triển rút gọn ta được: + 3( xy + yz + zx ) = 3( x + y + z ) Û + xy + yz + zx = x + y + z Suy ra: + ( a + b ) ( b + c ) ( b + c ) ( c + a ) ( c + a ) ( a + b ) a + b b + c 2c + a + + = + + a- b b- c c- a ( a - b) ( b - c ) ( b - c) ( c - a ) ( c - a) ( a - b ) Điều phải chứng minh VI PHÂN TÍCH ĐI LÊN TỪ KẾT LUẬN Ví dụ Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn hệ thức: b2 + c - a a2 + c - b a2 + b2 - c + + =1 2bc 2ca ab Chứng minh rằng: a) Trong ba số a, b, c tồn số tổng hai số lại b) Trong ba phân thức trên, tồn hai phân thức 1, phân thức -1 Giải Tìm cách giải Đọc kỹ phần kết luận câu a, nhận thấy phần chứng minh tương đương với: a = b +c b = c +a c = a +b Û b +c - a = c +a- b = a + b - c = Û ( b + c - a) ( c + a - b) ( a + b - c ) = Với suy nghĩ ấy, biến đổi giả thiết định hướng biến đổi phân tích đa thức thành nhân tử để đưa ( b + c - a) ( c + a - b) ( a + b - c ) = Trình bày lời giải a) Từ giả thiết: Û a + b2 - c b2 + c - a c + a - b + + =1 ab bc 2ac a2 + b2 - c b2 + c2 - a2 c + a2 - b2 - 1+ - 1+ +1 = ab bc ac ( a - b) - c 2 Û Û 2ab ( b - c) - a 2 + 2bc ( a - b - c) ( a - b + c) 2ab + ( a + c) - b2 + 2ac =0 ( b - c - a) ( b - c + a) 2bc + ( a + c - b) ( a + c + b) ac =0 Û c ( a - b - c) ( a - b + c ) + a ( b - c - a ) ( b - c + a ) + b ( a + c - b ) ( a + c + b ) = Û ( a - b + c) ( c ( a - b - c ) - a ( b - c + a ) + b ( a + b + c ) ) = Û ( a - b + c) ( ac - bc - c - a ( b - c + a) + ab + b + bc) = Û ( a - b + c) ( ac + ab + b - c - a ( b - c + a) ) = Û ( a - b + c ) ( a + b - c ) ( b + c - a) = ìï a - b + c = ïï Û ïí a + b - c = Û ïï ïỵï b + c - a = ìï a + c = b ïï ïí a + b = c ïï ïỵï b + c = a Vậy ba số a, b, c có số tổng hai số cịn lại b) Khơng giảm tính tổng quát, giả sử a = b + c 2 a2 + b2 - c ( b + c) + b - c bc + b2 = = =1 ; - Xét ab ( b + c) b bc + b 2 2 b + c - ( b + c) - 2bc - Xét b + c - a = = =- ; 2bc 2bc bc 2 c + a - b c +( b + c ) - b 2c + 2bc = = =1 - Xét 2ac ( b + c) c 2c + bc Vậy ba phân thức có phân thức -1; hai phân thức lại VIII PHƯƠNG PHÁP TÁCH Ví dụ Biết a ¹ - b, b ¹ - c, c ¹ - a Chứng minh rằng: b2 - c c2 - a2 a2 - b2 b- c c- a a- b + + = + + ( a + b) ( a + c ) ( b + c ) ( b + c ) ( c + a ) ( c + b ) b + c c + a a + b Giải Tìm cách giải Quan sát đẳng thức này, có ba cách giải: Cách Bién đổi hai vế biểu thức thứ ba Cách dài cho kết biểu thức thứ ba đẹp Cách Sử dụng phương pháp đổi biến Nhận thấy hai vế có phần mẫu đặt biến phụ được, Đặt a + b = z; a + c = y; b + c = x , sau biến đổi tử thức theo x, y, z Ta có lời giải hay Cách Nhận thấy rằng, vế trái đẳng thức tách tử thức để đưa phân thức thành tổng hai phân thức có mẫu thức trùng với hai ba mẫu thức vế phải Với cách suy luận có lời giải hay Trình bày lời giải Cách Xét vế trái: b2 - c c - a2 a2 - b2 + + ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a) ( c + a ) ( c + b ) (b = - c ) ( b + c ) +( c - a ) ( c + a) + ( a - b ) ( a + b ) ( a + b) ( a + c ) ( b + c) = b3 + b 2c - bc - c + c3 + ac - a2 c - a3 + a3 + a2 b - ab - b3 ( a + b) ( a + c ) ( b + c ) = b 2c - bc + ac - a 2c + a2 b - ab ( a + b) ( a + c) ( b + c) = bc ( b - c) - a ( b + c) ( b - c) + a ( b - c) ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b - c) ( bc - ab - ac + a2 ) ( b - c) ( c - a) ( b - a) = = ( a + b) ( a + c ) ( b + c ) ( a + b) ( a + c ) ( b + c ) (1) Xét vế phải: b - c c - a a - b ( b - c ) ( c + a ) +( c - a ) ( b + c ) a - b + + = + b +c c + a a +b a +b ( b + c ) ( c + a) = bc + ab - c - ac + bc + c - ab - ac a - b + a +b ( b + c) ( c + a) = 2bc - 2ac a - b 2c ( b - a) ( a + b) +( a - b) ( b + c) ( c + a) + = ( b + c ) ( c + a) a + b ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) = ù ( b - a) é ë2c ( a + b) - ( b + c) ( c + a) û ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) ( b - a) ( 2ac + 2bc - bc - ab - c - ac) ( b - a) ( ac - ab + bc - c ) = = ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) = ( b - a) ( c - a) ( b - c ) ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) (2) Từ (1) (2) suy ra: b2 - c c2 - a2 a2 - b2 b- c c- a a- b + + = + + ( a + b) ( a + c ) ( b + c ) ( b + c ) ( c + a ) ( c + b ) b + c c + a a + b æ( b - a) ( c - a) ( b - c) ÷ ÷ ç =ç ÷ ç ÷ ç a + b b + c c + a ( ) ( ) ( ) è ø Vế trái vế phải điều phải chứng minh Cách Đặt a + b = z; a + c = y; b + c = x Đẳng thức chứng minh tương đương với: x ( z - y) y ( x - z) z ( y - x ) x - z y - x z - y + + = + + yz xz xy y z x Biến đổi vế trái ta có: xz - xy xy - yz yz - xz + + yz xz xy x x y y z z z- y x- z y- z - + - + - = + + y z z x x y x y x Vế trái vế phải điều phải chứng minh Cách Ta có: b2 - c b2 - a2 a2 - c2 b- a a- c = + = + ( a + b) ( a + c ) ( a + b) ( a + c ) ( a + b ) ( a + c ) a + c a + b (3) Tương tự, ta có: c2 - a2 c- b b- a = + (4) ( b + c ) ( b + a) b + a b + c a2 - b2 a- c c- b = + ( c + a) ( c + b ) c + b c + a (5) Từ (3) (4) (5) cộng vế với vế, ta có điều phải chứng minh C Bài tập vận dụng 14.1 Đặt a + b + c = p Chứng minh rằng: 1 abc + + = p - a p - b p - c p ( p - a) ( p - b) ( p - c ) 14.2 Cho a + b + c = 1; a + b + c = x y z = = a b c Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 14.3 Cho a, b, c khác thỏa mãn a + b + c = 1 ỉ 1 1ư + + =ỗ + + ữ ữ ỗ ữ ç è a b c a b cø Chứng minh rằng: 14.4 Cho a, b, c khác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a2 + b b + c c + a a3 b c + + = + + a +b b +c c +a bc ca ab x - 3y y - 3x = 14.5 Cho với x; y ¹ 0; x; y ¹ ; x ¹ y x ( - 3y) y ( 1- 3x ) Chứng minh rằng: 1 + = x +y+ x y 14.6 Cho a + b2 + c = ( a + b + c) Chứng minh rằng: a) a2 b2 c2 + + =1 a2 + 2bc b2 + 2ac c + 2ab b) bc ca ab + + =1 a + 2bc b + 2ac c + 2ab 14.7 Cho ba số a, b, c thỏa mãn b ¹ c; a + b ¹ c a + b = ( a + b - c) Chứng minh đẳng thức a +( a - c ) b +( b - c ) = a- c b- c 14.8 Chứng minh ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2020 1 1 + + = x y z 2020 ba số x, y, z phải 2020 14.9 Cho số thực a, b, c khác đôi thỏa mãn điều kiện a - b = b2 - c = c - a Chứng minh rằng: ( a + b +1) ( b + c +1) ( c + a +1) =- (Thi học sinh giỏi Toán, Nam Định, năm học 2011 - 2012) 14.10 Cho x, y, z khác khơng, khác đơi zx ¹ 1; yz ¹ thỏa mãn điều kiện: x - yz y - xz = x ( - yz) y ( - xz) 1 Chứng minh x + y + z = + + x y z 1 14.11 Cho x, y hai số thực khác cho x + ; y + số nguyên Chứng minh x y x 3y3 + ẻ Â x y 3 14.12 Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz Chứng minh rằng: xyz ( x + y + 3z) x 2y 3z + + = 2 1+ x 1+ y 1+z ( x + y) ( y + z ) ( z + x ) (Tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2012 - 2013) 14.13 Với n nguyên dương, chứng minh rằng: 13 n + n +1 n + n + + + + = 1.2 2.3 3.4 n ( n +1) n +1 14.14 Giả sử x, y số thực dương phân biệt thỏa mãn y y2 y4 y8 + + + = Chứng minh rằng: y = x x + y x + y x + y x - y8 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội năm học 2014 - 2015) 14.15 Cho a, b, x, y thỏa mãn x y4 + = x + y = a b a +b x 2n y2 n Chứng minh n + n = n với n số nguyên dương a b ( a + b) 14.16 Cho a, b, c đôi khác đa thức: P( x) = a ( x - b) ( x - c ) ( x - a) ( x - c ) ( x - a ) ( x - b ) +b +c ( a - b) ( a - c ) ( b - a) ( b - c ) ( c - a) ( c - b) Q( x) = a2 ( x - b) ( x - c ) ( x - a ) ( x - c ) ( x - a) ( x - b ) +b +c ( a - b) ( a - c ) ( b - a) ( b - c ) ( c - a) ( c - b ) Chứng minh rằng: P ( x ) = Q ( x ) 14.17 Cho x, y, z số thực khác thỏa mãn 1 xy zx yz + + = Chứng minh rằng: + + = x y z z y x (Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Trà Vinh, năm học 2008 - 2009) 14.18 Cho x y z + + = Chứng minh rằng: y +z z + x x + y x2 y2 z2 + + = x +y+z y +z z +x x +y 14.19 Cho a, b, c đôi khác khác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a +b æ a- b b- c c- aử 2c ữ ỗ + + = + ữ ỗ ữ ốa + b b + c c + a ứ a- b ỗ abc Hướng dẫn giải – đáp số 14.1 Xét vế trái: 1 p- b + p- a p - p +c + + = + p - a p - b p - c ( p - a) ( p - b ) p ( p - c) = c ( p - a) ( p - b) + c ép ( p - c) +( p - a) ( p - b) ù c û = ë p ( p - c) p ( p - a) ( p - b) ( p - c ) cé p - p ( a + b + c) + ab ù abc ê ú ë û= = p ( p - a) ( p - b ) ( p - c ) p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) Vế trái vế phải, suy điều phải chứng minh 14.2 Từ a + b + c = Þ ( a + b + c ) =1 Þ a + b + c + ( ab + bc + ca) = Mà a = b + c = nên ab + bc + ca = Đặt x y z = = = k suy x = ak ; y = bk ; z = ck a b c 2 2 Xét xy + yz + zx = abk + bck + cak = k ( ab + bc + ca) = k = ỉ 1 1ư 1 2 14.3 Tht vy, ta cú: ỗ + + ữ = 2+ 2+ 2+ + + ữ ỗ ữ ỗ èa b c ø a b c ab bc ca = 1 ( a + b + c) (vì a + b + c = ) + + + a b2 c ab + bc + ca = 1 + 2+ 2 a b c Ta có điều phải chứng minh 1 + + số hữu tỉ nên bạn chứng minh tốn a b c Nhận xét Nếu a, b, c số hữu tỉ sau: Cho a, b, c số hữu tỉ khác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: 1 + + bình phương a b c số hữu tỉ Nếu đặt a = x - y; b = y - z; c = z - x ta tốn hay khó sau: Chứng minh ( x - y) + ( y - z) + ( z - x) bình phương số hữu tỉ 14.4 Từ a + b =- c Þ a = b + 2ab = c Þ a + b = c - 2ab Suy a2 + b2 c - ab ab = =- c + a +b -c c b2 + c 2bc c + a 2ca =a + ; =- a + Tương tự ta có: b +c a c +a b Từ suy vế trái là: 2 2 2 ab 2bc 2ca ( a b + b c + c a ) VT =- a - b - c + + + = c a b acb (1) Mặt khác ta có: ( a + b + c) = Þ a + b + c =- ( ab + bc + ca) Bình phương hai vế ta được: a + b4 + c + ( a b + b 2c + c a ) = 4a2b + 4b2c + 4c a + 8abc ( a + b + c ) Þ a + b + c = ( a2 b2 + b2c + c a ) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2 14.5 Từ giả thiết suy ( x - 3y) ( y - 3xy) = ( y - 3x ) ( x - 3xy) Û x y - x y - 3y + xy = xy - 3xy + x y Û xy - x y + xy3 - x y - y + x = Û ( y - x ) ( xy + 3xy) ( y + x ) - 3( x + y) = Do x ¹ y nên xy + 3xy ( y + x ) - 3( y + x ) = Þ 3( y + x ) = xy ( y + x ) + xy Chia hai vế cho 3x; y khác 0, ta được: 1 + = x +y+ x y Điều phải chứng minh 14.6 Từ a + b + c = ( a + b + c) Þ a + b + c = a + b + c + ( ab + bc + ca) Suy ab + bc + ca = 2 Xét a + 2bc = a + 2bc - ab - bc - ca = a - ab - ca + bc = ( a - b) ( a - c ) 2 Tương tự ta có b + 2ac = ( b - c) ( b - a) ; c + 2ab = ( c - a) ( c - b) a) Xét vế trái ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + = + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) ( b - a) ( c - a ) ( c - b) a ( b - c) + b2 ( c - a) + c ( a - b) a2 ( b - c) + b 2c - ab + ac - bc = = ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) a2 ( b - c) + bc ( b - c) - a ( b + c) ( b - c ) ( b - c) ( a + bc - ab - ac) = = ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) = ( b - c ) ( a - b) ( a - c ) =1 ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) b) Xét vế trái, ta có: bc ca ab bc ca ab + + = + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) ( b - a) ( c - a) ( c - b) bc ( b - c) + ac ( c - a) + ab ( a - b) bc ( b - c ) + ac - a 2c + a 2b - ab = ( a - b ) ( a - c ) ( b - c) ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) bc ( b - c) + a2 ( b - c) - a ( b - c ) ( b + c ) ( b - c) ( bc + a - ab - ac) = = ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) = ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) =1 ( a - b) ( a - c ) ( b - c ) 14.7 Từ a + b = ( a + b - c) Þ a = ( a + b - c) - b ; b = ( a + b - c ) - a 2 2 Suy a +( a - c ) ( a + b - c ) - b +( a - c ) ( a + b - c ) ( a - c ) + ( a - c ) VT = = = 2 2 b +( b - c ) ( a + b - c ) - a +( b - c ) ( b + a - c ) ( b - c ) + ( b - c ) = 2 ( a - c ) ( a + b - 2c) a - c = = VP ( b - c ) ( a + b - 2c) b - c 2 14.8 Từ giả thiết ta có: 1 1 + + = x y z x + y +z Û ( yz + xz + xy) ( x + y + z) = xyz Û xyz + y z + yz + x z + xyz + xz + x y + xy + xyz = xyz Û xyz + y z + yz + x z + xyz + xz + x y + xy = Û yz ( x + y) + z ( x + y) + xz ( x + y) + xy ( x + y ) = ( x + y) ( yz + z + xz + xy) = Û ( x + y) ( y + z ) ( z + x ) = éx + y = ê y +z =0 Suy ê ê êx + z = ë Nếu x + y = từ x + y + z = 2020 Þ z = 2020 Nếu y + z = từ x + y + z = 2020 Þ x = 2020 Nếu x + z = từ x + y + z = 2020 Þ z = 2020 Suy điều phải chứng minh 2 2 14.9 Từ a - b = b - c = a - b = b - c Þ ( a = b) ( a - b) = b - c Þ a +b = b- c a- c Þ a + b +1 = a- b a- b (1) 2 Tương tự, từ a - b = c - a Þ a + c +1 = b - c = c - a Þ b + c +1 = b- a b- c b- c (2) a- c (3) Từ (1), (2) (3) nhân vế ta được: ( a + b +1) ( b + c +1) ( c + a +1) =- 14.10 Từ giả thiết, áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x - yz y - xz x - yz - y + xz ( x - y) ( x + y + z) = = = = x + y + z (1) x - xyz y - xyz x - xyz - y + xyz x- y x - yz y - xz x y - y z xy - x z x y - y z - xy + x z = = = = x - xyz y - xyz xy - xy 2z xy - x yz xy - xy 2z - xy + x yz = = xy ( x - y) + z ( x - y ) x yz - xy z 2 = xy + xz + yz 1 = + + xyz x y z ( x - y) ( xy + xz + yz) ( x - y) xyz (2) 1 Từ (1) (2) suy x + y + z = + + x y z ổ 1ử ổ 1ử ỗ x+ ữ y+ ữ ẻ Â xy + ẻ Â ữ ữ 14.11 T gi thit, suy ỗ ç ç ÷ ÷ ç ç y øè x ø xy ố ổ 1 ửổ ỗ xy + ÷ x y2 + 2 ÷ Xét x y + 3 = ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ç ÷ x y xy øè x y è 3 é ỉ ưỉ 1ư ê ÷ ữ ữ ỗ ỗ 1ữ xy + ữ xy + ữ ỗ ỗ ữ= ố ữ ữỗ ỗ ữ ữờ ÷ xy øè xy ø ø ê ë ù 3ú ú ú û 3 Suy x y + 14.12 Ta cú: Tng t: ẻ Â , iu phải chứng minh x y 3 x xyz xyz xyz = = = (1) 2 1+ x yz + x yz yz + x ( x + y + z ) ( x + y) ( x + z) 2y xyz = 1+ y ( y + z) ( y + x ) 3z xyz = 1+ z ( z + x ) ( z + y) (2) (3) Từ (1), (2) (3); cộng vế với vế, ta có: x 2y 3z xyz xyz 3xyz + + = + + 2 1+ x 1+y 1+z ( x + y) ( x + z ) ( y + z ) ( y + x ) ( z + x ) ( z + y ) = ù xyz é ëy + z + ( z + x ) + 3( x + y ) û= xyz ( x + y + 3z) ( x + y) ( y + z) ( z + x ) ( x + y) ( y + z ) ( z + x ) 1 Ngồi cách trên, bạn giải cách đặt a = ; b = ; c = , từ giả thiết, ta có ab = bc + ca = , đẳng x y z thức cần chứng minh tương đương với: a 2b 3c 5bc + 4ca + 3ab + + = 2 1+ a + b +c ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) Thay = ab = bc + ca vào mẫu vế trái, biến đổi vế trái ta điều phải chứng minh k + k +1 1 =1 + =1 + 14.13 Ta có: k ( k +1) k ( k +1) k k +1 Thay k = 1,2,3, , n ta được: ỉ ỉ 1ư ỉ 1ư ổ 1ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ç VT = ç +1 - ÷ + + + + + + + ÷ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ố ữ ố ữ ữ ỗ ỗ 3ứ ỗ 4ứ ç n n +1ø è è 2ø = n +1 - n2 + 2n = n +1 n +1 k + k +1 k = + Nhận xét Ta biến đổi tốn sau: k ( k +1) k k +1 Thay k = 1,2,3, , n ta được: ỉ 1ư æ æ æ 2ö 3ö n ö n n2 + n ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ç VT = ç1 + ÷ + ÷ + ữ + ữ ỗ ỗ ỗ ữ+ố ữ+ố ữ+ +è ÷= n + n +1 = n +1 ç ç2 ø ç3 ø çn n +1ø è 2ø y ( x - y ) + y8 y y2 + + 14.14 Ta có: = x + y x + y ( x + y )( x - y ) y2 ( x - y2 ) + y4 y y2 y4 y Û + + Û 4= + x + y x + y2 x - y4 x + y ( x - y )( x + y ) y ( x - y) + y y y2 Û 4= + = x + y x - y2 x - y2 Û 4= y Û x - y = y Û x = 5y x- y 4 x + y2 ) 14.15 Từ giả thiết ta có x + y = ( a b a +b Û b ( a + b) x + a ( a + b) y = ( x + y ) ab Û abx + b2 x + a2 y + aby = abx + 2abx y2 + aby Û b2 x - abx y + a2 y = Û ( bx - ay ) = Û bx - ay = Û theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Þ x y2 = a b x y2 x + y2 = = = a b a +b a +b x n y2 n x n y2 n = = Þ = n n n n n n a b a b ( a + b) ( a + b) 14.16 Xét P ( x ) = a ( x - b) ( x - c ) b ( x - a ) ( x - c ) c ( x - a ) ( x - b ) + + ( a - b) ( a - c ) ( b - a) ( b - c ) ( c - a) ( c - b) P( x) = a ( x - b) ( x - c ) ( c - b ) + b ( x - a ) ( x - c ) ( a - c ) + c ( x - a ) ( x - b ) ( b - a ) ( a - b) ( a - c) ( c - b) P( x) = a ( x - b) ( x - c ) ( c - b ) - b ( x - a) ( x - c ) ( c - b ) - b ( x - a ) ( x - c ) ( b - a ) + c ( x - a ) ( x - b ) ( b - a ) ( a - b) ( a - c ) ( c - b ) P( x) = ù é ù ( x - c) ( c - b) é ëa ( x - b) - b ( x - a) û- ( x - a) ( b - a) ëb ( x - c) - c ( x - b) û ( a - b) ( a - c) ( c - b) P( x) = ( x - c) ( c - b) ( ax - bx ) - x ( x - a) ( b - a) ( b - c) ( a - b ) ( a - c ) ( c - b) P( x) = ù x ( a - b) ( c - b ) é ë( x - c) - ( x - a) û= x ( a - b) ( c - b) ( a - c) = x ( a - b) ( a - c) ( c - b) ( a - b) ( a - c ) ( c - b ) * Xét Q ( x ) = Q( x) = a ( x - b) ( x - c ) b ( x - a ) ( x - c ) c ( x - a ) ( x - b ) + + ( a - b) ( a - c ) ( b - a) ( b - c ) ( c - a ) ( c - b) a ( x - b) ( x - c ) ( c - b ) + b ( x - a ) ( x - c ) ( a - c ) + c ( x - a ) ( x - c ) ( b - a ) ( a - b) ( a - c ) ( c - b ) Xét tử số: a ( x - b) ( x - c ) ( c - b ) + b ( x - a ) ( x - c ) ( a - c ) + c ( x - a ) ( x - c ) ( b - a ) = a ( x - b) ( x - c ) ( c - b) - b ( x - a ) ( x - c ) ( c - b ) - b ( x - a ) ( x - c ) ( b - a ) + c ( x - a ) ( x - b ) ( b - a ) 2 ù- ( x - a) ( b - a) éb ( x - c ) - c ( x - b) ù = ( x - c ) ( c - b) é ê ê ú ëa ( x - b) - b ( x - a) ú û ë û = ( x - c) ( c - b) ( a - b) ( ax + bx - ab) - ( x - a) ( b - a) ( b - c ) ( bx + cx - bc ) ù = ( a - b) ( c - b ) é ë( x - c) ( ax + bc - ab) - ( x - a) ( bc + cx - bc) û 2 2 ù = ( a - b) ( c - b ) é ê ëax + bx - abx - acx - bcx + abc - bx - cx + bcx + abx + acx - abc ú û 2ù = ( a - b) ( c - b ) é ê ëax - cx ú û= x ( a - b) ( c - b) ( a - c) x ( a - b) ( c - b) ( a - c ) Þ Q( x) = = x2 a b a c c b ( )( )( ) Vậy suy P ( x ) = Q ( x ) 14.17 Từ giả thiết, suy xy + yz + zx = Đặt xy = a; yz = b; zx = c , đó: Dễ dàng chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc xy yz zx a3 + b3 + c + + = = , điều phải chứng minh z2 x y2 abc ỉx y z ÷ + + ữ 14.18 T gi thit suy ỗ ç ÷.( x + y + z) = ( x + y + z ) ỗ ữ ốy + z z + x x + y ø Û x2 y2 z2 +x + +y+ + z = x + y + 2z y +z z+x x+y Û x2 y2 z2 + + = x + y + z Điều phải chứng minh y +z z + x x + y 14.19 Biến đối vế trái: a +b a - b a +b æ b- c c- aử ữ ỗ + + ữ ỗ ỗ ố ø a - b a +b a - b b +c c +a ÷ =1+ c ỉ c- b a- cư c ỉ bc - b + a - ac ữ ỗ ữ ỗ ữ + = + ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ a ữ b- aố b ứ b- aỗ ab ố ứ =1+ c ( a - b) ( a + b - c ) - c ( a - b) ( - c - c ) 2c 2c =1+ =1+ =1 + b- a ab a- b ab ab abc Vế trái vế phải, ta có điều phải chứng minh