Chuyên đề các bài toán về phân số (53 trang)

1 CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phân số biểu diễn số hữu tỉ dạng tỉ lệ hai số nguyên, số gọi tử số, số gọi mẫu số Điều kiện bắt buộc mẫu số phải khác Kí hiệu a đó: a tử số; b mẫu số ( a , b số nguyên, b  ) b Tính chất phân: a  a 1 ;  a a So sánh phân số Cho phân số a c , b, d  b d Trong hai phân số có mẫu dương, phân số có tử lớn lớn Muốn so sánh hai phân số không mẫu, ta viết chúng dạng hai phân số mẫu dương so sánh tử lại với nhau: phân số có tử lớn lớn Từ lý thyết ta rút nhận xét sau: Phân số có tử mẫu số nguyên dấu lớn Phân số có tử mẫu số nguyên khác dấu nhỏ Nếu ad  bc a c   a, b, c, d   b d Nếu ad  bc a c   a, b, c, d   b d Nếu ad  bc a c   a, b, c, d   b d Nếu hai phân số có mẫu số phân số có tử số lớn lớn Nếu hai phân số có tử số phân số có mẫu số lớn phân số nhỏ Kết hợp vận dụng Tính chất bắc cầu thứ tự: a c c m a m  , việc phát   b d d n b n số trung gian để làm cầu nối quan trọng Một số tính chất tỉ số Với số thực dương a, b ta ln có a  b  Với số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: Nếu a ac a   b bc b 1  a b Nếu a ac a   b bc b Nếu a c a ac c    b d b bd d Một số công thức hay dùng 1 a 1   ;   n  n  1 n n  n  n  a  n n  a 2a 1   n  n  a  n  2a  n  n  a   n  a  n  2a  1 1      1 1.2 2.3 n  n  1 n 1 1 k     n  n  a   n  a  n  2a   n   k  1 a   n  ka  n  n  ka   1 1 1         1.2.3 2.3.4 n  n  1 n   1.2  n  1 n     1 1 1         1.2.3.4 2.3.4.5  n  1 n  n  1 n   1.2.3 n  n  1 n    II CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Rút gọn phân số Ví dụ 1.1: Rút gọn phân số sau: 10.11  50.55  70.77 11.12  55.60  77.84 Phân tích: Để giải ta cần phân tích tử mẫu thành tích cách áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng trừ a  b  c   ab  ac Lời giải: Ta có: 10.11  50.55  70.77 10.11  5.10.11.5  7.10.11.7 10.111  5.5  7.7  10     11.12  55.60  77.84 11.12  11.5.12.5  11.7.12.7 11.12 1  5.5  7.7  12 Ví dụ 1.2: Tìm số tự nhiên a b biết Lời giải: Ta có: a 36  , BCNN  a, b   300 b 45 a 36 a  4k , (k     b 45 b  5k * ) Mà BCNN  a, b   300  BCNN  4k ,5k   4.5.k  300  k  15 a  4.15  60  b  5.15  75 Vậy a  60; b  75 Ví dụ 1.3: Tìm số tự nhiên n để phân số A  n  10 có giá trị số nguyên 2n  Lời giải: Để phân số A có giá trị số ngun  n  10  2n  8   n  10  n  4   n  4  14  n  4  14  n  4  n   Ư 14  Ư 14  1;  2;  7;  14 Mặt khác, n số tự nhiên nên n   4  n  2; 1;1;2;7;14 Ta có bảng sau: n4 1 2 14 n 11 18 A 15 13 2 16 4 3 21 14 ( loại ) ( loại) ( loại) Vậy n 2;6;18 Bình luận: - Ngồi cách lập bảng ta để ý rằng:  n  10  2n  8   n  10 2  n     n  10  Kết hợp với  n  4 2; 1;1;2;7;14  n 2; 3; 5; 6;11; 18  n 2;6;18 - Đối với toán với n 5;3;11 số ngun thay vào A khơng giá trị nguyên vì: theo  n  10   2n  8   n  10  n  4 khơng có điều ngược lại Bài tốn tổng qt: Tìm số tự nhiên n cho An có giá trị nguyên B n Cách làm: A n  d    b    a, b, d  B  n a  C  n     C n  Ö d  Nếu a  ta tìm n kết luận Nếu a  ta tìm n cần thử lại kết luận Ví dụ 1.4: Chứng minh phân số 2n  tối giản với số tự nhiên n 4n  Phân tích: Để chứng minh phân số phân tối giản ta cần chứng minh ước chung lớn tử mẫu phải Lời giải: Thật vậy,  2n  d  4n  d   d  d 1; 2 Giả sử ÖCLN  2n  3, 4n  8  d    4n  d  4n  d Vì 2n  số tự nhiên lẻ nên  d  Vậy d  nên phân số 2n  phân số tối giản với số tự nhiên n 4n  Ví dụ 1.5: Tìm số tự nhiên n để phân số A  21n  rút gọn 6n  Lời giải: Gọi d ước nguyên tố 21n  6n   21n  3 d   42n   d    22 d  d 2;11 42 n  28 d    6n   d   Nếu d  ta thấy  6n   n  21n  3 n lẻ Nếu d  11  21n  3 11   22n  n  3 11   n  3 11  n   11k  n  11k   k   Với n  11k  6n   11k  3    66k  22  11   6n   11 Vậy n lẻ n  11k  phân số A  21n  rút gọn 6n  Bài toán tổng quát: Đối với toán: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản rút gọn được” ta làm sau:  Gọi d ước nguyên tố tử mẫu  Dùng phép toán cộng, trừ, nhân để khử n để từ tìm d Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản” ta tìm n để tử số mẫu số không chia hết cho ước nguyên tố Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được” ta tìm n để tử số mẫu số chia hết cho ước nguyên tố Ví dụ 1.6: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho: a b 12 c  ;  ;  b c 21 d 11 Lời giải: Ta có: a b  a  3m  b  5m  4n  b 12        c 21 c  n  6k c d  11k  d  11   m, n, k    4n n  n  BC  5,  mặt khác a, b, c, d nhỏ nên Suy  mà  4,5  1;  6,7     7 n n n  BCNN  5,6   n  5.6  30  m  24; k  35  a  72; b  120; c  210; d  385 Dạng 2: Tính nhanh tổng phân số Phương pháp khử liên tiếp Áp dụng công thức 1 1 1     a.b b  a  a b  Ví dụ 2.1: Tính tổng sau a) S 1 1     1.2 2.3 3.4 98.99 b) S 1 1      1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 c) 11 19 649 S      12 20 650 Lời giải: a) S  1 1 1 1 1 1 98               1  1.2 2.3 3.4 98.99 2 3 98 99 99 99 b) S  1 1      1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 1 1 1 1  49  S               1 3 5 7 97 99  99 11 19 649 c) S      12 20 650 1 1 S           12 20 650 1 1  1 1  S  25      25          2.3 3.4 25.26 25 26  2 3 319 1   S  25      25   13 13  26  Ví dụ 2.2: Tính tổng sau S 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 Lời giải: S 1 1 2 2      2S      1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1   1   1   1   2S                  1      98  97 98  1   1   1   1  1 2425  2S                     1      98  97 99  98.99 4851 S  2425 9702 Ví dụ 2.3: Tính tổng sau S  1 11 19 29 41 55 71 89 109        12 20 30 42 56 72 90 Lời giải: S  1 11 19 29 41 55 71 89 109        12 20 30 42 56 72 90 11 13 15 19 19  S  1   1 1  1 1  1 1  1 12 20 30 42 56 72 90 11 13 15 17 19  S  1        12 20 30 42 56 72 90  S  1  3  4  5  6  7  8  9  10        2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1  S  1                   4 5 6 7 8 9 10 10 Ví dụ 2.4: Tính tổng sau S  19  2  2  2   2 2 3 4 10 Lời giải: 22  12 32  22 42  32 52  42 102  92 S  2  2  2  2   2 2 3 4 10 S  1 1 1 1 99            2 3 10 100 100 Tính nhanh dạng tích Ví dụ 2.5: Tính tổng sau a)     1    S  1  1  1  1  1   1          99  b)        S  1  1  1  1   1         100  Lời giải: 1     15 24 35 9800  1  1  a) S  1   1   1   1  1   1       99      16   25  36   9901  16 25 36 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 1.2.3.4.5 98 3.4.5.6.7 100 100 50            2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 99.99 2.3.4.5.6 99 2.3.4.5.6 99 99 99 1 1        b) S  1  1  1  1            100  101 101  S   100 Tính tổng dãy số có số sau số hạng liền trước nhân với số khơng đổi Phương pháp: Tính S  u1  u1q  u1q   u1q n  q  1  qS  u1q  u1q  u1q3   u1q n1  1  q  S  u1  u1q n 1 S  u1 1  q n 1  1 q Ví dụ 2.6: Tính tổng sau S 1 1      16 512 Lời giải: S 1 1 1 1 1       2S        16 512 16 256  S  1 511  512 512 Dãy có số cách Ví dụ 2.7: Tính tổng sau S 1 1     1 1  1       50 Lời giải: Sử dụng kết     n  S n(n  1) ,n * 1 1     2.3 3.4 4.5 50.51 2 2 S  2 2     2.3 3.4 4.5 50.51 1 1 1  1  49  S               50 51  2 3  51  51 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức phân số Ví dụ 3.1: Chứng minh: 11 12 13 20     1.3.5 17.19 2 2 Phân tích: Vế trái tích phân số với tử số số tự nhiên liên tiếp, mẫu số Vế phải tích số tự nhiên lẻ liên tiếp Từ nhận xét này, ta nghĩ đến việc biến đổi vế phải thành vế trái cách thêm bớt số chẵn xen kẽ chúng Lời giải VP  1.3.5 17.19   1.2.3.4.5 17.18.19.20 1.2.3.4.5 17.18.19.20  2.4.6.8 18.20 1.2   2.2   2.3  2.4   2.9   2.10 1.2 9.10.11.12 19.20 11 12 13 20      VT (Đpcm) 1.2 9.10 2.2 2 2 10 thừa số Bình luận: Đây dạng tốn hay gặp chứng minh đẳng thức liên quan đến phân số, giá trị cụ thể vế khó tính, có nhiều chữ số Tuy nhiên cách sử dụng thêm bớt, tính chất giao hoán, kết hợp phép nhân, ta chứng minh đẳng thức mà khơng cần tính giá trị cụ thể vế Tổng quát hóa: Chứng minh: 1.3.5  2n  1  Ví dụ 3.2: Chứng minh: n 1 n  n  2n    với n  1, n  2 2 7.9  14.27  21.36  21.27  42.81  63.108 Phân tích: Tử số mẫu số vế trái có dạng tổng tích, ta nghĩ tới việc phân tích tử, mẫu để nhân tử chung rút gọn Lời giải Ta có VT  7.9  14.27  21.36 7.9  14.27  21.36 7.9  14.27  21.36    2 21.27  42.81  63.108 7.9  14.27  21.36  7.9  14.27  21.36  (Đpcm) Bình luận: Đối với dạng tốn này, ta phải để ý xem tử số mẫu số có đặc điểm giống khác nhau, từ vận dụng tính chất học để đưa chúng dạng tích để rút gọn 18 19       20 Ví dụ 3.3: Chứng minh rằng: 19 18 17 1 1     20 Phân tích: Nhận thấy mẫu số vế trái tổng phân số có tử 1, mẫu số số tự nhiên liên tiếp, nên việc tính kết mẫu số gặp nhiều khó khăn, việc phân tích mẫu số khơng khả thi, từ ta nghĩ đến việc phân tích tử số theo mẫu số Tử số tổng 10 phân số có tính chất đặc biệt: tử cộng mẫu phân số tử giống 20, nên ta nghĩ đến việc cộng tất phân số tử số cho Lời giải Ta có  18 19   2     18   19          1    1    1     1    1  19 19 18 17  19   18   17  2  1  20 20 20 20 20 1  20 1 1 1 1       19  20         20        19 18 17 2  20  19 18 17  19 18 17 1  1 1  20        2  20 19 18 17 18 19 20               2  20 19 18 17  Vậy 19 18 17  20 (Đpcm) 1 1 1 1         20 20 Bình luận: Tử số tổng phân số có tính chất đặc biệt, tổng tử mẫu phân thức ta cộng phân thức cho 1, hiệu tử mẫu phân thức ta trừ phân thức cho 1 1 1 1 1 Ví dụ 3.4: Chứng minh rằng:            19 20 11 12 13 20 Phân tích: Vế trái tổng hiệu xen kẽ phân số mà mẫu số số tự nhiên liên tiếp, vế phải tổng phân số mà mẫu số số tự nhiên liên tiếp Từ ta nghĩ đến việc biến đổi vế trái thành vế phải cách tách tổng hiệu với thêm bớt đại lượng thích hợp Lời giải 1 1  1  1 1  Ta có VT         1           19 20  19   20   1  1 1   1  1                  19   20   20  2  1   1 1  1  1        1      19 20   10    1 1      VP (Đpcm) 11 12 13 20 Bình luận: Với dạng tốn này, ta việc nhóm tổng, hiệu thêm bớt phân số cách thích hợp 39 HƯỚNG DẪN 40 Bài Tìm tất số tự nhiên n để phân số 18n  rút gọn 21n  Lời giải Giả sử 18n  21n  chia hết cho số nguyên tố d  18n  d, 21n  d   21n    18n  3 d  21 d  d  U(21)  3;7 Mà 21n  không chia hết d  Ta lại có 21n  7  18n   18n   21  18  n  1 mà 18,7    n   n  7k  1 k  Vậy để phân số  18n  rút gọn n  7k  1 k  21n   Bài Tìm số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện: 11 a 23 8b  9a  31   17 b 29 Lời giải 8b  9a  31  b  31  9a 32   8a  a   8  a  8q  1 q   b   a  1 31  8q  1 11 8q  23  9q     17 9q  29 11 9q  5  17 8q  1  37q  38  q  29 8q  1  23  9q  5  25q  86  q   q 2;3 q 2 a 17  b 23 q  3 a 25  b 32 Bài Tìm x, biết: A x  5   x  1 9  x 1 B x  7 C x  5; 7 D x  Lời giải C 41 Bài Tìm x, biết: 3 2x     4.3 4.11 7.11 7.23 69 A x  B x  10 C x  20 Lời giải C Bài Tìm x, biết: x2 x2 x2 x2 x2      20 10 15 21 28 36 Lời giải x2 x2 x2 x 2 x 2      20 10 15 21 28 36  x2 x2 x2 x 2 x 2      10 20 30 42 56 72  x2 x2 x2 x 2 x 2      20 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 1 1   x       20 4 9   x    20 36  x   72  x  74 Bài Chứng tỏ 12n  phân số tối giản 30n  Lời giải Chứng tỏ 12n  phân số tối giản 30n  Gọi d ước chung 12n  30n  ta có: 12n  1   30n    chia hết cho d Vậy d  nên 12n  30n  nguyên tố Do đó: 12n  phân số tối giản 30n  Bài Cho phân số A  n 1 n  n 3 a) Tìm n để A phân số  D x  40 42 b) Tìm n để A phân số tối giản Lời giải a) A phân số n    n  b) Để A phân số tối giản UCLN (n  1, n  3)  Hay UCLN   n  3  4;n  3  Vì (2 ước nguyên tố) Nên để UCLN   n  3  4;n  3  n  không chia hết cho Suy n   2k  (k số nguyên) Hay n số chẵn Bài Tìm số nguyên x, biết: x x x x x x x x x x 220           10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 Lời giải x x x x x x x x x x 220           10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1  220 1 1 1  x              10 15 21 28 36 45 55 66 78  39 1 1 1 1  220 1  2x             12 20 30 42 56 72 90 110 132 156  39 1 1 1 1  220   2x             3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13  39 1  220 1 1  2x          12 13  39 3 4  1  220  2x      x  11  13  39 Bài Tìm số nguyên n để phân số 4n  có giá trị số nguyên 2n  Lời giải Ta có: 4n  4n   7  n 2n  2n  2n  Vì n  nên để 4n  nguyên  2n  1  U(7)  1; 7  n 3;0;1;4 2n  43 Bài 10 Tìm số nguyên n để P  n  số nguyên n 1 Lời giải P n  n   1   1  n 1 n 1 n 1 P    n  1    n  1  U(1)  1  n 0;2 Bài 11 Tìm số nguyên n để phân số M  2n  có giá tri số nguyên n 5 Lời giải M 2n  2n  10  3   2   n   U(3)  1; 3 n 5 n 5 n 5  n 2; 4;6;8 Bài 12 1  Tìm x biết:  x     3  Lời giải 1   x  x 2   1     Từ giả thiết ta có:  x           3  2  x    x     Bài 13 Tìm x số tự nhiên, biết: a) x 1  x 1 2 0,    3 11 b)x :      2  1,   11 Lời giải a) x 1 2    x  1  16   4  x 1 )x    x  )x   4  x  5(ktm) Vậy x  44 2 2 0,   0,   19   11  x :     11 b)x :       8  2  1,    2   0,      11 11    x  x2 Bài 14 Cho A  n 1 n4 a) Tìm n nguyên để A phân số b) Tìm n nguyên để A số nguyên Lời giải a) A  n 1 phân số n    n  4 n4 b) A  n 1 n   5   1 n4 n4 n4 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên  n    n    U  5  1; 5 Lập luận tìm n  9; 5; 3;1 Bài 15 Trung bình cộng tử số mẫu số phân số 68 Cộng thêm vào tử số phân số đơn vị ta phân số phân số A 84 52 B 76 60 Phân số lúc đầu là: 75 61 C Lời giải 15 D Bài 16 Tìm cặp số nguyên  x; y  biết: x 1  y 1 Lời giải Ta có: x x 5 1      x  5 y  1  5.1 y 1 y 1   x  5 y  1  5.1  1.5  5.(1)  (1).(5) Thay hết tất trường hợp ta có:  x; y    0;2 ;  4;6 ;  10;0  ;  6; 4  D 80 56 45 Bài 17 Tìm tất số nguyên n để: a) Phân số n 1 có giá trị số nguyên n2 b) Phân số 12n  phân số tối giản 30n  Lời giải a) n 1 số nguyên  n  1  n   n2 Ta có: n    n    ,  n  1  n    n    n  2  U(3)  3; 1;1;3  n 1;1;3;5 b) Gọi d ƯC 12n  30n   d  *  12n  d,30n  d 5 12n  1   30n   d   60n   60n   d  d mà d  *  d  Vậy phân số cho tối giản Bài 18 Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản 100 ; ; ; ; n  n  10 n  11 n  102 Lời giải Các phân số cho có dạng a , phân số tối giản nên n  a phải a   n  2 hai số nguyên tố Như n  phải số nguyên tố với số 7;8;9; ;100 n  phải số nhỏ Nên n  số nguyên tố nhỏ lớn 100  n   101  n  99 Bài 19 Cho hai số a b thỏa mãn: a  b   a  b   Chứng minh a  3b, Tính a b a Tìm a, b b Lời giải a  b   a  b  a b 46  a  b  2.a  2b  a  3b  a 3  b Từ tính a  9 ,b  4 Bài 20 Chứng minh 1    2 32 42  1 1002 Lời giải Ta có: 11 44   U(60)  1; 2;3; 4;5;6;10;1215; 20;30;60 1 1 15 60    ; 44 10 30 11 1 22 1.2 30  10   44         60 60 60 60 15 15 1 1 1 1    ; ;    2 3.4 100 99.100 99 100; Vậy 1    22 32 42  1 1     10 1.2 2.3 3.4 1 1  1      2 3 Bài 21 Chứng minh  1  99 100  1  99.100 99   100 1 1     n  2 2 Lời giải Ta có : 1 1    n n  n  1 n  n Áp dụng 2a3b ,  b 0; 2; 4;6;8 2a3b   2030 10a  b    a  b    a  b 1;4;7;10;13;16  2030 10a  b    2a  b  b   2a  a  0;7  a  b 0;7   a  b    2a    a   a  b  b    2a    a   a  b  b    2a    a   a  b  10 b    2a  8  a   a  b 11 47  1 1     n <   2 2 n Bài 22 So sánh giá trị biểu thức: A  9999 với số 99    10.000 Lời giải Biến đổi: 1 A  (1  )  (1  )   (1  ) 10000 = (1  1 )  (1  )   (1  ) 2 1002 = 99 - ( 1    ) = 99 - B 2 1002 Trong B  ( 1 1     ) 2 1002 Vì B  nên A  99 Bài 23 Cho M          So sánh M với 10 Lời giải M 1 1 1  10       2! 3! 4! 9! 10! 1 1 1 1 1  1 1 1  M  1                     2!   2! 3!   3! 4!   8! 9!   9! 10!  M  1 10! Vậy M  (vì  1 10! 9999 Bài 24 Cho A  So sánh A với 0, 01 10000 Lời giải 9999 10000 Đặt B  A  10000 10001 Vì 9999 10000  ;  ;  ; ;  10000 10001 9999   10000  1 Nên A  B mà A  0; B   A  A.B       10000   10001  2 9999 10000 1    A        0, 01 10000 10001 10001 10000  100  48 Hay A  0,01 Bài 25 Cho A  1 1 Chứng minh A      2 100 Lời giải A 1 1 1 1      2    2 100 2.3 3.4 99.100 A 1 1 1        2 3 99 100 A 1 1 1      A 2 100 100 Bài 26 Chứng minh rằng: 1 1 1       16 32 64 Lời giải A 1 1 1 1 1 1            16 32 64 22 23 24 25 26 1 1 1 2A        2 2 2  2A  A  3A   26  1    3A   A  2 Bài 27 So sánh: A  20132012  với 20132013  B 20132013  20132014  Lời giải  2013 A  2013  1 20132014  1 2012 2013  1 20132014  1 2013  1 20132013  1  2013 B  2013 2014  1 20132013  1  20134026  20132012  20132014   20132013  1 20132014  1  20134026  20132013  20132013   20132014  1 20132013  1 20132014  20132012  20132012  20132  1 20132013  20132013  20132012  2013  2013 Do 20132   2013  2013 nên A  B (Có thể chứng tỏ A  B  để kết luận A  B ) Cách khác: Có thể so sánh 2013A với 2013B trước Bài 28 Cho A  n 1 n4 a) Tìm n nguyên để A phân số 49 b) Tìm n nguyên để A số nguyên Lời giải a) A  n 1 phân số n    n  4 n4 b) A  n 1 n   5   1 n4 n4 n4 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên  n    n   U  5  1; 5 Lập luận tìm n  9; 5; 3;1 Bài 29 Tìm tất số tự nhiên n để phân số 18n  rút gọn 21n  Lời giải Giả sử 18n  21n  chia hết cho số nguyên tố d Khi 18n  d 21n  d   21n    18n  3 d  21 d  d Ư(21)  3;7 +Nếu d  không xảy 21n  khơng chia hết cho +Nếu d  đó, để phân số rút gọn thì: 18n   vi 21n  7   18n   21  18  n  1 mà 18,7    n   n  7k  1 k  Vậy để phân số  18n  rút gọn n  7k  1 k  21n   Bài 30 Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B 2n  5n  17 3n   n2 n2 n2 Lời giải B 2n  5n  17 3n 2n   5n  17  3n 4n  19     n2 n2 n2 n2 n2 B 4n  19  n    11 11   4 n2 n2 n2 Để B số tự nhiên 11 số tự nhiên  11  n    n  U (11)  1; 11 n2 Do n   1nên n   11  n  50 Vậy n  B  Bài 31 a) Cho a, b, n  * Hãy so sánh: b) Cho A  an a bn b 1011  1010  ; B  So sánh A B 1012  1011  Lời giải a) Ta xét trường hợp: a a a  1;  1; 1 b b b Th1: a an a   a  b  1 b bn b Th2: a 1 a  b  a  n  b  n b Mà an a b có phần thừa so với bn bn a a b có phần thừa so với 1là b b Vì a b a b an a nên   bn b bn b Th3: a 1 a  b  a  n  b  n b Khi : Vì an ba a ba có phần bù tới , có phần bù tới bn bn b b ba ba an a nên   bn b bn b b) Cho A  10  A 10 1011  an a a ; rõ ràng A  1nên theo a,   12 10  bn b b 11  1  11 1011  10 12 12  1  11 10  10 Do đó: A   10 1011  10 10 10  1 1010    1012  10 10 1011  1 1011  Vậy A  B Bài 32 Thực so sánh: 51 a) A  20092008  20092009  với B  20092009  20092010  b) C  1.3.5.7 99 với D  51 52 53 100 2 2 Lời giải a) Thực quy đồng mẫu số:  2009 C  2009 2008 2009  2009 D  2009 2009 2010  1 20092010  1  1 20092010  1  1 20092009  1  1 20092009  1  20094018  20092010  20092008   20092009  1 20092010  1  20094018  20092009  20092009   20092010  1 20092009  1  20092010  20092008  20092008  20092  1  20092009  20092009  20092008  2009  2009  Do  20092  1   2009  2009  nên C  D b) A  1.3.5.7 99   1.3.5.7 99.2.4.6 100 2.4.6 100 1.3.5.7 99.2.4.6 100 1.2.3 50.51.52.53 100 51 52 53 100   1.2.3 50.2.2.2 2 2 1.2  2.2  3.2  50.2  Bài 33 So sánh A B biết: A 1718  , 1719  B 1717  1718  Lời giải 17 1718  1718  1718   16 17 17  1 1717    A  19    B Vì A  19 17  17  1719   16 17 1718  1 1718  Bài 34 Tìm tất số nguyên n để: a) Phân số n 1 có giá trị số nguyên n2 b) Phân số 12n  phân số tối giản 30n  Lời giải 52 a) n 1 số nguyên  n  1  n   n2 Ta có: n    n    ,  n  1  n    n    n  2 U (3)  3; 1;1;3  n 1;1;3;5 b) Gọi d ƯC 12n  30n   d  *  12n  d ,30n  d 5 12n  1   30n   d   60n   60n   d  d mà d  *  d  Vậy phân số cho tối giản Bài 35 So sánh 2011.2012  2012.2013  2011.2012 2012.2013 Lời giải 2011.2012  1 2012.2013  1  1  1 2011.2012 2011.2012 2012.2013 2012.2013 Vì 1 2011.2012  2012.2013     2011.2012 2012.2013 2011.2012 2012.2013 Bài 36 Cho biểu thức : A  2n  3n  4n    Tìm giá trị n để: n3 n3 n3 a) A phân số b) A số nguyên Lời giải a) 2n  3n  4n  2n   3n   4n  n      n3 n3 n3 n3 n3 A phân số n  , n  b) A  n 1 n   4   1 n3 n3 n3 A số nguyên n  U (4)  1;2;4; 1; 2; 4  n 4;5;7;2;1; 1 Bài 37 20112012  20112013  a) So sánh A  với B  20112013  20112014  b) So sánh C  3210 với D  2310 Lời giải 53 20112013  2011 2010 20112014  2011 2010   ; 2011 B   1 2013 2013 2014 2011  2011  2011  20112014  2011A  2011B  A  B a) 2011A  b) C  3210  310.3200  310.9100 ; D  2310  210.2300  210.8100 Có 310  210 9100  8100 nên C  D Bài 38 So sánh phân số: 15 25 với 301 499 Lời giải 15 15 25 25 15 25     Vậy  301 300 20 500 499 301 499 Bài 39 Với giá trị số tự nhiên a 8a  19 có giá trị nguyên 4a  Lời giải N 8a  19 8a   17 17   2 4a  4a  4a  Để N nguyên 4a  ước số 17  a  0, a 