Chuyên đề các bài toán về phân số (53 trang)

1 CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phân số biểu diễn số hữu tỉ dạng tỉ lệ hai số nguyên, số gọi tử số, số gọi mẫu số Điều kiện bắt buộc mẫu số phải khác Kí hiệu a đó: a tử số; b mẫu số ( a , b số nguyên, b 0 ) b Tính chất phân: a a  ; 1 a a So sánh phân số Cho phân số a c , b, d 0 b d Trong hai phân số có mẫu dương, phân số có tử lớn lớn Muốn so sánh hai phân số không mẫu, ta viết chúng dạng hai phân số mẫu dương so sánh tử lại với nhau: phân số có tử lớn lớn Từ lý thyết ta rút nhận xét sau: Phân số có tử mẫu số nguyên dấu lớn Phân số có tử mẫu số nguyên khác dấu nhỏ Nếu ad  bc a c   a, b, c, d   b d Nếu ad  bc a c   a, b, c, d   b d Nếu ad bc a c   a, b, c, d   b d Nếu hai phân số có mẫu số phân số có tử số lớn lớn Nếu hai phân số có tử số phân số có mẫu số lớn phân số nhỏ Kết hợp vận dụng Tính chất bắc cầu thứ tự: a c c m a m    , việc phát b d d n b n số trung gian để làm cầu nối quan trọng Một số tính chất tỉ số Với số thực dương a, b ta ln có a b  Với số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có:  Nếu a a a c   b b b c  Nếu a a a c   b b b c 1  a b  Nếu a c a a c c    b d b bd d Một số công thức hay dùng 1 a 1   ;   n  n  1 n n  n  n  a  n n  a 2a 1   n  n  a   n  a  n  n  a   n  a   n  2a  1 1    1  1.2 2.3 n  n  1 n 1 1 k     n  n  a   n  a   n  2a   n   k  1 a   n  ka  n  n  ka   1 1 1       1.2.3 2.3.4 n  n 1  n    1.2  n 1  n     1 1 1        1.2.3.4 2.3.4.5  n  1 n  n 1  n    1.2.3 n  n 1  n    II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Rút gọn phân số Ví dụ 1.1: Rút gọn phân số sau: 10.11  50.55  70.77 11.12  55.60  77.84 Phân tích: Để giải ta cần phân tích tử mẫu thành tích cách áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng trừ a  b c  ab ac Lời giải: Ta có: 10.11  50.55  70.77 10.11  5.10.11.5  7.10.11.7 10.11  5.5  7.7  10     11.12  55.60  77.84 11.12  11.5.12.5 11.7.12.7 11.12   5.5  7.7  12 Ví dụ 1.2: Tìm số tự nhiên a b biết Lời giải: Ta có: a 36  , BCNN  a, b  300 b 45 a 36 a 4k     , (k  * ) b 45 b 5k Mà BCNN  a, b  300  BCNN  4k ,5k  4.5.k 300  k 15 a 4.15 60   b 5.15 75 Vậy a 60; b 75 Ví dụ 1.3: Tìm số tự nhiên n để phân số A  n  10 có giá trị số nguyên 2n  Lời giải: Để phân số A có giá trị số nguyên  n  10   2n  8   n 10   n      n    14  n    14  n    n   Ư  14  Ư  14   1; 2; 7; 14 Mặt khác, n số tự nhiên nên n    n     2;  1;1; 2;7;14 Ta có bảng sau: n 1 2 14 n 11 18 A 15 13 2 16 4 3 21 14 ( loại ) ( loại) ( loại) Vậy n   2; 6;18 Bình luận: - Ngồi cách lập bảng ta để ý rằng:  n  10   2n  8   n  10    n      n  10  2 Kết hợp với  n      2;  1;1; 2;7;14  n   2; 3; 5; 6;11; 18  n   2; 6;18 - Đối với toán với n   5;3;11 số nguyên thay vào A khơng giá trị ngun vì: theo  n  10   2n     n  10   n   khơng có điều ngược lại Bài tốn tổng qt: Tìm số tự nhiên n cho A n có giá trị nguyên B  n Cách làm: A n  d    b    a, b, d    C  n   Ö  d  B  n a  C  n   Nếu a 1 ta tìm n kết luận Nếu a 1 ta tìm n cần thử lại kết luận Ví dụ 1.4: Chứng minh phân số 2n  tối giản với số tự nhiên n 4n  Phân tích: Để chứng minh phân số phân tối giản ta cần chứng minh ước chung lớn tử mẫu phải Lời giải: Thật vậy,  2n  3d 4n  6d   Giả sử ÖCLN  2n  3, 4n   d    2d  d   1; 2  4n  8d 4n  8d Vì 2n  số tự nhiên lẻ nên  d 2 Vậy d 1 nên phân số 2n  phân số tối giản với số tự nhiên n 4n  Ví dụ 1.5: Tìm số tự nhiên n để phân số A  21n  rút gọn 6n  Lời giải: Gọi d ước nguyên tố 21n  6n   21n  3 d  42n   d      22d  d   2;11 n   d 42 n  28  d       Nếu d 2 ta thấy  6n   2 n  21n   2 n lẻ Nếu d 11  21n  3 11   22n  n  3 11   n  3 11  n  11k  n 11k   k   Với n 11k  6n  6  11k  3   66k  22  11   6n   11 Vậy n lẻ n 11k  phân số A  21n  rút gọn 6n  Bài toán tổng quát: Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản rút gọn được” ta làm sau:  Gọi d ước nguyên tố tử mẫu  Dùng phép toán cộng, trừ, nhân để khử n để từ tìm d Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản” ta tìm n để tử số mẫu số không chia hết cho ước ngun tố Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được” ta tìm n để tử số mẫu số chia hết cho ước ngun tố Ví dụ 1.6: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho: a b 12 c  ;  ;  b c 21 d 11 Lời giải: Ta có: a  b 5  a 3m  b 5m 4n  b 12        c 21 c 7n 6k c  d 11k  d 11   m, n, k    4n 5  n5  n  BC  5,  mặt khác a, b, c, d nhỏ nên Suy  mà  4,5  1;  6,  1   7n 6  n6 n BCNN  5,   n 5.6 30  m 24; k 35  a 72; b 120; c 210; d 385 Dạng 2: Tính nhanh tổng phân số Phương pháp khử liên tiếp Áp dụng công thức 1  1     a.b b  a  a b  Ví dụ 2.1: Tính tổng sau a) 1 1 S     1.2 2.3 3.4 98.99 b) 1 1 S      1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 c) 11 19 649 S 1     12 20 650 Lời giải: 1 1 1 1 1 1 98 a) S      1         1   1.2 2.3 3.4 98.99 2 3 98 99 99 99 1 1 b) S       1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 11 1 1 1 1  49  S              21 3 5 7 97 99  99 11 19 649 c) S 1     12 20 650 S 1   1 1 1  1     12 20 650  S 25  1    25  2.3 3.4 25.26 1  1 1         25 26  2 3 319 1   S 25      25  13 13  26  Ví dụ 2.2: Tính tổng sau 1 1 S     1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 Lời giải: 1 1 2 2 S      2S      1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 11 1 1 1  1 1  1   2S                  21 3 3  4 5 98  97 98  11 1 1 1  1 1  1  1 2425  S                    21 3 3 4 4 5 98  97 99  98.99 4851  S 2425 9702 Ví dụ 2.3: Tính tổng sau S 1  11 19 29 41 55 71 89 109        12 20 30 42 56 72 90 Lời giải: S 1  11 19 29 41 55 71 89 109        12 20 30 42 56 72 90  S 1   11 13 15 19 19 1    1    1    1  12 20 30 42 56 72 90  S 1  11 13 15 17 19        12 20 30 42 56 72 90  S 1   3  4  5  6  7  8  9 10        2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10  S 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1                   4 5 6 7 8 9 10 10 5 19 Ví dụ 2.4: Tính tổng sau S  2  2  2  2   2 2 3 4 10 Lời giải: 22  12 32  22 42  32 52  42 102  92 S  2  2  2  2   2 2 3 4 10 1 1 1 1 99  S          1   2 3 10 100 100 Tính nhanh dạng tích Ví dụ 2.5: Tính tổng sau a)     1    S                              99  b)    1  1  S                         100  Lời giải: 1      15 24 35 9800  1  1  a ) S             1          99      16   25   36   9901  16 25 36 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 1.2.3.4.5 98 3.4.5.6.7 100 100 50             2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 99.99 2.3.4.5.6 99 2.3.4.5.6 99 99 99    1  1  b) S                         100  101 101  S   100 Tính tổng dãy số có số sau số hạng liền trước nhân với số khơng đổi n Phương pháp: Tính S u1  u1q  u1q   u1q  q 1  qS u1q  u1q  u1q   u1q n 1    q  S u1  u1q n 1  S u1   q n 1  1 q Ví dụ 2.6: Tính tổng sau 1 1 S       16 512 Lời giải: 1 1 1 1 1 S        2S 1       16 512 16 256  S 1  511  512 512 Dãy có số cách Ví dụ 2.7: Tính tổng sau 1 1 S     1 1  1       50 Lời giải: Sử dụng kết     n  S n(n  1) , n  * 1 1     2.3 3.4 4.5 50.51 2 2  S 2 2     2.3 3.4 4.5 50.51 1 1 1  1  49  S 2         2    50 51  2 3  51  51 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức phân số Ví dụ 3.1: Chứng minh: 11 12 13 20    1.3.5 17.19 2 2 Phân tích: Vế trái tích phân số với tử số số tự nhiên liên tiếp, mẫu số Vế phải tích số tự nhiên lẻ liên tiếp Từ nhận xét này, ta nghĩ đến việc biến đổi vế phải thành vế trái cách thêm bớt số chẵn xen kẽ chúng Lời giải 1.2.3.4.5 17.18.19.20 1.2.3.4.5 17.18.19.20 VP 1.3.5 17.19   2.4.6.8 18.20  1.2   2.2   2.3  2.4   2.9   2.10  1.2 9.10.11.12 19.20 11 12 13 20      VT (Đpcm) 1.2 9.10 2.2 2 2    10 thừa số Bình luận: Đây dạng tốn hay gặp chứng minh đẳng thức liên quan đến phân số, giá trị cụ thể vế khó tính, có nhiều chữ số Tuy nhiên cách sử dụng thêm bớt, tính chất giao hốn, kết hợp phép nhân, ta chứng minh đẳng thức mà khơng cần tính giá trị cụ thể vế Tổng quát hóa: Chứng minh: 1.3.5  2n  1  Ví dụ 3.2: Chứng minh: n 1 n  n  2n    với n 1, n   2 2 7.9  14.27  21.36  21.27  42.81  63.108 Phân tích: Tử số mẫu số vế trái có dạng tổng tích, ta nghĩ tới việc phân tích tử, mẫu để nhân tử chung rút gọn Lời giải Ta có VT  7.9  14.27  21.36 7.9  14.27  21.36 7.9  14.27  21.36    2 21.27  42.81  63.108 7.9  14.27  21.36  7.9  14.27  21.36  (Đpcm) Bình luận: Đối với dạng tốn này, ta phải để ý xem tử số mẫu số có đặc điểm giống khác nhau, từ vận dụng tính chất học để đưa chúng dạng tích để rút gọn 18 19      20 Ví dụ 3.3: Chứng minh rằng: 19 18 17 1 1     20 10 Phân tích: Nhận thấy mẫu số vế trái tổng phân số có tử 1, mẫu số số tự nhiên liên tiếp, nên việc tính kết mẫu số gặp nhiều khó khăn, việc phân tích mẫu số khơng khả thi, từ ta nghĩ đến việc phân tích tử số theo mẫu số Tử số tổng phân số có tính chất đặc biệt: tử cộng mẫu phân số tử giống 20, nên ta nghĩ đến việc cộng tất phân số tử số cho Lời giải Ta có  18 19        18   19         1    1               19 19 18 17  19   18   17      20 20 20 20 20 1  20  1  1       19 20        20        19 18 17 2  20  19 18 17  19 18 17 1 1  20        2  20 19 18 17 18 19 20               2   20 19 18 17 Vậy 19 18 17 20 (Đpcm) 1 1 1 1         20 20 Bình luận: Tử số tổng phân số có tính chất đặc biệt, tổng tử mẫu phân thức ta cộng phân thức cho 1, hiệu tử mẫu phân thức ta trừ phân thức cho Ví dụ 3.4: Chứng minh rằng:  1 1 1 1           19 20 11 12 13 20 Phân tích: Vế trái tổng hiệu xen kẽ phân số mà mẫu số số tự nhiên liên tiếp, vế phải tổng phân số mà mẫu số số tự nhiên liên tiếp Từ ta nghĩ đến việc biến đổi vế trái thành vế phải cách tách tổng hiệu với thêm bớt đại lượng thích hợp Lời giải Ta có VT 1  1 1  1             19 20  19   1      20  2  1  1 1   1                    19   20   20  2  1   1         19 20   1  1       10  