Chuyên đề về khảo sát hàm số

MỤC LỤC CHƯƠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số hình ảnh đồ thị cho trước Dạng Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R ax + b đơn điệu khoảng xác định Dạng Tìm m để hàm y = cx + d Dạng Biện luận đơn điệu hàm đa thức khoảng, đoạn cho trước Dạng Biện luận đơn điệu hàm phân thức khoảng, đoạn cho trước Dạng Một số toán liên quan đến hàm hợp 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN C CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 15 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 15 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 15 Dạng Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 1) để tìm cực trị cực hàm số 15 Dạng Xác định cực trị biết bảng biến thiên đồ thị 16 Dạng Dạng Dạng Dạng C 4 Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 2) để tìm cực trị cực hàm số Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước Biện luận cực trị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Biện luận cực trị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c 17 17 18 19 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 20 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 26 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 26 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 26 Dạng Tìm max – hàm số cho trước 26 Dạng Một số toán vận dụng 28 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 29 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 32 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 32 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Cho hàm số y = f (x), tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị tương ứng Dạng Xác định TCN TCĐ biết bảng biến thiên hàm số y = f (x) Dạng Một số toán biện luận theo tham số m C 33 33 34 35 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 37 GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 Trang i Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 41 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 41 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c ax + b Dạng Nhận dạng đồ thị hàm biến y = cx + d BÀI TẬP TỰ LUYỆN C 42 42 44 46 48 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 53 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 53 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Giải, biện luận nghiệm phương trình phương pháp đồ thị Dạng Giải, biện luận nghiệm bất phương trình phương pháp đồ thị Dạng Một số toán liên quan đến hàm hợp C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 59 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 64 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 64 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc ba Dạng Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương Dạng Xác định (biện luận) giao đường thẳng đồ thị hàm số y = ax + b cx + d BÀI TẬP TỰ LUYỆN C 54 54 55 56 64 64 66 67 69 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 72 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 72 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (x0 ; y0 ) cho trước Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) biết hệ số góc tiếp tuyến k0 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x), biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ; yA ) Dạng Bài tập tổng hợp C 72 72 73 75 75 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 77 GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 Trang ii Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia CHƯƠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN § SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Cho hàm số y = f (x) xác định (a; b) Khi  Hàm số đồng biến (a; b) y ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )  Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường lên" xét từ trái sang phải f (x2 ) f (x1 ) O  Hàm số nghịch biến (a; b) x1 x2 x x1 x2 x y ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )  Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường xuống" xét từ trái sang phải f (x1 ) f (x2 ) O Các tính chất thường dùng cho hàm đơn điệu  Cho hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n ® Nếu f (m) < f (n) m < n ­ Nếu f (m) > f (n) m > n ¯ Với k số thực cho trước, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b)  Cho hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n ® Nếu f (m) < f (n) m > n ­ Nếu f (m) > f (n) m < n ¯ Với k số thực cho trước, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b) Liên hệ đạo hàm tính đơn điệu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) ¬ Nếu y0 ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) y = f (x) đồng biến (a; b) ­ Nếu y0 ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) y = f (x) nghịch biến (a; b) Chú ý: Dấu xảy điểm "rời nhau" GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 Trang Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BUỔI SỐ { DẠNG Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước Phương pháp giải Tìm tập xác định D hàm số Tính y0 , giải phương trình y0 = tìm nghiệm xi (nếu có) Lập bảng xét dấu y0 miền D Từ dấu y0 , ta suy chiều biến thiên hàm số • Khoảng y0 mang dấu −: Hàm nghịch biến • Khoảng y0 mang dấu +: Hàm đồng biến # Ví dụ Hàm số y = −x3 + 3x − đồng biến khoảng đây? A (−∞; −1) B (−∞; −1) (1; +∞) C (1; +∞) D (−1; 1) # Ví dụ Cho hàm số y = x3 + 3x2 − Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (1; 5) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) (2; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) 2x3 − 2x − nghịch biến khoảng sau đây? # Ví Å dụ Hàm ã số y = −x + Å ã 1 B − ; +∞ C (−∞; 1) A −∞; − D (−∞; +∞) 2 # Ví dụ Hàm số y = x4 + 8x3 + nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) B (−∞; −6) C (−6; 0) D (−∞; +∞) # Ví dụ Hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x2 (x + 2) Phát biểu sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−2; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−2; 0) x+3 Khẳng định sau đúng? x−3 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Hàm số nghịch biến R \ {3} Hàm số đồng biến R \ {3} # Ví dụ Cho hàm số y = A B C D 3−x Mệnh đề đúng? x+1 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) Hàm số nghịch biến với x 6= Hàm số nghịch biến tập R \ {−1} Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) # Ví dụ Cho hàm số y = A B C D GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 Trang Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia # Ví dụ Hàm số sau nghịch biến khoảng xác định nó? x−1 2x + x−2 x+5 A y = B y = C y = D y = x+1 x−3 2x − −x − √ # Ví dụ Hàm số y = 2x − x2 nghịch biến khoảng sau? A (0; 1) B (0; 2) C (1; 2) D (1; +∞) { DẠNG Tìm khoảng đơn điệu hàm số hình ảnh đồ thị cho trước Phương pháp giải  Nếu đề cho đồ thị y = f (x), ta việc nhìn khoảng mà đồ thị "đi lên" "đi xuống" ¬ Khoảng mà đồ thị "đi lên": hàm đồng biến; ­ Khoảng mà đồ thị "đi xuống": hàm nghịch biến  Nếu đề cho đồ thị y = f (x) Ta tiến hành lập bảng biến thiên hàm y = f (x) theo bước: ¬ Tìm nghiệm f (x) = (hoành độ giao điểm với trục hoành); ­ Xét dấu f (x) (phần Ox mang dấu dương; phần Ox mang dấu âm); ® Lập bảng biến thiên y = f (x), suy kết tương ứng # Ví dụ 10 Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm hình bên x y0 −∞ + −2 − +∞ + Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây? A (0; 1) B (3; 4) C (−2; 4) # Ví dụ 11 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng sau đây? A (−∞; 5) B (0; 2) C (2; +∞) D (0; +∞) x D (−4; 2) −∞ f (x) + 0 − +∞ + +∞ f (x) −∞ # Ví dụ 12 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (1; 3) B Hàm số nghịch biến khoảng (6; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) D Hàm số nghịch biến khoảng (3; 6) y O x # Ví dụ 13 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến R \ {2} x −∞ +∞ B Hàm số đồng biến (−∞; 2) (2; +∞) − − y C Hàm số nghịch biến (−∞; 2) (2; +∞) +∞ D Hàm số nghịch biến R y −∞ GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 Trang Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia y = f (x) y # Ví dụ 14 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R, hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng khoảng sau A (−∞; −2); (1; +∞) B (−2; +∞) \ {1} C (−2; +∞) D (−5; −2) −2 −1 O1 x { DẠNG Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R Phương pháp giải   a = a>0 suy biến b = Hàm số đồng biến R y ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ y0 ≤  c >  ®  a = a ⇔ ad − cb > Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y0 < ⇔ ad − cb < # Ví dụ 18 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = khoảng mà xác định A m ≤ B m ≤ −3 GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 C m < −3 Trang x+2−m nghịch biến x+1 D m < Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia # Ví dụ 19 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = xác định A m ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) C m ∈ R x + m2 đồng biến khoảng x+1 B m ∈ [−1; 1] D m ∈ (−1; 1) BUỔI SỐ { DẠNG Biện luận đơn điệu hàm đa thức khoảng, đoạn cho trước Phương pháp giải  Loại 1: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu toàn miền xác định R  ®  a = a>0 ¬ Hàm số đồng biến R y ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ suy biến b =  ∆ y0 ≤  c >  ®  a = a < ­ Hàm số nghịch biến R y0 ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ suy biến b =  ∆ y0 ≤  c <  Loại 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu khoảng tập R Ta thường gặp hai trường hợp: ¬ Nếu phương trình y0 = giải nghiệm "đẹp": Ta thiết lập bảng xét dấu y0 theo nghiệm vừa tìm (xét hết khả nghiệm trùng, nghiệm phân biệt) Từ "ép" khoảng mà dấu y0 không thỏa mãn khỏi khoảng đề yêu cầu ­ Nếu phương trình y0 = nghiệm "xấu": Ta sử dụng cách sau Cách Dùng định lý so sánh nghiệm (sẽ nói rõ qua giải cụ thể ) Cách Cô lập tham số m, dùng đồ thị (cách xét sau)  Loại 3: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu khoảng tập R ¬ Giải phương trình y0 = 0, tìm nghiệm ­ Biện luận trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt) Từ "ép" khoảng mà dấu y0 không thỏa mãn khỏi khoảng đề yêu cầu # Ví dụ 20 Cho hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 2m, với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số đồng biến R Tìm tập S A S = {m ∈ Z | |m| > 2} B S = {−2; −1; 0; 1; 2} C S = {−1; 0; 1} D S = {m ∈ Z | |m| > 2} # Ví dụ 21 Giá trị m để hàm số y = −x3 + mx2 − m đồng biến khoảng (0; 2) A < m < B m ≥ C m ∈ [1; 3] D m ≤ GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 Trang Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia # Ví dụ 22 Có giá trị ngun tham số m để hàm số y = x3 − 3(m + 2)x2 + 3(m2 + 4m)x + nghịch biến khoảng (0; 1)? A B C D # Ví dụ 23 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − đồng biến khoảng (1; 3) A m ∈ [−5; 2) B m ∈ (−∞; −5) C m ∈ (2; +∞) D m ∈ (−∞; 2] { DẠNG Biện luận đơn điệu hàm phân thức khoảng, đoạn cho trước Phương pháp giải  Loại Tìm điều kiện tham số để hàm y = ¬ Tính y0 = ax + b đơn điệu khoảng xác định cx + d ad − cb (cx + d)2 ­ Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ y0 > ⇔ ad − cb > ® Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y0 < ⇔ ad − cb < ™ ß ax + b d đơn điệu khoảng (m; n) ⊂ R\ −  Loại Tìm điều kiện để hàm y = cx + d c ¬ Tính y0 = ad − cb (cx + d)2 ­ Hàm số đồng biến khoảng (m; n):   y > ad − cb > ⇔ ⇔ − d ∈  − d ≤ m − d ≥ n / (m; n) c c c ® Hàm số nghịch biến khoảng (m; n):   y < ad − cb < ⇔ ⇔ − d ∈  − d ≤ m − d ≥ n / (m; n) c c c # Ví dụ 24 Tìm giá trị tham số m để hàm số y = A m ≤ B m > x+2 nghịch biến tập xác định x+m C m ≥ D m < mx − 2m − với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị x−m nguyên m để hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) Tìm số phần tử S A B C D # Ví dụ 25 Cho hàm số y = Å ã 2x − 1 # Ví dụ 26 Cho hàm số y = Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ;1 x−m 1 A < m ≤ B m > C m ≥ D m ≥ 2 GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 Trang Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia { DẠNG Một số toán liên quan đến hàm hợp Phương pháp giải  Loại 1: Cho đồ thị y = f (x), hỏi tính đơn điệu hàm y = f (x) ¬ Tìm nghiệm f (x) = (hoành độ giao điểm với trục hoành); ­ Xét dấu f (x) (phần Ox mang dấu dương; phần Ox mang dấu âm); ® Lập bảng biến thiên y = f (x), suy kết tương ứng  Loại 2: Cho đồ thị y = f (x), hỏi tính đơn điệu hàm hợp y = f (u) ¬ Tính y0 = u0 · f (u); ­ Giải phương trình f (u) = ⇔ ñ u =0 ; f (u) = 0( Nhìn đồ thị, suy nghiệm.) ® Lập bảng biến thiên y = f (u), suy kết tương ứng  Loại 3: Cho đồ thị y = f (x), hỏi tính đơn điệu hàm y = g(x), g(x) có liên hệ với f (x) ¬ Tính y0 = g0 (x); ­ Giải phương trình g0 (x) = (thường dẫn đến việc giải phương trình liên quan đến f (x) Loại ta nhìn hình để suy nghiệm) ® Lập bảng biến thiên y = g(x), suy kết tương ứng # Ví dụ 27 Hàm số y = f (x) có đồ thị y = f (x) hình vẽ (đồ thị f (x) cắt Ox điểm có hồnh độ 1, 2, 5, 6) Chọn khẳng định A f (x) nghịch biến khoảng (1; 2) B f (x) đồng biến khoảng (5; 6) C f (x) nghịch biến khoảng (1; 5) D f (x) đồng biến khoảng (4; 5) y x O # Ví dụ 28 (THPTQG–2019, Mã đề 101) Cho hàm số f (x) có bẳng xét dấu f (x) hình bên x −∞ f (x) −3 −1 +∞ − + − + Hàm số y = f (3 − 2x) nghịch biến khoảng A (4; +∞) B (−2; 1) C (2; 4) # Ví dụ 29 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Biết đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số f (x2 − 2) đồng biến khoảng khoảng đây? √ √ A (0; 1) B (1; 3) C (−1; 0) D (− 3; 0) GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 Trang D (1; 2) y −2 −1 O x Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia # Ví dụ 30 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) x2 hình vẽ bên Đặt h(x) = f (x) − Mệnh đề đúng? A Hàm số y = h(x) đồng biến khoảng (2; 3) B Hàm số y = h(x) đồng biến khoảng (0; 4) C Hàm số y = h(x) nghịch biến khoảng (0; 1) D Hàm số y = h(x) nghịch biến khoảng (2; 4) y −2 O x −2 GV: Phùng V Hoàng Em – ĐT:0972657617 Trang Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia