Thông tin tài liệu
BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định K K x0 K a) x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng a; b K chứa điểm x0 cho f x f x0 , x a; b \ x0 Khi f x0 gọi giá trị cực đại hàm số f b) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng a; b K chứa điểm x0 cho f x f x0 , x a; b \ x0 Khi f x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f Chú ý: 1) Điểm cực đại (cực tiểu) x0 gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 hàm số gọi chung cực trị Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp K 2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập K; f x0 giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng a; b chứa x0 3) Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm x0 ; f x0 gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm điểm x0 f x0 Chú ý: 1) Điều ngược lại khơng Đạo hàm f điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 2) Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí a) Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực đại điểm x0 Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng a; b chứa điểm x0 , f x0 f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f x0 hàm số f đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f x0 hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f x0 ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên bảng xét dấu đạo hàm B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP BÀI TẬP Dạng 1: Cho hàm số f ( x ) f '( x ) Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị Phương pháp Cách 1: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Bước Tìm f x Bước Tìm điểm xi i 1, 2, đạo hàm khơng hàm số liên tục khơng có đạo hàm Bước Xét dấu f x Nếu f x đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị điểm xi Cách 2: Dùng định lý Bước 1: Tìm f x Bước 2: Tìm nghiệm xi i 1, 2, phương trình f x Bước 3: Tính f xi Nếu f xi hàm số f đạt cực đại điểm xi Nếu f xi hàm số f đạt cực tiểu điểm xi Nếu f xi ta lập bảng biến thiên để xác định điểm cực trị * Tìm (điểm) cực trị thơng qua đạo hàm f x : Ta đếm số nghiệm bội lẻ phương trình đạo hàm Bài tập Bài tập 1: Giá trị cực đại hàm số f x x x số đây? A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số cho xác định Ta có: f x 2x x2 2 x Từ đó: f x x x x x 1 4x Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực đại điểm x , giá trị cực đại hàm số 3 f Bài tập 2: Các điểm cực đại hàm số f x x 2sin x có dạng (với k ) A x C x k 2 B x k 2 D x k 2 k 2 Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số cho xác định Ta có: f x cosx Khi f x cosx x k 2 , k f x 2sin x Vì f k 2 2sin k 2 2sin nên x k 2 điểm cực tiểu 3 3 3 Vì f k 2 2sin k 2 2sin 2sin nên x k 2 điểm cực đại 3 3 Bài tập 3: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) (x 1)(x 3x 2)(x 2x) Số điểm cực trị hàm số y f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: f (x) (x 2)(x 1)3 x(x 1)(x 2) f (x) có nghiệm bội lẻ nên có điểm cực trị Bài tập 4: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) x (x 1)(x 4) Tìm số điểm cực trị hàm số y f (x ) A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f (x ) 2x.f (x ) 2x (x 1)(x 4) Phương trình f (x ) có nghiệm bội lẻ x 0, x 1 nên số điểm cực trị hàm số y f (x ) Chú ý: Đạo hàm hàm số hợp f u x f u x u x hay f x fu ux Bài tập 5: Cho hàm số y f (x) liên tục , có f (x) 3x Mệnh đề đúng? , x x2 A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có điểm cực trị (0; ) C Hàm số khơng có điểm cực trị (0; ) D Hàm số có hai điểm cực trị Hướng dẫn giải Chọn C Với x ta có: f (x) 3x 3 3 x x 33 x 2 x 2 Vậy hàm số khơng có cực trị (0; ) Bài tập 6: Cho hàm số y f (x) liên tục , có đạo hàm f (x) (x x 2)(x 6x 11x 6) g (x) với g (x) hàm đa thức có đồ thị hình vẽ ( g (x) đồng biến (; 1) (2; ) Số điểm cực trị hàm số y f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Dựa vào đồ thị, phương trình g (x) có nghiệm bội lẻ x 0, x 1, x nghiệm bội chẵn x 1 Tóm lại, phương trình y ' có x 1, x 0, x x nghiệm bội lẻ, nên hàm số có điểm cực trị Dạng Tìm (điểm) cực trị thông qua bảng xét dấu, bảng biến thiên đạo hàm Bài tập 1: Cho hàm số y f (x) liên tục có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số y f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương lần nên có điểm cực tiểu Bài tập 2: Cho hàm số y f (x) liên tục có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Đạo hàm đổi dấu hai lần nên có hai điểm cực trị Bài tập 3: Cho hàm số y f (x) liên tục có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Chắc chắn hàm số có điểm cực trị x 1, x 2, x Xét điểm x , đạo hàm đổi dấu, hàm số khơng có đạo hàm điểm x , theo đề bài, hàm số liên tục nên f (0) xác định Vậy hàm số có tổng cộng điểm cực trị Bài tập 4: Cho hàm số y f (x) liên tục \ 1 có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y f (x) A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số có điểm cực trị x 2, x 2, x (hàm số không đạt cực trị điểm x hàm số khơng xác định điểm x ) Bài tập 5: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên f (x) hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y f (x) A B C Hướng dẫn giải D Chọn C Dễ thấy phương trình f (x) có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số có điểm cực trị Dạng Tìm (điểm) cực trị thơng qua đồ thị f , f , f Bài tập 1: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm đến cấp hai có đồ thị hàm số y f x hình vẽ (đồ thị y f (x) có điểm chung với trục hồnh hình vẽ) Số điểm cực trị tối đa hàm số A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có bảng biến thiên hàm số y f (x) sau Nhận thấy trục hoành cắt đồ thị hàm số y f (x) tối đa điểm nên f (x) có tối đa nghiệm phân biệt Vậy hàm số y f (x) có tối đa điểm cực trị Bài tập 2: Cho hàm số y f (x) hàm đa thức Trên hình vẽ đồ thị hàm số y f (x) (; a ] (và hàm số y f (x) nghịch biến ; 1 ), đồ thị hàm số y f (x) a; b (và f (x ) ), đồ thị hàm số y f (x) b; (và hàm số y f (x) đồng biến b; , f (x1 ) ) Hỏi hàm số y f (x) có tối đa điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Bảng xét dấu bên lập từ suy luận sau: * Hàm số y f (x) nghịch biến ; 1 nên f (x) 0, x ; 1 đồng biến 1; a nên f (x) 0, x 1; a * Hàm số y f (x) có f (x) 0, x a; x f (x) 0, x x ; b f (x) 0, x x ; b * Hàm số y f (x) có f (x) 0, x b; x1 mà f (b) f (x) m > D m Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: y x 2(m 2) x (4m 8) Yêu cầu toán trở thành ( x1 2)( x2 2) (4m 8) 4(m 2) m Bài tập 13: Gọi S tập giá trị thực tham số m để hàm số y ( x m)( x x m 1) có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1.x2 Tổng tất phần tử S A B – C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: y x 2(m 2) x m Hàm số có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m m (ln đúng) Theo định lí Vi-ét ta có: x1.x2 m m 1 x1.x2 m m 2 Vậy tổng cần tìm (2) Bài tập 14: Có giá trị nguyên m 20; 20 để hàm số y x mx mx có hai điểm cực trị x1 , x2 cho x1 x2 ? A 38 B 35 C 34 Hướng dẫn giải Chọn D D 37 Ta có y x 2mx m Hàm số có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m m (*) x x 2m Theo định lí Vi-ét ta có x1.x2 m Khi m x1 x2 ( x1 x2 ) x1.x2 24 4m 4m 24 (thỏa mãn(*)) m 2 Do m nguyên m 20; 20 nên m 20; 19; ; 2;3; 4; ; 20 Vậy có 37 giá trị m Bài tập 15: Cho hàm số y x3 3(m 1) x x m Tổng tất giá trị tham số m thỏa mãn hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 cho 3x1 x2 m A B C – D – Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: y x 6(m 1) x Hàm số có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt 9(m 1) 27 (m 1) (*) x x 2(m 1) Theo định lí Vi-ét ta có x1.x2 x x 2(m 1) x m vào x1.x2 ta Từ 3 x1 x2 m x2 m m m(m 2) thỏa mãn (*) m 3 Bài tập 16: Có giá trị tham số m để hàm số y x3 9mx 12m x có điểm cực đại xCD , xCT ? điểm cực tiểu xCT thỏa mãn xCD A B C Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: y x 18mx 12m 6( x m)( x 2m) Hàm số có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m (*) Trường hợp 1: m < đó, lập bảng xét dấu đạo hàm dễ thấy D xCD m, xCT 2m Khi đó: xCD xCT m 2m m 2 (thỏa mãn) Trường hợp 2: m > lập bảng xét dấu đạo hàm ta có xCD 2m, xCT m xCD xCT 4m m m , loại Vậy m 2 thỏa mãn đề Bài tập 17: Có giá trị nguyên m 18;18 để đồ thị hàm số y x 1 x 2mx 1 có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành? A 34 B 30 C 25 D 19 Hướng dẫn giải Chọn A Bảng biến thiên hàm số bậc ba có hai cực trị hai điểm cực trị đồ thị nằm hai phía trục hồnh Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh y có ba nghiệm phân biệt x 2mx có hai nghiệm phân biệt khác m 1 1 2m.1 m m m 1 Do m nguyên m 18;18 nên m 18; 17; ; 2; 2;3; ;18 Vậy có 34 giá trị m thỏa mãn đề Bài tập 18: Cho hàm số y x 3mx x m Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m khoảng 10;10 để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng y x Số phần tử tập S A B 12 C Hướng dẫn giải Chọn C D 11 Đặt f x x 3mx m x Ta có f x x3 3mx m x m Xét g x g x x Đồ thị hàm số cho có hai cực trị nằm hai phía đường thẳng y x m m g g m m 12 m 12 Do m thuộc 10;10 nên m 3; 4; .9 Bài tập 19: Cho hàm số y x3 3mx 4m có đồ thị (C) điểm C 1; Tổng giá trị nguyên dương m để (C) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABC có diện tích A B C D Hướng dẫn giải Chọn C x Ta có y x 6mx x 2m Đồ thị (C) ln có hai điểm cực trị với m nguyên dương (vì m số nguyên dương nên phương trình y ln có hai nghiệm phân biệt) Khi A 0; 4m , B 2m; 4m3 4m AB 4m 16m m 4m y 4m x0 2m x y 4m AB : 2m 4m3 Thế tọa độ C vào phương trình đường thẳng (AB), dễ thấy C AB d C , AB 2m m 4m m2 4m m 3 1 AB.d C , AB m 4m 4 2 4m S ABC m m m 6m 9m m 1 m 1 m m 2 Do m nguyên dương nên ta nhận m 1, m Tổng Chú ý: Học sinh nên kiểm tra điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị điều kiện để ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng (dù tốn này, “qn” khơng ảnh hưởng đến kết quả) Ta tính nhanh diện tích sau: Ta có OA 0; 4m OB 2m; 4m3 4m Khi đó: S ABC 2m 4m Bài tập 20: Có giá trị thực tham số m để hàm số y x3 x m 3 x có hai điểm cực trị x1 , x2 cho giá trị biểu thức P x1 x2 x2 1 đạt giá trị lớn nhất? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có y x x m2 Hàm số có hai điểm cực trị m 3 2 m x1 x2 Theo định lí Vi-ét x1.x2 m P x1 x2 x2 1 x1 x2 x1 x2 m 2.2 m Dấu “=” xảy m (thỏa mãn) 1 Bài tập 21: Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị y x3 mx x 10 Giá trị lớn S x12 1 x22 16 A 16 B 32 C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có y x mx Do a 1, c 4 trái dấu nên y ln có hai nghiệm trái dấu hay hàm số ln có hai điểm cực trị x x m Theo định lí Vi-ét: x1.x2 4 Khi S x1 x2 16 x12 x22 16 x1 x2 16 x12 x22 16 2 Dấu “=” xảy 16 x12 x22 x2 4 x1 m 3 Bài tập 21: Tìm m để đồ thị hàm số C : y x m 3 x 2m x m có hai điểm cực trị khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đạt giá trị lớn 3 B m 3 ; 3 2 3 A m 6 ; 6 2 C m 3 2; 3 D m 6 2; 6 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y 3x m 3 x 2m 3x x 2mx 2m x 1 x 2m Hàm số có hai cực trị y có hai nghiệm phân biệt 2m m 6 kOA Một hai điểm cực trị A 1;1 OA 1;1 OA 2 2 2 Đường thẳng d qua hai điểm cực trị có hệ số góc kd 2m m 3 3 Ta có d O; d OA 2 2 2 Dấu “=” xảy d OA kd kOA 1 2m m 3 1 3 m 6 Bài tập 22: Giả sử A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 ax bx c đường thẳng (AB) qua gốc tọa độ Giá trị lớn Pmin P abc ab c A Pmin 9 C Pmin B Pmin 16 25 D Pmin 25 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2a ab Đường thẳng qua hai cực trị AB : y b xc 3 Do (AB) qua gốc O nên c ab ab 9c 25 25 Khi P abc ab c 9c 10c 3c , c 3 9 Vậy Pmin 25 c ab 5 Bài tập 23: Biết đồ thị hàm số y x3 3mx có hai điểm cực trị A, B Gọi M, N hai giao điểm đường thẳng (AB) đường tròn C : x 1 y 1 Biết MN lớn Khoảng cách từ điểm 2 E 3;1 đến AB A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: y x 3m Hàm số có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m Viết hàm số dạng y x x x 3m 2mx y 2mx 3 Suy đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho AB : y 2mx Đường thẳng AB qua điểm cố định M 0; Đường tròn C tâm I 1;1 , bán kính R d I ; AB IM R nên đường thẳng cắt đường tròn hai điểm M, N Giả sử I 1;1 AB 2m m Vậy m (thỏa mãn hàm số có hai điểm cực trị) (AB) qua I 1;1 , cắt đường trịn C hai điểm M, N với MN R lớn Khi đó: d E 3;1 ; AB : y x Dạng Cực trị hàm bậc bốn trùng phương Phương pháp Xét hàm số y ax bx c , a , có đạo hàm y 4ax3 2bx x 2ax b Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị y có ba nghiệm phân biệt ab Đồ thị hàm số có điểm cực trị y có nghiệm ab Đồ thị hàm số có điểm cực trị có ba điểm cực trị, ln có điểm cực trị nằm trục tung Đồ thị hàm số có ba cực trị: Nếu a hàm số có hai điểm cực tiểu điểm cực đại; Nếu a hàm số có hai điểm cực đại điểm cực tiểu Chú ý ba điểm cực trị đồ thị hàm số tạo thành tam giác cân Khi hàm số có cực trị: a điểm cực trị điểm cực tiểu; a điểm cực trị điểm cực đại Đồ thị hàm số y ax bx c có nhiều điểm cực trị (bảy cực trị) đồ thị hàm số f x ax bx c có ba điểm cực trị đồ thị cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt Đồ thị hàm số y ax bx c có điểm cực trị (một cực trị) đồ thị hàm số f x ax bx c có điểm cực trị đồ thị khơng có điểm chung tiếp xúc với trục hồnh Bài tập Bài tập Có số nguyên m 20; 20 để đồ thị hàm số y mx m x có ba điểm cực trị? A 20 B 19 C 18 Hướng dẫn giải Chọn B D 17 Ta có y 4mx3 m x x 2mx m x y 2 2mx m 1 Hàm số có ba điểm cực trị y có ba nghiệm phân biệt hay 1 có hai nghiệm phân biệt m 3 khác 2m m 0 m Vậy có 19 giá trị m thỏa mãn đề Bài tập Tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x 3mx có ba điểm cực trị phân biệt hoành độ chúng khoảng 2; A ;0 8 B 0; 3 C ;0 3 D 0; 2 Hướng dẫn giải Chọn A x Ta có y x3 6mx Cho y x 3m Để thỏa mãn đề phương trình 0 2 có hai nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng 2; 3m 40m Bài tập Biết hàm số y x m2 1 x có điểm cực tiểu Giá trị lớn cực tiểu A B -1 C D Hướng dẫn giải Chọn A x y x m 1 x y 2 x m 1 Rõ ràng phương trình y ln có ba nghiệm phân biệt Lập bảng biến thiên, dễ thấy x m điểm cực tiểu đồ thị hàm số Giá trị cực tiểu yCT m 1 m 2m (dấu " " xảy m ) Bài tập Với giá trị k hàm số y kx k 1 x 2k có cực trị? A k B k k C k Hướng dẫn giải Chọn D k D k Với k , hàm số trở thành y x có đồ thị parabol nên có cực trị Do k thỏa mãn đề Với k Ta có y 4kx3 k 1 x x 2kx k 1 Để thỏa mãn yêu cầu đề phương trình 2kx k vơ nghiệm có nghiệm k x k k 1 k Kết hợp hai trường hợp ta giá trị cần tìm k k Chú ý: x=0 nghiệm phương trình 2kx k Bài tập Giá trị m để hàm số y m 1 x 2mx 2m m đạt cực đại x A m B m 3 C m D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: y m 1 x 4mx y 12 m 1 x 4m Để hàm số đạt cực đại x y 32 m 1 8m m Với m 4 y 12 1 22 , suy x điểm cực đại 3 Chú ý: Nếu f '( x0 ) = f ''( x0 ) = ta lập bảng biến thiên bảng xét dấu đạo hàm để kiểm tra Bài tập Cho hàm số y x mx x có x m điểm cực trị Tổng giá trị m 2 B A C 1 D Hướng dẫn giải Chọn D y x3 3mx y x 3m m Hàm số đạt cực trị điểm x m y m m Với m , ta có: y 1 x điểm cực tiểu (cực trị) nên m thỏa mãn 1 1 3 Với m , ta có: y x điểm cực tiểu (cực trị) nên m thỏa 2 2 2 mãn 1 Vậy tổng giá trị m thỏa mãn điều kiện 2 Bài tập Biết đồ thị hàm số y ax bx c có hai điểm cực trị A 0; , B 2; 14 Giá trị y 1 A y 1 5 B y 1 4 C y 1 2 D y 1 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y 4ax3 2bx c Các điểm A 0; , B 2; 14 thuộc đồ thị hàm số nên 1 16a 4b c 14 Mặt khác, hàm số đạt cực trị điểm x , suy 32a 4b Từ 1 ; ta có y x x Dễ thấy hàm số có điểm cực trị A 0; , B 2; 14 nên y x x hàm số cần tìm Khi y 1 5 Bài tập Biết đồ thị hàm số y x m 1 x 3m có A điểm cực đại B , C hai điểm cực tiểu Giá trị nhỏ biểu thức P OA A 12 BC B C 12 D 15 Hướng dẫn giải Chọn C x Ta có: y x m 1 x Cho y x m 1 Hàm số có ba điểm cực trị nên m Khi tọa độ ba điểm cực trị A 0;3m , B OA 3m , BC m Ta có P OA 12 3 3m 3 m 1 3 BC m 1 m 1 m 1 3 m 1 12 m 1 Dấu " " xảy m 1 m 1;5m m C m 1;5m m Suy m m 1 Bài tập Cho đồ thị hàm C2 : y g x x3 mx nx p số C1 : y f x x ax b đồ thị hàm số hình vẽ Gọi B , D hai điểm cực tiểu C1 A , C điểm cực đại điểm cực tiểu C2 ( A , C đối xứng qua U Oy ) Biết hoành độ A , B hồnh độ C , D Có giá trị nguyên a để AB ? A B C D Phân tích: dựa vào đồ thị ta có b p m Khi đó: C2 : y x3 nx b Ta cần tìm tung độ điểm A B (theo a ) Hướng dẫn giải Chọn B x n f x a g x x x Theo đề ta có a, n a n n a Khi đó: a n a2 a yB f b ; y A g b a a2 a a a AB 2 t 2t t 0 2 Xét AB t 2t t a a 2 Do a nên a 2; 1 Bài tập 10 Cho hai hàm đa thức y f x , y g x có đồ thị hai đường cong hình vẽ Biết đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị A , đồ thị hàm số y g x có điểm cực trị B (với x A xB ) AB Có giá trị nguyên m 10;10 để hàm số y f x g x m có bảy điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi x1 , x2 với x1 x2 hoành độ giao điểm đồ thị y f x y g x (dựa vào đồ thị cho, hai đồ thị có hai giao điểm kể trên, tức x x1 f x g x x x2 Xét h x f x g x m Ta có: h x f x g x f x g x f x g x Cho h x x x A xB Ta có bảng biến thiên h x sau Dựa vào bảng biến thiên h x , yêu cầu toán trở thành m m Do m nguyên m 10;10 nên m 3; 2; 1 7 m 2 Bài tập 11 Tìm giá trị tham số m để đồ thị y x 2m x có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m 1 B m C m 2 D m Hướng dẫn giải Chọn A x Ta có y x 4m x ; y x m Hàm số có ba cực trị m Khi tọa độ ba điểm cực trị A 0;1 , B m; m 1 , C m; m 1 AB m; m , AC m; m , dễ thấy AB AC Do tam giác ABC vuông cân A AB AC m2 m8 m 1 (do m ) Bài tập 12 Giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x 3m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 60 thuộc khoảng sau đây? 13 A ; 2 12 B ; 2 11 C 2; 5 11 12 D ; 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B x Ta có y x m 1 x Xét y x m 1 2 Hàm số có ba điểm cực trị m Khi tọa độ ba điểm cực trị A 0;3m , B m 1;5 m m C m 1;5 m m Suy AB AC m 1 m 1 ; BC m Tam giác ABC tam giác cân A , có góc 60 nên tam giác AB BC m 1 m 1 m 1 m 3 Bài tập 13 Có tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x 4mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 30 ? A B C Hướng dẫn giải Chọn B x Ta có y x3 8mx ; y x m Hàm số có ba cực trị m D Khi tọa độ ba điểm cực trị A 0;1 , B m ; 2m , C m ; 2m AB AC m 4m , BC m Do tam giác ABC cân A AB BC AB BC Trường hợp 1: BAC 30 , ta có cos BAC 2 AB m 4m 2m m3 Phương trình có nghiệm thực ABC 30 , Trường hợp 2: BC AB AB BC 3m 12m 4m 12m3 Phương trình có nghiệm thực Bài tập 14 Cho đồ thị hàm số C : y x m 1 x m Gọi A , B , C ba điểm cực trị C S1 , S phần diện tích phía phía trục hồnh tam giác ABC Có giá trị tham số m cho A S1 ? S2 B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: y x3 m 1 x x y m4 Cho y 2 x m y 2m Hàm số ln có ba điểm cực trị với tham số m Gọi A 0; m , B m 1; 2m , C m 1; 2m ba điểm cực trị đồ thị hàm số Ta có OA m , h d A; BC m 2m S S1 S S1 m 2m h ABC ABC 2 S2 S1 S1 m4 OA m 2m m Vậy có hai giá trị tham số thỏa mãn đề Lưu ý: Do hai tam giác đồng dạng nên tỉ lệ diện tích bình phương tỉ lệ đồng dạng, với tỉ lệ đồng dạng tỉ lệ đường cao 1 m3 Bài tập 15 Cho hàm số f x x m 1 x m m x có đồ thị C với m tham số Gọi 3 S tập tất giá trị tham số m để đồ thị C parabol P : y x 2mx có chung điểm cực trị Tổng bình phương tất phần tử S A B 10 C 16 D 18 Hướng dẫn giải Chọn A có điểm cực trị M m; m P f x x m 1 x m m x m A m; m f x x m B m 2; yB M Vì hai đồ thị hàm số có chung điểm cực trị nên A M m m m 2 Bài tập 16 Biết hai hàm số f x x3 ax x g x x3 bx x có chung điểm cực trị Giá trị nhỏ biểu thức P a b A 30 C B D 3 Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử điểm cực trị chung f x g x x0 , suy 1 2 a 3x0 2 x0 f x0 3 x0 2ax0 3 x0 2bx0 g x0 b x0 x 1 x0 Khi P a b x0 2 x0 x0 1 AM GM x0 x0 30 2 x0 x0 Dấu " " xảy x0 Khi a 30 x0 x0 30 11 30 b 20 20 Dạng Cực trị hàm phân thức Phương pháp Chú ý: Khi A B dấu A B A B Hiển x0 nhiên x0 dấu Bất đẳng AM GM : thức x y xy , x, y "" Dấu x y xảy Xét y u x u x v x v x u x Ta có y v x v2 x Gọi M x0 ; y0 điểm cực trị Khi y x0 Suy u x0 v x0 v x0 u x0 y0 u x0 u x0 v x0 v x0 Đường cong qua điểm cực trị (nếu có) đồ thị hàm số y u x u x y v x v x Nói riêng, đường thẳng qua điểm cực trị (nếu có) đồ thị hàm số y y ax bx c dx e 2ax b d Chú ý: a1 b c adx 2aex a2 d e a1 x b1 x c1 ax bx c 2 dx e dx e a2 x b2 x c2 b1 a x 2 b2 a2 a x 2 c1 b x c2 b2 b2 x c2 c1 c2 2 Bài tập Bài tập Giá trị m để hàm số y A m B m x mx 3m có cực trị x C m D m Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện x Ta có y x 3m x2 Hàm số có cực trị x 3m có hai nghiệm phân biệt khác 3m m Bài tập Giá trị m để hàm số y A m B m 1 x mx đạt cực đại x xm C m 2 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: x m Ta có y x 2mx m x m x m ; y x m D m Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại x m m 2 Bài tập Cho hàm số y x p q (với p , q tham số thực) Biết hàm số đạt cực đại x 2 , x 1 giá trị cực đại 2 Tổng S p 2q A S B S C S D S Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện: x 1 Ta có: y q x 1 Hàm số đạt cực đại điểm x 2 , giá trị cực đại 2 nên 1 q q 2 p q 2 p 1 Thử lại p q thỏa mãn nên S Bài tập Giá trị m để khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y A m 10 B m C m D m Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: x Ta có y x2 2x m 1 x Hàm số có hai cực trị x x m có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 m m 1 m x1 x2 Khi theo định lý Vi-ét ta có x1.x2 m x mx 10 1 x Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị d : y 2 x m Tọa độ hai điểm cực trị đồ thị A x1 ; 2 x1 m , B x2 ; 2 x2 m AB x2 x1 ; x1 x2 Theo yêu cầu đề ta có x1 x2 x1 x2 100 x1 x2 x1.x2 20 2 4m 20 m Bài tập Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y mx có hai điểm cực trị tất x điểm cực trị thuộc hình trịn tâm O , bán kính 6? A 10 B C D Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện: x Ta có: y m x2 x m Hàm số có hai điểm cực trị m Khi y x m ;2 m , B ; 2 m Tọa độ hai điểm cực trị đồ thị A m m Theo đề ta có OA2 OB 4m 36 4m 36m m Do m , m nên m 1; 2;3 ;8 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Bài tập Có giá trị m để đồ thị hàm số y x2 m x có hai điểm cực trị A , B ba x m điểm A , B , C 4; phân biệt thẳng hàng? A B C Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: x m Ta có y x m x m2 x m x m x m 2 D x m y m Cho y x m x m y m Do m m , m nên y có hai nghiệm phân biệt Do đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị Khi đường thẳng qua hai điểm cực trị AB : y x m Ba A, điểm C 4; B, phân biệt thẳng hàng C 4; AB m 6 m m 2 m 2 m 6 Suy khơng có giá trị m thỏa mãn đề Bài tập Cho hàm số C : y x m 1 x m 4m Có giá trị thực m để đồ thị x2 hàm số C có điểm cực đại, cực tiểu A , B cho tam giác OAB vuông? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: x 2 Ta có y x x m2 x 2 x m Ta có x x m x m Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu m Tọa độ điểm cực trị đồ thị A m 2; 2 , B m 2; 4m AB 2m; 4m Dễ thấy OA , OB , AB Trường hợp 1: Tam giác OAB vuông O OA.OB m 8m m 4 (thỏa mãn) Trường hợp 2: Tam giác OAB vuông A OA AB 2m m 2.4m m m 6 (thỏa mãn) Trường hợp 3: Tam giác OAB vuông B OB AB 2m m 4m 4m m 4m m (thỏa mãn) Vậy có bốn giá trị thực m thỏa mãn đề Bài tập Cho hàm số C : y x mx với m tham số Giá trị thực m để đồ thị hàm số C x2 có hai điểm cực trị A , B cho đường thẳng AB qua điểm M 1; A m B m C m D m Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định: D Ta có y mx x m x 1 Hàm số có hai điểm cực trị mx x m có hai nghiệm phân biệt m m m Đường cong qua hai điểm cực trị có phương trình y Ta viết phương trình đường cong dạng y 2x m 2x x m k mx x m 2x Ta chọn k cho nghiệm mẫu nghiệm tử để rút gọn thành hàm số bậc Vì x nghiệm mẫu, nên x vào tử ta m k m k 1 Với k 1 : y x m mx x m m m x AB : y x 2x 2 Điểm M 1; AB m m (thỏa mãn) Dạng 7: Cực trị hàm chứa Bài tập Có giá trị nguyên m 10;10 để hàm số y 2 x m x x có cực tiểu? A B 16 C D 14 Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số xác định x2 Ta có y 2 m y x 2 x 4x 2 y m x x 5 m x m x 2 2 m x 1 m Hàm số có cực tiểu 1 có nghiệm m m 2 Khi đó, 1 có hai nghiệm phân biệt x1;2 2 m2 thỏa mãn y x1 y x1 , m2 suy x1 điểm cực tiểu, nhận m Với m , x1 Chú ý: Để làm trắc nghiệm ta làm sau: Hàm số đạt cực tiểu hệ sau có nghiệm: y y Với m 2 , x2 thỏa mãn y x2 y x2 , m 4 suy x2 điểm cực đại, loại, m 2 Do m nguyên, m m 10;10 nên m 3; 4; ;9;10 m x m x m m 0, x m2 m Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y x m x có điểm cực trị tất điểm cực trị thuộc hình trịn tâm O , bán kính A B 82 ? C Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định: D Ta có y m x x2 Cho y m Xét g x x2 , ( x ) x x2 1 g x , x x x x2 Ta có lim g x 1 ; lim g x ; lim g x ; lim g x x x x 0 x 0 Bảng biến thiên: Hàm số có cực trị m \ 1;1 Gọi A a; b điểm cực trị đồ thị hàm số a2 1 1 a2 1 A a; b a Khi m a a a a Ta có: OA a 82 a2 a D Vậy m a2 1 10 1 ; 10 a a Kết hợp với điều kiện m , m \ 1;1 , ta m 3; 2; 2;3 Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y x tất điểm cực trị thuộc hình trịn tâm O , bán kính A 16 B 10 mx x2 có điểm cực trị 68 ? C 12 D Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định: D Ta có: y x mx x 2 y 2m x 2 , x y x m Chú ý: Hàm số đạt cực trị điểm x Hàm số có cực trị m m 2 Gọi A a; b ( a ) điểm cực trị đồ thị hàm số, đó: a m b 2a ma a 2 2a ma a m a a a 3 m Theo đề ta có OA 68 a b 68 a a 68 a Ta có: a a m 6 m 2 Vì m 6 m 2 nên m 14; 13; ; 4; 3 Vậy có 12 giá trị tham số m thỏa mãn đề Dạng 8: Cực trị hàm bậc cao hàm lượng giác Bài tập Biết tồn số thực a , b , c cho hàm số f x x ax bx 3x c đạt cực trị điểm x Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số f x điểm có hồnh độ x 2 A B 3 C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: f x x 4ax 2bx Hàm số đạt cực trị điểm x nên f 6.25 4.a.23 4b Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số f x điểm có hoành độ x 2 D f 2 6.25 4.a.23 4b 6.25 4.a.23 4b Bài tập Biết tồn số thực a , b , c cho hàm số f x a.sin x b.cos x x c đạt cực trị điểm x Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số f x điểm có hồnh độ x B 1 A D 2 C Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f x a.sin x 3b.sin x Hàm số đạt cực trị điểm x , suy f a.sin 3b.sin 6 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số f x điểm có hồnh độ x f a.sin 3b.sin 6 Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y x8 m x5 m 16 x đạt cực tiểu điểm x ? A B Vô số C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: y x m x m 16 x x3 8 x m x m 16 x3 g x Với g x x m x m 16 Ta xét trường hợp sau: - Nếu m 16 m 4 + Khi m ta có y x x điểm cực tiểu + Khi m 4 ta có y x x3 40 x không điểm cực tiểu - Nếu m 16 m 4 g Hàm số đạt cực tiểu điểm x Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x lim g x x 0 lim g x x 0 g x xlim 0 4 m 16 m 16 4 m m 3; 2; 1;0;1; 2;3 Tổng hợp trường hợp ta có: m 3; 2; 1; 0;1; 2;3; 4 Vậy có tám giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y x8 m x5 m x đạt cực tiểu x ? A B C D Vô số Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: y x m x m x x3 h x với h x x m x m Ta xét trường hợp sau: Nếu m m 2 - Khi m y x x điểm cực tiểu nên m thỏa mãn - Khi m 2 y x x3 20 x không điểm cực tiểu Nếu m m 2 h Hàm số đạt cực tiểu điểm x giá trị đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x lim h x x 0 Do lim h x x 0 h x xlim 0 4 m 2 m m 1;0;1 Tổng hợp trường hợp ta có m 1; 0;1; 2 Vậy có bốn giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu Dạng 9:Tìm cực trị hàm số chứa trị tuyệt đối Phương pháp Bước Tập xác định tính đạo hàm Đạo hàm hàm chứa trị tuyệt công thức: u u2 uu.u u u Chú ý: u u u Bước Giải phương trình đạo hàm tìm điểm làm cho đạo hàm không xác định (nhưng hàm số xác định điểm đó) Bước Lập bảng biến thiên bảng xét dấu đạo hàm Bài tập: Bài tập Số điểm cực đại hàm số f ( x) x x x A B C Hướng dẫn giải D Chọn C x Hàm số liên tục có f x x x x2 x Hàm số khơng có đạo hàm điểm x Khi x ta có x 1 3 f x x2 2x 2x x x1 3 x x Khi x ta có x 3 f x x2 2x 2x x x2 3 x x Bảng xét dấu y : Vậy hàm số có hai điểm cực đại Bài tập Số điểm cực trị hàm số y x 1 x A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có đồ thị hàm số y x 1 x sau x 1 x , x Vì y x 1 x x 1 x , x nên để vẽ đồ thị hàm số cho, ta giữ nguyên đồ thị y x 1 x x lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y x 1 x ứng với x Dễ thấy hàm số y x 1 x có hai điểm cực trị (xem hình vẽ đây): Dạng 10: Tìm cực trị hàm số trị tuyệt đối biết bảng biến thiên đồ thị Phương pháp Khi cho trước bảng biến thiên hàm số, tìm cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối: Ta dùng phép biến đổi đồ thị chứa giá trị tuyệt đối để lập bảng biến thiên bảng xét dấu Chú ý: Cách nhẩm nhanh số điểm cực trị hàm số Bước Tìm số điểm cực trị hàm số y f x Bước Tìm số nghiệm bội lẻ phương trình f x Bước Số điểm cực trị hàm số y f x tổng số điểm hai bước Ví dụ: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y f x Hướng dẫn giải Dễ thấy trục hoành cắt đồ thị y f x ba điểm phân biệt Bảng biến thiên y f x : Suy hàm số có điểm cực trị Nhẩm nhanh số cực trị Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x có hai điểm cực trị Dễ thấy trục hoành cắt đồ thị y f x ba điểm phân biệt Số nghiệm bội lẻ phương trình f x Suy hàm số có năm điểm cực trị Bài tập Bài tập Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Chú ý: Có thể nhẩm nhanh số điểm cực trị sau: đây: Số điểm cực trị hàm y f x hai lần số điểm cực trị dương hàm số y f x cộng thêm Số cực trị hàm số y f x A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Khi x f x f x nên bảng biến thiên y f x 0; bảng biến thiên y f x 0; Do đồ thị y f x nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có bảng biến thiên y f x sau: Suy hàm số có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ đây: Biết f f 0,5 Số điểm cực trị hàm số y f x A B C 10 D 11 Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số cho đồng biến 1;1 nên f f 0,5 Bài tập Cho hàm số f x x x 3 có đồ thị hình vẽ Gọi số điểm cực trị hàm số g x x x x h x x x x m , n Giá trị m n A B C D Hướng dẫn giải Chọn A x( x 3), x , suy đồ thị g x gồm hai phần suy +) Xét g x x x x x( x 3), x từ đồ thị ban đầu sau: + Phần 1: đồ thị hàm f x tương ứng với x + Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị hàm f x qua trục Ox x Đồ thị hàm số g x đường nét liền hình Từ đồ thị hàm số g x , ta có số điểm cực trị hay m x( x 3), x ; 0; +) Xét h x x x x x( x 3), x 0; Suy đồ thị h x gồm phần suy từ đồ thị ban đầu sau: + Phần 1: đồ thị hàm f x ứng với x với x + Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị hàm f x 0 x Đồ thị hàm số h x đường nét liền hình Từ đồ thị hàm số h x , ta có số điểm cực trị hay n Vậy m n Bài tập Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Chú ý: Đề hỏi số điểm cực trị khoảng 4; nên điểm x 4 không điểm cực trị Số điểm cực trị hàm số y f x 4; A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có đồ thị y f x sau: Vậy số điểm cực trị hàm số y f x 4; Dạng 11: Một số toán sử dụng phép dịch chuyển đồ thị Phương pháp Cho đồ thị hàm số (C ) : y f x Đồ thị hàm số (C1 ) : y f x a có cách dịch chuyển đồ thị hàm số (C ) qua bên phải a đơn vị a dịch qua trái a đơn vị a Đồ thị hàm số (C2 ) : y f x b có cách dịch chuyển đồ thị hàm số (C ) lên b đơn vị b dịch xuống b đơn vị b Chú ý : Khi tịnh tiến đồ thị lên – xuống, trái – phải số điểm cực trị hàm số (C ) , (C1 ) , (C2 ) Chú ý : Số điểm cực trị hàm số sau nhau: y m f x p q t n (1); y m f x p q t (2); y f x p q t (3); y f x q t (4); Từ (1) qua (2): dịch chuyển lên xuống không làm thay đổi số điểm cực trị Từ (2) qua (3): phóng to thu nhỏ khơng làm thay đổi số điểm cực trị Từ (3) qua (4): dịch trái phải không làm thay đổi số điểm cực trị Để tìm số điểm cực trị hàm số, ta làm sau: Bước Tìm hàm số có số điểm cực trị với hàm ban đầu Bước Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên, bảng xét dấu đạo hàm đề mà suy số điểm cực trị hàm tìm bước 2.Bài tập: Bài tập Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y f x 3 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Số điểm cực trị hàm số sau nhau: y f x 3 ; y f x Ta có bảng biến thiên hàm số y f x Suy số điểm cực trị hàm số y f x Bài tập Cho hàm số y f x xác định \ 0 liên tục khoảng xác định, có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y f ( x 1) có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Số điểm cực trị hàm số sau nhau: y f ( x 1) ; y f ( x 1) ; y f ( x 1) ; y f ( x) Hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ: Suy số điểm cực trị hàm y f ( x) Vậy hàm số y f ( x 1) có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x xác định \ 1 liên tục khoảng xác định, có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị? A B 9, C Hướng dẫn giải Chọn B Số điểm cực trị hàm số sau nhau: y f x 2 1 ; y f x 2 1 ; y f x 2 D Ta có bảng biến thiên hàm số y f x Từ suy số cực trị hàm số y f x nên số cực trị hàm số y f x Bài tập Cho hàm số y f x xác định \ 1 liên tục khoảng xác định, có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số y f x có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Số điểm cực trị hàm số sau nhau: y f x 3; y f x ; y f x ; y f x (vì ba hàm đầu có số nghiệm đạo hàm nhau; từ hàm thứ tư, ta dịch qua phải đơn vị đồ thị hàm thứ ba) Từ bảng biến thiên cho, suy bảng biến thiên hàm số y f x : Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số y f x có điểm cực trị Do hàm số y f x có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x xác định \ 1 liên tục khoảng xác định, có bảng biến thiên hình vẽ Biết f f 1 Số điểm cực trị đồ thị hàm số y f x A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Quan sát bảng biến thiên, rõ ràng hàm số cho đồng biến (1;3) , suy f f 1 Lại f f 1 nên f f 1 Tương tự Bài tập 4, số điểm cực trị hàm y f x với số cực trị hàm y f x Bảng biến thiên hàm số y f x là: Đến đây, ta dễ dàng suy số điểm cực trị hàm y f x Vậy hàm số y f x có điểm cực trị Chú ý: Nếu f ( x ) ³ hàm số y f x có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x xác định \ 1 liên tục khoảng xác định, có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Số điểm cực trị hàm số sau nhau: y f x ; y f x y f x Để vẽ bảng biến thiên đồ thị hàm số y f x , ta dịch bảng biến thiên (đồ thị) hàm số y f x qua phải đơn vị lấy đối xứng phần bên phải trục Oy qua Oy (bỏ phần bên trái Oy) Sau bảng biến thiên y f x y f x Vậy hàm số ban đầu có điểm cực trị Dạng 12: Định tham số để hàm số chứa dấu trị tuyệt đối có n điểm cực trị Phương pháp Xét toán: Định tham số để đồ thị hàm số y f x y f x có n điểm cực trị Bước Lập bảng biến thiên hàm số y f x Bước Dựa vào bảng biến thiên, suy tham số thỏa mãn yêu cầu đề Bài tập Bài tập Có giá trị nguyên m 5;5 để hàm số Lời bình: Ta nhìn y x3 x m x 2m có điểm cực trị? A B C rõ kết luận từ việc biến đổi đồ thị D Từ đồ thị y f x suy Hướng dẫn giải đồ thị y f x Chọn B Xét f x x x m x 2m Cho f x x x m x 2m x3 x x mx 2m x 2 x2 x m x x 4x 1 m Hàm số y x3 x m x 2m có điểm cực trị f x có nghiệm phân biệt x x m có nghiệm phân biệt khác (1 m) m 3 m 3 m 3 2 4.2 m Do m nguyên m 5;5 nên m 2; 1; 0;1; 2;3; 4;5 Vậy có giá trị m thỏa mãn đề Bài tập Có giá trị m để hàm số Lời bình: Ta nhìn y x 2m 1 x 3m x có điểm cực trị rõ kết luận từ việc biến đổi đồ thị 1 A m 0; 4 1 B m 0; 1; 4 Từ đồ thị y f x suy C m 1; D m ;0 đồ thị y f x Hướng dẫn giải Chọn B Xét f x x3 (2m 1) x 3mx Suy f x x 2(2m 1) x 3m Hàm số y x 2m 1 x 3m x có điểm cực trị hàm số y f x có điểm cực trị dương f x có nghiệm phân biệt dương 2m 12 9m m 4m 5m 2m m m 0 m Bài tập Có số nguyên tham số m 2021; 2020 để hàm số f x x 2m x m 2020 2021 có điểm cực trị? A 1009 B 2020 C 2019 D 1008 Hướng dẫn giải Chọn A f x x 2m x m 2020 2 x 2m, x m 2020 x m 2020 2 x 2m, x m 2020 Dễ thấy hàm số đạo hàm điểm x m 2020 x 2m x m 2020 Ta có: f x x 2m x m 2020 x m x m x m x m, m 1010 2m 2020 Nếu m 1010 f x x m khơng có đạo hàm điểm x m 2020 nên khơng có đủ điểm cực trị Do loại trường hợp Khi m 1010 , ta có bảng xét dấu đạo hàm sau: Vậy hàm số có điểm cực trị với m 1010 Mà m 2021; 2020 nên m 1011;1012; ; 2019 Vậy có 1009 số thỏa mãn đề m n Bài tập Cho hàm số f x x mx nx với m, n số thực thỏa mãn Số điểm 2m n cực trị hàm số y f x A B C Hướng dẫn giải Chọn C D Hàm số f x x mx nx liên tục lim f x lim f x f 2 x f 2 8 4m 2n 2(2m n 5) x f 2 f 1 f 1 m n m n f x lim f x f (1) xlim x Suy phương trình f x có nghiệm Mà f x phương trình bậc nên có tối đa nghiệm Vậy f x có nghiệm phân biệt Vậy hàm số y f x có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y x mx x với m tham số thực Đồ thị hàm số cho có nhiều điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Xét f x x3 mx x có tập xác định D Ta có f x x m Ta có g x 2x2 x2 ; f x m x x 3x (2 x 1) x x2 x2 g x 2x2 Bảng biến thiên g x : Dựa vào bảng biến thiên ta có f x có tối đa nghiệm khác m Do hàm số f x liên tục nên f x có tối đa nghiệm phân biệt Nếu tồn giá trị tham số m cho phương trình f x có nghiệm phân biệt hàm số y x Ta có f x 2 x 3m x 1 x mx x có điểm cực trị 2 Khi m (2) x 9m2 x 9m ln có nghiệm phân biệt khác Vậy phương trình f x có nghiệm phân biệt m Vậy số điểm cực trị tối đa hàm số y x mx x Bài tập Có số nguyên m 0; 2021 để hàm số y x m 1 x có điểm cực trị? A 2021 B 2022 C 21 D 20 Hướng dẫn giải Chọn B Ta chứng minh hàm số ln có điểm cực trị với tham số m Hiển nhiên hàm số liên tục Ta có: y 3x3 3 x m 1, x m 1 x 3 x m 1, x Đạo hàm không xác định điểm x 3x , x +) Khi m y 3 x , x Hàm số khơng có đạo hàm điểm x đạo hàm đổi dấu qua điểm x (vì lim y 0, lim y ) x 0 x 0 Vậy hàm số đạt cực trị x +) Khi m , ta có y 0, x lim y x 0 Cho y x m 1 đạo hàm đổi dấu qua điểm nên hàm số có điểm cực trị +) Tương tự với m , hàm số đạt cực trị điểm x 1 m Vậy hàm số ln có điểm cực trị với tham số m Do m nguyên m 0; 2021 nên có 2022 giá trị m Dạng 13: Cho bảng biến thiên, định giá trị tham số để hàm số trị tuyệt đối có n điểm cực trị Phương pháp Bài tốn: Cho bảng biến thiên hàm số y f x cho bảng biến thiên, bảng xét dấu f x Yêu cầu tìm giá trị tham số m để hàm số g x, m có n điểm cực trị Đưa hàm số g x, m hàm số đơn giản (nếu có thể) Sau sử dụng phép biến đổi đồ thị hàm trị tuyệt đối 2 Bài tập Bài tập Cho hàm số y f x liên tục \ 1 , có đạo hàm \ 1 có bảng biến thiên hàm số y f x sau Có giá trị nguyên tham số m 20; 20 để hàm số g x f x m 22020 có nhiều điểm cực trị nhất? A 21 B 19 C 22 D 20 Hướng dẫn giải Chọn D Số điểm cực trị g x f x m 22020 với số điểm cực trị hàm số h x f x m Ta có h x x f x m x Hiển nhiên hàm số khơng có đạo hàm điểm x x m 0 x m Cho h x x m x1 x x1 m Hàm số h x f x m có nhiều điểm cực trị h x có nhiều nghiệm dương hay m Do m nguyên m 20; 20 nên m 1; 2;3; ; 20 Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm có bảng biến thiên hàm số y f x sau: Số giá trị nguyên tham số m để hàm số g x f x x m có nhiều điểm cực trị nhất? A B C Hướng dẫn giải Chọn C D Ta có g x x3 x x4 x2 m f x4 x2 m x 4x m Ta có x x m Dựa vào bảng biến thiên, suy f x x m vô nghiệm (*) Hàm số g x có nhiều điểm cực trị g x có nhiều nghiệm phân biệt x4 x2 m có nhiều nghiệm phân biệt Kết hợp với (*), ta có hệ phương trình 4 x 8x x x m có nhiều nghiệm tất nghiệm khác khác (vì x3 x ln có ba nghiệm phân biệt 0; ) m x x có nhiều nghiệm tất nghiệm khác khác (**) Lập bảng biến thiên y x x ta có: Do (**) m Vậy có ba giá trị nguyên m 1; 2;3 Dạng 14: Cho đồ thị, định tham số để có hàm số có n điểm cực trị Phương pháp Bước Tìm hàm số đơn giản có số điểm cực trị với hàm ban đầu Bước Dựa vào đồ thị, xác định số cực trị hàm đơn giản bước Bài tập Bài tập Cho đường cong hình vẽ đồ thị hàm số y f x Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y f x m có điểm cực trị A m ; 1 B m 1;1 C m 1; D m ; 1 Hướng dẫn giải Chọn D Số điểm cực trị hàm số y f x m với số điểm cực trị hàm số g x f x m Ta có g x x f x m x x m 1 x 1 m Dựa vào đồ thị, ta có g x * x m 1 x 1 m (chú ý hàm số g x khơng có đạo hàm điểm x ) Hàm số y f x m có điểm cực trị g x f x m có điểm cực trị (*) có nghiệm phân biệt 1 m m 1 Bài tập Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y f x m có nhiều điểm cực trị A m 2; B m 2; 2 C m 1;1 D m 1;1 Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số y f x m có nhiều điểm cực trị y f x m cắt trục hoành nhiều điểm 2 m Bài tập Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp số nguyên dương m để hàm số y f x 2020 m có điểm cực trị Tổng tất phần tử S A B 10 C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có số điểm cực trị hàm y f x 2020 m số điểm cực trị hàm y f x m2 Xét hàm g x f x m Dựa vào đồ thị ta có số điểm cực trị hàm g x số điểm cực trị hàm f x Suy hàm số y f x 2020 m có điểm cực trị số giao điểm g x với trục Ox (không kể điểm tiếp xúc) m 3 m m 18 6 m 3 3 m 3 Do m nguyên dương nên m 3; 4 Vậy tổng giá trị Bài tập Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Số giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g x f x f x m có điểm cực trị A 16 B 17 C 15 D 18 Hướng dẫn giải Chọn A Xét h x f x f x m Suy h x f x f x 1 x Dựa vào đồ thị, ta có f x x 2 x x1 2 f x x x2 2;0 (đạo hàm đổi dấu qua nghiệm nghiệm đơn khác x x nghiệm trên) x x4 x3 (trong x x4 nghiệm đơn x 2 nghiệm kép) f x 1 x 2 Ta tính giá trị: h x1 h x2 h x3 m h x4 h 2 m h m 18 Bảng biến thiên h x : Suy hàm số h x ln có điểm cực trị Đồ thị hàm số g x f x f x m có điểm cực trị tương đương đồ thị y h x cắt trục hồnh điểm (khơng kể điểm tiếp xúc) m 18 m 18 m 2 Vậy m 17; 16; ; 2 hay có 16 giá trị nguyên m Dạng 15 Biết đồ thị hàm số f x tìm (số điểm) cực trị hàm ẩn Phương pháp Bước Tìm đạo hàm hàm số y f u x : y u x f u x Bước Từ đồ thị hàm số, xác định số nghiệm bội lẻ phương trình y Bước Kết luận cực trị hàm số y f u x Bài tập Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm có đồ thị hình vẽ (chỉ đạt cực trị điểm có điểm chung với trục hoành) Số điểm cực trị hàm số g x f x A B C D Hướng dẫn giải Chọn A f x (1) Ta có: g x f x f x Cho g x f x (2) Dựa vào đồ thị trên, ta có: x x1 (1) x (các nghiệm nghiệm bội lẻ) x x2 x 2 (2) x (trong x nghiệm kép,hai nghiệm nghiệm đơn) x Vậy phương trình g x có nghiệm bội lẻ Do số điểm cực trị hàm số g x f x Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm Chú ý: Chỉ cần quan tâm có đồ thị hình vẽ bên (chỉ đạt cực đến nghiệm bội lẻ trị điểm có điểm chung với trục hoành) Số điểm cực trị hàm số dấu qua phương trình f '( x) = g x f f x A nghiệm mà đạo hàm đổi B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: g x f x f f x f x (1) Cho g x f f x (2) Dựa vào đồ thị ta có: x x1 (1) x (các nghiệm nghiệm bội lẻ) x x2 f x x1 (2) f x f x x Phương trình f x x1 với x1 2; 1 có nghiệm đơn khác với nghiệm x x1 ; x 0; x x2 Phương trình f x có nghiệm đơn x 2, x (khác với nghiệm đơn trên) nghiệm kép x Phương trình f x x2 với x2 2;3 có nghiệm đơn khác với tất nghiệm Vậy phương trình g x có tổng cộng nghiệm bội lẻ nên hàm số g x f f x có tổng cộng điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x xác định, liên tục có điểm cực trị x 1, x có đồ thị hình vẽ sau: Hỏi hàm số y f x3 x x 1 2020 có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Do hàm số y f x có hai điểm cực trị x 1, x nên phương trình f x có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x 1, x Ta có: y ' = 3(3 x -12 x + 9) f '( x3 - x + x + 1) x 3 x 12 x x y x x x 1 x x0 1;0 x3 x x x x 32 Vì y có nghiệm lẻ x x0 , x x nên hàm số y f x x x 1 2020 có tất điểm cực trị Bài tập Biết hàm số f x xác định, liên tục có đồ thị cho hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y f f x 3 1 20 A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Số điểm cực trị hàm số y f f x 3 1 20 với số điểm cực trị hàm số y f f x 3 1 với số điểm cực trị hàm số g x f f x Ta có: g x f x f f x f x 1 g x f f x Dựa vào đồ thị, ta có x (trong x x nghiệm bội lẻ) x 1 f x 3 2 f x 3 x (nghiệm đơn) x (nghiệm kép) x x0 (nghiệm đơn) Vậy phương trình g x có nghiệm bội lẻ nên g x có điểm cực trị Suy hàm số y f f x 3 1 20 có điểm cực trị Dạng 16 Tìm (số điểm) cực trị hàm ẩn biết đồ thị hàm số f x Phương pháp Bài toán: Cho trước đồ thị hàm số f x Tìm (số điểm) cực trị (đồ thị) hàm số f u + Nếu f x có nghiệm xi , f u u xi + Chúng ta cần quan tâm đến nghiệm bội lẻ phương trình Bài tập mẫu Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Hàm số g x f x đạt cực tiểu điểm A x B x C x 2 D x 2 Hướng dẫn giải Lưu ý: Do nghiệm Chọn A nghiệm bội lẻ, nên g '( x ) đổi Phương trình f ' x có nghiệm bội lẻ x 1, x dấu qua nghiệm Ta có: g x f x 2 x f x Chính mà ta cần biết x x Cho g x 3 x 1 x 3 x x2 suy dấu khoảng Suy g x có nghiệm bội lẻ x 0, x 2 biết dấu khoảng chứa điểm Vì g 3 6 f nên ta có bảng xét dấu g x sau: dấu khoảng lại Do hàm số liên tục, nên cần biết dấu điểm, ta Ở này, ta xét im x = ẻ (2; +Ơ) Bi Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Số cực trị hàm số h x f x x A B C D Chú ý: Ta cần quan tâm đến nghiệm bội lẻ, nên ta bỏ qua nghiệm x=0 phương trình f '( x) = Hướng dẫn giải Chọn C (là nghiệm bội chẵn nên đạo Ta có: h x x f x x hàm không đổi dấu qua nghiệm này) Ta không x Dựa vào đồ thị, ta có h x x x 1 x x cần xét đến phương trình x x 1 Phương trình có nghiệm bội lẻ x 1, x nên hàm số h x có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x hình vẽ: Biết f a f c 0; f b f e Số điểm cực trị hàm số g x f x m A B C Hướng dẫn giải Chọn B Từ đồ thị đạo hàm, ta có bảng biến thiên sau: D Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy y f x có điểm cực trị, suy hàm số y f x m có điểm cực trị f x m có nghiệm bội lẻ phân biệt Khi f a f c 0; f b f e đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành điểm phân biệt nên đồ thị hàm số y f x m cắt trục hồnh điểm phân biệt Ta có g x f x m g x f x m f x m f x m 1 Cho g x f x m Phương trình 1 có nghiệm phân biệt, phương trình có nghiệm phân biệt khác với nghiệm phương trình 1 Vậy g x có nghiệm (bội lẻ) phân biệt hay g x có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục , hàm số y f x có đồ thị hình Số điểm cực trị hàm số y f x A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có số điểm cực trị hàm số y f x với số điểm cực trị y f x Vì hàm số y f x có điểm cực trị nên hàm số y f x có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị y f x hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y f x 3 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y f x 3 với số điểm cực trị hàm số y f x với số điểm cực trị hàm số y f x Ta có đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số y f x có điểm cực trị Vậy hàm số y f x 3 có điểm cực trị Dạng 17 Biết f x bảng xét dấu, bảng biến thiên f x , tìm số điểm cực trị hàm ẩn Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x3 1 x , x Số điểm cực trị hàm số g x f x x m A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có g x x x x 1 x x3 x x x 1 x g x x 1 x 2 Lập bảng xét dấu g x : Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số g x có điểm cực tiểu Lưu ý: Khi làm trắc nghiệm, ta lập bảng xét dấu thu gọn sau: Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x , x Số điểm cực trị hàm số g x f x x 1 A B C Hướng dẫn giải Chọn B D Ta có: g x x 1 f x x 1 x 1 x x 1 x x x x 3 Dễ thấy g x có nghiệm đơn x 2, x , x nên hàm số có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm sau: Số điểm cực trị hàm số g x f x x A B C D x x 2020 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: g x f x x x Nhận xét: g 1 g f x x Khi g x x 1 3 x x f x Khi 1 x g x 3 x x Tức g x đổi dấu qua điểm x 1 x Vậy hàm số g x có hai điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x với x Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số f x x m có điểm cực trị? A 17 B 16 C 14 D 15 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt g x f x x m Ta có: f x x 1 x x suy g x x 8 f x2 x m x x x m 1 x x m x x m x 2 x x m 1 1 g x x x m 2 x x m 3 Các phương trình 1 , , 3 khơng có nghiệm chung đơi 1 có nghiệm nghiệm nghiệm bội chẵn Suy g x có điểm cực trị 3 có nghiệm phân biệt khác 16 m m 16 16 m m 18 m 16 16 32 m m 16 16 32 m m 18 Do m nguyên dương m 16 nên có 15 giá trị m cần tìm Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x 3 x 2mx với x Có số nguyên m 20 để hàm số g x f x có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Do tính chất đối xứng qua trục Oy đồ thị hàm số f x nên hàm số g x f x có điểm cực trị f x có điểm cực trị dương f x có nghiệm bội lẻ phân biệt dương * x x Xét f x x 3 x 2mx 1 Để thỏa mãn * ta có trường hợp sau: +) 1 có nghiệm kép vơ nghiệm m m Do m nguyên âm nên m 2; 1;0;1; 2 +) 1 có nghiệm dương phân biệt, có nghiệm 1, nghiệm cịn lại khác Ta có 1 nhận x nghiệm 12 2.1.m m 3 Khi m 3 , vào 1 ta thấy phương trình có nghiệm dương phân biệt x x Vậy m 3 thỏa mãn +) 1 có nghiệm dương phân biệt, có nghiệm 2, nghiệm cịn lại khác Nếu 1 nhận x nghiệm 22 2.2.m m Trường hợp khơng có giá trị ngun m thỏa mãn Vậy m 3; 2; 1;0;1; 2 Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục bảng xét dấu đạo hàm sau: Hàm số g x f x x x x 12 x có tất điểm cực tiểu? A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: g x 12 x x f 2 x x 1 Dựa vào bảng xét dấu, ta có f x 0, x ; 2 2; 2 Ta có 2 x 2 nên f 2 x Suy f 2 x x 1 0, x x Do g x , nghiệm nghiệm bội lẻ x Vì 12 f 2 x x 1 nên g x dấu với h x x x nên dễ thấy hàm số g x có điểm cực tiểu Bài tập Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: Số cực đại hàm số g x f x x A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x g x x 1 f x x f x x f x x f x x Dựa vào bảng biến thiên, ta có x 1 x x 2 f 2x x x x x Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f x x x0 Khi f x x x x x0 Vì ac x0 nên phương trình ln có nghiệm trái dấu x0 x0 1 ; x2 x1 4 4 1 1 1 x2 , x0 Ta có x1 4 4 Ta có bảng xét dấu g x : Từ suy hàm số g x có điểm cực đại Bài tập Cho hàm số y f x liên tục , có bảng biến thiên f x hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g x f x3 x x5 x x 20 đoạn 1; 2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: g x x 1 3 f x3 3x x 3 Dễ thấy x 1; 2 x3 x 2; 2 f x3 x 3;1 Suy f x3 x x f x3 x Dấu " " xảy f (vơ lí) x Vậy f x3 x x 0, x 1; 2 Khi g x x 1 (đều có nghiệm đơn) Bảng xét dấu g x , x 1; 2 Vậy hàm số g x f x3 x x5 x3 x 20 đoạn 1; 2 có điểm cực trị Bài tập Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x x x với x Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x f x mx có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: g x f x m Cho g x f x m x x x x m Đặt t x 3 , t , phương trình trở thành: t t 1 m t 5t m 1 Hàm số g x f x mx có điểm cực trị 1 có nghiệm dương phân biệt 25 m S m 4 P m Do m nguyên m ; nên m 2; 1; 0;1; 2;3 Bài tập 10 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x , x 8; Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số g x f x m x 2m có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số g x f x m x 2m xác định 8; Đạo hàm g x f x m x x m Hàm số g x f x m x 2m có điểm cực trị g x có nghiệm phân biệt g x đổi dấu qua nghiệm 1 Ta có: x x m x x m * Xét hàm số h x x x , x 8; Có h x 2x2 x2 Cho h x x 2 Bảng biến thiên hàm h x : Dựa vào bảng biến thiên, suy * có tối đa nghiệm hay g x có tối đa nghiệm 2 m Vậy 1 m m Vì m nguyên nên m 1;1
Ngày đăng: 03/08/2023, 10:52
Xem thêm:
