Chuyên đề ứng dụng đạo hàm

CHƯƠN CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY Câu 1: (MĐ 101-2022) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm phương trình f ( x ) = y O A Câu 2: B x C D (MĐ 102-2022) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f ( x ) = A Câu 3: B C D (MĐ 103-2022) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Page 245 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Số giao điểm đồ thị hàm số cho đường thẳng y = A Câu 4: B C D (MĐ 103-2022) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị đường cong hình bên Có giá trị ngun thuộc đoạn [ −2;5] tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm phân biệt? A Câu 5: B C D (MĐ 104-2022) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số giao điểm đồ thị hàm số cho đường thẳng y = A B C D Page 246 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 6: (MĐ 104-2022) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị đường cong hình bên Có giá trị nguyên thuộc đoạn [ −2;5] tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu 7: (TK 2020-2021) Đồ thị hàm số y = x − x + cắt trục tung điểm có tung độ A B C D −2 Câu 8: − x + x − cắt trục tung điểm có (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Đồ thị hàm số y = tung độ A B C D −3 Câu 9: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Đồ thị hàm số y = − x − x + cắt trục tung điểm có tung độ A B C D Câu 10: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Đồ thị hàm số y = − x + x − cắt trục tung điểm có tung độ A B C −1 D Câu 11: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Đồ thị hàm số y = −2 x + x − cắt trục tung điểm có tung độ A −5 B C −1 D Câu 12: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( f ( x ) ) = A B C D Page 247 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 13: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( f ( x ) ) = A Câu 14: B C D (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( f ( x ) ) = là: A Câu 15: B 10 C 12 D (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( f ( x ) ) = A 12 B 10 C D Page 248 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 16: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx ( a, b, c ∈  ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( x ) + = Câu 17: C B A D (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx3 + cx ( a, b, c ∈  ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( x ) − = y x O A Câu 18: C B D (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho hàm số f ( x) = a.x + bx + cx , a, b, c ∈ R Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f ( x) + = 15 10 5 10 15 A B C D Page 249 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 19: (MĐ 104 ĐỢT 2) Cho hàm số f ( x) = ax + bx + cx (a, b, c ∈  ) Hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình 2020-2021 – 2 f ( x) − = A C Câu 20: B D (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau x −∞ f ′( x) + − Số nghiệm phương trình f ( x) − = A B C f ( x) + +∞ +∞ −∞ Câu 21: D (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f ( x ) = −1 là: A Câu 22: B C D (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f ( x ) = A B C D Page 250 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 23: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f ( x ) = A C Câu 24: B D (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f ( x ) = là: A Câu 25: D C B (Mã 101 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = A Câu 26: B C D (Mã 101 2018) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b , c , d ∈  ) Đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f ( x ) + = y O x −2 A Câu 27: B C D (Mã 102 2018) Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c ( a, b, c ∈  ) Đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ bên Page 251 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Số nghiệm phương trình f ( x ) − = A Câu 28: C B D (Mã 103 2019) Cho hàm số f ( x) bảng biến thiên sau: Số nghiệm thực phương trình f ( x) − = A Câu 29: C B D (Mã 103 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ −2; 2] có đồ thị hình vẽ bên Số đoạn [ −2; 2] nghiệm thực phương trình f ( x ) − = A Câu 30: (Mã B 102 2019) Cho C hàm số f ( x) D có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = Page 252 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A Câu 31: B C D (Mã 104 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thực phương trình f ( x ) + = A Câu 32: B C D (Mã 104 2018) Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ −2; 4] có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f ( x) − = đoạn [ −2; 4] A B C D Page 253 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 33: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f ( x) = − A Câu 34: B C D (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f ( x ) = A Câu 35: C Lời giải B D (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm phương trình f ( x ) = − A B C D x = Page 254 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ đồ thị, phương trình f (t ) = m có nghiệm thuộc khoảng (1; 2] m ∈ (−1;3] Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Có số nguyên m để phương trình ? A 11 B x  f  + 1 + x = m có nghiệm thuộc đoạn [ −2; 2] 2  C Lời giải D 10 Chọn C x + , −2 ≤ x ≤ ≤ t ≤ Đặt t= 3m m ⇔ f ( t ) + 6t − = Phương trình cho trở thành f ( t ) + 2t − = Xét hàm số g ( t = ) f ( t ) + 6t − đoạn [0; 2] ′ ( t ) f ′ ( t ) + Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) suy hàm số f ( t ) đồng biến khoảng Ta có g= ( 0; ) nên f ′ ( t ) > 0, ∀t ∈ ( 0; ) ⇒ g ′ ( t ) > 0, ∀t ∈ ( 0; ) g ( ) = −10 ; g ( ) = 12 Bảng biến thiên hàm số g ( t ) đoạn [ 0; 2] Phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn [ −2; 2] phương trình g ( t ) = 3m có 10 ≤m≤4 Mặt khác m nguyên nên m ∈ {−3; − 2; − 1;0;1; 2;3; 4} nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2] hay −10 ≤ 3m ≤ 12 ⇔ − Vậy có giá trị m thoả mãn tốn Câu 46: Có số nguyên m để phương trình x ( x − 3) + − m ( m − 3) = có nghiệm phân biệt Page 35 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ B 12 A D C T = Lời giải Chọn A Ta có x ( x − 3) + − m ( m − 3) = ⇔ x − x + = m − m 3 ( *) Xét hàm số: y =f ( x ) =x − x + có đồ thị hình vẽ: Từ đồ thị hàm số ta có: Phương trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔ −2 < m − m < Mà m ∈  ⇒ m − m ∈  ⇔ m ( m − 3) ∈  3 m =   m = ±3 m = ⇒ m ( m − 3) ∈ {−1;0;1} ⇒  ⇒ m = (l ) m =   m = −1 ( l ) Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tìm số giá trị nguyên m để phương trình  7 f ( x2 − x ) = m có nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  − ;   2 A B Chọn B C Lời giải D Xét phương trình f ( x − x ) = m (1)  7 Đặt = t x − x , với x ∈  − ;   2 t′ x − ; t ' = ⇔ x = Ta có = Page 36 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  7 Bảng biến thiên hàm số = t x − x đoạn  − ;   2 21   Dựa vào bảng biến thiên suy t ∈  −1 ;  4  Xét t = −1 phương trình (1) thành f ( −1) = m ⇒ = m  x2 − x = −1  Với m = phương trình f ( x − x ) =⇔ (*) với < a < a  x − 2x = Dễ thấy (*) có tối đa nghiệm (khơng thỏa mãn yêu cầu) 21   Xét t0 ∈  −1;  4  21   7  Nhận xét với t0 ∈  −1;  có giá trị x ∈  − ;  thỏa mãn t= x2 − x 4  2   7 Do phương trình f ( x − x ) = m có nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  − ;   2 21   phương trình f ( t ) = m có nghiệm phân biệt t ∈  −1;  Hay đường thẳng y = m phải cắt đồ 4  21   thị hàm số y = f ( t ) điểm với t ∈  −1;  4  Mà m ∈  nên từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có= m 3;= m thỏa mãn yêu cầu KL: Có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu Câu 48: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục  Biết f (0) = f ′ ( x ) cho hình vẽ bên Phương trình f ( x ) = m ( với m tham số) có nhiều nghiệm? Page 37 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A B Chọn B BBT hàm số y = f ( x) C Lời giải D BBT hàm số y = f ( x ) BBT hàm số y = f ( x ) Suy phương trình f ( x ) = m có nhiều nghiệm Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức với hệ số thực Hình vẽ bên phần đồ thị hai hàm số: y = f ( x ) y = f ′ ( x ) Tập giá trị tham số m để phương trình f ( x ) = me x có hai nghiệm phân biệt [ 0; 2] nửa khoảng [ a; b ) Tổng a + b gần với giá trị sau đây? A −0.81 B −0.54 C −0.27 D 0.27 Page 38 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Nhận xét: Đồ thị hàm y = f ′ ( x ) cắt trục hoành điểm x0 x0 điểm cực trị hàm y = f ( x ) Dựa vào hai đồ thị đề cho, ( C1 ) đồ thị hàm y = f ( x ) ( C2 ) đồ thị hàm y = f ′( x) Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) y = me x ta có: f ( x) f ( x ) = me x ⇔ m = x e f ( x) ta có: ex f ′( x) − f ( x) g′( x) = ex Đặt g ( x ) = x =  g ′ ( x ) =0 ⇔ f ′ ( x ) =f ( x ) ⇔  x =2  x = x ∈ ( −1;0 )  Dựa vào đồ thị hai hàm số: y = f ( x ) y = f ′ ( x ) ta được: Yêu cầu toán ta suy ra: ⇔ −0, 27 ≤ m < f ( 2) ≤ m < (dựa vào đồ thị ta nhận thấy f = ( ) f ( ) ≈ −2 ) e2 −0, 27, b = Suy ra: a = Vậy a + b =−0, 27 Câu 50: Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) hàm xác định liên tục  có đồ thị hình vẽ bên (trong đường cong đậm đồ thị hàm số y = f ( x ) ) Có số  5 m có nghiệm thuộc đoạn  −1;  nguyên m để phương trình f (1 − g ( x − 1) ) =  2 Page 39 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A B C Lời giải Chọn B D  5 Với x ∈  −1;  ⇒ x − ∈ [ −3; 4] ⇒ g ( x − 1) ∈ [ −3; 4] ⇒ t = − g ( x − 1) ∈ [ −3; 4]  2 Vậy ta cần tìm m để phương trình f ( t ) = m có nghiệm thuộc đoạn [ −3; 4] ⇔ f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ f ( t ) ≤ m ≤ f ( t ) ∈ ( −1;0 ) Vậy số [ −3;4] [ −3;4] [ −3;4] [ −3;4] nguyên cần tìm a ∈ {0,1, 2} Câu 51: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ −1;9] có đồ thị đường cong hình vẽ Có 16.3 bao f ( x) −  f ? A 32 Chọn B nhiêu giá trị ( x ) + f ( x ) − 8 B 31 nguyên f ( x) tham ≥ ( m − 3m ) f ( x) C Lời giải số m để bất phương trình nghiệm với giá trị thuộc [ −1;9] D Dễ thấy −4 ≤ f ( x ) ≤ 2, ∀x ∈ [ −1;9] (1) nên −  f ( x ) +   f ( x ) −  ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;9] Do −  f ( x ) + f ( x ) − 8 ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;9] (2) Ta có 16.3 f ( x ) −  f ( x ) + f ( x ) − 8 f ( x ) ≥ ( m − 3m ) f ( x ) nghiệm với x ∈ [ −1;9] Page 40 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 ⇔ 16   2 f ( x) 2 −  f ( x ) + f ( x ) − 8   3 f ( x) ≥ m − 3m nghiệm với x ∈ [ −1;9] f ( x)    f ( x )    = ⇔ α 16   −  f ( x ) + f ( x ) − 8    ≥ m − 3m (3) x∈[ −1; 9]       1 Từ (1) (2) ta có   2 1 Suy 16   2 f ( x) f ( x) 1 2 ≥   −  f ( x ) + f ( x ) − 8   3 2 2 −  f ( x ) + f ( x ) − 8   3 f ( x) f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ −1; 9] ≥ 4, ∀x ∈ [ −1; 9] Dấu “=” xảy f ( x ) =2 ⇔ x =−1 ∨ x =a ( < a < ) Do α = (3) ⇔ ≥ m − 3m ⇔ −1 ≤ m ≤ Vì m nguyên nên m ∈ {−1;0;1; 2;3; 4} Câu 52: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ −1;3] có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x ) + x + + − x ≥ m có nghiệm thuộc [ −1;3] A m ≤ B m ≥ C m ≤ 2 − Lời giải Chọn A D m ≥ 2 − Bất phương trình f ( x ) + x + + − x ≥ m có nghiệm thuộc [ −1;3] ( ) m ≤ Max f ( x ) + x + + − x [1;3] Xét hàm số g ( x )= Ta có g ′ ( x ) = x + + − x đoạn [ −1;3] 1 − x − x +1 − = x + − x − x x + ⇔x= g′( x ) = ⇔ − x − x + = g ( −1) = = 2 , g ( 3) = + = Suy Max g ( x ) = x = (1) [ −1;3] Mặt khác, dựa vào đồ thị f ( x ) ta có Max f ( x ) = x = (2) ( [ −1;3] ) Từ (1) (2) suy Max f ( x ) + x + + − x = x = [1;3] Vậy bất phương trình cho có nghiệm thuộc [ −1;3] m ≤ Page 41 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 53: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −3;3] đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Biết f (1) = g= ( x) f ( x) ( x + 1) − Mệnh đề sau đúng? A Phương trình g ( x ) = có hai nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] B Phương trình g ( x ) = khơng có nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] C Phương trình g ( x ) = có nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] D Phương trình g ( x ) = có ba nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] Lời giải Chọn C Ta có g (1= ) f (1) (1 + 1)= − f (1) − = g ′ ( x= ) f ′ ( x ) − ( x + 1) Từ đồ thị hàm số  x = −3  y = f ′ ( x ) y= x + ta có g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x + ⇔ x =   x = Xét hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′( x); y = x + 1; x = −3; x = có diện tích S1 > ⇔ ∫ −3 f ′ ( x ) − ( x + 1) dx > ⇔ ∫ g ′ ( x ) dx > ⇔g (1) − g ( −3) > ⇒ g ( −3) < g (1) − = −3 Xét hình phẳng giới hạn đồ thị y =f ′ ( x ) ; y =+ x 1; x = 1; x = có diện tích S < Page 42 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3 1 ⇔ ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx < ⇔ ∫ g ′ ( x ) dx < ⇔ − g ( 3) + g (1) < ⇒ g ( 3) > g (1) − = Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên hàm y = g ( x ) [ −3;3] Từ bảng biến thiên suy phương trình g ( x ) = có nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] Câu 54: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ 4m3 + m = f ( x) + Các giá trị tham số m để phương trình f ( x ) + có ba nghiệm phân biệt 37 A m = B m = ± 3 Chọn A 4m3 + m = f ( x) + f ( x ) + ⇔ 4m3 += m ⇔ ( 2m ) = + 2m ( f ( x ) + 5) C m = ± Lời giải ( f ( x ) + 3) 37 D m = 2 f ( x) + f ( x) + + f ( x) + Xét hàm số f ( t ) = t + t , ∀t ∈  ⇒ f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈  2m ) f ⇒ f (= ( ) f ( x ) + ⇔= 2m f ( x) + m > m >   ⇔ 4m − ⇔  4m −  f ( x) =  f ( x) = ±   4m − Với f ( x ) = − từ đồ thị ta thấy có nghiệm Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt phương trình f ( x) = 4m − phải có hai nghiệm ⇔ 4m − 37 =4 ⇔ m = , ( m > 0) 2 Page 43 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 55: Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ sau Hỏi có giá trị nguyên tham số thực m để phương trình f ( f ( x ) ) = m có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1; 2] ? B A Chọn D Đặt g ( x ) = f ( f ( x ) ) C Lời giải D g′ ( x ) = f ′ ( f ( x )) f ′ ( x )  f ′( x) = Cho g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( f ( x )) f ′ ( x ) = ⇔  f ′ ( f ( x ) ) = x = + f ′ ( x )= ⇔  ( hoành độ điểm cực trị )  x = −1  f ( x) = + f ′ ( f ( x ) )= ⇔   f ( x ) = −1 Dựa vào đồ thị, ta có: + Khi f ( x ) =1 ⇔ x =0 ; x = a ∈ ( −2; − 1) ; x= b ∈ (1; ) + Khi f ( x ) =−1 ⇔ x =1 ; x = −2 Bảng biến thiên Phương trình f ( f ( x ) ) = m có nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ −1; 2] ⇔ −1 < m < Mà m số nguyên nên m ∈ {0;1; 2} Vậy có giá trị m thỏa đề Câu 56: Cho hàm số g ( x ) = x3 + x − x Có số ngun m để phương trình g ( g ( x ) + 3) −= m g ( x ) + có nghiệm thực phân biệt A B C 24 D 25 Page 44 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn D Đặt t= g ( x ) + ⇒ t= x + x − x + ⇒ t ′= x + x −  x= −  t ′= ⇔  x = Ta có bảng biến thiên   Từ bảng biến thiên suy giá trị t ∈  −2; 289   có tương ứng giá trị x 27   t ≥ − g ( g ( x ) + 3) −= m g ( x ) + ⇔ g ( t ) − m = ( t + 3) + ⇔    g (t ) − m = ( 2t + 1) 1   t ≥ − t ≥ − ⇔ ⇔ m = 2t + t − 8t − 4t − 4t − m = 2t − 3t − 12t − (1)   Phương trình cho có nghiệm thực phân biệt phương trình (1) có nghiệm  289    27  phân biệt t ∈  − ;  289    27  Xét hàm số f ( t ) = 2t − 3t − 12t − với t ∈  − ; t = −1 f ′ ( t ) = 6t − 6t − 12 ⇒ f ′ ( t ) = 0⇔ t = Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, phương trình cho có nghiệm thực phân biệt m ∈ ( −21; 4] Mà m ∈  ⇒ m ∈ {−20; −19; −18; ; 4} ⇒ có 25 số nguyên thỏa mãn Page 45 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 57: Cho hàm số f ( x ) = x − x + Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x ) − ( m − 6) f ( x ) − m + = có nghiệm thực phân biệt? A B D C Lời giải Chọn D Hàm số f ( x ) = x − x + có bảng biến thiên x f(x) -∞ +∞ +∞ +∞ -1 Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên x -2 -∞ f(x) +∞ +∞ +∞ -1 -1 Đặt t f ( x ) ≥ −1(*) = Nhận xét: () () → x ∈∅ + với t0 = −1; t0 >  → nghiệm + với t0 < −1  * * () ()  → nghiệm + với t0 ∈ ( −1;3)  + với t= → nghiệm * * t = −1 ⇔ Phương trình trở thành t − ( m − ) t − m + = t m−5 = m∈ → m ∈ {5;6;7} Yêu cầu toán suy −1 < m − < ⇔ < m <  Câu 58: Cho hàm số f ( x) = x3 + x −8 x + Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên dương tham số m để phương trình f ( f ( x) − 3) + = m f ( x) − có nghiệm thực phân biệt Tổng phần tử S A 25 B −66 Chọn D Đặt = t f ( x) − C 105 Lời giải D 91 * t= f ( x) − ⇔ t= x3 + x −8 x + (1) Page 46 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ y= −1  x =⇒  Đặt g ( x) =2 x + x −8 x + ; g ′( x) =6 x + x − ; g ′( x) =0 ⇔ 316 x = − ⇒y= 27  Bảng biến thiên 2 Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = g ( x) y = t Dựa vào bảng biến thiên ta có 316 phương trình (1) có nghiệm + t < −1 t > 27 316 + t = −1 t = phương trình (1) có nghiệm 27 316 phương trình (1) có nghiệm phân biệt + −1 < t < 27 * Ta có f ( f ( x) − 3) + m = f ( x) − ⇔ f (t ) + m = 2t + (2) Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm t ≥ − (2) ⇔ f (t ) + m = 4t + 4t + ⇔ m = 4t + 4t + − f (t ) ⇔ m = −2t + 3t + 12t − t = −1 Đặt h(t ) = −2t + 3t +12t − ; h′(t) = −6t + 6t + 12 ; h (t ) = 0⇔ t = Bảng biến thiên Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị hàm số y = h(t ) y = m Dựa vào bảng biến thiên ta có + m > 14 phương trình (2) vơ nghiệm + m = 14 m < −11 phương trình (2) có nghiệm + −11 ≤ m < 14 phương trình (1) có nghiệm phân biệt Page 47 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Phương trình f ( f ( x) − 3) + = m f ( x) − có nghiệm thực phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm phân biệt Vậy phương f ( f ( x) − 3) + = m f ( x) − có nghiệm thực phân biệt phương trình (2) có 316 hai nghiệm phân biệt − ≤ t < 27 Dựa vào bảng biến thiên ta kết −11 ≤ m < 14 Suy S = {1; 2; ;13} Tổng phần tử S =1 + + 11 + 12 + 13 =91 Câu 59: Cho hàm số f ( x ) liên tục  Hàm số f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ: y O x Bất phương trình f ( 2sin x ) − 2sin x < m với x ∈ ( 0; π ) B m > f (1) − A m > f ( ) − Chọn B Đặt 2sin x = t Vì x ∈ ( 0; π ) nên t ∈ ( 0; ) Bất phương trình trở thành f ( t ) − C m ≥ f (1) − Lời giải D m ≥ f ( ) − t2 t2 Đặt g= t ⇒ g ′ ( t ) > , t ∈ (1; ) f ′ ( t ) < t ⇒ g′ (t ) < Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max g ( t ) = g= 1) f (1) − ( ( 0;2 ) Vậy bất phương trình cho với x ∈ ( 0;π ) m > f (1) − Câu 60: Cho hàm số f ( x ) =x5 + x3 − 4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x ) + m =x3 − m có nghiệm thuộc [1; 2] ? A 15 B 16 Chọn B Đặt = t C 17 Lời giải D 18 f ( x ) + m ⇒ t= f ( x) + m t f ( x ) + m = Ta có hệ  ⇒ f ( x ) + x3= f ( t ) + t = f (t ) + m  x x ) f ( x ) + x3 , x ∈ [1; 2] ⇒ g ′ (= x ) f ′ ( x ) + x > ∀x ∈ [1; 2] Xét hàm số g (= ⇒ Hàm số g ( x ) đồng biến đoạn [1; 2] x t ⇒ f ( x ) =− x3 m Vì g ( x= ) g (t ) ⇔ = ⇔ x5 + x3 − 4m = x3 − m ⇒ 3m = x5 + x3 (1) Xét hàm số h ( x ) = x + x , x ∈ [1; 2] ⇒ h′ ( x ) = x + x > ∀x ∈ [1; 2] Phương trình (1) có nghiệm ⇔ h (1) ≤ 3m ≤ h ( ) ⇔ ≤ 3m ≤ 48 ⇔ ≤ m ≤ 16 Do m ∈ Z ⇒ m ∈ {1; 2;3; 4; ;16} Vậy có 16 giá trị nguyên tham số m Page 49