Chuyên đề các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tính đơn điệu

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (chun đề gồm 106 trang) ĐỀ CƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn tìm cực trị hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn tìm GTLN, GTNN hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn tìm tiệm cận hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến toán tiếp tuyến đồ thị hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến toán xét tương giao đồ thị hai hàm số - Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến phép biến đổi đồ thị PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: Biết đặc điểm hàm số y = f ( x ) Dạng tốn Các tốn tính đơn điệu hàm ẩn bậc (dành cho khối 10) Câu 1: Cho parabol ( P ) : y = f ( x ) = ax + bx + c , a ≠ biết: ( P ) qua M (4;3) , ( P ) cắt Ox N (3;0) Q cho ∆INQ có diện tích đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ Khi hàm số f ( x − 1) đồng biến khoảng sau 1  A  ; +∞  2  C ( 5;7 ) B ( 0; ) D ( −∞; ) Lời giải Chọn C Vì ( P ) qua M (4;3) nên = 16a + 4b + c (1) Mặt khác ( P ) cắt Ox N (3;0) suy = 9a + 3b + c (2), ( P ) cắt Ox Q nên Q ( t ;0 ) , t < b  t + =− a Theo định lý Viét ta có   3t = c  a Ta có S ∆INQ = Do IH = − IH NQ với H hình chiếu ∆   b I  − ; −  lên trục hoành  2a 4a  ∆ ∆ , NQ= − t nên S ∆INQ =1 ⇔ − ( − t ) =1 4a 4a ( t + 3) − 3t = ⇔ − t = (3)  b  c ⇔ (3 − t )   − = ⇔ (3 − t ) ( ) a a a  2a  a 2 Từ (1) (2) ta có a + b = ⇔ b = − a suy t + =− Thay vào (3) ta có ( − t ) = 3 − 7a 4−t ⇔ = a a 8(4 − t ) ⇔ 3t − 27t + 73t − 49 = ⇔ t = Suy a =1 ⇒ b =−4 ⇒ c =3 Vậy ( P ) cần tìm y = f ( x ) = x − x + Khi f ( x − 1)= ( x − 1) − ( x − 1) + 3= x − 12 x + 3  Hàm số đồng biến khoảng  ; +∞  2  Câu 2: Cho hai hàm số bậc = hai y f= ( x), y g ( x) thỏa mãn f ( x) + f (2 − x) = x − 10 x + 10 ; số y f= g (0) = 9; g (1) = 10; g (−1) = Biết hai đồ thi hàm= ( x), y g ( x) cắt hai điểm phân biệt A, B Đường thẳng d vng góc với AB tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 36 Hỏi điểm thuộc đường thẳng d ? A M ( −2;1) B N ( −1;9 ) C P (1; ) Lời giải D Q ( 3;5 ) Chọn B Gọi hàm số f ( x) = ax + bx + c ta có f ( x) + f (2 − x) = x − 10 x + 10 ⇔ ax + bx + c +  a (2 − x) + b(2 − x) + c = x − 10 x + 10 = a 1= a   ⇔ −2b − 12a =−10 ⇔ b =−1 ⇒ f ( x) =x − x + 12a + 6b = c + 4c 10 =   Gọi hàm số g ( x) = mx + nx + p ta có g (0) = 9; g (1) = 10; g (−1) = hệ giải m= −2; n = 3; p =⇒ g ( x) = −2 x + x + Khi tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình 2  y = x − x + 2 y = x − x + ⇔ ⇒ y =x + 11   −2 x + x + −2 x + x +  y =  y = 11 Do đường thẳng AB: y = x + ⇒ d : y = −3 x + k Đường thẳng d cắt hai trục tọa 3 k k  độ E ( 0; k ) ; F  ;0  Diện tích tam giác OEF k 6⇔k = = ±6 3  Vậy phương trình đường thẳng d là: d : y = −3 x + 6, y = -3 x - Chọn đáp án B Câu 3: Biết đồ thị hàm số bậc hai y = ax + bx + c (a ≠ 0) có điểm chung với y = −2,5 cắt đường thẳng y = hai điểm có hồnh độ −1 Tính P = a + b + c B A C −1 Lời giải D −2 Chọn D Gọi (P): y = ax + bx + c, ( a ≠ ) Ta có: a − b + c =2 b =−4a +) ( P ) qua hai điểm ( −1; ) ; ( 5; ) nên ta có  ⇔ 25a + 5b + c =  c = − 5a +) ( P ) có điểm chung với đường thẳng y = −2,5 nên −∆ b − 4ac = −2,5 ⇔ = 2,5 ⇔ 16a − 4a ( − 5a ) = 10a ⇔ 36a − 18a = 0⇔ a = 4a 4a Do đó: b = −2; c = − Dạng tốn Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) tốn khơng chứa tham số Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục  thỏa mãn f (1) <  f ( x ) − x  f ( x )= x + x + x , ∀x ∈  Hàm số g= ( x ) f ( x ) + x đồng biến khoảng  1 B  0;   3 A (1;3) 1  C  ;1 3  Lời giải D (1; +∞ ) Chọn C Ta có  f ( x ) − x  f ( x ) = x + x + x ⇔ ( f ( x ) ) − x f ( x ) − x − x − x = Đặt t = f ( x ) ta phương trình t − x.t − x − x − x = Ta có ∆= x − ( − x − x − x )= x + 12 x + x 2= ( 2x + 3x )  x + x3 + 3x t = x3 + x =  f ( x= ) x3 + x Vậy  Suy  − x3 − x  x − x3 − 3x  f ( x ) = t x x = = − −  − x3 − x Do f (1) < nên f ( x ) = Ta có g ( x ) =− x3 + x − x ⇒ g ' ( x ) =−3 x + x − > ⇔ Câu 5: < x < Cho đa thức f ( x ) hệ số thực thỏa điều kiện f ( x ) + f (1 − x = ) x , ∀x ∈ R Hàm số = y x f ( x ) + x + x + đồng biến A R \ {−1} B (0; +∞) C R D (−∞;0) Lời giải Chọn C Từ giả thiết, thay x x − ta f (1 − x ) + f ( x ) = ( x − 1) 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x2 Khi ta có   →3 f = ( x ) x + x − 2 f (1 − x ) + f ( x ) = x − x + Suy y = x3 + x + x + ⇒ y′ = x + x + ≥ 0, ∀x ∈ R Nên hàm số đồng biến R Câu 6: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ −1;1] thỏa f (1) = , + f ( x ) = x + 16 x − Hàm số g ( x = ) f ( x ) − x3 − x + đồng biến khoảng nào? ( f ′ ( x )) A ( − 1; ) B ( 0;3 ) C ( 0; ) D ( − 2; ) Lời giải Chọn C Chọn f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) (lý do: vế phải hàm đa thức bậc hai) ⇒ f ′( x) = 2ax + b Ta có: ( f ′ ( x )) + f ( x ) = x + 16 x − ⇔ ( 2ax + b ) + ( ax + bx + c ) = x + 16 x − ⇔ ( 4a + 4a ) x + ( 4ab + 4b ) x + b + 4c = x + 16 x − Đồng vế ta được:  4a + 4a = a =   16 ⇔ b = 4ab + 4b = c = −3 b + 4c = −8   a = −2  b = −4 c = −6  , b = c = −3 Do f (1) = ⇒ a + b + c = ⇒ a = x = Vậy f ( x ) = x + x − ⇒ g ( x ) = 0⇔ − x3 + x ⇒ g ' ( x ) = − x2 + 2x ⇒ g ' ( x ) = x = Ta có bảng biến thiên x −∞ g '( x) − 0 +∞ + − Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) Câu 7: Cho hàm g= ( x) f ( số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình bên Đặt ) x + x + Chọn khẳng định khẳng định sau y O A g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) x B g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 )  −1  C g ( x ) nghịch biến khoảng  ;0  D g ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1)   Lời giải Chọn C Hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d ; f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c , có đồ thị hình vẽ Do x = ⇒ d = ; x = ⇒ 8a + 4b + 2c + d = ; f ′ ( ) = ⇒ 12a + 4b + c = ; f ′ ( ) = ⇒ c = Tìm a = 1; b = −3; c = 0; d = hàm số y =x − x + Ta có g= ( x) f ⇒ g ′ ( x= ) ( ) ( x2 + x + x + x + 2= ) − 3( x + x + 2) + 3 ( x + 1) x + x + − ( x + 1=) ( x + 1)  x + x + − 1 ; 2   x = −   g ′ ( x ) =0 ⇔  x =1  x = −2   Bảng xét dấu hàm y = g ( x ) : x −∞ y′ y − −2 −1/ + +∞ − 7 − 10 +∞ + +∞ 4  −1  Vậy y = g ( x ) nghịch biến khoảng  ;0    Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có f ( −2 ) < Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ Khẳng định sau đúng? A Hàm số= y f (1 − x ) nghịch biến ( −∞; −2 ) B Hàm số= y f (1 − x ) đồng biến ( −∞; −2 ) C Hàm số= y f (1 − x ) nghịch biến ( −1;0 ) D Giá trị nhỏ hàm số f ( −2 ) Lời giải Chọn A Ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Ta có f ( −2 ) < 0;1 − x ≤ ⇒ f (1 − x ) < 0.∀x ∈  ( 3) ∪( t = − x ⇒ f ' ( t ) < ⇒ t ∈ ( −2;1) ⇔ x ∈ − 3; ( < f ' ( t ) ⇒ t ∈ ( −∞; −2 ) ⇔ x ∈ −∞; − g ( x ) = f (1 − x ) ⇒ g ' ( x ) = f (1 − x ) = ) 3; +∞ ) −4 xf ( t ) f ' ( t ) f (t ) Dạng toán Dạng toán tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) toán chứa tham số Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ , a ≠ ) có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) qua gốc tọa độ có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ y −1 O x Tính giá trị= H f ( 4) − f ( 2) A H = 58 B H = 51 C H = 45 Lời giải D H = 64 Chọn A Do f ( x ) hàm số bậc ba nên f ′ ( x ) hàm số bậc hai Dựa vào đồ thị hàm số f ′ ( x ) f ′ ( x ) có dạng f ′ (= x ) ax + với a > Đồ thị qua điểm A (1; ) nên a = f ′ (= x ) 3x + Vậy H = f ( ) − f ( ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3x 2 + 1) dx = 58 Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + m , (với a, b, c, d , m ∈  ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên dưới: Tập nghiệm phương trình f = ( x ) 48ax + m có số phần tử là: A B C Lời giải D Chọn B Ta có f ′ ( x ) = 4ax3 + 3bx + 2cx + d (1) Dựa vào đồ thị ta có f ′ ( x ) =a ( x − 1)( x + )( x + 3) = 4ax3 + 13ax − 2ax − 15a ( ) a ≠ Từ (1) ( ) suy b = 13 a , c = −a d = −15a Khi đó: f= 48ax ( x ) 48ax + m ⇔ ax + bx3 + cx + dx = 13   ⇔ a  x + x3 − x − 63 x  =   x = ⇔ x + 13 x − x − 189 x = 0⇔ x = Vậy tập nghiệm phương trình f = ( x ) 48ax + m S = {0;3} Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = x + bx3 + cx + dx + m , (với a, b, c, d , m ∈  ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên dưới: Biết phương trình f ( x= ) nx + m có nghiệm phân biệt Tìm số giá trị nguyên n A 15 B 14 C Lời giải D Chọn B Ta có f ′ ( x ) = x3 + 3bx + 2cx + d (1) Dựa vào đồ thị ta có f ′ ( x ) = ( x − 1)( x + 5)( x + 3) = x3 + 13x − x − 15 Từ (1) ( ) suy b = 13 , c = −1 d = −15 Khi đó: f ( x= nx ) nx + m ⇔ x + bx3 + cx + dx = x = 13 ⇔ x + x − x − 15 x = nx ⇔  13  x + x − x − 15 = n  (*) Phương trình f ( x= ) nx + m có nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác Xét hàm số g ( x) = x + 13 x − x − 15  x = −3 26 g ( x) = 3x + x −1 = ⇔  x =  ' Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác biệt n ∈ {−1; −2; ; −14} Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số f ′ ( x ) = x3 + ax + bx + c ( a, b, c ∈  ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( f ′ ( x ) ) nghịch biến khoảng đây? A (1; +∞ ) B ( −∞; −2 )  3 D  − ;   3  C ( −1;0 ) Lời giải Chọn B Vì điểm ( −1;0 ) , ( 0;0 ) , (1;0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nên ta có hệ: b+c = −1 + a −= a   ⇔ b =−1 ⇒ f ′ ( x ) =x − x ⇒ f '' ( x ) =3 x − c =0 1 + a += c b+c =   x ) f ( f ′ ( x )) ⇒ g′ ( = x ) f ′ ( f ′ ( x ) ) f '' ( x ) Ta có: g ( =  x3 − x =  x −x= Xét g ′ ( x ) = ⇔ g ′ ( x ) = f ′ ( f ' ( x ) ) f ′′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x3 − x )( x − 1) = ⇔  x − x =−1  3 x − =0   x = ±1  x = 1,325 ⇔  x =  x = −1,325  x = ±  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ⇒ g ( x ) nghịch biến ( −∞; −2 ) Dạng toán Biết đặc điểm hàm số đồ thị, BBT đạo hàm hàm f ( x ) , xét ( ) biến thiên hàm y f= = f ( x ) ) , y f f ( f ( x ) ) toán (ϕ ( x ) ) ; y f (= khơng chứa tham số NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số Từ đồ thị ta có f ′ ( t ) ≥ t − 2t − < t < ⇔ < x + < ⇔ < x < NHÓM TỐN VD – VDC Lời bình: Do hàm f ( x ) chưa biết nên + Phương án B sai + Phương án C + Phương án D Do đó, để chắn có phương án nên điều chỉnh phương án C, D thành 1  C  ;1 3  D ( −∞;0 ) ĐỀ XUẤT SỬA LỜI GIẢI THÀNH ′ ( x )  f ′ ( x + 1) + (1 − x )  Ta có: g=   Có: f ′ ( x + 1) = ⇔ x = 0; x = ; x = ; x = 3 − x2 = 0⇔ x= ±1 Bảng xét dấu g ′ ( x ) −∞ f ′ ( x + 1) − − x2 − −1 + − + + + + − + + − Khô g′ ( x) − Khôn ng g XĐ XĐ + + đượ dấu +∞ c dấu Khơ ng XĐ NHĨM TOÁN VD – VDC x dấu 1 2  1 Vậy hàm số đồng biến khoảng  −1;   ;  ⇒ Chọn A 3 3  3 Câu 55: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  Bảng biến thiên hàm số f ′ ( x ) hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46 NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số NHĨM TỐN VD – VDC  x Hàm số g ( x ) = f 1 −  + x nghịch biến khoảng khoảng đây?  2 A ( −4; −2 ) B ( −2;0 ) C ( 0; ) D ( 2; ) Lời giải Chọn A  x  x Xét g ( x) = f 1 −  + x Ta có g '( x) = − f ' 1 −  +  2  2  x Xét g '( x) ≤ ⇔ f ' 1 −  ≥  2 Dựa vào bảng biến thiên hàm số f ′ ( x ) ta có: x  x +) TH1: f ′ 1 −  > ⇔ < − < ⇔ −4 < x < −2 Do hàm số nghịch biến ( −4; −2 )  2 NHĨM TỐN VD – VDC x  x +) TH2: f ′ 1 −  > ⇔ −1 < − < a < ⇔ < − 2a < x < nên hàm số nghịch biến  2 khoảng ( − 2a; ) khơng nghịch biến tồn khoảng ( 2; )  x Vậy hàm số g ( x ) = f 1 −  + x nghịch biến ( −4; −2 )  2 Chú ý: Từ trường hợp ta chọn đáp án A xét tiếp trường hợp xem thử = y g= Dạng toán 50 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) xét tính đơn điệu hàm số ( x ) f (u ( x )) + h ( x ) toán chứa tham số Dạng toán 51 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) , xét tính đơn điệu hàm số y= g ( x) = f ( u ( x ) ) + f ( v ( x ) ) + h ( x ) tốn khơng chứa tham số Dạng tốn 52 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) , xét tính đơn điệu hàm số y= g ( x) = f ( u ( x ) ) + f ( v ( x ) ) + h ( x ) toán chứa tham số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47 NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến toán xét tính đơn điệu hàm số Dạng tốn 53 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) xét tính đơn điệu hàm số y g= = ( x )  f ( u ( x ) ) tốn khơng chứa tham số k sau: Biết f 2  f  2  , hỏi hàm số g  x    f 3  x  nghịch biến khoảng khoảng sau? A 2; 1 B 1; 2 C  2; 5 D 5;  Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Câu 56: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  có bảng xét dấu hàm số y = f   x  Chọn C Dựa vào bảng xét dấu hàm số y = f   x suy bảng biến thiên hàm số y = f  x  sau: Từ bảng biến thiên suy f 3  x  0, x   2   x  Do (1)  f  3  x     3  x  2  x    x 1  Suy hàm số g x  nghịch biến khoảng ;1,  2; 5 Dạng toán 54 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) xét tính đơn điệu hàm số = y g= ( x )  f ( u ( x ) ) tốn chứa tham số k NHĨM TỐN VD – VDC Ta có g   x   f  3  x f 3  x Xét g   x   f  3  x f 3  x  1 Câu 57: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm  f ' ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ, đồ thị y = f ' ( x ) cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ −3;1 Có giá trị y nguyên tham số m thuộc đoạn −  10; 20  để hàm số = ( f (x + 3x − m )) đồng biến khoảng ( 0; ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48 NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số C 16 B 17 NHĨM TỐN VD – VDC A 20 D 18 Lời giải Chọn D ( ) ( ) Ta có y=′ ( x + ) f ′ x + x − m  f x + x − m    Theo đề ta có: f ′( x) = ( x − 1)( x + ) suy  x < −3 f ′( x) > ⇔  x > f ′ ( x ) < ⇔ −3 < x < Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ) ( ( ) ⇔ y=′ ( x + ) f ′ x + x − m  f x + x − m  ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; )   )  x + x − m ≤ −3  m ≥ x2 + 3x + ⇔ y′ ≥ ⇔ f ′ x + x − m ≥ ⇔  2  x + x − m ≥  m ≤ x + x − ( ) ( ( ) )  m ≥ max x + x +  m ≥ 13 ( 0;2 ) ⇔  ⇔ ≤ − m ≤ + − m x x   ( 0;2 ) Do m ∈ −10; 20  nên có 18 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu đề Dạng toán 55 Biết BBT hàm số y = f ′ ( u ( x ) ) xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) tốn khơng chứa tham số y f ( x + ) có đạo hàm  có bảng biến thiên hình vẽ Câu 58: Cho hàm số= https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49 NHĨM TỐN VD – VDC ( Do x ∈ ( 0; ) nên x + > 0, ∀x ∈ ( 0; )  f x + x − m  ≥ 0, ∀x ∈  Do đó, ta có:   NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số NHĨM TỐN VD – VDC Hàm số y = f ( x ) nghịch biến tên khoảng sau A ( 0; ) B ( 2;5 ) C ( −2;0 ) D ( −4; −2 ) Lời giải Chọn C Ta có  f ( x + ) ′ = ( x + )′ f ′ ( x + ) = f ′ ( x + ) Đặt t= x + y= f ( x + )= f ( t ) y′ =  f ( x + ) ′ = f ' ( t )  x = −4 y f ( x + ) ta có f ′ ( x + ) =0 ⇔  Dựa vào bảng biến thiên hàm=  x = −2 t = −2 Suy f ′ ( t )= ⇔  t = NHĨM TỐN VD – VDC Vậy ta có bảng biến thiên hàm y = f ( x ) sau Suy hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( −2;0 ) Dạng toán 56 Biết BBT hàm số y = f ′ ( u ( x ) ) xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) toán chứa tham số Câu 59: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  f ( −1) = Biết y = f ' ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 50 NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số NHĨM TỐN VD – VDC Có giá trị nguyên m thuộc đoạn [ −2019; 2019] để hàm số 1   = y ln  f ( x ) + x3 − x − x + m  đồng biến ( −1;3) 2   A 2008 B 2007 C 2009 D 2010 Lời giải Chọn A   = y ln  f ( x ) + x − x + x + m  xác định R Hàm số   ⇔ g= ( x ) f ( x ) + x3 − 3x + x + m > 0, ∀x∪ ∈ ( −1;3) ⇒ g '( x) = − x2 + 6x + f ' ( x ) + x2 − 6x + ⇒ g ' ( x ) = ⇒ f '( x) = − x + x − hệ trục Vẽ hai đồ thị y =f ' ( x ) ∨ y = NHĨM TỐN VD – VDC Vậy g ' ( x ) ≥ 0∀x ∈ ( −1;3) ⇒ g ( x ) > g ( −1) =−   = y ln  f ( x ) + x3 − x + x + m = ⇒ y'   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 31 31 +m≥0⇒m≥ 3 f ' ( x ) + x2 − x + ≥ 0, ∀x ∈ ( −1;3) 3 f ( x) + x − x − x + m 2 Trang 51 NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số  31  11; ; 2018 có 2008 số Đề hàm số đồng biến ( −1;3) m ∈  ; 2019  ⇒ m =   y Câu 60: Cho hàm số= f ( x + ) có đạo hàm liên tục  Biết = y f ' ( x + ) có bảng biến thiên NHĨM TỐN VD – VDC hình vẽ Có giá trị nguyên m thuộc đoạn [ −2019; 2019] để hàm số y= f ( x ) − A 2021 3 x + x − x − ( 2m − 1) x + m đồng biến (1;3) 12 B 2020 C 2019 D 2018 Lời giải Chọn A 3 x + x − x − ( 2m − 1) x + m ⇒ y=' f ' ( x ) − x3 + x − x − 2m + 12 3 Để hàm số đồng biến (1;3) ⇒ y=' f ' ( x ) − x3 + x − x − 2m + ≥ 0, ∀x ∈ (1;3)(1) Đặt x = t + ⇒ t ∈ ( −1;1)(1) trở thành y= f ( x ) − ⇔ g (= t) ( t + ) + ( t + ) − ( t + ) − 2m + ≥ 0, ∀t ∈ ( −1;1) 1 f ' ( t + ) − t + t + ≥ 2m, ∀t ∈ ( −1;1) ⇒ g ' ( t= ) f "(t + 2) − t + 3 Vẽ hai đồ thị y = f " ( t ) y= t − hệ trục Từ đồ thị ta thấy g ' ( t ) ≥ 0.∀t ∈ ( −1;1) ⇒ g ( t ) hàm số đồng biến ∀t ∈ ( −1;1) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 52 NHĨM TỐN VD – VDC f ' (t + 2) − NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số ⇒ 2m ≤ g ( t ) , ∀t ∈ ( −1;1) ⇔ 2m ≤ g ( t ) = g ( −1) = f ' (1) + = ⇒ m ≤ [ −1;1] Kết hợp m ∈ [ −2019; 2019] ⇒ m =−2019, , 0,1 có 2021 số tốn khơng chứa tham số Câu 61: Cho hàm số y = f ( x) liên tục có đạo hàm  , thỏa mãn f (−1) = Biết bảng biến thiên hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ Hàm số g ( x )= A ( 2; +∞ ) (x NHĨM TỐN VD – VDC Dạng toán 57 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) , xét tính đơn điệu hàm số y = g ( x ) f ( x ) − x − ) f ( x ) nghịch biến khoảng nào? 1  C  −1;  2  B ( −∞; −1) D ( −1;1) Lời giải Chọn C sau Ta có g ' ( x )= ( x − 1) f ( x ) + ( x − x − ) f ' ( x ) Ta lập bảng xét dấu: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 53 NHĨM TỐN VD – VDC Từ bảng biến thiên hàm số y = f ' ( x ) ta suy bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số NHĨM TOÁN VD – VDC 1  Vậy hàm số nghịch biến khoảng  −1;  2  Dạng toán 58 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) , xét tính đơn điệu hàm số y = g ( x ) f ( x ) toán chứa tham số Câu 62: Cho hàm số y = f ( x ) f ( x ) > 0, ∀x ∈  Biết hàm số y = f ' ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ f ' ( ) = + mx +1 f ( x ) đồng biến (1; ) A 2011 B 2013 C 2012 D 2014 Lời giải Chọn C = y e− x Hàm + mx +1 f ( x )= ⇒ y ' e− x + mx +1 NHĨM TỐN VD – VDC Có số nguyên m ∈ [ −2019; 2019] để hàm số y = e − x ( −2 x + m ) f ( x ) + f ' ( x )  số đồng biến (1; ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1; ) ⇔ ( −2 x + m ) f ( x ) + f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (1; )(1) f '( x) Vì f ( x ) > 0, ∀x ∈  (1) ⇔ m ≥ x − = g ( x ) , ∀x ∈ (1; ) f ( x) Xét hàm số g(x) ta có g ' ( x )= − f " ( x ) f ( x ) −  f ' ( x )   f ( x )  2 Theo BBT hàm số f ′( x) ta thấy ∀x ∈ (1; ) f ′′( x) < nên https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54 NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến toán xét tính đơn điệu hàm số f " ( x ) f ( x ) −  f ' ( x )  < ( f ( x ) > 0, ∀x ∈  ) ⇒− f " ( x ) f ( x ) −  f ' ( x )  > 0, ∀x ∈ (1; ) ⇒ g ' ( x ) = − f " ( x ) f ( x ) −  f ' ( x )   f ( x )  2 > 0, ⇒y= g ( x ) đồng biến (1; ) Do để m ≥ g ( x) ∀x ∈ (1; 4) m ≥ max g ( x ) = g ( 4) = [1;4] Do m ∈ [ − 2019; 2019] nên m ∈ [8; 2019] Có 2012 số ngun thỏa ycbt Dạng tốn 59 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) , xét tính đơn điệu hàm số y = g ( x ) f ( x ) tốn khơng chứa tham số NHĨM TỐN VD – VDC  f ( x )  Câu 63: Cho hàm số y = f ( x ) Biết f ( ) = hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên Khi đó, hàm số y = xf ( x ) đồng biến khoảng nào? A ( −∞;0 ) B ( −2;0 ) C ( 0; ) D ( −2; ) Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Chọn B Ta có y= xf ( x ) ⇒ y=′ f ( x ) + xf ′ ( x ) x = Từ bảng biến thiên hàm số y = f ′ ( x ) ta có f ′ ( x )= ⇔  với a < −3 x = a Khi ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta có f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) Và f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) ⇒ xf ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55 NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số y′ f ( x ) + xf ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) Do hàm số y = xf ( x ) đồng biến Từ suy ra= ( −2;0 ) hàm số cho đồng biến ( −∞;0 ) ⇒ đáp án A sai Trên ( 0; ) f ( x ) < f ′ ( x ) < ⇒ xf ′ ( x ) < ⇒ f ( x ) + xf ( x ) < nên hàm số nghịch biến ( 0; ) ⇒ đáp án C sai Đáp án C sai nên đáp án D sai Câu 64: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số g= ( x) A (2;5) [ f (3 − x)] NHĨM TỐN VD – VDC Trên khoảng ( −∞;0 ) f ( x ) xf ′ ( x ) âm dương nên kết luận nghịch biến khoảng khoảng sau? B (1; 2) C (−2;5) D (5; +∞) Lời giải Từ bảng biến thiên suy f ( x) ≤ 0, ∀x ∈  ⇒ f (3 − x) ≤ 0, ∀x ∈  −2 f '(3 − x) f (3 − x) Ta có g '( x) = 2  3 x  2  x    Xét g  x    2 f  3 x  f 3 x    f  3 x     3 x   x 1 Suy hàm số g x  nghịch biến khoảng (−∞;1) (2;5) Dạng toán 60 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) , xét tính đơn điệu hàm số y = g ( x ) f ( x ) toán chứa tham số Câu 65: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 56 NHĨM TỐN VD – VDC Chọn A NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số Với m < , hàm số y = (x A ( −1;0 ) B ( 0;1) − x + m ) f ( x ) đồng biến khoảng sau C (1;3) D ( −∞; −1) NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Chọn B y'= ( 2x − 2) f ( x ) + ( x2 − 2x + m ) f ' ( x ) + Ta có x − < 0, ∀x ∈ ( 0;1) f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0;1) (1) Bảng biến thiên hàm y = g ( x ) = x − x + m Từ hai BBT suy g ( x )= x − x + m < 0, ∀x ∈ ( 0;1) ( m < ) f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0;1) (2) Từ (1) (2) suy y=' ( 2x − 2) f ( x ) + ( x2 − 2x + m ) f ' ( x ) > ∀x ∈ ( 0;1) y' = ( x − ) f ( x ) + ( x − x + m ) f ' ( x ) nên dựa vào đáp án ta Chọn B Dạng toán 61 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) , xét tính đơn điệu hàm số y = y= g ( x) f ( x) f ( x) tốn khơng chứa tham số g ( x) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có f (0) = − Bảng biến thiên hàm số f ′ ( x ) Câu 66: hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57 NHĨM TỐN VD – VDC Trong khoảng ( −∞; −1) , ( −1;0 ) , (1;3) chưa thể xác định dấu NHĨM TỐN VD – VDC Hàm số g ( x) = Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến toán xét tính đơn điệu hàm số f ( x) nghịch biến khoảng đây? ex A ( −∞;1) ( B − 3; ) C ( 4; +∞ ) D ( 3; +∞ ) NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Chọn C Vì y = f ( x) hàm số bậc ba nên y = f ′( x) hàm số bậc hai x) 2ax + b Ta có hệ sau: Gọi f ′( x) = ax + bx + c suy f ′′(=  f ′′(1) =0 2a + b =0 a =−1    − x2 + x −1  f ′(1) = ⇔ a + b + c = ⇔ b = Vậy f ′( x) =  f ′(0) = c = −1 c = −1   −1 Suy f ( x) =∫ f ′( x)dx =∫ ( − x + x − 1)dx =− x3 + x − x + m , 1 f (0) =− ⇒ m =− 3 1 Vậy f ( x) =− x + x − x − 3 Ta có g ′( x) = f ′ ( x ) e x − e x f ( x) = e2 x f ′( x) − f ( x) ex NHĨM TỐN VD – VDC x =  g ′( x) = ⇔ f ′( x) − f ( x) = ⇔ x − x + 3x − = ⇔  x = − 3  x= +  Lập bảng xét dấu y = g ′( x) Dựa vào bảng xét dấu g ′( x) hàm số nghịch biến ( 4; +∞ ) Dạng toán 62 Biết BBT hàm số y = f ′ ( x ) , xét tính đơn điệu hàm số y = y= g ( x) f ( x) f ( x) toán chứa tham số g ( x) Câu 67: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 58 NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số  hàm số y = f ′ ( x ) có giao điểm với trục hồnh.Có giá trị tham số m để hàm số g ( x ) = ( x − 1) NHĨM TỐN VD – VDC Đồ thị hàm số y = f ( x ) khơng có giao điểm với trục hoành Max f ( x ) = −1 Đồ thị (( −2m + 1) x + m ) đồng biến  f ( x) B A D C Lời giải Chọn A Ta có Max f ( x ) =−1 ⇒ f ( x ) < 0, ∀x ∈   (( −2m + 1) x + m ) f ′ ( x ) NHĨM TỐN VD – VDC ( x − 1) ( ( −2m2 + 1) ( 3x − 1) + 2m ) f ( x ) − ( x − 1) g′( x) = ( f ( x )) ( x − 1) ( ( −2m2 + 1) ( 3x − 1) + 2m ) f ( x ) − ( x − 1) ( ( −2m2 + 1) x + m ) f ′ ( x ) ⇔ g′( x) = Đặt ( f ( x )) h ( x) (( −2m + 1) ( 3x − 1) + 2m ) f ( x ) − ( x − 1) (( −2m + 1) x + m ) f ′ ( x ) = 2 Vì g ′ ( x ) có nghiệm bội lẻ x = nên để g ′ ( x ) ≥ điều kiện cần h ( x ) có nghiệm x = m = h (1) = ( −2m + m + 1) f (1) = ⇔ −2m + m + = ⇔   m = −1  Th1: Với m = ta có g′( x) −3 ( x − 1) f ( x ) + ( x − 1) f ′ ( x ) ( f ( x )) TH2: Với m = g′( x) 2 > ∀x ∈  −1 ta có ( x − 1) f ( x ) − ( x − 1) f ′ ( x ) < ∀x ∈  2 ( f ( x )) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 59 NHĨM TỐN VD – VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu hàm số Vậy có giá trị m thỏa mãn đề yêu cầu NHĨM TỐN VD – VDC NHĨM TỐN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 60