Chuyên đề các dạng toán hàm ẩn liên quan đến tiệm cận

Phần 1: Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) Dạng 1: Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) , toán không chứa tham số Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? A B C D Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số ta thấy: lim f ( x ) = −1 nên đường thẳng y = −1 đường tiệm cận ngang x →−∞ lim f ( x ) = nên đường thẳng y = đường tiệm cận ngang x →+∞ Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = ±1 Tương tự lim f ( x ) = +∞ lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 đường tiệm cận x →−2+ x →−2 đứng lim f ( x ) = +∞ và lim+ f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 đường tiệm cận x → 2− x→2 đứng Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = ±2 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Phương trình đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A Tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = B Tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = C Tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = −2 D Tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = −2 Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta có lim x →( −1) − f ( x ) = +∞ lim x → ( −1) + f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x ) lim f ( x ) = lim f ( x ) = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ x →−∞ x→+ ∞ thị hàm số y = f ( x ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Phương trình đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A Tiệm cận đứng x = −2 , tiệm cận ngang y = B Tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = −1 C Tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = −2 D Tiệm cận đứng x = −1 , tiệm cận ngang y = Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị ta có lim − f ( x ) = +∞ lim + f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 tiệm cận đứng x →( −2 ) x →( −2 ) đồ thị hàm số y = f ( x ) +) lim f ( x ) = lim f ( x ) = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang đứng x →−∞ x →+∞ đồ thị hàm số y = f ( x ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A B C D Lời giải Chọn B Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có lim f ( x ) = nên đường thẳng y = x →+∞ đường tiệm cận ngang Tương tự lim f ( x ) = −1 nên đường thẳng y = −1 đường tiệm cận ngang x →−∞ Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có đường tiệm cận ngang Câu Cho hàm số y = f ( x ) Có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A B Lời giải C D Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số ta có lim + f ( x ) = +∞ lim − f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −1 đường tiệm cận x →( −1) x →( −1) đứng lim f ( x ) = +∞ lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = đường tiệm cận đứng x →1+ x →1 lim f ( x ) = +∞ và lim− f ( x ) = −∞ nên đường thẳng x = −2 đường tiệm cận x → 2+ x→2 đứng Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng x = ±1 x = Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận lim f ( x ) = lim f ( x ) = nên đường thẳng y = đường tiệm cận x →−∞ ngang x →+∞ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) A B C D Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có: 1 nên đường thẳng y = − đường tiệm cận ngang đồ thị x →−∞ 2 hàm số y = f ( x ) lim f ( x ) = − 1 nên đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị x →+∞ 2 hàm số y = f ( x ) lim f ( x ) = ⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai đường tiệm cận ngang y = ± lim − f ( x ) = −∞  1 x → −   2 lim + f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x = −  1 x → −   2 cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x ) đường tiệm lim − f ( x ) = −∞ lim + f ( x ) = +∞ nên đường thẳng x = 1 x →  2 1 x →  2 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x ) ⇒ Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai đường tiệm cận đứng x = ± Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất đường tiệm cận Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) là: A B C D Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có: lim f ( x ) = nên đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị hàm x →−∞ số y = f ( x ) lim f ( x ) = nên đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị hàm x →+∞ số y = f ( x ) lim f ( x ) = +∞ lim+ f ( x ) = +∞ suy đường thẳng x = tiệm cận đứng x → 0− x →0 đồ thị hàm số y = f ( x ) Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) có tất đường tiệm cận Câu Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ đây: Tổng số tiệm cận đồ thị hàm số là: A B Chọn B Dựa vào đồ thị hàm số ta có C D Lời giải lim y = nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = lim± y = +∞ nên đồ thị x →±∞ x →1 hàm số có tiệm cận đứng x = Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận Câu Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có hình vẽ Tổng số đường tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số là: A B C D Lời giải Chọn C Ta có: lim f ( x ) = nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = x →±∞ Lại thấy: lim+ f ( x ) = +∞ lim− f ( x ) = +∞ nên đồ thị hàm số có đường tiệm x →−1 x →1 cận ngang x = −1; x = Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi a số đường tiệm cận đồ thị hàm số Giá trị biểu thức a + a A B 12 C 20 D 30 Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta có lim = f ( x ) lim = f ( x) x →−∞ x →+∞ 1 Suy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 lim+ f ( x ) = +∞ , lim− f ( x ) = −∞ Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x→ x→ lim+ f ( x ) = −∞ , lim− f ( x ) = +∞ suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x →− x= − x →− 2 Đồ thị hàm số có tiệm cận ⇒ a = Vậy a + a = 12 Câu 10 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên y -1 Đồ thị hàm số A O ( x − 1) ( x − 1) g ( x) = f ( x) − f ( x) x có tất đường tiệm cận đứng? B C D Lời giải Chọn D  f ( x ) = (1) Ta xét mẫu số: f ( x ) − f ( x ) = 0⇔  f ( x ) = ( ) Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy: y -1 y=2 O x +) Phương trình (1) có nghiệm x1 = a < −1 (nghiệm đơn) x2 = (nghiệm kép) ⇒ f ( x) = ( x − a )( x − 1) +) Phương trình ( ) có nghiệm x3 =b ∈ ( a ; − 1) , x4 = x5= c > ⇒ f ( x) − = Do ( x − b) x ( x − c) ( x − 1) ( x − 1) g ( x) = f ( x )  f ( x ) −  ( x − 1) ( x + 1) x +1 = ( x − a )( x − 1) ( x − b ) x ( x − c ) ( x − a )( x − b ) x ( x − c ) ⇒ đồ thị hàm số y = g ( x ) có đường tiệm cận đứng Câu 11 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Đồ thị hàm A Chọn C (x y= + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x )  B có đường tiệm cận đứng? C Lời giải D Chọn A Đặt = t x + x ⇒ t=′ x + > 0, ∀x ∈  Lời giải Ta có bảng biến thiên:  Xét f ( x3 + x ) − =0 Vì y = f ( x ) hàm số bậc ba nên phương trình f ( t ) = có nhiều nghiệm t Từ bảng biến thiên ta suy với giá trị t có giá trị x Khi phương trình f ( x3 + x ) = có nhiều nghiệm x Do đồ thị hàm số y = g ( x ) có nhiều tiệm cận đứng  Xét lim g ( x ) = lim x →±∞ x →±∞ 1 = = ( = lim f ( t ) = ±∞ ) lim t →±∞ f ( x + x ) − t →±∞ f ( t ) − Suy đồ thị hàm số y = g ( x ) có tiệm cận ngang y = Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có nhiều đường tiệm cận Câu 14 Cho hàm sô y = f ( x ) = A   y g= = x + x + Hàm số ( x ) f   có tiệm cận? f x ( )   B C D Lời giải Chọn B +) Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D =    g ( x) = f  + + có tập xác định: D =  +) Ham số y =  = 2 x + 2x + x + 2x +  f ( x)  Ta có lim = g ( x ) lim = g ( x) x →−∞ x →+∞ Vây có tiệm cận ngang Câu 15 Cho hàm số y= f ( x )= x + Tìm số tiệm cận hàm số f ( x) + y =g ( x ) =1 + f ( x) + A + f ( x) + f ( x) + + + B 2020 f 2020 ( x ) + 2020 f ( x ) + 2020 C 2019 D 2021 Lời giải Chọn D TXĐ: D=  \ {−3; −4; −5; ; −2021} +) Với xi ∈ {−3; −4; −5; ; −2021} ta có lim+ g ( x ) = +∞; lim− g ( x ) = −∞ Ta có đồ thị hàm số x → xi x → xi y = g ( x ) có 2019 tiệm cận đứng +) Ta có: lim k x →+∞   lim  x →−∞    xlim →−∞  k f k ( x) + k f ( x) + k f k ( x) + k f ( x) + k k f k ( x) + k f ( x) + k = ⇒ lim g ( x ) = 2020 ; x →+∞ = 1, k chan ⇒ lim g ( x ) = x →−∞ = −1, k le => có tiệm cận ngang Vây tổng số tiệm cận 2021 Dạng 10: Biết giới hạn hàm số y = f ( x) điểm vơ cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm y = f ( x) cận ngang đồ thị hàm số , toán chứa tham số Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục  lim f ( x ) = ; lim f ( x ) = +∞ Có giá trị x →+∞ x →−∞ nguyên tham số m thuộc [ −2020; 2020] để đồ thị hàm số g ( x ) = x + 3x + x f ( x) − f ( x) + m có tiệm cận ngang nằm bên đường thẳng y = −1 A 4041 B 2019 C D 10 Lời giải Chọn C Do lim f ( x ) = +∞ nên x → + ∞ f ( x ) − f ( x ) → −∞ x →+∞ f ( x ) − f ( x ) khơng có nghĩa nên khơng tồn lim g ( x ) x →+∞ Xét lim g ( x ) x →−∞ Trước hết lim f ( x ) = nên lim x →−∞ x →−∞ 2 f ( x ) − f= ( x) lim  f ( x ) − f 2= ( x ) x →−∞ lim x →−∞ ( x + 3x + x ) ( = lim Từ có lim g ( x ) = x →−∞ y= −3 2m + x →−∞ x + 3x + x )( x + 3x − x x + 3x − x )= lim x →−∞ 3x   − x  − + 1 x   = − −3 nên đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận ngang đường thẳng 2m + Để tiệm cận ngang tìm nằm đường thẳng y = −1 điều kiện cần đủ 3 > 2m + −3 Tức có giá trị nguyên >1 ⇔  ⇔ −1 < m < < −1 ⇔ 2m + 2 2m +  2m + > m = thỏa mãn toán Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục  có lim = f ( x ) lim = f ( x ) Gọi S tập hợp giá trị x →−∞ tham số m để đồ thị hàm số x →+∞ ( x − 1)  f ( x ) + 3 g ( x) = x + ( m − 1) x + m − tiệm cận ngang Tính tổng phần tử S A − B −2 C −3 có tổng số tiệm cận đứng D Lời giải Chọn A ( x − 1)  f ( x ) + 3 ( x − 1)  f ( x ) + 3 Do lim g ( x ) = lim =0 = , lim g ( x ) = lim x →−∞ x →−∞ x + ( m − 1) x + m − x →+∞ x →+∞ x + ( m − 1) x + m − nên đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận ngang đường thẳng y = Đặt h ( x ) = x + ( m − 1) x + m − Yêu cầu toán thỏa mãn đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận đứng, điều xảy h ( x ) = có nghiệm phân biệt có nghiệm x = h ( x ) = có nghiệm kép Câu    ( m − 1)2 − ( m − ) >  m <   ∆′ > m =1        1 + ( m − 1) + m − = ⇔ m = 1; m = −3 ⇔ m = −3 ⇔  ⇔ h (1) =      ∆′ =0  3  m = m =  m =   Vậy, tổng phần tử S − Cho hàm số f ( x ) liên tục  , có lim f ( x ) = +∞ ; lim f ( x ) = −∞ Tập hợp tất giá x →+∞ trị thực tham số m để đồ thị hàm g ( x ) = x →−∞ f ( x) +1 m f ( x ) + có hai đường tiệm ngang A  \ {0} B ( 0; +∞ ) C ( −∞;0 ) Lời giải Chọn B TH1: m = lim g ( x ) = lim x →±∞ D {0} x →±∞ f ( x) +1 = ±∞ Suy đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang TH2: m < lim f ( x ) = +∞ x →±∞ Suy lim ( m f ( x ) + ) = −∞ x →±∞ Suy lim g ( x ) không tồn x →±∞ TH3: m >     f ( x ) 1 +  1 +  f ( x)  f ( x)  f ( x) +1   = = lim = lim = lim g ( x ) lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ m f ( x ) + x →+∞ f x m + m+ ( ) f ( x) f ( x) lim g ( x ) = lim x →−∞ x →−∞ m     − 1 + f ( x ) 1 +   f ( x)  f ( x)  f ( x) +1   = lim = lim = − →−∞ x →−∞ x m 2 m f ( x ) + f ( x) m + m+ f ( x) f ( x) Đồ thị hàm số g ( x ) có hai tiệm cận ngang hai đường thẳng y = 1 , y= − m m Tóm lại, tập hợp cần tìm ( 0; + ∞ ) Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục  , lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞ Có giá trị x →+∞ x →−∞ nguyên m ( −2019; 2019 ) để đồ thị hàm số g ( x ) = cận ngang A B 2018 Chọn B C 4036 4036 f ( x ) + mf ( x ) + có hai đường tiệm D 25 Lời giải -Với m < ta có lim  mf ( x ) + 3 = −∞ , tức lim g ( x ) không tồn Đồ thị hàm số g ( x ) x →±∞ x →±∞ khơng có tiệm cận ngang -Với m = lim g ( x ) = lim ( 4036 f ( x ) + ) = ±∞ Đồ thị hàm số g ( x ) khơng có tiệm cận x →±∞ x →±∞ ngang -Với m > , tập xác định hàm số g ( x ) D =  Khi đó:   f ( x )  4036 + 4036 +  f ( x)  f ( x ) 4036  = = = lim g ( x ) lim lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ m 3 f ( x) m + m+ f ( x) f ( x)   f ( x )  4036 + 4036 +  f x ( ) f ( x) 4036  = lim = − lim g ( x ) = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ m 3 − f ( x) m + − m+ f ( x) f ( x) Đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận ngang hai đường thẳng y = 4036 4036 , y= − m m m >  Từ tất ta có m ∈ ( −2019; 2019 ) ⇔ m ∈ {1; 2;3; ; 2018} m ∈   Vậy, có 2018 giá trị nguyên m Câu Cho hàm số f ( x ) đồng biến  thỏa mãn lim f ( x ) = lim f ( x ) = +∞ Có x →−∞ số nguyên dương m để đồ thị hàm số g ( x ) = cận A (x ( ) 3x + − f ( x ) − 4x + m) f ( x) +1 C B x →+∞ có đường tiệm D Vơ số Lời giải Chọn B Điều kiện xác định hàm số g ( x ) : x ≥ − ; x − x + m ≠ Vì x ≥ − nên khơng tồn giới hạn lim g ( x ) x→−∞ Vì hàm số f ( x ) đồng biến  lim f ( x ) = ⇒ f ( x ) > 1, ∀x ∈  x→−∞ Ta có: lim g ( x ) = lim x→+∞ x→+∞ f ( x ) ( 3x + − ) f ( x ) + ( x − x + m ) = lim x→+∞ 1+ lim f + − x x x= 1.0 = m 1− + x x x→+∞ ( x) ⇒ Đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số g ( x ) Ta có g ( x ) = ) ( 3x + − f ( x ) = ( x2 − 4x + m ) f ( x ) + ( x − 3) f ( x ) ( x2 − 4x + m ) ( 3x + + ) f ( x) +1 Đồ thị hàm số g ( x ) có hai tiệm cận khỉ có tiệm cận đứng, tức phương trình x − x + m = có nghiệm kép x0 , x0 ≥ − x1 1, x2 ≠ 1, x2 ≥ − đó= 1 x3 < − , x4 ≥ − , x4 ≠ 3 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 − x2 + 4x : Xét bảng biến thiên hàm số h ( x ) = − x2 + 4x m= Ta có x − x + m =⇔ (1)  m =  Từ bảng biến thiên suy  m = Do m số nguyên dương nên m ∈ {3;4}  13 m < −  Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞ Trên đoạn x →+∞ [ −2020; x →−∞ 2020] có số nguyên m để đồ thị hàm số g ( x ) = hai tiệm cận ngang A 2020 B 2021 C 4041 Lời giải f ( x) + ( m + 1) f ( x ) + 2020 D 2000 có Chọn B Nếu m + < − − 2020 2020 < f ( x) < − ∀x ∈  , điều mâu thuẫn với giả thiết m +1 m +1 lim g ( x ) = lim Nếu m + = x →±∞ x →±∞ f ( x) + 2020 = ±∞ Tức đồ thị hàm số g ( x ) khơng có tiệm cận ngang Nếu m + > ⇔ m > −1 lim x →+∞ 1+ = lim x →+∞ Và lim x →−∞ f ( x) m +1+ 2020 f ( x) =   f ( x ) 1 +  f ( x)  f ( x) +  = lim ( m + 1) f ( x ) + 2020 x→+∞ f ( x ) m + + 2020 f ( x) 1 Do đường thẳng y = tiệm cận ngang ĐTHS m +1 m +1   f ( x ) 1 + 1+  f ( x)  f ( x) f ( x) +  lim = = lim = ( m + 1) f ( x ) + 2020 x→−∞ − f ( x ) m + + 2020 x→−∞ − m + + 2020 f ( x) f ( x) Do đường thẳng y = −1 m +1 −1 tiệm cận ngang ĐTHS m +1 Vậy đoạn [ −2020; 2020] có 2021 số nguyên m thỏa mãn Phần 4: Biết biểu thức đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm tiệm cận hàm số y = g ( x) Dạng 11: Biết biểu thức đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm tiệm cận hàm số y = g ( x) Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số g ( x ) = A 2020 có nhiều đường tiệm cận đứng ? f ( x) − m B C D Lời giải Chọn D Để đồ thị hàm số g ( x ) = 2020 có đường tiệm cận đứng phương trình f ( x ) − m = f ( x) − m phải có nghiệm  −1 < a < < b Từ bbt hàm số y = f ′ ( x ) suy tồn a, b cho  ′ ( a ) f= ′ (b)  f= Từ ta có bbt hàm số y = f ( x ) sau có nhiều nghiệm phân biệt Suy phương trình f ( x ) − m = Vậy đồ thị hàm số g ( x ) = Câu Cho hàm số g ( x) = 2020 có nhiều đường tiệm cận đứng f ( x) − m 2019 với h( x) = mx + nx3 + px + qx (m, n, p, q ∈ ), h(0) = h( x ) − m − m Hàm số y = h '( x) có đồ thị hình vẽ bên : Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số g ( x) có tiệm cận đứng ? A B 10 C 71 D 2019 Lời giải Chọn B Từ đồ thị suy h '( x)= m( x + 1)(4 x − 5)( x − 3)= m(4 x3 − 13 x − x + 15) m < 13   Ta h( x= ) m  x − x − x + 15 x    ) m − m có nghiệm Đồ thị g ( x) có đường tiệm cận đứng phương trình h( x= phân biệt ⇔ f ( x) = x − 13 x − x + 15 x = m + có nghiệm phân biệt Ta có bảng biến thiên f ( x)  −32   −35  Do m + ∈  ;0  ⇔ m ∈  ; −1 Vậy có 10 số nguyên m     Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ sau: Xét hàm số y = f (x) − y= x2 f (x) − x2 Đặt g= ( x) f ( x) − x2 , tìm điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng  g ( ) > A   g (1) <  g ( 0) >  B  g (1) <   g (1) g ( −2 ) >  g ( ) > C   g ( −2 ) >  g ( 0) >  D  g ( −2 ) ≤   g (1) ≤ Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số y = f (x) − x2 có đường tiệm cận đứng ⇒ Phương trình f ( x ) − có nghiệm phân biệt ⇔ Đồ thị hàm số g= ( x ) f (x) − x2 = phải x2 cắt trục hoành điểm phân biệt ′( x) f ′( x) − x Ta có: g= g ′ (= ) f ′ ( ) −= 0 , g ′ (= 1) f ′ (1) = − , g ′ ( −2 )= f ′ ( −2 ) + 2= Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) suy • f ′ ( x ) < x , ∀x ∈ ( 0;1) ∪ ( −∞ ; − ) ⇒ g ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0;1) ∪ ( −∞ ; − ) • f ′ ( x ) > x ; ∀x ∈ (1; + ∞ ) ∪ ( −2;0 ) ⇒ g ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ (1; + ∞ ) ∪ ( −2;0 ) Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm số y = g ( x ) cắt trục hoành điểm phân biệt  g ( 0) >  ⇔  g (1) < Vậy chọn B   g ( −2 ) < Câu Cho hàm số y = f ( x ) hàm số bậc Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ f (−1) < 20 Giá trị m đề đồ thị hàm số g ( x ) = A m < f (3) C m > f (−1) Chọn B Ta có bảng biến thiên f ( x) − 20 có tiệm cận f ( x) − m B f ( 3) < m < f ( −1) D f (3) ≤ m ≤ f (−1) Lời giải ĐK: f ( x) ≠ m Nếu m ≠ 20 đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Nếu m ≠ 20 lim x →±∞ f ( x) − 20 = ⇒ Đường thẳng y = TCN đồ thị hàm số f ( x) − m Phương trình f ( x) = 20 có nghiệm x= a > f (−1) < 20 Suy đồ thị hàm số g ( x) có tiệm cận phương trình f ( x) = m có nghiệm phân biệt khác a Suy Câu f (3) < m < f (−1) Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức liên tục R thỏa mãn f (1) − < f (a ) − a + 3a > 0, ∀a > Đồ thị hàm số y  f   x hình vẽ Đồ thị hàm số g ( x ) = A x +1 có có số tiệm cận đứng f ( x + 2) − x3 + x B C D Lời giải Chọn B Phương trình f ( x) = 20 có nghiệm x= a > f (−1) < 20 Từ đồ thị f ′ ( x ) suy f ( x ) đa thức bậc lim f ( x) = +∞ x →±∞ ĐK: h( x= ) f ( x + 2) − x3 + x ≠ Số tiệm cận đứng đồ thị hàm g ( x) số nghiệm h( x) khác −1 Ta tìm số nghiệm phương trình h( x) = h '( x= ) f '( x + 2) − x + Đặt t = x + ⇒ h '( x) = k (t ) = 3( f '(t ) − t + 4t − 3) Khi k (t ) =3( f '(t ) − t + 4t − 3) =0 ⇔ f '(t ) =t − 4t + 3(*) 1; t =3; t =a > ⇒ x =−1; x = 1; x =a − =b > Sử dụng đồ thị nhận thấy (*) có nghiệm t = Ta có bảng biến thiên h( x) sau : Ta có: h(−= 1) f (1) − < 0; h(= b) f (a ) − a + 3a > 0; a > Dựa vào bảng biến thiên h( x) ta thấy h( x) = có nghiệm phân biệt khác −1 Vậy g ( x) có tiệm cận đứng Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −3;3] đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ Đặt h ( x ) = Biết f (1) = −24 Hỏi đoạn [ −3;3] đồ thị hàm f ( x ) + x2 + số y = h ( x ) có đường tiệm cận đứng ? A B Chọn D C Lời giải D  x = −3  Xét hàm số g ( x ) =2 f ( x ) + x + ⇒ g ' ( x ) =2 ( f ' ( x ) + x ) =0 ⇔ f ' ( x ) =− x ⇔  x =1  x = Lập bảng biến thiên g ( x ) ta được: Gọi a nghiệm phương trình f ' ( x ) = Ta có: a −3 a ∫ f ' ( x ) dx < ∫ f ' ( x ) dx ⇔ f ( a ) − f ( −3) < − ( f ( 3) − f ( a ) ) ⇔ f ( −3) > f ( 3) ⇔ g ( −3) > g ( 3) Lại có: ∫ g ' ( x ) dx < ⇔ g ( 3) − g (1) < ⇔ g ( 3) < g (1) + ⇔ g ( 3) < −39 ⇒ g ( 3) < −3; x = −5; y = 1; y = S ABCD diện tích hình chữ nhật giới hạn đường thẳng: x = Mặt khác: ∫ ( − g ' ( x ) ) dx < S ABCD = 32 ⇔ g ( −3) − g (1) < 32 ⇔ g ( −3) < −11 −3 Do phương trình g ( x ) = vô nghiệm, đồ thị hàm số cho tiệm cân đứng Câu Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm R, thỏa f (1) = đồ thị hàm số y = f '( x) có dạng hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = A.3 B.2 Chọn C 2020 x có tiệm cận đứng? f ( x) + f ( x) C.5 D.4 Lời giải  f ( x) = f ( x) − f ( x) = 0⇔  f ( x) = −1 Từ đồ thị hàm số f '( x) ta có:  x = −2  x < −2 f '( x) =0 ⇔  x =1 , f '( x) > ⇔  1 < x <  x = Ta lập bảng biến thiên hàm số Từ bảng biến thiên ta có: Phương trình f ( x) = có nghiệm phân biệt khác Phương trình f ( x) = −1 có hai nghiệm phân biệt khác Vậy đồ thị hàm số g ( x) = 2020 x có tiệm cận đứng f ( x) + f ( x)