Chuyên đề gtln gtnn hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI GV: Trần Minh Ngọc Nhóm giáo viên tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT 2020 Trong đề tham khảo Bộ GD lần lần 2, đề thi thử sở giáo dục, trường phổ thông năm 2020 thường có tốn liên quan đến GTLN-GTNN hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Để giải dạng toán em cần ghi nhớ toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f ( x ) Tìm GTLN-GTNN hàm số đoạn [ a; b ] Phương pháp chung: max f ( x ) p= ; f ( x ) q Bước 1: Tìm= [ a ;b ] [ a ;b ] Bước 2: Xét khả • min f ( x ) =  [ a ;b ] Nếu p.q ≤ ⇒  f ( x ) = max { p ; q } max  [ a ;b ] • min f ( x ) = q  [ a ;b ] Nếu q > ⇒  = f x p max ( )  [ a ;b ]  • min f ( x ) = p = − p  [ a ;b ] Nếu p < ⇒  f x q q max = = − ( )  [ a ;b ]  Chú ý cơng thức tính nhanh: max f ( x) = [ a ;b ] p+q + p−q ; 0, nÕu p.q ≤  f ( x ) =  p + q − p − q ; a b [ ] , nÕu p.q >   Tùy theo toán cụ thể mà ta áp dụng cho hợp lý Sau áp dụng cho dạng thường gặp  f ( x ) ≤ k ( ≥ k ) [ a ;b ] Dạng 1: Tìm tham số để   max f ( x ) ≤ k ( ≥ k )  [a ;b] Ví dụ mẫu 1: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y =| x − x − m | đoạn [−1; 2] Tổng tất phần tử S A −2 B C 14 D Lời giải Chọn B  x = ∈ [ −1; 2]  Xét f ( x ) =x − x − m đoạn [−1; 2] có f ′ ( x ) = x − x = ⇔  x = ∈ [ −1; 2]   x =−1 ∈ [ −1; 2] Khi f ( ) =−m; f ( ±1) =−m − 1; f ( ) =−m + Suy ra: max f ( x ) =−m + f ( x ) =−m − [ −1;2] [ −1;2] • Nếu ( −1 − m )( − m ) ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ f ( x ) = , khơng thỏa mãn đề • Nếu −m − > ⇔ m < −1 y =−m − =−m − [ −1;2] [ −1;2] Khi −m − =2 ⇔ m =−3 ( t / m ) Nếu −m + < ⇔ m > y =−m + =m − ; m − = ⇔ m = 10 ( t / m ) [ −1;2] Vậy tổng tất phần tử Ví dụ mẫu 2: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y= x − mx + 2m đoạn [ −1;1] Tính tổng tất phần tử S x−2 A − B C Lời giải Chọn D Xét hàm số f ( x ) = x − mx + 2m [ −1;1] có f ′ ( x ) = − ; x−2 ( x − 2) D −1 x = ; f ( −1) =−m − ; f ( ) =−m; f (1) =−m − f ′ ( x )= ⇔   x = ∉ [ −1;1] Suy ra: max f ( x ) = −m f ( x ) =−m − [ −1;1] [ −1;1] • Nếu −m ( −m − 1) ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ ; max y = { −m − ; −m } = {m + 1; −m} [ −1;1] −m −3 3 = m = ⇒ , không thỏa mãn Có hai khả  m + m = 3 = • Nếu f ( ) =−m < ⇔ m > Khi max y =−m − =m + [ −1;1] ⇒ m + = ⇔ m = (t / m) • Nếu −m − > ⇔ m < −1 = Khi max = f ( x ) f (0) ⇔ m = −3 [ −1;1] −3, m2 = Do tổng tất phần tử S −1 Vậy có hai giá trị thỏa mãn m1 = Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số y = x − x − x + m với m ∈  Có tất số nguyên m để y < ? [1;3] A 21 B 22 C D 20 Lời giải Chọn A Xét hàm số f ( x ) = x3 − x − x + m; x ∈ [1;3]  x = ∈ [1;3]  Ta có f ′ ( x )= x − x − 1= ⇔  x =− ∉ [1;3]  Ta có f (1) = m − 1, f ( 3) = m + 15 m − 1; max f ( x ) = m + 15 Suy f ( x ) = [1;3] • [1;3] Nếu ( m − 1)( m + 15 ) ≤ ⇔ −15 ≤ m ≤ ; y= < Trường hợp có 17 số nguyên [1;3] thỏa mãn • Nếu m − > ⇔ m > ; y = m − < ⇒ < m < Trường hợp có số nguyên [1;3] thỏa mãn • Nếu m + 15 < ⇔ m < −15 ; y= m + 15 < ⇒ −m − 15 < ⇒ −18 < m < −15 Trường [1;3] hợp có số nguyên thỏa mãn Vậy có tất 21 số nguyên thỏa mãn Bài tập tự luyện: Câu ( Chuyên BN lần 2) Có giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số f ( x ) = x + x3 − m đoạn [ −4; −2] 2020 ? A B C D Câu Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số x + mx + 3m y= đoạn [ −2; 2] Gọi T tổng tất phần tử S Tính T x+3 A T = B T = −5 C T = D T = − Lời giải Chọn D x + mx + 3m Xét hàm số f ( x ) = , hàm số xác định tập xét x+3  x=0 x2 + 6x = f ′( x) = ⇒ x + x =0 ⇔   x = −6 ( x + 3) Ta có: f ( −2 ) = m + ; f ( ) = m ; f ( 2= ) m+ g ( x) Với = = f ( x) x + mx + 3m Ta có max = g ( x ) max f ( −2 ) ; f ( ) [ −2;2] x+3 { −5  −m = m = ⇔ Xét m ( m + ) ≤ ⇔ −4 ≤ m ≤  (loại) = +4 = m m Xét với m > Ta có max g ( x ) = f ( −2 ) = m + = m + = ⇒ m = [ −2;2] Xét với m < −4, ta có max g ( x ) =f ( ) =m = −m = −5 5⇒ m = [ −2;2] Vậy S = {−5;1} nên tổng T =( −5) + =− } Câu Cho S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f ( x ) =− x + x + m + đoạn [ 0; 2] Tổng tất phần tử S A B 17 C −3 D −7 Lời giải Chọn A Xét hàm số g ( x ) = − x + x + m [ 0; 2]  x= ∈ [ 0; 2]  −4 x + x ⇒ g ' ( x ) = ⇔ x = ∈ [ 0; 2] Ta có g ' ( x ) =   x =−1∉ [ 0; 2]  max f ( x ) = m + + [0;2] Ta có f ( ) = m + 1; f (1) = m + + 1; f ( ) = m − + ⇒   max f ( x ) = m − +  [0;2]   m +1 +1 = +) Nếu max f ( x ) = m + + ⇒  ⇔ m= [0;2]   m +1 ≥ m −   m − +1 = +) Nếu max f ( x ) = m − + ⇒  ⇔ m= [0;2]   m − ≥ m +1 Vậy tổng giá trị m Câu Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = x − x + + m thỏa mãn y = Tổng tất phần tử S [ −2; 2] A − 47 B −10 C −31 D Lời giải Chọn A Xét hàm số g ( x ) = x − x + + m đoạn [ −2; 2] , có: g ′ ( x ) = ⇔ x − = ⇔ x =   3 max g ( x ) = max  g ( −2 ) , g   , g ( )  = m + 12 2   [ −2;2] ;   3 g ( x ) =  g ( −2 ) , g   , g ( )  = m− 2   [ −2;2] 21 1 (thỏa mãn) ≥ hay m ≥ y = m − = ⇔ m = [ −2; 2] 4 4 Nếu m + 12 ≤ hay m ≤ −12 y =−m − 12 =5 ⇔ m =−17 (thỏa mãn) Nếu m − [ −2; 2] Nếu −12 < m < y = (khơng thỏa mãn) [ −2; 2] 21  47  Ta có: S = −17;  Vậy tổng phần tử S − 4  Câu Có tất số thực m để hàm số y = x − x − 12 x + m có giá trị nhỏ đoạn [ −3; 2] 10 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Suy f ( t= ) {−32 + m; 243 + m} [ −32;243] Nếu ( 243 + m )( −32 + m ) ≤ suy ra= a y = f ( t ) , không thỏa mãn [ −32;243] [ −32;243] Yêu cầu toán y = 10 suy điều kiện cần ( 243 + m )( −32 + m ) > [ −32;243] TH1: m > 32 ⇒ y = −32 + m = 10 ⇔ m − 32 = 10 ⇔ m = 42 [ −32;243] TH2: m < −243 ⇒ 10 = y = 243 + m = −m − 243 ⇔ m = −253 [ −32;243] Vậy có giá trị tham số m thỏa yêu cầu Câu Cho hàm số f ( x) = x − mx + 2m Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m x−2 để max f ( x) ≤ Tổng tất phần tử S [ −1;1] A −11 B C −5 Lời giải Chọn C D −1 Xét hàm số g ( x ) = x = x2 − 4x x − mx + 2m ⇒ g′( x) = = 0⇒  x−2 ( x − 2) x = Khi x = ⇒ g (0) = −m 1 1+ m Ta có g ( −1) = ( −3m − 1) =−m − ; g (1) = =−1 − m −1 3 Mà −1 − m < − − m < −m  1 f ( x ) max  m , m + , m= +  max { m , m + 1} Suy max= [ −1;1] 3    m + ≥ m m ≥ − Trường hợp 1:  ⇔ ⇒ m ∈ {0;1; 2;3; 4} −6 ≤ m ≤  m + ≤   m + < m m < − Trường hợp 2:  ⇔ ⇒ m ∈ {−5; −4; −3; −2; −1} m ≤  −5 ≤ m ≤ Suy tổng phần tử S −5 Dạng 2: Tìm tham số để α f ( x ) ± β max f ( x ) ≤ k , ( ≥ k ) [ a ;b ] [ a ;b ] Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y = x3 − x + m Gọi S tập hợp tất giá trị tham số Số phần tử S thực m cho y + max y = [ 0;2 ] A [ 0;2 ] B C Lời giải Chọn D Xét hàm số y = x3 − x + m, x ∈ [ 0; 2] x = y ' = 3x − = ⇔   x = −1(l ) Ta có: y ( ) = m; y (1) = m − 2; y ( ) = m+2 m − 2; max y = m+2 Suy ra: y = [0;2] [0;2] TH 1: ( m + )( m − ) ≤ ⇒ −2 ≤ m ≤ ⇒ y = , max y = { m − ; m + 2} [ 0;2 ] [ 0;2 ] 0 + − m = ⇒ y + max y =⇔ ⇔m= ±4, không thỏa mãn  [ 0;2 ] [ 0;2 ] m + = D TH 2: m − > ⇔ m > ⇒ y = m − = m − , max y = + m =m + [ 0;2 ] [ 0;2 ] ⇒ y + max y = ⇔ m − + m + = ⇔ m = 3(t / m) [ 0;2 ] [ 0;2 ] TH 3: + m < ⇔ m < −2 ⇒ y =2 + m =−2 − m; max y =−2 + m =− ( −2 + m ) =2 − m [ 0;2 ] [ 0;2 ] ⇒ y + max y = ⇔ −2 − m + − m = ⇔ m = −3(t / m) [ 0;2 ] [ 0;2 ] Vậy có số nguyên thỏa mãn Ví dụ mẫu 2: (Sở Phú Thọ 2020) Cho hàm số f ( x ) =x − x + m ( m tham số thực) Gọi tập hợp tất giá trị nguyên m thuộc đoạn S [ −20; 20] max f ( x ) < 3min f ( x ) Tổng phần tử S [0;2] [0;2] A 63 B 51 C 195 D 23 Lời giải Chọn A Xét hàm số f ( x ) =x − x + m đoạn [ 0; 2] x = Ta có: f ′ (= x ) x3 − x ; f ′ ( x ) =0 ⇔ x3 − x =0 ⇔  x = f (1) = m − 1; f ( ) = m + 8; f ( ) = m max f ( x ) = m + 8; f ( x ) = m −1 [0;2] [0;2] +) Nếu m − ≥ ⇔ m ≥ max f ( x )= m + , f ( x )= m − [0;2] [0;2] Khi đó: max f ( x ) < 3min f ( x ) ⇔ + m < ( m − 1) ⇔ m > [0;2] [0;2] 11 +) Nếu m + ≤ ⇔ m ≤ −8 max f ( x ) = − m , f ( x ) =−m − [0;2] [0;2] Khi đó: max f ( x ) < 3min f ( x ) ⇔ − m < ( −m − ) ⇔ m < − [0;2] [0;2] 25 +) Nếu ( m − 1)( m + ) < ⇔ −8 < m < max f (= x ) max { m + , m −= 1} max {m + 8,1 − m} > 0; f (= x) [0;2] [0;2] Khi đó, không thỏa điều kiện max f ( x ) < 3min f ( x ) [0;2] [0;2] 25  m < − 25   11   Do đó:  kết hợp với m ∈ [ −20; 20] ta có m ∈  −20; −  ∪  ; 20   2    m > 11  cho Mà m ∈ z ⇒ S =− { 20; −19; −18; ; −13;6;7; , 20} Tổng phần tử S + + + + 10 + 11 + 12 = 63 2x + m Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số Tính tổng giá trị tham số m để y f= = ( x) x −1 max f ( x ) − f ( x ) = [ 2;3] [ 2;3] A −4 B −2 C −1 D −3 Lời giải Chọn A Hàm số = y f= ( x) 2x + m xác định liên tục đoạn [ 2;3] x −1 ⇒ max f ( x ) = f ( x ) = (không thỏa) Với m = −2 , hàm số trở thành y = [ 2;3] [ 2;3] Với m ≠ −2 , ta có y′ = −2 − m ( x − 1) Khi hàm số ln đồng biến nghịch biến [ 2;3] = f ( x ) f ( 3)  max f ( x ) f= ( ) ; [ 2;3] [ 2;3] Suy   max f ( x ) f= = 3) ; f ( x ) f ( ) ( [ 2;3]  [2;3] Do đó: max f ( x ) − f ( x= ) [ 2;3] [ 2;3] f ( 3) − f ( 2= ) Theo giả thiết max f ( x ) − f ( x ) = 2⇔ [ 2;3] [ 2;3] 6+m − ( + m= ) 2+m m = 2+m = 2⇔  m = −6 Vậy tổng giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán là: −4 Bài tập tự luyện Câu Cho hàm số f  x  x  x  m, ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m ∈ [ −10;10] cho max f ( x ) + f ( x ) ≥ 10 Số phần S [1;2] A B 10 [1;2] C 11 D 12 Lời giải Xét hàm số f  x  x  x  m , hàm số liên tục đoạn 1; 2 Ta có: f   x  x3  x  0, x  1; 2  hàm số f  x đồng biến đoạn 1; 2 , m + 8; f ( x ) = m −1 max f ( x ) = [1;2] [1;2] TH 1: m − ≥ ⇒ ≤ m ≤ 10 max f ( x ) = m + 8; f ( x ) = m − [1;2] [1;2] Khi đó: max f ( x ) + f ( x ) ≥ 10 ⇔ m + + m − ≥ 10 ⇒ m ≥ [1;2] [1;2] ⇒ m ∈ {2;3; 4; 10} , ⇒ trường hợp có số nguyên TH 2: m + ≤ ⇒ −10 ≤ m ≤ −8 max f ( x ) =−m + 1; f ( x ) =−m − [1;2] [1;2] Khi đó: max f ( x ) + f ( x ) ≥ 10 ⇔ −m + − m − ≥ 10 ⇒ −10 ≤ m ≤ [1;2] [1;2] −17 ⇒ m ∈ {−10; −9} ⇒ trường hợp có số nguyên −7  −m + − < m ≤ TH 3: −8 < m < , thì= f ( x ) 0;= max f ( x )  ; [1;2] [1;2] − m + < m 19 Hay YCBT ⇔   p, q > TH 1: m − > ⇒ < m ≤ 10 , p = m + 8; q = m − Yêu cầu toán ⇔ p + q > 19 ⇔ m + + m − > 19 ⇒ m > ⇒ m ∈ {7;8;9;10} , ⇒ trường hợp có số nguyên TH 2: m + < ⇒ −10 ≤ m < −8 p =−m + 1; q =−m − Yêu cầu toán ⇔ p + q > 19 ⇔ −m + − m − > 19 ⇒ m < −13 ⇒ trường hợp không tồn m ∈ [ −10;10] thỏa mãn TH 3: −8 < m < , q = 0; ⇒ khơng thỏa mãn YCBT Vậy số phần tử tập S Câu Cho hàm số f ( x ) = x3 − x + x − m − ( m tham số thực) Gọi 𝑆𝑆 tập hợp tất giá trị 𝑚𝑚 cho max f ( x ) + f ( x ) = 16 Tổng phần tử 𝑆𝑆 [0;3] [0;3] A B 17 C 34 D 31 Lời giải Chọn B Xét hàm số f ( x ) = x3 − x + x − m − , đoạn [ 0;3] ta có f ′ ( x= ) 3x − x + > 0, ∀x ∈  Ta có f ( ) =−m − 2; f ( 3) =−m + 19 min f ( x) =  [0;3] Trường hợp 1: ( m + )( m − 19 ) ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ 19 ⇒  f ( x)= max { m + , m − 19 } max  [0;3] 17  f ( x) = m + 2, ≤ m ≤ 19  max [0;3] ⇒ 17  max f ( x) = 19 − m, -2 ≤ m<  [0;3] 17  =  m + 16, ≤ m ≤ 19  m = 14 ⇒ Vậy max f ( x ) + f ( x ) = 16 ⇒  [0;3] [0;3] 17 m = 19= − m 16, ≤ m<   m > 19 Trường hợp 2: ( m + )( m − 19 ) > ⇔   m < −2  = m ( KTM )  Suy f ( x) + max f ( x) = m + + m − 19 = 2m − 17 = 16 ⇔  [0;3] [0;3]  m = 33 ( KTM )  Vậy S = {3; 14} Câu Cho hàm số y = x − x3 + x + m Tổng tất giá trị tham số m để y + max y = 20 [ −1; 2] [ −1; 2] A −10 B −4 C 20 Lời giải Chọn B Xét f ( x) = x − x + x + m trênđoạn [ −1; 2] ⇒ f '( x) = x − x + x; f '( x) = ⇔ x = 0; x = 1; x = 1 Ta có : f (0) = m; f (1) = m; f   = m + ; f ( −1) = f ( ) = m + 16 2 max f ( x= ) f ( 2= ) m+4  [−1; 2] Suy  f= ( x) f= ( ) f= (1) m [min  −1; 2]  m≥0 ⇔m= TH1 : Nếu m ≥ ⇒  20 m + m + =  m ≤ −4 ⇔m= −12 TH2 : Nếu m ≤ −4 ⇒  20 − ( m + ) − m = D −21 TH3 : Nếu −4 < m < ⇒ = y 0; max = y max { m + = , m } max {m + 4, − m} [ −1; 2] [ −1; 2] 20 không thỏa mãn Suy y + max y < < + 20 = [ −1; 2] [ −1; 2] Vậy tổng giá trị m −4 Câu Cho hàm số f ( x ) = 2x − m ( m tham số thực ) Gọi S tập hợp tất giá trị x+2 m cho max f ( x ) + f ( x ) ≥ Hỏi đoạn [ −30;30] tập S có số [0;2] [0;2] nguyên? A 53 B 52 C 55 D 54 Lời giải Chọn A Ta có: f ' ( x ) = 4+m ( x + 2) + Nếu m = −4 f ( x ) = thỏa mãn max f ( x ) + f ( x ) ≥ [0;2] [0;2] m 4−m + Xét m ≠ −4 Ta có f ( ) = − ; f ( 2) = * TH1: −m  − m    ≤ ⇔ ≤ m ≤   Khi f ( x ) = max f ( x ) = [0;2] [0;2] m 4−m max f ( x ) = [0;2] 4− m  ≥4  m ≤ −12 Theo giả thiết ta phải có  ( loại) ⇔  m≥8  m≥4  • TH2: m 4−m + Xét −4 < m < : hàm số f ( x ) đồng biến, f ( ) = − > 0; f ( ) = >0 nên max f ( x ) + f ( x ) ≥ ⇔ [0;2] [0;2] 4−m 12  m + 2 −  ≥ ⇔ m ≤ −  2 Vậy −4 < m ≤ − 12 ⇒ m = −3 4−m m + Xét m < −4 : hàm số f ( x ) nghịch biến, f ( ) = − > 0; f ( ) = >0 nên max f ( x ) + f ( x ) ≥ ⇔ − [0;2] [0;2] m  4−m + 2  ≥ ⇔ m ≤ −2 Vậy m < −4   + Xét m > : hàm số f ( x ) đồng biến, f ( ) = − max f ( x ) + f ( x ) ≥ ⇔ [0;2] [0;2] m 4−m < f ( 2) = < nên m  m−4 + 2  ≥ ⇔ m ≥ Vậy m ≥   −12   Tóm lại: m ∈  −∞; ∪ [ 6; +∞ ) Nên [ −30;30] , tập S có 53 số nguyên   Dạng 3: Tìm tham số để GTLN hàm = số y f ( x ) + g ( m ) đoạn [ a; b ] đạt giá trị nhỏ Ghi nhớ: α +β • max {α ; β } ≥ • α + β ≥ α + β , dấu xảy ⇔ α β ≥ , dấu xảy ⇔ α = β Cụ thể = = f ( x ) ; β f ( x ) - Bước 1: Tìm α max [ a ; b] [ a ; b] - Bước 2: Gọi M giá trị lớn = y f ( x ) + g ( m ) +) { } M = max α + g ( m ) ; β + g ( m ) ≥ α + g (m) + β + g (m) = α + g ( m ) + −β − g ( m ) , dấu xảy ⇔ α + g ( m ) = β + g ( m ) +) Áp dụng bất đẳng thức α + g ( m ) + −β − g ( m ) dấu xảy ⇔ α + g ( m )   − β − g ( m )  ≥ ≥ α + g (m) − β − g (m) α −β = , - Bước 3: Kết luận M = α −β g ( m ) = −α − β Ví dụ mẫu 1: Biết giá trị lớn hàm số y = x + x + m − đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị tham số m A B C D Lời giải Chọn B Đặt f ( x= ) x2 + x Ta có: f ′ ( x= ) x + ; f ′ ( x ) =0 ⇔ x =−1∈ ( −2;1) f ( −2 ) = −1 0; f (1) = 3; f ( −1) = Do max f ( x ) = 3; f ( x ) = −1 [ −2;1] [ −2;1] Suy ra: max = y max { m − ; m − 1} ≥ m − + m −1 [ −2;1] ≥ − m + m −1 = 2  m − = m − Dấu xảy ⇔  ⇒m= ( thỏa mãn) ( − m )( m − 1) ≥ Ví dụ mẫu 2: Để giá trị lớn hàm số y= x − x − 3m + đạt giá trị nhỏ m A m = B m = C m = D m = Lời giải Chọn A Tập xác định: D = [ 0; 2] Đặt f ( x) = x − x , x ∈ D , ta có f '( x) = = f ( ) 0;= f ( ) 0;= f (1) 1− x x − x2 ; f '( x) = ⇔ x = Suy ra: = P max= y max { 3m − ; 3m − } ≥ 3m − + 3m − D ≥ − 3m + 3m − 2 =  3m − = 3m −  Dấu xảy ⇔  ⇒ m = ( thỏa mãn)  ( − 3m )( 3m − ) ≥ Suy giá trị lớn hàm số nhỏ m = Bài tập tương tự Câu Để giá trị lớn hàm số y = x3 − x + 2m − đoạn [ 0; 2] nhỏ Giá trị m thuộc khoảng? A [ −1;0] 2  C  ;  3  B ( 0;1)  −3  D  ; −1   Lời giải Chọn B Đặt f ( x ) = x3 − x − + 2m đoạn [ 0; 2]  x =−1 ∉ [ 0; 2] f ′ ( x ) = 3x − = ⇔   x = ∈ [ 0; 2] f ( ) =−1 + 2m , f (1) =−3 + 2m , f ( ) =1 + 2m nên ta có max = y max { 2m − ; 2m + } [0;2] Ta có: max y ≥ 2m + + 2m − [ −3;1] ≥ 2m + + − 2m 2 = Dấu m = Câu Để giá trị lớn hàm số f ( x ) = x3 − 12 x + m + đoạn [1;3] đạt nhỏ Giá trị m A 23 B C − Lời giải Chọn A 23 D − Gọi M giá trị lớn hàm số f ( x ) [1;3] +) Xét g ( x ) = x3 − 12 x + m + [1;3]  x = ( n) g ′ (= x ) x − 12 ; g ′ ( x ) =0 ⇔ x − 12 =0 ⇔   x = −2 (l ) +) Ta có: f (1= ) m − 10 ; f ( 2=) m − 15 ; f ( 3=) m − ⇒ max f ( x ) = M= max { m − ; m − 15 } x∈[1;3]  M ≥ m − ⇒   M ≥ m − 15 ⇒ M ≥ m − + m − 15 = m − + 15 − m ≥ m − + 15 − m ≥ ⇒M ≥  23  m − = m − 15 Dấu “=” xảy ⇔  ⇔m=  ( m − )(15 − m ) ≥ Vậy m = 23