Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là đưa ra nhiều hướng tiếp cận cho cùng một bài toán giữa trên việc phân tích dấu hiệu của bài toán đó. Rèn luyện cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề toán học để tạo hứng thú học tập toán học cho học sinh lớp 12 nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện phẩm chất, năng lực học sinh về nhiều mặt.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BA BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f ( x; m ) THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QG LĨNH VỰC: TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 3 ===== ===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BA BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f ( x; m ) THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QG LĨNH VỰC: TỐN HỌC Tên tác giả : Nguyễn Văn Bản Tổ bộ mơn : Tốn Tin Năm thực hiện : 2020 2021 Số điện thoại : 0974754825 MỤC LỤC I. ĐẶT VẤN ĐỀ 4 1.1. Lí do chọn đề tài 4 1.2. Mục đích nghiên cứu 4 1.3. Đối tượng nghiên cứu 5 1.4. Phương pháp nghiên cứu 5 1.5. Những điểm mới của SKKN 5 II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 6 2.1. Cơ sở lí luận 6 2.1.1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 6 2.1.2. Cực trị của hàm số 7 2.1.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 7 2.1.4. Đồ thị hàm số 8 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 8 2.3. Các giải pháp thực hiện 8 2.3.1. Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. 9 2.3.2. Bài tốn: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điểm cực trị. 29 2.3.3. Bài tốn: Cho hàm số . Tìm đê giá tr ̉ ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn thoa man môt điêu kiên cho tr ̉ ̃ ̣ ̀ ̣ ươc ́ 40 III. KẾT LUẬN 48 3.1. Kết luận 48 3.2. Kiến nghị 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lí do chọn đề tài Để phát triển các năng lực tốn học cho học sịnh, đặc biệt là học sinh lớp 12 giúp các em có một kết quả cao nhất trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG. Tać gia nhân thây ch ̉ ̣ ́ ương ưng dung đao ham đê khao sat va ve đô thi ham sô trong ́ ̣ ̣ ̀ ̉ ̉ ́ ̀ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ chương trinh giai tich l ̀ ̉ ́ ơp 12 la nôi dung quan trong va co nhiêu ́ ̀ ̣ ̣ ̀ ́ ̀ ứng dung trong ̣ bô môn toan, điêu nay đ ̣ ́ ̀ ̀ ược thê hiên thông qua viêc kiên th ̉ ̣ ̣ ́ ức cua ch ̉ ương naỳ luôn chiêm ti lê cao nhât trong đê thi THPT.QG. Sô câu hoi ́ ̉ ̣ ́ ̀ ́ ̉ ở mưc vân dung va ́ ̣ ̣ ̀ vân dung cao cua ch ̣ ̣ ̉ ương nay cung luôn mang đên cho giao viên va hoc sinh ̀ ̃ ́ ́ ̀ ̣ nhưng s ̃ ự quan tâm đăc biêt, trong đo phai kê đên cac bai toan ch ̣ ̣ ́ ̉ ̉ ́ ́ ̀ ́ ứa tham sô.́ Qua qua trinh giang day tai tr ́ ̀ ̉ ̣ ̣ ương THPT Tân Ky 3, tac gia nhân thây nôi ̀ ̀ ́ ̉ ̣ ́ ̣ dung cua ch ̉ ương nay luôn tao h ̀ ̣ ưng thu hoc tâp cho cac em hoc sinh, viêc hoc tôt ́ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ̣ ́ va năm v ̀ ́ ững kiên th ́ ức cua ch ̉ ương nay se tao đa cho viêc hoc tâp cac ch ̀ ̃ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ương khac rât tôt. Cac năm d ́ ́ ́ ́ ạy học ôn thi tốt nghiệp THPT QG tac gia rut ra đ ́ ̉ ́ ược môṭ điêu la c ̀ ̀ ần phải bồi dưỡng cũng như phát triển năng lực tư duy kết hợp phân tích trực quan và suy luận logic để giải quyết một số bài tốn trong chương 1 giải tích lớp 12. Cac dang toan ch ́ ̣ ́ ưa tham sô luôn đ ́ ́ ược giao viên va hoc sinh qua ́ ̀ ̣ tâm tim hiêu, đăc biêt la đôi t ̀ ̉ ̣ ̣ ̀ ́ ượng hoc sinh kha gioi ôn thi vao cac tr ̣ ́ ̉ ̀ ́ ương đai ̀ ̣ hoc ̣ Trong ky thi THPT. QG hang năm thi cac câu hoi ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ở mưc vân dung, vân dung ́ ̣ ̣ ̣ ̣ cao ở chương ưng dung đao ham chiêm ti lê cao, trong đo cac bai toan ch ́ ̣ ̣ ̀ ́ ̉ ̣ ́ ́ ̀ ́ ưa tham ́ y = f ( x ; m ) sô cua ham sô ch ́ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́ cung th ̃ ường xuyên xuât hiên ́ ̣ Tư nh ̀ ưng ly do nêu trên, cung s ̃ ́ ̀ ự nghiên cưu cua tac gia kêt h ́ ̉ ́ ̉ ́ ợp sự chia se kinh ̉ nghiêm cua cac đông nghiêp la giao viên côt can tinh nghê an. Tac gia đa đuc rut đ ̣ ̉ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ́ ̉ ̣ ́ ̉ ̃ ́ ́ ược nhưng kinh nghiêm quy bau thanh ̃ ̣ ́ ́ ̀ đê tai “Ba bài toán ch ̀ ̀ ứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x; m) thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG” đê ap dung trong giang day ôn thi THPT. QG tai tr ̉ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ương THPT Tân Ky 3 ̀ ̀ 1.2. Mục đích nghiên cứu Trong đề tài tác giả nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy của học sinh thơng qua các bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số trong chương trình giải tích lớp 12 vơi muc đich nh ́ ̣ ́ ư sau Kêt h ́ ợp phân tich trên đô thi cua ham sô ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ y = f ( x; m) đê đ ̉ ưa ra cac điêu kiên ́ ̀ ̣ tương đương cua bai toan giup hoc sinh linh hôi kiên th ̉ ̀ ́ ́ ̣ ̃ ̣ ́ ưc kho tr ́ ́ ở nên đơn gian̉ Đưa ra nhiêu h ̀ ương tiêp cân cho cung môt bai toan gi ́ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ưa trên viêc phân tich ̃ ̣ ́ dâu hiêu cua bai toan đo ́ ̣ ̉ ̀ ́ ́ Hoc sinh năm v ̣ ́ ưng ban chât cua cac lâp luân thông qua viêc phân tich cac ̃ ̉ ́ ̉ ́ ̣ ̣ ̣ ́ ́ trương h ̀ ợp co thê xay ra cua cac bai toan tim điêu kiên đê ham sô đ ́ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ơn điêu, sô ̣ ́ cực tri cua ham sô, gia tri l ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ơn nhât gia tri nho nhât cua ham sô ́ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ y = f ( x; m ) Ren luyên cho hoc sinh năng l ̀ ̣ ̣ ực giai quyêt vân đê toan hoc đê tao h ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ưng thu ́ ́ hoc tâp toan hoc cho hoc sinh l ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ơp 12 nhăm phat triên tri tuê va gop phân giao duc, ́ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ren luyên phâm chât, năng l ̀ ̣ ̉ ́ ực hoc sinh vê nhiêu măt ̣ ̀ ̀ ̣ Kêt qua nghiên c ́ ̉ ưu đê lam tai liêu giang day cho đông nghiêp trong tô toan ́ ̉ ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ tin trương THPT Tân Ky 3 ̀ ̀ 1.3. Đối tượng nghiên cứu Phương pháp dạy học hình thành và phát triển năng lực của học sinh Học sinh thi tốt nghiệp THPT QG để xét Đại học 1.4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet về cách thức tổ chức dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích các định hướng của từng bài tốn, sử dụng các kinh nghiệm của bản thân để giúp học sinh phát triển năng lực phân tích, tổng hợp Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dị học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của các em. 1.5. Những điểm mới của SKKN Trong đê tai nay tac gia đa nêu lên đ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̃ ược sự kết hợp trực quan đô thi và l ̀ ̣ ập luận có lý giúp học sinh dê hiêu va n ̣ ̉ ̀ ắm vững bản chất của cac bài tốn ch ́ ưá y = f ( x ; m ) tham sô cua ham sô ch ́ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́ : Bai toan đ ̀ ́ ơn điêu; bai ̣ ̀ toan c ́ ực tri; bai toan gia tri l ̣ ̀ ́ ́ ̣ ơn nhât, gia tri nho nhât ́ ́ ́ ̣ ̉ ́ Phân tich đ ́ ược cac dâu hiêu cua t ́ ́ ̣ ̉ ưng bai toan va đ ̀ ̀ ́ ̀ ưa ra được nhiêu đinh ̀ ̣ hương khac nhau giup hoc sinh dê dang tim ra h ́ ́ ́ ̣ ̃ ̀ ̀ ướng giai quyêt bai toan ̉ ́ ̀ ́ Sử dung mô hinh năng l ̣ ̀ ực giai quyêt vân đê toan hoc đê phân tich va đinh ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ̣ hương giup hoc sinh phat triên cac năng l ́ ́ ̣ ́ ̉ ́ ực đoc hiêu d ̣ ̉ ữ liêu câu hoi; năng l ̣ ̉ ực suy luân toan hoc; năng l ̣ ́ ̣ ực thực hiên tinh toan; năng l ̣ ́ ́ ực vân dung kiên th ̣ ̣ ́ ưc vao ́ ̀ thực tiên giai quyêt vân đê toan hoc ̃ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1. Cơ sở lí luận 2.1.1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số a. Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x) xác định trên K Ta nói + Hàm số y = f ( x) đồng biến K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 � f ( x1 ) < f ( x2 ); + Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 � f ( x1 ) > f ( x2 ) b. Định lý Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K + Nếu f '( x) với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K + Nếu f '( x) với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K ( f '( x) = chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K ) c. Đồ thị hàm số đơn điệu + Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải + Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái qua phải 2.1.2. Cực trị của hàm số a. Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng ( a; b ) và điểm x0 ( a; b ) + Nếu tồn tại số h > sao cho f ( x) < f ( x0 ) với mọi x �( x0 − h ; x0 + h ) và x x0 thì ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại x0 + Nếu tồn tại số h > sao cho f ( x) > f ( x0 ) với mọi x �( x0 − h ; x0 + h ) và x x0 thì ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại x0 b. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x0 } , với h > + Nếu f '( x) > trên khoảng ( x0 − h ; x0 ) và f '( x) < trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f ( x) + Nếu f '( x) < trên khoảng ( x0 − h ; x0 ) và f '( x) > trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x) 2.1.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a. Đinh nghia ̣ ̃ Cho ham sô ̀ ́ y = f ( x) xac đinh trên tâp ́ ̣ ̣ D + Sô ́ M được goi la gia tri l ̣ ̀ ́ ̣ ơn nhât cua ham sô ́ ́ ̉ ̀ ́ y = f ( x) trên tâp ̣ D nêu ́ f ( x) M vơi moi ́ ̣ x thuôc ̣ D va tôn tai ̀ ̀ ̣ x0 D sao cho f ( x0 ) = M f ( x) Ki hiêu ́ ̣ M = max D + Sô ́ m được goi la gia tri nho nhât cua ham sô ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ y = f ( x) trên tâp ̣ D nêu ́ f ( x) m vơi moi ́ ̣ x thuôc ̣ D va tôn tai ̀ ̀ ̣ x0 D sao cho f ( x0 ) = m f ( x) Ki hiêu ́ ̣ m = D b. Đinh lý ̣ Moi ham sô liên tuc trên môt đoan đêu co gia tri l ̣ ̀ ́ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ơn nhât va gia tri nho nhât trên ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ́ đoan đo ̣ ́ 2.1.4. Đồ thị hàm số y = f ( x) Ta có y = f ( x) = f ( x) nê´u f ( x) − f ( x) nê´u f ( x ) < Do đo đô thi ham sô ́ ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) được suy ra tư đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) như sau: + Giư nguyên phân đô thi ham sô ̃ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) năm trên truc hoanh ̀ ̣ ̀ + Lây đôi x ́ ́ ứng qua truc hoanh phân đô thi ham sô ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) năm d ̀ ươi truc hoanh ́ ̣ ̀ Đô thi ham sô ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế dạy học và kết quả kỳ thi tốt nghiệp THPT QG tại trường THPT Tân Kỳ 3: Những khó khăn của giáo viên và học sinh trong dạy và học các bài tốn vận dụng cao trong chương hàm số dẫn đến kết quả thấp Vê phia giao viên: Đa phân cac đơng nghiêp tai tr ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ương THPT Tân Ky 3 rât ̀ ̀ ́ it khi day cac bai toan ́ ̣ ́ ̀ ́ ở mưc vân dung va vân dung cao, môt phân vi năng l ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ̀ ̀ ực hoc̣ sinh đai tra qua thâp môt phân vi kho khăn trong viêc tim kiêm tai liêu day hoc ̣ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ Điêu đo tao nên môt tâm ly e ngai khi găp phai cac bai toan kho, lâu dai dân đên ̀ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̃ ́ viêc giang day cho hoc sinh ôn thi đai hoc găp nhiêu kho khăn. ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ Vê phia hoc sinh: S ̀ ́ ̣ ự tiêp cân cac dang toan vân dung va vân dung cao con ́ ̣ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ ̀ it, tai liêu h ́ ̀ ̣ ương dân ch ́ ̃ ưa co dân đên kêt qua hoc tâp va thi ch ́ ̃ ́ ́ ̉ ̣ ̣ ̀ ưa cao. Cu thê kêt ̣ ̉ ́ qua thi THPT QG năm 2019: Điêm trung binh môn toan cua l ̉ ̉ ̀ ́ ̉ ơn 12A1 trong ky thi ́ ̀ TN THPT QG năm 2018 2019 la 6.5 điêm. ( thông kê điêm toan TN THPT 2018 ̀ ̉ ́ ̉ ́ 2019 cua l ̉ ơp 12A1) ́ Điêm ̉ 8.6 8.4 8.2 7.8 7.4 7.2 7.0 6.8 6.6 6.4 6.2 6.0 5.6 4.8 4.6 4.2 3.6 Tân ̀ 1 2 3 1 2 số Va nhiêu năm tr ̀ ̀ ươc đo điêm thi THPT QG cua cac l ́ ́ ̉ ̉ ́ ơp 12A1 tr ́ ương THPT Tân ̀ Ky 3 con thâp. ̀ ̀ ́ 2.3. Các giải pháp thực hiện 2.3.1. Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu trên một khoảng cho trước 2.3.1a. Hàm số y = f ( x; m) đồng biến trên khoảng ( a; b ) Phương phap phat hiên va giai quyêt vân đê ́ ́ ̣ ̀ ̉ ́ ́ ̀ Bươc 1: ́ Phat hiên/ thâm nhâp vân đê ́ ̣ ̣ ́ ̀ Câu hoi 1: ̉ Chung ta đa biêt cach giai cac bai toan xet s ́ ̃ ́ ́ ̉ ́ ̀ ́ ́ ự đông biên, nghich ̀ ́ ̣ biên cua cac ham sô ́ ̉ ́ ̀ ́ y = f ( x) ; bai toan tim điêu kiên cua tham sô ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f ( x; m) đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ ( a; b ) Bai toan tim điêu kiên cua tham sô ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m để ( a; b ) co giai đ ham sô ̀ ́ y = f ( x; m) đông biên trên ̀ ́ ́ ̉ ược như thê không? ́ Sau khi tiêp cân câu hoi thi hoc sinh se co nh ́ ̣ ̉ ̀ ̣ ̃ ́ ưng suy nghi nay sinh nhiêu ̃ ̣ ̉ ̀ đinh h ̣ ương khac nhau. Nh ́ ́ ưng co môt vân đê đăt ra la ph ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ương phap giai cho bai ́ ̉ ̀ toan nay co giông nh ́ ̀ ́ ́ ư cac dang đa găp không? Hay co cach nao khac đê giai quyêt ́ ̣ ̃ ̣ ́ ́ ̀ ́ ̉ ̉ ́ bai toan nay n ̀ ́ ̀ ữa không? Bươc 2: ́ Tim toi h ̀ ̀ ương giai bai toan ́ ̉ ̀ ́ Sau khi đăt câu hoi 1, hoc sinh đa t ̣ ̉ ̣ ̃ ư duy va phân tich bai toan, giao viên tiêp ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ tuc đăt câu hoi cho hoc sinh ̣ ̣ ̉ ̣ Câu hoi 2: ̉ Hay nhăc lai điêu kiên t ̃ ́ ̣ ̀ ̣ ương đương cua bai toan tim điêu kiên ̉ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ cua tham sô ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f ( x; m) đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ ( a; b ) ? + Ở bươć naỳ hoc̣ sinh sẽ trinh ̀ baỳ được điêu ̀ kiên ̣ tương đương là f '( x ; m) 0; ∀x (a ; b) + Đên đây giao viên tiêp tuc phân tich, nêu tim đ ́ ́ ́ ̣ ́ ́ ̀ ược đao ham cua ham sô ̣ ̀ ̉ ̀ ́ y = f ( x; m) thi chung ta se s ̀ ́ ̃ ử dung điêu kiên t ̣ ̀ ̣ ương tự. Va đăt câu hoi 3 ̀ ̣ ̉ Câu hoi 3: ̉ Hay bo dâu gia tri tuyêt đôi đê lây đ ̃ ̉ ́ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ́ ược đao ham cua ham sô ̣ ̀ ̉ ̀ ́ y = f ( x; m) + Ở bươc nay hoc sinh se co 2 đinh h ́ ̀ ̣ ̃ ́ ̣ ướng: y = f ( x; m) = f ( x; m) nê´u f ( x; m) − f ( x; m) nê´u f ( x; m) < Hoăc ̣ y = f ( x; m) = [ f ( x; m) ] + Phân tich: ́ Ở bươc nay giao viên cân phân tich đê hoc sinh thây đ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ́ ược viêc̣ sử dung ̣ y = f ( x; m) = [ f ( x; m)] đê tinh đao ham. Khi tim đ ̉ ́ ̣ ̀ ̀ ược đao ham thi chung ̣ ̀ ̀ ́ y ' 0; ∀x (a ; b) ta đa quy vê bai toan quen ̃ ̀ ̀ ́ Bươc 3: ́ Trinh bay l ̀ ̀ ơi giai bai toan ̀ ̉ ̀ ́ Ta có y = f ( x m) = [ f ( x; m) ] y'= f '( x; m) f ( x; m) [ f ( x; m)] = f '( x; m) f ( x; m) f ( x; m) y ' 0, x (a; b) Để hàm số y = f ( x; m) đồng biến trên khoảng ( a; b ) ۳∀� ( f ( x; m) ) f '( x; m) f ( x; m) 0, ∀x (a; b) � f '( x; m) , ∀x(a; b) f ( x; m) > f '( x; m) , ∀x(a; b) f ( x; m) < Bươc 4: ́ Đanh gia l ́ ́ ơi giai va nghiên c ̀ ̉ ̀ ứu sâu bai toan ̀ ́ Băng cach biên đôi ̀ ́ ́ ̉ y = f ( x; m) = [ f ( x; m)] chung ta đa quy bai toan vê bai toan ́ ̃ ̀ ́ ̀ ̀ ́ y ' 0, x (a; b) quen ۳∀� Bai toan con co cac cach giai khac: ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ́ Cách 2: Sử dụng đồ thị ← Phân tích: Nếu đồ hàm số y = f ( x; m) thị cắt trục Ox ← Ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( x; m) như sau 10 Để hàm số y = f ( x) có ba điểm cực trị kiện m > Từ hai trường hợp trên ta có − m2 + 4m − m = thỏa mãn điều m m=2 Do m nguyên và không âm nên m { 0;1; 2} Ta chọn đáp án: A Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 + (2m − 1) x + (2m − 2m − 9) x − 2m + có 5 điểm cực trị ? A. B. C. D Lời giải: Đặt f ( x) = x3 + (2m − 1) x + (2m − 2m − 9) x − 2m + xác định trên Để hàm số y = f ( x) có 5 điểm cực trị hàm số y = f ( x) có 2 điểm cực trị và đồ thị y = f ( x) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt Phương trình x3 + (2m − 1) x + (2m − 2m − 9) x − 2m + = (*) có 3 nghiệm phân biệt ( x − 1)( x + 2mx + 2m − 9) = x =1 g ( x) = x + 2mx + 2m − = (**) Ta có phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt phân biệt và khác 1 Do m ngun ∆' > g(1) phương trình (**) có 2 nghiệm −m + > 2m + 2m − −3 < m < m 17 −1 m �{ −2; −1;0;1; 2} Chọn đáp án: B Nhận xét: Hàm số bậc ba y = f ( x) có hai cực trị và đồ thị cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số y = f ( x) có 5 điểm cực trị Đồ thị y = f ( x) Đồ thị y = f ( x) 35 y = f ( x) co đơ thi nh Ví dụ 5: Cho ham sơ bâc ba ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ư hinh ve bên d ̀ ̃ ưới Tât ca cac gia tri cua tham sô ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f ( x) + m co 5 điêm c ́ ̉ ực tri la ̣ ̀ A. m −1 hoăc ̣ m B. −1 < m < C. m = −1 hoăc ̣ m = D. −1 m Lơi giai: ̀ ̉ Xet ham sô ́ ̀ ́ g ( x) = f ( x) + m xac đinh trên ́ ̣ , co ́ g '( x) = f '( x ) Ta co ́ y = g ( x) = [ g ( x) ] y'= g '( x ).g ( x) g ( x) Suy ra sô điêm c ́ ̉ ực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ y = g ( x) la sô nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn hoăc nghiêm bôi le ̣ ̣ ̣ ̉ f '( x ) = (1) f ( x ) + m = (2) Tư đô thi ta co Ph ̀ ̀ ̣ ́ ương trinh (1) co hai nghiêm phân biêt ̀ ́ ̣ ̣ x1 , x2 cua ph ̉ ương trinh ̀ g '( x).g ( x) = g '( x) = g ( x) = Đê ham sô ̉ ̀ ́ y = g ( x) co 5 điêm c ́ ̉ ực tri ̣ va khac ̀ ́ x1 , x2 Phương trinh (2) co ba nghiêm phân biêt ̀ ́ ̣ ̣ −3 < − m < f ( x) = −m co ba nghiêm phân biêt va khac ́ ̣ ̣ ̀ ́ x1 , x2 , tư đô thi suy ra ̀ ̀ ̣ −1 < m < Vây ̣ −1 < m < ham sô ̀ ́ y = f ( x) + m co 5 điêm c ́ ̉ ực trị Chon đap an: ̣ ́ ́ B Nhân xet: ̣ ́ Đây la bai toan điên hinh cho viêc phân tich đô thi đê xac đinh sô giao ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ́ điêm va sô c ̉ ̀ ́ ực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ Ví dụ 6: Cho ham sơ ̀ ́y= x − m ( vơi ́ m la tham sô th ̀ ́ ực) co nhiêu nhât ́ ̀ ́ x +1 bao nhiêu điêm c ̉ ực tri?̣ A. B. C D. Lơi giai: ̀ ̉ 36 x xac đinh trên ́ ̣ x +1 x =1 − x2 Ta co ́ g '( x) = 2 ; g '( x) = x = −1 ( x + 1) Xet ham sô ́ ̀ ́ g ( x) = Ta co bang biên thiên ́ ̉ ́ − x g '( x) − g ( x) −1 0 1 0 + − − + Ta nhân thây ham sô ̣ ́ ̀ ́ g ( x) luôn co hai điêm c ́ ̉ ực trị Sô điêm c ́ ̉ ực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ y = g ( x) − m phu thuôc vao sô nghiêm cua ph ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ương trinh ̀ g ( x) − m = x −m = 0 x +1 x = m (1) x +1 Tư bang biên thiên ta thây ph ̀ ̉ ́ ́ ương trinh (1) co nhiêu nhât 2 nghiêm ̀ ́ ̀ ́ ̣ Vây ham sô ̣ ̀ ́ f ( x) co nhiêu nhât 4 điêm c ́ ̀ ́ ̉ ực tri.̣ Chon đap an: ̣ ́ ́ D Nhân xet: ̣ ́ Đây la bai toan quen thuôc cua ham sô ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ y = f ( x) ma chung ta biêt răng ̀ ́ ́ ̀ sô điêm c ́ ̉ ực tri cua ham sô la sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ f ( x) va sô nghiêm cua ̀ ́ ̣ ̉ m f ( x ) = phương trinh ̀ ( không tinh nghiêm kep) . Bai toan nay cô lâp đ ́ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ược nên ta chon cach lâp bang biên thiên ham sô ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́ g ( x) = x x +1 y = f ( x) co đơ thi nh Ví dụ 7: Cho ham sơ bâc ba ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ư hinh ve bên d ̀ ̃ ưới Tim tât ca cac gia tri cua tham sô ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f ( x) + f ( x) + m co đung 3 điêm ́ ́ ̉ cực tri.̣ A. m > B. m C. m < D. m Lơi giai: ̀ ̉ 37 Xet ham sô ́ ̀ ́ g (x) = f ( x) + f ( x) + m xac đinh trên ́ ̣ Ta co ́ g '( x) = f '( x) f ( x) + f '( x) = f '( x) [ f ( x) + 1] f '( x ) = g '( x) = f ( x) = − 1 g (3) = m x =1 x=3 ta co ́ g (1) = f (1) + f (1) + m > m x = a< g (a ) = m − Ta co bang biên thiên ́ ̉ ́ x g '( x) − − + g( x) a m− + 1 g (1) − 3 + + + m Dựa vao bang biên thiên, suy ra ham sô ̀ ̉ ́ ̀ ́g ( x) co 3 điêm c ́ ̉ ực tri.̣ Đê ham sô ̉ ̀ ́ y = g ( x) co 3 điêm c ́ ̉ ực tri ̣ Vây ̣ m m− 0 m ham sô ̀ ́ y = f ( x) + f ( x) + m co đung 3 điêm c ́ ́ ̉ ực tri.̣ Chon đap an: ̣ ́ ́ B Nhân xet: ̣ ́ Ban chât cua bai toan nay la ham sô ̉ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ̀ ̀ ́ y = f ( x) . Nhưng m cô lâp nên ta ̣ f ( x ) chon cach lâp bang biên thiên đê xac đinh sô điêm c ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ́ ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ , sau đó dựa vao bang biên thiên đê xac đinh sô nghiêm cua ph ̀ ̉ ́ ̉ ́ ̣ ́ ̣ ̉ ương trinh ̀ f ( x) = 2.3.2c. Bài tập tương tự Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3x + m có 5 điểm cực trị ? A. −4 < m < B. −4 m C. < m < D. m hoặc m Bài 2: Có bao nhiêu số nguyên m �( −20; 20 ) để hàm số y = x − (m + 1) x + m có 7 điểm cực trị ? A. 18 B. 20 C. 19 D. 21 Bài 3: Có bao nhiêu số nguyên m �( −20; 20 ) để hàm số y = ( x + 2) x − m có đúng 5 điểm cực trị? A. 1 B. 17 C. D. 16 Bài 4: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = 3x5 − 25 x3 + 60 x + m có 7 điểm cực trị ? A. 42 B. 21 C. 44 D. 22 38 Bài 5: Cho hàm số y = x − 2(m − 1) x + 2m − .Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị là � 3� � � �3 � � � 1; � B. � ; + �\ { 2} A. � 2 � � C. ( 1; + ) \ { 2} D. 1; � 2� Bài 6: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = 3x5 − 15 x3 − 60 x + m có 5 điểm cực trị ? A. 289 B. 287 C. 286 D. 288 Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − x − x + m có 7 điểm cực trị ? A. B. C. D. y = f ( x) co đô thi nh Bài 8: Cho ham sô bâc ba ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ư hinh ve bên d ̀ ̃ ưới Tât ca cac gia tri cua tham sô ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f ( x) + m co 3 điêm c ́ ̉ ực tri la ̣ ̀ A. m −1 m −3 B. m m C. m = −1 D. m m=3 y = f ( x) co đô thi nh Bài 9: Cho ham sô bâc ba ̀ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ư hinh ve d ̀ ̃ ươi đây ́ Tim tât ca cac gia tri cua tham sô ̀ ́ ̉ ́ ́ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f ( x) + f ( x) + m co đung 3 ́ ́ điêm c ̉ ực tri.̣ A. m B. m > C. m −1 D m < −1 39 2.3.3. Bài tốn: Cho hàm số y = f ( x; m) . Tìm m đê giá tr ̉ ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ a; b] thoa man môt điêu kiên cho tr ̉ ̃ ̣ ̀ ̣ ươc ́ 2.3.3a. Phương pháp phat hiên va giai quyêt vân đê ́ ̣ ̀ ̉ ́ ́ ̀ Bươc 1: Phat hiên/ Thâm nhâp vân đê ́ ́ ̣ ̣ ́ ̀ Câu hoi 1: ̉ Chung ta đa biêt cach tim gia tri l ́ ̃ ́ ́ ̀ ́ ̣ ớn nhât, gia tri nho nhât cua ham ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ sô ́ y = f ( x) trên đoan ̣ [ a; b] , trên khoang ̉ ( a ; b ) Băng ph ̀ ương phap đo cac em co ́ ́ ́ ́ thê giai đ ̉ ̉ ược bai toan tim điêu kiên cua tham sô ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m đê gia tri l ̉ ́ ̣ ơn nhât, gia tri nho ́ ́ ́ ̣ ̉ nhât cua ham sô ́ ̉ ̀ ́ y = f ( x ; m) thoa man điêu kiên cho tr ̉ ̃ ̀ ̣ ước hay không? + Sau khi tiêp nhân câu hoi thi hoc sinh co nh ́ ̣ ̉ ̀ ̣ ́ ưng đinh h ̃ ̣ ương khac nhau đê ́ ́ ̉ giai quyêt. Nh ̉ ́ ưng se lam nay sinh trong hoc sinh cac vân đê cân t ̃ ̀ ̉ ̣ ́ ́ ̀ ̀ ư duy: Phương phap nay co giai đ ́ ̀ ́ ̉ ược không ? Bươc 2: Tim toi h ́ ̀ ̀ ương giai bai toan ́ ̉ ̀ ́ Sau khi đăt câu hoi sô 1, hoc sinh đa t ̣ ̉ ́ ̣ ̃ duy va phân tich bai toan, giao viên ̀ ́ ̀ ́ ́ tiêp tuc đăt câu hoi cho hoc sinh ́ ̣ ̣ ̉ ̣ Câu hoi 2: ̉ Hay trinh bai môt h ̃ ̀ ̉ ̣ ương giai quyêt đ ́ ̉ ́ ược cho la tôi ̀ ́ ưu theo hương suy nghi cua cac em? ́ ̃ ̉ ́ + Ở bươc nay, khi hoc sinh trinh bay giai phap cua minh thi se co môt sô ́ ̀ ̣ ̀ ̀ ̉ ́ ̉ ̀ ̀ ̃ ́ ̣ ́ đinh h ̣ ương nh ́ ư sau: Hoc sinh dung bang biên thiên hoăc đô thi đê xac đinh gia tri ̣ ̀ ̉ ́ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ́ ̣ lơn nhât, gia tri nho nhât. Hoc sinh dung quy tăc xac đinh gia tri l ́ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ́ ̣ ớn nhât, gia tri ́ ́ ̣ a ; b nho nhât cua ham sô trên đoan ̉ ́ ̉ ̀ ́ ̣ [ ] + Nêu dung ph ́ ̀ ương phap xac đinh gia tri l ́ ́ ̣ ́ ̣ ơn nhât, gia tri nho nhât cua ham ́ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ a ; b sô trên đoan ́ ̣ [ ] thi hoc sinh găp phai kho khăn la khi chuyên sang gia tri tuyêt ̀ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ̣ đôi thi viêc so sanh đê xac đinh gia tri l ́ ̀ ̣ ́ ̉ ́ ̣ ́ ̣ ớn nhât, gia tri nho nhât ́ ́ ̣ ̉ ́ + Nêu dung bang biên thiên hoăc đô thi đê xac đinh gia tri l ́ ̀ ̉ ́ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ́ ̣ ơn nhât, gia tri ́ ́ ́ ̣ nho nhât cua ham sô trên đoan ̉ ́ ̉ ̀ ́ ̣ [ a ; b] thi lam thê nao đê xac đinh hêt cac kha năng ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ́ ́ ̉ co thê xay ra? ́ ̉ ̉ + Phân tich: Giao viên dung đô thi đê phân tich cac tr ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ́ ương h ̀ ợp co thê xay ra ́ ̉ ̉ cua gia tri l ̉ ́ ̣ ơn nhât, gia tri nho nhât cua ham sô ́ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ f ( x) trên đoan ̣ [ a ; b] Bươc 3: Trinh bay l ́ ̀ ̀ ơi giai bai toan ̀ ̉ ̀ ́ f ( x ) = p ; f ( x) = q + Tìm max [ a ;b ] [ a ;b ] + Xét các trường hợp: f ( x ) = Trương h ̀ ợp 1: Nếu p.q [ a ;b ] max f ( x) = max { p ; q } [ a ;b] f ( x) = p + Nếu p + q thì max [ a ;b ] f ( x) = q + Nếu p + q < thì max [ a ;b ] 40 Trương h ̀ ợp 2: Nếu q > �min f ( x ) = q [ a ;b ] max f ( x) = p [ a ;b ] Trương h ̀ ợp 3: Nếu p < �min f ( x ) = p = − p [ a ;b ] max f ( x) = q = −q [ a ;b ] Bươc 4: Đanh gia qua trinh giai va nghiên c ́ ́ ́ ́ ̀ ̉ ̀ ứu sâu bai toan ̀ ́ + Sử dung đô thi giup cac em hiêu ro ban chât cua viêc so sanh gia tri đê đanh ̣ ̀ ̣ ́ ́ ̉ ̃ ̉ ́ ̉ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ́ f ( x ; m ) gia gia tri l ́ ́ ̣ ơn nhât, gia tri nho nhât cua ham sô ́ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ + Bai toan con co cach giai khac đo la s ̀ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ̀ ử dung tinh chât va cac bât đăng th ̣ ́ ́ ̀ ́ ́ ̉ ức vê gia tri tuyêt đôi ̀ ́ ̣ ̣ ́ Cach 2: ́ sử dung cơng th ̣ ức tính nhanh 41 0, nê´u p.q p+q + p−q f ( x) = � p + q − p − q max f ( x) = ; [ a ;b] [ a ;b ] , nê´u p.q > 2 2.3.3b. Vi du ap d ́ ̣ ́ ụng Ví dụ 1: ( Đề tham khảo THPT.QG 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 3x + m trên đoạn [ 0; 2] bằng Số phần tử của S A. 1 B. C. D. Lời giải: Cách 1: Đặt f ( x) = x3 − 3x + m xác định trên Ta có f '( x) = 3x − f '( x) = x =1 x = −1 [ 0; 2] Suy ra f (0) = m , f (1) = m − , f (2) = m + Ta có m − < m < m + max f ( x) = { m − ; m + } [ 0;2] Trương h ̀ ợp 1: Nếu (m − 2)( m + 2) (m − 2) + (m+ 2) f ( x) = m + = m + = thì max [ 0;2] Trương h ̀ ợp 2: Nếu m = thỏa mãn (m − 2)( m + 2) (m − 2) + (m+ 2) < f ( x) = m − = − m = thì max [ 0;2] m −2 m m = −1 thỏa mãn f ( x) = m + = m + = Trương h ̀ ợp 3: Nếu m − > m > thì max [ 0;2] m = không thỏa mãn f ( x) = m − = − m = Trương h ̀ ợp 4: Nếu m + < m < −2 thì max [ 0;2] m = −1 khơng thỏa mãn Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn Chọn đáp án: B Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh Đặt f ( x) = x3 − 3x + m xác định trên Ta có f '( x) = 3x − f '( x) = x =1 x = −1 [ 0; 2] Suy ra f (0) = m , f (1) = m − , f (2) = m + Ta có m − < m < m + 42 (m + 2) + (m − 2) + (m + 2) − (m − 2) = m +2=3 [ 0;2] Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn max f ( x) = m = 1 Chọn đáp án: B Cách 3: Đặt f ( x) = x3 − 3x + m xác định trên f '( x) = Ta có f '( x) = 3x − x =1 [ 0; 2] x = −1 Suy ra f (0) = m , f (1) = m − , f (2) = m + Ta có m − < m < m + �m + = m+2 max f ( x) = { m − ; m + } = [ 0;2] m−2 �m − = m−2 m =1 m = −1 m+2 Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn Chọn đáp án: B Nhận xét: Để hiểu được bản chất của từng TH các em nên phân tích bằng đồ thị hàm trị tuyệt đối. Để giải nhanh cho bài thi trắc nghiệm thì chúng ta nên sử dụng cơng thức tính nhanh x+m ( m là x +1 tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m cho max f ( x) + f ( x) = Số phần tử của S là Ví dụ 2: ( Đề tham khảo THPT.QG 2020) Cho hàm số y = [ 0;1] [ 0;1] A. B. C. 1 D. Lời giải: x +1 =1 x +1 f ( x) + f ( x) = + = , m = thỏa mãn max [ 0;1] [ 0;1] Xét m = ta có y = 1− m khơng đổi dấu trên \ { −1} ( x + 1) Hàm số đơn điệu trên đoạn [ 0;1] Xét m ta có y ' = Ta có f (0) = m ; f (1) = 1+ m 1+ m Trương h ̀ ợp 1: m Do −1 m m ; �min f ( x ) = 0 1+ m −1 m [ 0;1] � + m � max f ( x) = �m ; � [ 0;1] � 43 max f ( x) + f ( x) < , TH này khơng có giá trị m nào thỏa mãn [ 0;1] [ 0;1] Trương h ̀ ợp 2: m m>0 m < −1 1+ m >0 max f ( x) + f ( x) = m + [ 0;1] [ 0;1] max f ( x) + f ( x) = [ 0;1] [ 0;1] + m 3m + ( do m và + m cùng dấu) = 2 m =1 3m + =2 ( m = không thỏa mãn) m=− � 5� � 1; − � Vậy S = � Chọn đáp án: B Nhận xét: Bài này nhiều em mắc sai lầm vì khơng xét trường hợp m = Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − x − m trên đoạn [ −1; 2] bằng Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. −2 B. C. 14 D. Lời giải: Đặt f ( x) = x − x − m trên đoạn [ −1; 2] x = �[ −1; 2] Có f '( x) = x3 − x = x = �[ −1; 2] x = −1 �[ −1; 2] Khi đó f (0) = −m ; f ( 1) = − m − ; f (2) = −m + f ( x ) = −m + và f ( x) = −m − max [ −1;2] [ −1;2] Trương h ̀ ợp 1: Nếu (−m − 1)(−m + 8) y = , khơng thỏa −1 m [ −1;2] mãn bài toán Trương h ̀ ợp 2: Nếu −m − > y=2 Khi đó [ −1;2] m = −3 thỏa mãn −m − = Trương h ̀ ợp 3: Nếu −m + < y=2 Khi đó [ −1;2] m −8 = y = −m − = −m − m < −1 thì [ −1;2] y = −m + = m − m > thì [ −1;2] m = 10 thỏa mãn Vậy S = { −3;10} , suy ra tổng các phần tử của S bằng Chọn đáp án: B 44 Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) = x − x + m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất giá trị nguyên m thuộc đoạn [ −20; 20] cho max f ( x) < 3min f ( x) Tổng các phần tử của S bằng [ 0;2] [ 0;2] A. 63 B. 51 C. 195 D. 23 Lời giải: Đặt f ( x) = x − x + m trên đoạn [ 0; 2] [ 0; 2] x = [ 0; 2] x = −1 [ 0; 2] x =1 Ta có f '( x) = x3 − x = f (0) = m ; f (1) = m − ; f (2) = m + max f ( x) = m + và f ( x) = m − [ 0;2] [ 0;2] Trương h ̀ ợp 1: Nếu (m − 1)(m + 8) < −8 < m < f ( x ) = thì [ 0;2] max f ( x) = { m + ; m − } > [ 0;2] f ( x) < 3min f ( x) Không thỏa mãn điều kiện max [ 0;2] [ 0;2] Trương h ̀ ợp 2: Nếu m − m f ( x) = m + = m + , f ( x) = m − = m − thì max [ 0;2] [ 0;2] f ( x) < 3min f ( x) Khi đó max [ 0;2] [ 0;2] m + < 3(m − 1) m> 11 45 Trương h ̀ ợp 3: Nếu m + m −8 thì max f ( x) = m − = − m , f ( x) = m + = −m − [ 0;2] [ 0;2] f ( x) < 3min f ( x) Khi đó max [ 0;2] [ 0;2] − m < 3( −m − 8) m