MỤC LỤC Lời giới thiệu Tên sáng kiến: giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số giá trị tuyệt đối Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất sáng kiến Nội dung sáng kiến A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP Dạng GTLN-GTNN thỏa mãn điều kiện cụ thể Ví dụ minh họa Bài tập tự luyện Dạng Tìm điều kiện tham số Ví dụ minh họa Bài tập tự luyện 11 Dạng Bài toán max đạt 14 Ví dụ minh họa 15 Bài tập tự luyện 16 Dạng Bài toán đạt 16 Ví dụ minh họa 17 C CÁC BÀI TẬP VD-VDC TRONG CÁC ĐỀ THI 18 Những thông tin cần bảo mật 30 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 30 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến 30 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Sau học xong kiến thức đạo hàm, đầu chương trình tốn lớp 12 học sinh học lại đầy đủ hệ thống hàm số Bằng việc sử dụng kiến thưc đạo hàm, học sinh nghiên cứu đồng biến hàm số, cực trị, giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, tiệm cận cuối khảo sát hàm số Đây nội dung học sinh lớp 12 xuất đề thi năm gần ngày nhiều với đầy đủ bốn mức độ Đặc biệt câu mức độ VD-VDC đề thi, khơng theo khuân mẫu toán giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số trị tuyệt đối Để chinh phục câu dạng này, địi hỏi học sinh phải có kiến thức thật vững có mắt tốn học thật tinh tế Với mong muốn giúp em giải toán giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số giá trị tuyệt đối, tơi sưu tầm tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số giá trị tuyệt đối đề thi THPTQG qua năm gần đây, đề thi TNTHPT có chia dạng chúng nhằm giúp em tiếp cận tốn đồng thời giúp em có nhìn tổng qt, đầy đủ dạng tốn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số giá trị tuyệt đối Vì tơi chọn đề tài: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số giá trị tuyệt đối Mặc dù vậy, điều kiện thời gian cịn hạn chế nên phân dạng chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để tài liệu hồn thiện Tơi xin chân thành cám ơn Tên sáng kiến: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số giá trị tuyệt đối Tác giả sáng kiến Họ tên: Nguyễn Thành Tiến Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc 2, Yên Lạc, Vĩnh Phúc Số điện thoại: 0985.11.22.66 Email: tiennt.thpt@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng 09/2020 Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm quy luật, phương pháp chung để giải vấn đề quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp tốn tương tự Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học điều kiện gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức phương pháp tiến hành có trải nghiệm thành cơng Do việc trang bị phương pháp cho học sinh nhiệm vụ quan trọng giáo viên Sáng kiến trình bày dạng tốn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số giá trị tuyệt đối hay gặp đề thi BGD, đề thi thử SGD trường với phương pháp giải dạng tốn Sau dạng tốn, có tập cho học sinh thực hành Về khả áp dụng sáng kiến: Dành cho học sinh có lực học từ trung bình trở lên GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bài tốn Cho hàm số y = |f (x)| Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số [a; b] Phương pháp chung: Tìm max f (x) = M f (x) = m [a;b] [a;b] Xét trường hợp Ë Nếu M · m ≤ Ë Nếu m > Ë Nếu M < |f (x)| = [a;b] max |f (x)| = max {|M |; |m|} [a;b] |f (x)| = m [a;b] max |f (x)| = M [a;b] |f (x)| = |M | = −M [a;b] max |f (x)| = |m| = −m [a;b] B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP { DẠNG GTLN-GTNN thỏa mãn điều kiện cụ thể |f (x)| ≤ k, (≥ k) [a;b] Tìm tham số để max |f (x)| ≤ k, (≥ k) [a;b] VÍ DỤ MINH HỌA | Ví dụ Có giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y = |x4 + 4x3 − m| đoạn [−4; −2] 2020? A B C D $ Lời giải Xét hàm số f (x) = x" +4x3 −m, đoạn [−4; −2] Ta có f (x) = 4x3 +12x2 = 4x2 (x+3) x=0∈ / (−4; −2) Khi f (x) = ⇔ x = −3 ∈ (−4; −2) 4 Ta có f (−4) = −m, f (−3) = −m − 27, f (−2) = −m − 16 Do max f (x) = f (−4) = −m f (x) = f (−3) = −m − 27 [−4;−2] [−4;−2] Nếu −m(−m − 27) ≤ ⇔ −27 ≤ m ≤ 0, max y = max {| − m − 27|; | − m|} = max{m + 27; −m} [−4;−2] " " m = 1993 (loại) m + 27 = 2020 ⇔ Theo u cầu tốn ta có m = −2020 (loại) − m = 2020 Nếu −m − 27 < ⇔ m > −27, max y = | − m| = |m| [−4;−2] " m = −2020 (loại) Theo u cầu tốn, ta có |m| = 2020 ⇔ m = 2020 (thỏa mãn) Nếu −m > ⇔ m < max y = max{| − m − 27|; | − m|} = |m + 27| [−4;−2] Theo yêu cầu toán, ta có " " m = 1993 (loại) m + 27 = 2020 ⇔ |m + 27| = 2020 ⇔ m + 27 = −2020 m = −2047 (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề Chọn đáp án B | Ví dụ Cho hàm số f (x) = x3 − 3x Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y = |f (sin x + 1) + m| Tổng phần tử S A B C D $ Lời giải Đặt t = sin x + ⇒ t ∈ [0; 2] Khi đó, ta có y = |f (sin x + 1) + m| = |f (t) + m| = t3 − 3t + m Xét hàm số g (t) = t3 − 3t + m hàm số liên tục [0; 2] có g (t) = 3t2 − " t = ∈ [0, 2] g (t) = ⇔ 3t2 − = ⇔ t = −2 6∈ [0, 2] Ta có g (0) = m, g (1) = m − 2, g (2) = m + Suy max g (t) = m + g (t) = m − [0;2] [0;2] Nếu (m − 2) (m + 2) ≤ ⇔ m ∈ [−2; 2] Từ giả thiết, ta có ( |m − 2| = ⇒ m = −2 thỏa mãn |m − 2| ≥ |m + 2| ( |m + 2| = ⇒ m = thỏa mãn |m + 2| ≥ |m − 2| GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.5 Nếu m + < ⇔ m < −2 Ta có max |g (t)| = |m − 2| = ⇔ m = −2 (loại) [0;2] Nếu m − > ⇔ m > Ta có max |g (t)| = m + = ⇔ m = (loại) [0;2] Vậy S ∈ {−2; 2} Suy ra, tổng phần tử S −2 + = | Ví dụ Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số x2 − mx + 2m đoạn [−1; 1] Tính tổng tất phần tử y = x−2 S B C D −1 A − 3 $ Lời giải x − mx + 2m [−1; 1] có f (x) = − (x − 2)2 " x−2 x = ∈ (−1; 1) Suy f (x) = ⇔ x=4∈ / (−1; 1) Ta có f (−1) = −m − , f (0) = −m, f (1) = −m − Suy max f (x) = −m f (x) = −m − Xét hàm số f (x) = [−1;1] [−1;1] Nếu −m(−m − 1) ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ max y = max {| − m − 1|; | − m|} = max{m + 1; −m} [−1;1] " " −m=3 m = −3 Có hai khả ⇔ , khơng thỏa mãn điều kiện m+1=3 m=2 Nếu f (0) = −m < ⇔ m > Khi max y = | − m − 1| = m + [−1;1] Theo u cầu tốn, ta có m + = ⇔ m = (thỏa mãn) Nếu f (1) = −m − > ⇔ m < −1, max y = −m [−1;1] Theo yêu cầu tốn ta có −m = ⇔ m = −3 (thỏa mãn) Vậy tập giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán S = {−3; 2} Suy tổng tất phần tử tập S −3 + = −1 Chọn đáp án D | Ví dụ Cho hàm số y = |x3 − x2 − x + m|, với m ∈ Z Có tất số nguyên m để y < 3? [1;3] A 21 B 22 C $ Lời giải D 20 Xét hàm số f (x) = x3 − x2 − x + m, trênđoạn [1; 3] x=1∈ / (1; 3) Ta có f (x) = 3x − 2x − 1, f (x) = ⇔ x=− ∈ / (1; 3) Ta có f (1) = m − f (3) = m + 15 Nếu (m − 1)(m + 15) ≤ ⇔ −15 ≤ m ≤ 1, y = < Trường hợp có [1;3] 17 số nguyên m thỏa mãn Nếu m − > ⇔ m > 1, y = m − [1;3] Theo u cầu tốn ta có m − < ⇔ m < 4, kết hợp điều kiện ta < m < Trường hợp có số nguyên m thỏa mãn Nếu m + 15 < ⇔ m < −15, y = |m + 15| = −m − 15 [1;3] Theo u cầu tốn ta có −m − 15 < ⇔ m > −18, kết hợp điều kiện ta −18 < m < −15 Trường hợp có số nguyên m thỏa mãn Vậy có tất 17 + + = 21 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án A BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y = |x4 − 2x2 − m| đoạn [−1; 2] Tổng tất phần tử S A −2 B C 14 D Lời giải Xét hàm số f (x) = x4 − 2x2 − m đoạn [−1; 2] có f (x) = 4x3 − 4x x=1∈ / (−1; 2) Khi f (x) = ⇔ x = ∈ (−1; 2) x = −1 ∈ / (−1; 2) Khi f (0) = −m; f (−1) = f (1) = −m − 1; f (2) = −m + Suy max f (x) = −m + [−1;2] f (x) = −m − [−1;2] Nếu (−1 − m)(8 − m) ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ |f (x)| = 0, không thỏa mãn điều [−1;2] kiện đề Nếu −m − > ⇔ m < −1 |f (x)| = | − m − 1| = −m − [−1;2] Khi đó, theo đề ta có −m − = ⇔ m = −3 (thỏa mãn) Nếu −m + < ⇔ m > |f (x)| = | − m + 8| = m − [−1;2] Khi đó, theo đề ta có m − = ⇔ m = 10 (thỏa mãn) Vậy tập giá trị thỏa mãn S = {−3; 10} Suy tổng tất phần tử S −3 + 10 = Chọn đáp án B GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.7 BÀI Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số x2 + mx + 3m đoạn [−2; 2] Gọi T tổng tất phần tử S y = x+3 Tính T A T = B T = −5 C T = D T = −4 Lời giải x2 + mx + 3m đoạn [−2; 2] Xét hàm số f (x) = x+3 " x = ∈ (−2; 2) x2 + 6x f (x) = , f (x) = ⇔ (x + 3) x = −6 ∈ / (−2; 2) Ta có f (−2) = m+4, f (0) = m, f (2) = m+ Suy max f (x) = m+4 f (x) = m [−2;2] [−2;2] Nếu m(m + 4) ≤ ⇔ −4 ≤ m ≤ 0, max y = max{m + 4; −m} [−2;2] " " m=1 (loại) m+4=5 ⇔ theo yêu cầu đề ta có m = −5 (loại) −m=5 Nếu m > 0, max y = m + [−2;2] Theo yêu cầu đề ta có m + = ⇔ m = (thỏa mãn) Nếu m + < ⇔ m < −4, max y = −m [−2;2] Theo yêu cầu đề ta có −m = ⇔ m = −5 (thỏa mãn) Vậy tập hợp giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán S = {−5; 1} Do đó, tổng tất phần tử tập S T = −5 + = −4 Chọn đáp án D BÀI Cho S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f (x) = |−x4 + 2x2 + m| + đoạn [0; 2] Tổng tất phần tử S A B 17 C −3 D −7 Lời giải Xét hàm số g(x) = −x4 + 2x2 + m [0; 2] x = ∈ [0; 2] Ta có g (x) = −4x + 4x ⇒ g (x) = ⇔ x = ∈ [0; 2] x = −1 ∈ / [0; 2] max f (x) = |m + 1| + [0;2] Ta có f (0) = |m| + 1; f (1) = |m + 1| + 1; f (2) = |m − 8| + ⇒ max f (x) = |m − 8| + [0;2] ( |m + 1| + = Nếu max f (x) = |m + 1| + ⇒ ⇔ m = [0;2] |m + 1| ≥ |m − 8| ( |m − 8| + = Nếu max f (x) = |m − 8| + ⇒ ⇔ m = [0;2] |m − 8| ≥ |m + 1| Vậy tổng giá trị m Chọn đáp án A BÀI Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = |x2 − 3x + + m| thỏa mãn y = Tổng tất phần tử S [−2;2] 47 Lời giải A − B −10 C −31 D Xét hàm số g(x) = x2 − 3x + + m đoạn [−2; 2], có g (x) = ⇔ 2x − = ⇔ x = max g(x) = max g(−2), g , g(2) = m + 12 [−2;2] g(x) = g(−2), g , g(2) = m − [−2;2] 1 21 Nếu m − ≥ hay m ≥ y = m − = ⇔ m = (thỏa mãn) [−2;2] 4 4 Nếu m + 12 ≤ hay m ≤ −12 y = −m − 12 = ⇔ m = −17 (thỏa mãn) [−2;2] Nếu −12 < m < y = (không thỏa mãn) [−2;2] 21 47 Ta có S = −17; Vậy tổng phần tử S − 4 Chọn đáp án A BÀI Có tất số thực m để hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m| có giá trị nhỏ đoạn [−3; 2] 10 A B C D Lời giải Đặt f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m, x ∈ [−3; 2] x = ∈ [−3; 2] Ta có f (x) = 12x − 12x − 24x, f (x) = ⇔ x = −1 ∈ [−3; 2] x = ∈ [−3; 2] Mà f (−3) = 243 + m, f (−1) = −5 + m, f (0) = m, f (2) = −32 + m Suy f (x) = −32 + m, max f (x) = 243 + m [−3;2] [−3;2] Nếu (243 + m)(−32 + m) ≤ suy y = |f (x)| = 0, khơng thỏa mãn [−3;2] [−3;2] u cầu tốn y = 10 suy điều kiện cần (243 + m)(−32 + m) > [−3;2] Trường hợp 1: m > 32 ⇒ y = | − 32 + m| = 10 ⇔ m − 32 = 10 ⇔ m = 42 [−3;2] Trường hợp 2: m < −243 ⇒ 10 = y = |243 + m| = −m − 243 ⇔ m = −253 [−3;2] Vậy có giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu Chọn đáp án C x − mx + 2m Gọi S tập hợp tất giá trị tham BÀI Cho hàm số f (x) = x−2 số m để max f (x) ≤ Tổng tất phần tử S [−1;1] A −11 Lời giải B C −5 D −1 " x=0 x − mx + 2m x − 4x Xét hàm số g(x) = ⇒ g (x) = = ⇒ x−2 (x − 2)2 x = Khi x = ⇒ g(0) = −m 1+m Ta có g(−1) = (−3m − 1) = −m − ; g(1) = = −1 − m 3 −1 Mà −1 − m < − − m < −m 2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.9 Suy max f (x) = max |m|; |m + 1|; m + = max{|m|; |m + 1|} [−1;1] ( m ≥ − |m + 1| ≥ |m| ⇔ Trường hợp 1: ⇒ m ∈ {0; 1; 2; 3; 4} |m + 1| ≤ −6≤m≤4 ( m < − |m + 1| < |m| ⇒ m ∈ {−5; −4; −3; −2; −1} Trường hợp 2: ⇔ |m| ≤ −5≤m≤5 Suy tổng phần tử S −5 Chọn đáp án C { DẠNG Tìm điều kiện tham số Tìm tham số để α · |f (x)| ± β · max |f (x)| ≤ k, (≥ k) [a;b] [a;b] VÍ DỤ MINH HỌA | Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3x + m Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho |y| + max |y| = Số phần tử S [0;2] A [0;2] B C D $ Lời giải Xét hàm số y = x3 −" 3x + m, x ∈ [0; 2] x=1 y = 3x2 − = ⇔ x = −1 (loại) Ta có y(0) = m; y(1) = m − 2; y(2) = m + Suy y = m − 2; max y = m + [0;2] [0;2] Trường hợp 1: (m + 2)(m − 2) ≤ ⇒ −2 ≤ m ≤ Suy |y| = 0, max |y| = {|m − 2|; |m + 2|} [0;2] [0;2] " 0+2−m=6 Do |y| + max |y| = ⇔ ⇔ m = ±4 (không thỏa mãn) [0;2] [0;2] m+2=6 Trường hợp 2: m − > ⇔ m > Suy |y| = |m − 2| = m − 2, max |y| = |2 + m| = m + [0.2] [0;2] Do |y| + max |y| = ⇔ m − + m + = ⇔ m = (thỏa mãn) [0;2] [0;2] Trường hợp 3: + m < ⇔ m < −2 Suy |y| = |2 + m| = −2 − m; max |y| = | − + m| = −(−2 + m) = − m [0;2] [0;2] Do |y| + max |y| = ⇔ −2 − m + − m = ⇔ m = −3 (thỏa mãn) [0;2] [0;2] Vậy có số nguyên thỏa mãn Chọn đáp án D 10 | Ví dụ Cho hàm số f (x) = x4 − 2x2 + m (m tham số thực) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m thuộc đoạn [−20; 20] cho max |f (x)| < [0;2] |f (x)| Tổng phần tử S [0;2] A 63 B 51 C 195 D 23 $ Lời giải Xét hàm số f (x) = x4 − 2x2 + m đoạn [0; 2] 0 Ta có: f (x) = 4x − 4x; f (x) = ⇔ 4x − 4x = ⇔ x=0 x = f (1) = m − 1; f (2) = m + 8; f (0) = m max f (x) = m + 8; f (x) = m − [0;2] [0;2] TH1: Nếu m − ≥ ⇔ m ≥ max |f (x)| = m + 8, |f (x)| = m − [0;2] [0;2] Khi đó: max |f (x)| < |f (x)| ⇔ + m < 3(m − 1) ⇔ m > [0;2] [0;2] Kết hợp với m ≥ 1, ta m > 11 11 TH2: Nếu m + ≤ ⇔ m ≤ −8 max |f (x)| = − m, |f (x)| = −m − [0;2] [0;2] Khi đó: max |f (x)| < |f (x)| ⇔ − m < 3(−m − 8) ⇔ m < − [0;2] [0;2] Kết hợp với m ≤ −8, ta m < − 25 25 TH3: Nếu (m−1)(m+8) < ⇔ −8 < m < max |f (x)| = max{|m+8|, |m−1|} > 0; [0;2] |f (x)| = [0;2] Khi đó, khơng thỏa mãn điều kiện max |f (x)| < |f (x)| [0;2] [0;2] 25 25 11 m Mà m ∈ Z ⇒ S = {−20; −19; −18; ; −13; 6; 7; , 20} Tổng phần tử S + + + + 10 + 11 + 12 = 63 Chọn đáp án A 2x + m | Ví dụ Cho hàm số y = f (x) = Tính tổng giá trị tham số x−1 m để max f (x) − f (x) = [2;3] [2;3] A −4 B −2 C −1 D −3 $ Lời giải 2x + m Hàm số y = f (x) = xác định liên tục đoạn [2; 3] x−1 Với m = −2, hàm số trở thành y = ⇒ max f (x) = f (x) = (không thỏa) [2;3] [2;3] −2 − m Với m 6= −2, ta có y = Khi hàm số ln đồng biến nghịch biến (x − 1)2 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.11 đoạn [2;3] max f (x) = f (2); f (x) = f (3) [2;3] [2;3] Suy max f (x) = f (3); f (x) = f (2) [2;3] [2;3] + m + m − (4 + m) = Do đó: max f (x) − f (x) = |f (3) − f (2)| = [2;3] [2;3] 2 + m =2⇔ m=2 Theo giả thiết max f (x) − f (x) = ⇔ m = −6 [2;3] [2;3] Vậy tổng giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán −4 Chọn đáp án A BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Cho hàm số f (x) = x4 − 2x2 + m, (m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị nguyên m ∈ [−10; 10] cho max |f (x)| + |f (x)| ≥ 10 Số phần tử S [1;2] [1;2] A B 10 C 11 D 12 Lời giải Xét hàm số f (x) = x4 − 2x2 + m, hàm số liên tục đoạn [1;2] Ta có: f (x) = 4x3 − 4x > 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇒ hàm số f (x) đồng biến đoạn [1; 2], ta có max f (x) = m + 8; f (x) = m − [1;2] [1;2] TH : m − ≥ ⇒ ≤ m ≤ 10 max |f (x)| = m + ; |f (x)| = m − [1;2] [1;2] Khi đó: max |f (x)| + |f (x)| ≥ 10 ⇔ m + + m − ≥ 10 ⇒ m ≥ [1;2] [1;2] ⇒ m ∈ {2; 3; 4; 10} Suy trường hợp có số nguyên TH : m + ≤ ⇒ −10 ≤ m ≤ −8 max |f (x)| = −m + 1; |f (x)| = −m − [1;2] [1;2] Khi đó: max |f (x)| + |f (x)| ≥ 10 ⇔ −m + − m − ≥ 10 [1;2] [1;2] −17 ⇒ −10 ≤ m ≤ ⇒ m ∈ {−10; −9} Suy trường hợp có giá trị nguyên −m + − < m ≤ −7 TH : −8 < m < |f (x)| = ; max |f (x)| = −7 [1;2] [1;2] m + 19 Từ suy yêu cầu toán ⇔ p, q > TH1 m − > ⇒ < m ≤ 10 p = m + 8, q = m − Yêu cầu toán ⇔ p+q > 19 ⇔ m+8+m−1 > 19 ⇔ m > ⇒ m ∈ {7; 8; 9; 10} Trường hợp có số nguyên TH2 m + < ⇒ −10 ≤ m < −8 p = −m + 1, q = −m − Yêu cầu toán ⇔ p + q > 19 ⇔ −m + − m − > 19 ⇒ m < −13 Suy trường hợp không tồn m ∈ [−10; 10] thỏa mãn yêu cầu toán TH3 −8 < m < q = Suy khơng thỏa yêu cầu toán Vậy số phần tử tập S Chọn đáp án C BÀI Cho hàm số f (x) = x3 − x2 + x − m − với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị m cho max |f (x)| + |f (x)| = 16 Tổng phần tử S [0;3] [0;3] A B 17 C 34 Lời giải Xét hàm số f (x) = x3 − x2 + x − m − đoạn [0; 3] Ta có D 31 f (x) = 3x2 − 2x + > 0, ∀x ∈ R ⇒ f (0) = −m − 2, f (3) = −m + TH1 (m + 2)(m − 19) ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ 19 Khi suy 17 |f (x)| = max |f (x)| = m + 2, ≤ m ≤ 19 [0;3] [0;3] ⇒ 17 max |f (x)| = max {|m + 2|, |m − 19|} max |f (x)| = 19 − m, − ≤ m < [0;3] [0;3] 17 " m + = 16, ≤ m ≤ 19 m = 14 Vậy max |f (x)| + |f (x)| = 16 ⇒ ⇒ 17 [0;3] [0;3] m = 19 − m = 16, ≤ m < " m > 19 TH2 (m + 2)(m − 19) > ⇔ Khi m < −2 m= |f (x)|+max |f (x)| = |m+2|+|m−19| = |2m−17| = 16 ⇔ 33 [0;3] [0;3] m= (không thỏa mãn) (không thỏa mãn) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.13 Vậy S = {3; 14} Chọn đáp án B BÀI Cho hàm số y = |x − 2x + x + m| Tổng tất giá trị tham số m để y + max y = 20 [−1;2] [−1;2] A −10 B −4 C 20 Lời giải Xét f (x) = x4 − 2x3 + x2 + m đoạn [−1; 2] Ta có D −21 f (x) = 4x3 − 6x2 + 2x, f (x) = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = Ta có 1 f (0) = m, f (1) = m, f = m + , f (−1) = f (2) = m + 16 Suy max f (x) = f (2) = m + [−1;2] f (x) = f (0) = f (1) = m [−1;2] ( m≥0 TH1 Nếu m ≥ ⇔ m = m + m + = 20 ( m ≤ −4 TH2 Nếu m ≤ −4 ⇔ m = −12 − (m + 4) − m = 20 TH3 Nếu −4 < m < y = 0, max y = max {|m + 4|, |m|} = max{m+4, −m} [−1;2] [−1;2] Suy y + max y < < + 20 = 20 không thỏa mãn [−1;2] [−1;2] Vậy tổng giá trị m −4 Chọn đáp án B 2x − m BÀI Cho hàm số f (x) = với m tham số Gọi S tập hợp tất giá x+2 trị m cho max |f (x)| + |f (x)| ≥ Hỏi đoạn [−30; 30], tập S có bao [0;2] [0;2] nhiêu số nguyên? A 53 B 52 Lời giải 4+m Ta có f (x) = (x + 2)2 C 55 D 54 Nếu m = −4 f (x) = thỏa mãn max |f (x)| + |f (x)| ≥ [0;2] Xét m 6= −4 Ta có f (0) = − [0;2] m 4−m , f (2) = m 4−m 4−m · ≤ ⇔ ≤ m ≤ Khi |f (x)| = max |f (x)| = [0;2] [0;2] 4 m max |f (x)| = Theo giả thiết ta phải có [0;2] " 4−m m ≤ −12 ≥4 ⇔ (loại) m m≥8 ≥4 TH1 − 14 TH2 m – Xét −4 < m < Hàm số f (x) đồng biến, f (0) = − > 0, 4−m > nên f (2) = m 4−m 12 max |f (x)| + |f (x)| ≥ ⇔ +2 − ≥4⇔m≤− [0;2] [0;2] 12 ⇒ m = −3 m – Xét m < −4 Hàm số f (x) nghịch biến, f (0) = − > 0, f (2) = 4−m > nên Vậy −4 < m ≤ − max |f (x)| + |f (x)| ≥ ⇔ − [0;2] [0;2] m 4−m +2· ≥ ⇔ m ≤ −2 Vậy m < −4 m < f (2) = – Xét m > Hàm số f (x) đồng biến, f (0) = − 4−m < nên max |f (x)| + |f (x)| ≥ ⇔ [0;2] [0;2] m 4−m +2· ≥ ⇔ m ≥ Vậy m ≥ 12 Tóm lại m ∈ −∞; − ∪ [6; +∞) Suy đoạn [−30; 30], tập S có 53 số nguyên Chọn đáp án A { DẠNG Bài toán max đạt Tìm tham số để GTLN hàm số y = |f (x) + g(m)| đoạn [a; b] đạt giá trị nhỏ ! Ghi nhớ: max{α; β} ≥ α+β , dấu xảy ⇔ α = β |α| + |β| ≥ |α + β|, dấu xảy ⇔ α · β ≥ Cụ thể: – Bước 1: Tìm α = max f (x); β = f (x) [a;b] [a;b] – Bước 2: Gọi M giá trị lớn y = |f (x) + g(m)| M = max {|α + g(m)| ; |β + g(m)|} ≥ |α + g(m)| + |β + g(m)| = |α + g(m)| + |−β − g(m)| Dấu xảy ⇔ |α + g(m)| = |β + g(m)| GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.15 Áp dụng bất đẳng thức |α + g(m)| + | − β − g(m)| |α + g(m) − β − g(m)| |α − β| ≥ = , 2 Dấu xảy ⇔ [α + g(m)] · [−β − g(m)] ≥ |α − β| −α − β – Kết luận M = g(m) = 2 VÍ DỤ MINH HỌA | Ví dụ Biết giá trị lớn hàm số y = |x2 + 2x + m − 4| đoạn [−2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị tham số m A B C D $ Lời giải Đặt f (x) = x2 + 2x Ta có f (x) = 2x + 2, f (x) = ⇔ x ∈ (−2; 1) f (−2) = 0; f (1) = 3; f (−1) = −1 Do max f (x) = 3; f (x) = −1 [−2;1] [−2;1] |5 − m + m − 1| |m − 5| + |m − 1| ≥ = Suy max y = max{|m − 5|; |m − 1|} ≥ [−2;1] 2 ( |m − 5| = |m − 1| Dấu xảy ⇔ ⇒ m = (thoả mãn) (5 − m)(m − 1) ≥ Chọn đáp án B √ | Ví dụ Tìm m để giá trị lớn hàm số y = 2x − x2 − 3m + đạt giá trị nhỏ B m = C m = D m = A m = 3 $ Lời giải Tập xác định D = [0; 2] √ 1−x Đặt f (x) = 2x − x2 , x ∈ D, ta có f (x) = √ ; f (x) = ⇔ x = 2x − x2 f (0) = 0; f (2) = 0; f (1) = Suy |3m − 4| + |3m − 5| |5 − 3m + 3m − 4| P = max y = max{|3m − 4|; |3m − 5|} ≥ ≥ = D 2 ( |3m − 4| = |3m − 5| Dấu xảy ⇔ ⇒ m = (thoả mãn) (5 − 3m)(3m − 4) ≥ Chọn đáp án A 16 BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Để giá trị lớn hàm số y = |x3 − 3x + 2m − 1| đoạn [0; 2] nhỏ Giá trị m thuộc khoảng A [−1; 0] B (0; 1) C ;2 D − ; −1 Lời giải Đặt f (x) = x3 − 3x − + 2m đoạn " [0; 2] x = −1 ∈ / (0; 2) Ta có f (x) = 3x2 − 3; f (x) = ⇔ x = ∈ (0; 2) f (0) = −1+2m; f (1) = −3+2m; f (2) = 1+2m nên ta có max y = max{|2m−3|; |2m+1|} [0;2] |2m + + − 2m| |2m + 1| + |2m − 3| ≥ = [0;2] 2 Dấu xảy ⇔ m = Chọn đáp án B Ta có max y ≥ BÀI Để giá trị lớn hàm số f (x) = |x3 − 12x + m + 1| đoạn [1; 3] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị m 23 23 B C − D − A 2 2 Lời giải Gọi M giá trị lớn hàm số f (x) [1; 3] Xét hàm số g(x) = x3 − 12x + m + đoạn"[1; 3] Ta có x = ∈ (1; 3) g (x) = 3x2 − 12; g (x) = ⇔ 3x2 − 12 = ⇔ x = −2 ∈ / (1; 3) Ta có f (1) = |m − 10|; f (2) = |m − 15|; f (3) = |m − 8| ⇒ max f (x) = M = max{|m − 8|; |m − 15|} [1;3] ( M ≥ |m − 8| ⇒ M ≥ |m − 15| ⇒ 2M ≥ |m − 8| + |m − 15| = |m − 8| + |15 − m| ≥ |m − + 15 − m| ≥ 7 ⇒M ≥ ( |m − 8| = |m − 15| 23 Dấu xảy ⇔ ⇔m= (m − 8)(15 − m) ≥ 23 Vậy m = Chọn đáp án A { DẠNG Bài toán đạt Phương pháp Tìm max f (x) = M f (x) = m [a;b] [a;b] Xét trường hợp Ë Nếu M · m ≤ |f (x)| = [a;b] Ë Nếu m > |f (x)| = m [a;b] GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.17 Ë Nếu M < |f (x)| = |M | = −M [a;b] VÍ DỤ MINH HỌA | Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm y = |x3 − mx2 − 9x + 9m| đoạn [−2; 2] đạt giá trị nhỏ A B C D số $ Lời giải Đặt f (x) = x3 − mx2 − 9x + 9m Ta có |f (x)| ≥ Dấu ” = ” xảy ⇔ f (x) = có nghiệm thuộc [−2; 2] [−2;2] 2 Mặt khác, ta có f (x) = x (x − m) − (x − m) = (x − m) (x − 9) x=m Suy f (x) = ⇔ x = 6∈ [−2; 2] x = −3 6∈ [−2; 2] Do đó, điều kiện cần đủ để f (x) = có nghiệm x ∈ [−2; 2] m ∈ [−2; 2] Vì m ∈ Z ⇒ m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án B | Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để giá trị nhỏ hàm y = f (x) = |−x + 8x + m| đoạn [−1; 3] đạt giá trị nhỏ A 23 B 24 C 25 D 26 số $ Lời giải Ta có y = f (x) = |−x + 8x + m| = |x4 − 8x2 − m| = (x2 − 4) − 16 − m 2 Đặt t = (x2 − 4) , x ∈ [−1; 3], suy t ∈ [0; 25] Khi y = g(t) = |t − 16 − m| Ta có f (x) = g (t) = min{|m − 9|, |m + 16|} [−1;3] [0;25] Nếu m − ≥ ⇔ m ≥ Khi đó, ta có f (x) = m − ≥ 0, suy [−1;3] f (x) = ⇔ m = [−1;3] Nếu m + 16 ≥ ⇔ m ≥ −16 Khi đó, ta có f (x) = −m−16 ≥ 0, suy min[−1;3] f (x) = ⇐ m = −16 [−1;3] Nếu (m − 9)(m + 16) < ⇔ −16 < m < Khi f (x) = 0, suy min f (x) = [−1;3] [−1;3] Vậy min f (x) = ⇔ −16 ≤ m ≤ [−1;3] Vì m ∈ Z, nên có 26 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án D 18 BÀI TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO TRONG CÁC ĐỀ THI BÀI (KSCL lần 1,THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định, 2020-2021) Cho hàm số f (x) = x4 − 2x2 + m (m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị m cho max |f (x)| + [0;2] |f (x)| = Tổng phần tử S [0;2] A −7 Lời giải B −14 C D 14 x = −1 6∈ [0; 2] f (0) = m Ta có f (x) = 4x − 4x, f (x) = ⇔ x = ∈ [0; 2] Ta có f (1) = m − f (2) = m + x = ∈ [0; 2] Ta có bảng biến thiên f (x) x f (x) − + m m+8 f (x) m−1 Trường hợp 1: m − ≥ Ta có max |f (x)| + |f (x)| = ⇒ (m − 1) + (m + 8) = ⇔ m = (loại) [0;2] [0;2] Trường hợp 2: m + ≤ Ta có max |f (x)| + |f (x)| = ⇒ −(m − 1) − (m + 8) = ⇔ m = −7 (loại) [0;2] [0;2] Trường hợp 3: −8 < m < " " m+8=7 m = −1 Ta có max |f (x)| + |f (x)| = ⇒ ⇔ [0;2] [0;2] − (m − 1) = m = −6 Vậy tổng phần tử S −7 Chọn đáp án A BÀI (Thi thử L2, Chuyên Đại học Vinh, Nghệ An) Cho hàm số f (x) = |x4 − 4x3 + 4x2 + a| Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn [0; 2] Có số nguyên a thuộc đoạn [−3; 3] cho M 2m? A B C D Lời giải Đặt g(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + a x=0 g (x) = 4x − 12x + 8x = ⇔ x = x = Khi đó: max g(x) = max {g(0), g(1), g(2)} = max {a, a + 1, a} = a + [0;2] g(x) = {g(0), g(1), g(2)} = {a, a + 1, a} = a [0;2] Nếu a > ⇒ m = a, M = a + ⇒ 2a > a + ⇔ a > ⇒ a ∈ {1; 2; 3} Nếu a −1 ⇒ m = −(a + 1), M = −a ⇒ −2(a + 1) > −a ⇔ a −2 ⇒ a ∈ {−3; −2} Vậy có số nguyên a thỏa mãn Chọn đáp án A GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.19 BÀI (Đề thi thử tốt nghiệp 2020 Sở GD&ĐT Kiên Giang) Cho hàm số f (x) = |x3 − 3x2 + m2 − m − 1| (m tham số thực) Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số f (x) đoạn [0; 3] đạt giá trị nhỏ Tổng phần tử S 1 A − B C D −1 2 Lời giải Xét hàm số g (x) = x3 − 3x2 + m2 − m " − x=0 Ta có g (x) = 3x2 − 6x, g (x) = ⇔ x = Ta tính g (0) = g (3) = m2 − m − 1, g (2) = m2 − m − Khi max f (x) = max {|m2 − m − 1| ; |m2 − m − 5|} [0;3] Đặt M = max f (x), [0;3] ( M ≥ m2 − m − ⇒ M ≥ m2 − m − ⇒ M ≥ −m2 + m + ⇒ 2M ≥ m2 − m − + −m2 + m + ≥ m2 − m − − m2 + m + = ⇒ M ≥ Đẳng thức xảy −m2 + m + = m2 − m − ⇔ 2m2 − 2m − = Vậy M đạt giá trị nhỏ m nghiệm phương trình 2m2 − 2m − = Gọi m1 , m2 nghiệm phương trình 2m2 − 2m − = m1 + m2 = Chọn đáp án C BÀI Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn 19 hàm số y = x − x + 30x + m − 20 đoạn [0; 2] không vượt 20 Tổng phần tử S bao nhiêu? A 210 B −195 C 105 D 300 Lời giải 19 Xét hàm số g (x) = x4 − x2 + 30x − 20 đoạn [0; 2] x = −5 (loại) x = (loại) Ta có g (x) = x − 19x + 30, g (x) = ⇔ x = (nhận) Mà g (0) = −20, g (2) = Suy y (0) = |−20 + m|, y (2) = |6 + m| |2m − 14| + 26 ≤ 20 ⇔ |2m − 14| ≤ 14 ⇔ [0;2] |a + b| + |a − b| ≤ m ≤ 14 (do max {|a| , |b|} = ) Suy m ∈ {0; 1; 2; 3; ; 14} ⇒ S = {0; 1; 2; 3; ; 14} Do đó, tổng phần tử S 105 Chọn đáp án C x + ax + a , BÀI (Đề KSCL Chuyên Hưng Yên L2, 2019 - 2020) Cho hàm số y = x+1 Mặt khác max y = max{| − 20 + m|, |6 + m|} = với a tham số thực Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho đoạn [1; 2] Có giá trị nguyên tham số a để M ≥ 2m? 20 A 20 Lời giải B 10 C 14 D x4 + ax + a [1; 2] x+1 3x4 + 4x3 Trên [1; 2], ta có f (x) = > 0, với x ∈ [1; 2] (x + 1)3 16 Ta có f (1) = a + , f (2) = a + 3 2 16 16 Do m = a + , a + , M = max a + , a + 3 Ta ln có M > m khơng hàm số cho hàm Xét trường hợp sau 16 TH a + > a + Khi đó, yêu cầu toán tương đương với −16 16 −16 a 6= a 6= a + > a + 3 ⇔ 2 2 ⇔ 16 16 16 a+ a + ≥ a + a + ≥ a + ≥4 a+ 3 −61 −16 −16 a 6= ≤a< 3 ⇔ ⇔ 4087 −67 125a −16 3a2 + + a + a 6= − a 6= 2 ⇔ 2 2 ⇔ 16 16 16 a + ≥ a + a + ≥ a + a+ ≥4 a+ 3 −1 −19 −1 a 6= ≤a< 2 ⇔ ⇔ 20a 247 −1 13 3a − − m − < ⇒ max{|A|, |B|}|B| > m − = ⇒ max{|A|, |B|} = |A| = |B| = Vậy để giá trị giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ m = Chọn đáp án D GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.23 BÀI 11 (Thi thử kênh giáo dục Quốc Gia - VTV7) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin2 x − sin x − a, b giá trị a + b A B C D Lời giải y Đặt t = sin x với ∀t ∈ [−1; 1] y Xét hàm số y = t2 −2t−2, ∀t ∈ [−1; 1] y = 2t − ⇒ y = ⇔ t = Đồ thị hàm số f (t) |f (t)| hình −2 −1 O x bên max |f (t)| = −2 −1 O x t∈[−1;1] Vậy ⇒ a + b = |f (t)| = −3 y = |f (t)| t∈[−1;1] Chọn đáp án B BÀI 12 (Thi thử TN lần 1, năm học 2019 - 2020, THPT Đặng Thúc Hứa, Nghệ An) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số y = x3 − 9x + m + 10 đoạn [0; 3] không vượt 12 Tổng giá trị phần tử tập hợp S bao nhiêu? A −7 B 12 C D Lời giải Xét g(x) = x3 − 9x + m + 10 ⇒ g (x) = x2 − 9x ≤ 0, ∀x ∈ [0; 3] Suy max g(x) = g(0) = m + 10 g(x) = g(3) = m − [0;3] [0;3] ( |m + 10| ≤ 12 Khi max y = max {|m + 10|, |m − 8|} ≤ 12 ⇔ ⇔ −4 ≤ m ≤ [0;3] |m − 8| ≤ 12 Vậy tổng giá trị nguyên m −4 − − − + + + = −7 Chọn đáp án A BÀI 13 (GHK2, THPT Yên Định - Thanh Hóa, 2019) Tìm m để giá trị lớn hàm số f (x) = |x2 + 2x + m − 4| đoạn [−2; 1] đạt giá trị nhỏ A m = B m = C m = D m = Lời giải Xét hàm số g(x) = x2 + 2x + m − đoạn [−2; 1] Ta có: g (x) = 2x + 2, g (x) = ⇔ 2x + = ⇔ x = −1 Bảng biến thiên: x g (x) −2 − −1 m−4 + m−1 g(x) m−5 Từ bảng biến thiên ta có: m − < m − < m − Mặt khác f (x) = |g(x)|, suy ra: max f (x) = max {|m − 5|; |m − 1|} [−2;1] [−2;1] Nếu |m − 5| ≤ |m − 1| ⇔ 8m ≥ 24 ⇔ m ≥ max f (x) = |m − 1| = m − ≥ [−2;1] Nếu |m − 5| ≥ |m − 1| ⇔ 8m ≤ 24 ⇔ m ≤ max f (x) = |m − 5| = − m ≥ [−2;1] 24 Từ suy giá trị lớn hàm số f (x) = |x2 + 2x + m − 4| đoạn [−2; 1] đạt giá trị nhỏ m = Chọn đáp án C BÀI 14 (Thi thử, Chuyên Chu Văn An Lạng Sơn, 2018) Gọi S tập hợp giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = |x2 − 2x + m| đoạn [−1; 2] Tính tổng bình phương phần tử S A 20 B 40 C D Lời giải Xét hàm số g(x) = x2 − 2x + m Hàm g(x) liên tục [−1; 2] g (x) = 2x − g (x) = ⇔ x = Có g(−1) = 3+m, g(1) = m−1, g(2) = m Suy g(x) = m−1 max g(x) = m+3 [−1;2] [−1;2] Suy max y ∈ {|m − 1|; |m + 3|} [−1;2] " m=2 m = −8 " m=6 m = −4 Trường hợp 1: |m−1| ≤ |m+3| ⇔ m ≥ −1, max y = |m+3| = ⇔ [−1;2] Kết hợp điều kiện, ta m = Trường hợp 2: |m−1| > |m+3| ⇔ m < −1, max y = |m−1| = ⇔ [−1;2] Kết hợp điều kiện, ta m = −4 Vậy S = {−4; 2} tổng bình phương phần tử S (−4)2 + 22 = 20 Chọn đáp án A BÀI 15 (GHK1, THPT Hồng Quang, Hải Dương, 2020 - 2021) Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y = |x3 − 3x + m| đoạn [0; 2] Số phần tử S A B C D Lời giải Đặt y = f (x) = |x3 − 3x + m| đoạn D = [0; 2] Với x = 0, f (0) = |m| x = f (2) = |m + 2| Xét g(x) = x3 −3x+m có tập xác định R, liên"tục có đạo hàm R g (x) = 3x2 −3 x=1 Với g (x) = ⇔ 3x2 − = ⇔ x2 − = ⇔ x = −1 m Vì lim g(x) = lim x3 − + = ±∞ nên g(x) đạt cực đại x = −1 cực x→±∞ x→±∞ x x tiểu x = với g(1) = m − Với g(1) ≥ 0, f (x) = f (1) m ≥ Suy max = max{f (0), f (2)} D D Với m ≥ f (0) = |m| = m f (2) = |m + 2| = m + > m Suy max f (x) = f (2) D Theo đề bài, f (2) = = m + ⇔ m = g(1) < ⇒ m < Khi max f (x) = max{f (0), f (1), f (2)} với f (1) = |m − 2| D Vì m + > m > m − nên với max{|m|, |m + 2|, |m − 2|} = 5, điều tương đương " " m+2=5 m=3 ⇔ m − = −5 m = −3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.25 Vậy có hai giá trị m m = m = −3 thỏa yêu cầu toán Chọn đáp án A BÀI 16 (GHK1 L2, THPT Đội Cần, Vĩnh Phúc, 2019) Để giá trị lớn hàm số y = |x3 − 3x + 2m − 1| đoạn [0; 2] nhỏ giá trị m thuộc A (0; 1) B [−1; 0] C (1; 2) D (−2; −1) Lời giải Xét hàm số f (x) = x3 − 3x + 2m − 1, "với x ∈ [0; 2] x = −1 ∈ / [0; 2] Ta có f (x) = 3x2 − f (x) = ⇔ x = ∈ [0; 2] Bảng biến thiên x f (x) − + 2m − 2m + f (x) 2m − Đặt M = max y Khi M = max {|2m + 1|, |2m − 3|} Ta có [0;2] ( M ≥ |2m + 1| ⇒ 2M ≥ |2m + 1| + |3 − 2m| ≥ |2m + + − 2m| = ⇒ M ≥ M ≥ |3 − 2m| (2m + 1)(3 − 2m) ≥ ≤ m ≤ − " 2 " ⇔m= Dấu xảy ⇔ |2m + 1| = 2m + = ±2 |2m − 3| = 2m − = ±2 Vậy M = m = ∈ (0; 1) Chọn đáp án A BÀI 17 (Thi thử, Sở GD ĐT - Hà Tĩnh, 2020) Có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn |x3 − 3x2 + m| ≤ với x ∈ [1; 3] A B C D Lời giải Ta có |x3 − 3x2 + m| ≤ với x ∈ [1; 3] ⇔ max |x3 − 3x2 + m| ≤ [1;3] [1;3] 2 Đặt " f (x) = x − 3x + m Suy f (x) = 3x − 6x, f (x) = ⇔ 3x − 6x = ⇔ x = (loại) x = Ta có f (1) = m − 2, f (2) = m − 4, f (3) = m Suy max f (x) = m f (x) = m − [1;3] |m + m − 4| + |m − (m − 4)| = |m − 2| + [1;3] Theo giả thiết ta có |m − 2| + ≤ ⇔ |m − 2| ≤ ⇔ ≤ m ≤ Do m nguyên nên có tất giá trị thỏa mãn tốn Chọn đáp án D Khi ta có max |x3 − 3x2 + m| = 26 BÀI 18 (Thi thử L2, Sở Bắc Giang, 2018) Cho hàm số f (x) = |x4 − 4x3 + 4x2 + a| Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho [0; 2] Có số nguyên a ∈ [−4; 4] cho M ≤ 2m? A B C D Lời giải Xét hàm số g(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + a. x=0 Ta có g (x) = 4x3 − 12x2 + 8x = ⇔ x = x = Bảng biến thiên x −∞ y0 − +∞ + +∞ − + +∞ a+1 y a a Trên đoạn [0, 2] ta xét trường hợp ( a+1>0 Nếu m = fmin = 0, suy ≤ M ≤ 2m = ⇒ fmax = M = (vô a M = fmax = a + m = fmin = a, ta có M ≤ 2m ⇔ a + ≤ 2a ⇔ a ≥ (1) Nếu a + < ⇔ a < −1 M = fmax = |a| fmin = |a + 1|, ta có M ≤ 2m ⇔ −a ≤ −2(a + 1) ⇔ a ≤ −2 Từ (1), (2) kết hợp giả thiết, suy a ∈ [−4; −2] ∪ [1; 4] Vậy a có giá trị nguyên thỏa mãn Chọn đáp án C (2) BÀI 19 (Đề kKSCL K12, THPT Sào Nam, Quảng Nam, lần năm học 2017 - 2018) Tìm giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số y = |4x2 + 2x + m| đoạn [−1; 1] đạt giá trị nhỏ 25 23 A m = − B m = − C m = − D m = − 8 8 Lời giải Ta có x −1 4x2 + + m 2x+ m − 6+m − +m GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.27 Từ bảng biến thiên ta có max y = max |6 + m| , − + m Ta lại có [−1;1] 2 1 |6 + m| ≥ − + m ⇔ (6 + m) ≥ − + m 4 1 − m + m2 ⇔ 36 + 12m + m2 ≥ 16 23 ⇔ m≥− Với m ≥ − 23 , 23 Với m < − , max y = |6 + m| = + m ≥ − [−1;1] 23 25 = 8 1 23 25 max y = − + m = − m > + = [−1;1] 4 8 Vậy giá trị lớn hàm số y = |4x2 + 2x + m| đoạn [−1; 1] đạt giá trị nhỏ 23 25 m = − 8 Chọn đáp án D x + ax + a Gọi BÀI 20 (Thi thử, Krong Bông - Đắk Lắk, 2020) Cho hàm số y = x+1 M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn [1; 2] Có giá trị nguyên a để M ≥ 2m A 14 B 15 C 16 D 13 Lời giải x4 + ax + a đoạn [1; 2] Xét hàm số y = f (x) = x+1 3x4 + 4x3 > 0, ∀x ∈ [1; 2], suy hàm số y = f (x) đồng biến [1; 2] Khi y = f (x) = (x + 1)2 3a + 16 2a + max f (x) = f (2) = , f (x) = f (1) = x∈[1;2] x∈[1;2] Do 2a + 3a + 16 , M = ; 2a + 3a + 16 m = ; Ta xét hai trường hợp 2a + 3a + 16 ≤ hay a ≥ − 35 (1) Khi TH Nếu 12 2a + 3a + 16 13 19 19 13 ≤ ⇔ a− 2m ≤ M ⇔ 3a + ≤0⇔− ≤a≤ 3 So với điều kiện (1), ta − 19 13 ≤ m ≤ , a ∈ Z nên m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} 2a + 3a + 16 > hay a < − 35 (2) Khi TH Nếu 12 2a + 3a + 16 61 67 61 67 ≥ ⇔ a+ M ≥ 2m ⇔ 3a + ≤ ⇔ − ≤ a ≤ − 6 18 28 So với điều kiện (2), ta − 61 ≤ a ≤ − 67 18 ⇒ a ∈ {−10; −9; −8; −7; −6; −5; −4} a∈Z Vậy số giá trị nguyên a thỏa toán 14 Chọn đáp án A BÀI 21 (Đề Thi thử, Sở GD-ĐT Quảng Bình 2018) Có giá trị m để giá trị lớn hàm số y = |−x4 + 8x2 + m| đoạn [−1; 3] 2018? A B C D Lời giải Ta có y = |−x4 + 8x2 + m| = (x2 − 4) − m − 16 Đặt (x2 − 4)2 = t Khi x ∈ [−1; 3] t ∈ [0; 25] Khi ta có y = f (t) = |t − m − 16| Ta có max y = max f (t) = max {|m + 16| , |9 − m|} [−1;3] ( |m + 16| > |9 − m| ⇔ m = 2002 |m + 16| = 2018 ( |m + 16| < |9 − m| ⇔ m = −2009 |9 − m| = 2018 ( |m + 16| = |9 − m| ⇔ m ∈ ∅ |m + 16| = 2018 Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: [0;25] Vậy, có hai giá trị m thỏa mãn đề m = −2009 m = 2002 Chọn đáp án D BÀI 22 (Đề thi thử lần 1, Ninh Bình-2021) Cho hàm số f (x) = x2 − 2x − Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số g (x) = |f (x) − 2f (x) + m| đoạn [−1; 3] A B C D Lời giải Xét hàm số f (x), ta có bảng biến thiên x −2 −1 y −1 −2 Đặt u = f (f (x)), từ bảng biến thiên ta thấy u ∈ [−2; 7] Suy g (u) = |u + m + 1|, u ∈ [−2; 7] Ta có g (−2) = |m − 1| g (7) = |m + 8| Do max g (u) = max{|m − 1| , |m + 8|} [−2;7] GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.29 Trường hợp max g (u) = |m − 1| Khi đó, ta có [−2;7] ( |m − 1| = ⇔ m = −7 |m − 1| ≥ |m + 8| Trường hợp max g (u) = |m + 8| Suy [−2;7] ( |m + 1| = ⇔ m = |m − 1| ≤ |m + 8| Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án D 30 Những thông tin cần bảo mật: Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh học lớp 12 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Sau học xong, em học sinh lớp 12 khơng cịn bỡ ngỡ trước dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số giá trị tuyệt đối Bước đầu giúp em có hướng để giải chinh phục toán dạng 11.Danh sách tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có) STT Tên tổ chức, cá nhân Địa Phạm vi, Lĩnh vực áp dụng sáng kiến .ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị .ngày tháng năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ .ngày tháng năm Tác giả sáng kiến Nguyễn Thành Tiến