CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Định nghĩa Cho hàm số xác định D Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y = f ( x) D f ( x) ≤ M ; ∀x ∈ D , ta kí hiệu M = max f ( x) x∈D M ∃xo ∈ D : f ( xo ) = Chú ý: Nếu f ( x) ≤ M ; ∀x ∈ D ta chưa thể suy M = max f ( x) x∈D Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f (x) D f ( x) ≥ M ; ∀x ∈ D , ta kí hiệu M = f ( x) x∈D M ∃xo ∈ D : f ( xo ) = Chú ý: Nếu f ( x) ≥ M ; ∀x ∈ D ta chưa thể suy M = f ( x) x∈D Các phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x) D, ta tính y’, tìm điểm mà đạo hàm triệt tiêu khơng tồn lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy ta GTLN, GTNN hàm số Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x) ln tăng giảm [a;b] Thì ta có max f ( x) = { f (a ); f (b)} f ( x) = { f (a ); f (b)} [a ;b ] [a ;b ] Nếu hàm số y = f ( x) liên tục [a;b] ln có GTLN, GTNN đoạn để tìm GTLN, GTNN ta làm sau: - Tính y’ tìm điểm x1 , x2 , , xn mà y’ triệt tiêu khơng tồn - Tính giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ), , f ( xn ) Khi +) max f ( x) = { f ( x1 ); f ( x2 ); f ( xn ); f (a ); f (b)} [a ;b ] +) f ( x) = { f ( x1 ); f ( x2 ); f ( xn ); f (a ); f (b)} [a ;b ] Nếu hàm số y = f ( x) tuần hoàn chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN D ta cần tìm GTLN, GTNN đoạn thuộc D có độ dài T Cho hàm số y = f ( x) xác định D Khi đặt ẩn phụ t = u ( x), ta tìm t ∈ E với ∀x ∈ D , ta có y = g (t ) Max, Min hàm f D Max, Min hàm g E Khi toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà khơng nói tập ta hiểu tìm GTLN, GTNN tập xác định hàm số Ngồi phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta dùng phương pháp miền giá trị bất đẳng thức để tìm Max, Min Ta cần phân biệt hai khái niệm - Giá trị lớn hàm số y = f ( x) D với cực đại hàm số - Giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) D với cực tiểu hàm số Tìm tập giá trị hàm số Phương pháp chung: Việc tìm tập giá trị hàm số việc tìm giá trị nhỏ nhất, kí hiệu m giá trị lớn nhất, kí hiệu M Khi đó, tập giá trị hàm số T = [m; M ] Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số hai biến (bài toán cực trị) Các tốn hai biến (u cầu: tìm GTLN, GTNN tìm tập giá trị) Sử dụng phương pháp y = h( x) từ giả thiết vào biểu thức P cần tìm cực trị, P = f ( x) với x ∈ [a; b] → đưa tìm GTLN, GTNN tốn biến Sử dụng bất đẳng thức (có thể dùng để giải toán biến) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm a + b ≥ ab ⇔ 4ab ≤ (a + b) ⇔ (a − b) ≥ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số thực a, b, c, d ( ax + by ) ≤ ( a + b )( x + y ) Dấu “=” xảy a b = x y Một số bổ đề dùng toán hai biến ( x + y) xy ≤ 3 x +y ≥ (x ≤ + y2 ) ( x + y ) ( x2 + y ) x + xy + y ≥ ( x + y ) ≥ ( x + y )3 ≥ xy ( x + y ) Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân số 1 + ≥ x y x+ y DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Giá trị nhỏ hàm số y = x − x + đoạn [0;2] A B C D Lời giải Đáp án: Chọn B Xét hàm số f ( x) = x3 − x + [0;2], có f '(= x) 3x − 0 ≤ x ≤ Phương trình f '( x) = ⇔ ⇔ x =1 − = x Tính = ( x) f= (1) f (0) 5;= f (1) 3;= f (2) Vậy f = [0;2] Ví dụ 2: Giá trị lớn hàm số f ( x) =x − x + đoạn [0;2] A 64 B C D Lời giải Đáp án: Chọn D Xét hàm số f ( x) =x − x + [0;2], có f '(= x) x3 − x 0 ≤ x ≤ x = Phương trình f '( x) = 0⇔ ⇔ x = 4 x − x = Tính = ( x) f= (2) f (0) 1;= f (1) 0;= f (2) Vậy max f= [0;2] Ví dụ 3: Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = A B x2 + đoạn [2;4] x −1 C Lời giải 19 D 13 Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm: ' u u ' v − uv ' = v2 v Cách 1: Xét hàm số f ( x) = x2 − x − x2 + [2;4], có f '( x) = ( x − 1) x −1 2 ≤ x ≤ ⇔ x =3 Phương trình f '( x) = ⇔ x − 2x − = Tính= f (2) 7;= f (3) 6;= f (4) 19 Vậy f= ( x) f= (3) [2;4] Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7) Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE Bước 2: Nhập f ( X ) = X2 +3 X −1 Star = Sau ấn phím = (nếu có g ( X ) ấn tiếp phím =) sau nhập End = Step = 0.2 (Chú ý: Thường ta chọn Step = End − Start ) 10 Bước 3: Tra bảng nhận tìm GTNN: Dựa vào bảng giá trị trên, ta thấy f= ( x) f= (3) [2;4] Ví dụ 4: Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x) = 3x − đoạn [0;2] x −3 Giá trị 3M + m A B – C – Lời giải Đáp án: Chọn C Xét hàm số f ( x) = 3x − [0;2] có f '( x) = − ⇒ f ( x) hàm số đồng biến (0;1) Do max f ( x) = f (1) = [0;1] Theo ra, ta có 1− m m ; f ( x) = f (0) = − [0;1] 1− m m ≥ − ⇔ − m ≥ −3m ⇔ m ≥ − 2 Kết hợp với m ∈ [ − 10;10] m ∈ ⇒ có 11 giá trị nguyên m TH2 Với m < −2 suy f '( x) < ⇒ f ( x) hàm số nghịch biến (0;1) m 1− m Do max f ( x) = f (0) = − ; f ( x) = f (1) = [0;1] [0;1] Theo ra, ta có − m 1− m ≥ ⇔ −3m ≥ − 4m ⇔ m ≥ (vơ lý) Vậy có tất 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu Ví dụ 8: Có giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y = x − m2 − đoạn [0;4] x−m – A B C D Lời giải Đáp án: Chọn C Ta có = f '( x) 1.(−m) − 1.(−m − 2) m − m + = > 0; ∀x ≠ m ( x − m) ( x − m) m > Với x =∉ m [0; 4] ⇔ , ta f ( x) hàm số đồng biến (0; 4) m < Suy max f= ( x) f= (4) [0;4] m = 2 − m2 − m2 =−1 ⇔ Theo ra, ta có 4−m 4−m m = −3 m > Kết hợp điều kiện: →m= −3 giá trị cần tìm m < Ví dụ 9: Cho hàm số y = ax + cx + d , a ≠ có f ( x= ) f (−2) Giá trị lớn hàm số y = f ( x) ( −∞ ;0) đoạn [1;3] A 8a + d B d − 16a C d − 11a Lời giải D 2a + d Đáp án: Chọn B Ta có f ( x)= f (−2) → lim f ( x)= +∞ ⇒ a < ( −∞ ;0) x →−∞ Lại có f = '( x) 3ax + c mà f ( x) = f (−2) ⇒ f '(−2) = ⇔ 12 a + c = ( −∞ ;0) Do f ( x) = ax3 + cx + d = ax3 − 12ax + d Xét hàm số f ( x) =ax3 − 12ax + d [1;3], có f = '( x) 3ax − 12a; 1 ≤ x ≤ 1 ≤ x ≤ Phương trình f '( x) = ⇔ ⇔ ⇔ x =2 − 12a −4 3ax = x= Tính f (1) = d − 11a; f (2) = d − 16a; f (3) = d − 9a Vậy max f ( x)= d − 16a [1;3] Ví dụ 10: Cho hàm số f ( x) = ax + bx + c, a ≠ có f ( x= ) f (−1) Giá trị nhỏ hàm số ( −∞ ;0) 1 y = f ( x) ; 2 A 8a + c B c − 7a 16 C c + 9a 16 D c − a Lời giải Đáp án: Chọn D Ta có f ( x)= f (−1) → lim f ( x)= +∞ ⇒ a > ( −∞ ;0) x →−∞ Lại có f = ⇔ b =−2 a '( x) 4ax3 + 2bx mà f ( x) =f (−1) ⇒ f '(−1) = ( −∞ ;0) Do f ( x)= ax + bx + c= ax − 2ax + c 1 Xét hàm số f ( x) =ax − 2ax + c ; có f = '( x) 4ax3 − 4ax 2 1 1 ≤x≤2 ≤x≤2 Phương trình f '( x) = ⇔ ⇔ 2 ⇔ x =1 4ax= x= − 4ax ( x − 1) 7a 1 Tính f = c − ; f (1) = c − a; f (2) = 8a + Vậy f ( x)= f (1)= c − a 1 16 2 ;2 Ví dụ 11: Hỏi tập hợp chứa tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số y = x − x + m đoạn [0;2] 5? A (−∞; −5) ∪ (0; +∞) B (−5; −2) C (−4; −1) ∪ (5; +∞) Lời giải Đáp án: Chọn B D (−4; −3) x = Xét hàm số f ( x) =x − x + m [0;2], có f '( x) = x3 − x; f '( x) = 0⇔ x = ±1 m ; f (1) = m − ; f (2) = m + suy max y ={ m − ; m + } Tính f (0) = [1;2] m − = TH1 Nếu max y= m − → ⇔ m= −4 [1;2] m − ≥ m + m + = TH2 Nếu max y= m + → ⇔ m= −3 [1;2] m + ≥ m − Vậy có giá trị m cần tìm thuộc khoảng (−5; −2) Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) = x3 − x + m Có giá trị nguyên tham số thực m để f ( x) ≤ ? [-1;3] A B C 13 D 39 Lời giải Đáp án: Chọn C x = Xét hàm số g ( x) = x − x + m [-1;3], có g '( x) = x − x; g '( x) = 0⇔ x = f (−1) = m − ; f (0) = m Tính Khi f ( x) ={ m − ; m + 27 } [ −1;3] m − ; f (3) = m + 27 f (1) = TH1 Nếu f ( x) = m − ⇔ m − ≤ ⇔ −3 ≤ m − ≤ ⇔ ≤ m ≤ [ −1;3] → m= Kết hợp m ∈ {2;3; 4; ;8} Thử lại ⇒ có giá trị nguyên âm m cần tìm m + 27 ≤ { m − ; m ; m − } ⇔ −30 ≤ m ≤ −24 TH2 Nếu f ( x)= m + 27 ⇔ [ −1;3] m + 27 ≤ Kết hợp m ∈ suy có giá trị ngun m cần tìm Vậy có tất 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 13: Cho hàm số y = x3 − x + m (với m tham số thực) Hỏi max y có giá trị nhỏ là? [1;2] A B C D Lời giải Đáp án: Chọn A x = Xét hàm số f ( x) =x3 − x + m [1;2], có f '( x) = x − x; f '( x) = 0⇔ x = m ; f (1) = m − ; f (2) = m − suy max Tính f (0) = = y [1;2] { m ; m − 4} TH1 Nếu max = y m → m ≥ m − ⇔ m ≥ →m ≥2 [1;2] Dấu xảy m = TH2 Nếu max y m − = → m − ≤ m ⇔ m ≤ → m − ≤ −2 ⇔ m − ≥ [1;2] Dấu xảy m = Vậy max y có giá trị nhỏ [1;2] Ví dụ 14: Có số thực m để hàm số y = x − x3 − 12 x + m có giá trị lớn [-3;2] 150? A B C D Lời giải Đáp án: Chọn A Xét hàm số g ( x) = x − x − 12 x + m [-3;2] có g '( x) = 12 x − 12 x − 24 x −3 ≤ x ≤ x = −1 Phương trình g '( x) = 0⇔ ⇔ x = 12 x − 12 x − 24 x = f (−1) = m − ; f (0) = m Tính Khi max f ( x) = { m − 32 ; m + 243 } [ −3;2] f (−3) = m + 243 ; f (2) = m − 32 m − 32 ≤ m + 243 TH1 Nếu max f ( x) = ⇔m= −93 m + 243 ⇔ [ −3;2] 150 m + 243 = m − 32 ≥ m + 243 TH2 Nếu max f ( x) = ⇔m= −118 m − 32 ⇔ [ −3;2] − 32 = 150 m Vậy có tất giá trị m thỏa mãn tốn Ví dụ 15: Cho hàm số f ( x) = x − x3 + x + a Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [0;2] Có số nguyên a ∈ [ − 3;3] cho M ≤ 2m A B C Lời giải Đáp án: Chọn B Xét hàm số u ( x) =x − x + x [0;2], có u '( x) =4 x − 12 x + x Phương trình u '( x)= ⇔ x {0;1; 2} Khi u (0) = u (2) = a; u (1) = a + Suy max = f ( x) [0;2] f ( x) { a ; a + } { a ; a + 1} = [0;2] min f ( x) = M = [0;2] TH1 Với a = , ta thấy (không TMĐK) ⇒ max f ( x ) = m = [0;2] D min f ( x) = a [0;2] mà M ≤ 2m ⇒ a + ≤ a ⇔ a ≥ TH2 Với a > 0, ta có max f ( x ) a = + [0;2] Kết hợp với điều kiện a ∈ [-3;3] a ∈ → {1; 2;3} min f ( x) = a +1 [0;2] mà M ≤ 2m ⇒ a ≤ a + ⇔ a ≥ −2 TH3 Với a < , ta có f x = a max ( ) [0;2] Kết hợp a ∈ [-3;3] a ∈ → {−3; −2} Vậy có giá trị nguyên a Ví dụ 16*: Cho hàm số f ( x) = x + ax + bx + c Gọi M giá trị lớn hàm số đoạn [-1;3] Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức ab + bc + ca A – B C – 12 D – 18 Lời giải Đáp án: Chọn A Đặt= t x −1 ∈ [−1;1] ⇒= t cos x ⇒= x cos x + Khi f= ( x) (2 cos x + 1)3 + a.(2 cos x + 1) + b.(2 cos x + 1) + c = 8cos3 x + (12 + 4a ).cos x + (6 + 4a + 2b).cos x + a + b + c + f ( x) a + b + c +1 Suy = cos3 x + (6 + 2a ).cos x + (3 + 2a + b).cos x + 2 ⇔ f ( x) ≤ cos3 x − 3cos x = cos x ≤ −3 6 + a = a = Dấu xảy 3 + 2a + b =−3 ⇔ b =0 a + b += c c +1 = DẠNG 3: BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG MIN – MAX Ví dụ 1: Người ta tiêm loại thuốc vào mạch máu cánh tay phải bệnh nhân Sau thời gian t giờ, nồng độ thuốc hấp thu máu bệnh nhân xác định theo công thức = C (t ) 0, 28t (0 < t < 24) Hỏi sau nồng độ thuốc hấp thu máu bệnh nhân t2 + cao nhất? A 24 B C Lời giải Đáp án: Chọn C D Yêu cầu tốn: Tìm giá trị t ∈ (0; 24) để C (t ) = Xét hàm số C (t ) = 0, 28t đạt giá trị lớn t2 + 0, 28(t + 4) − 0, 28t.2t −0, 28t + 1,12 0, 28t , có = C '( t ) = (0; 24) t2 + (t + 4) (t + 4) 0 < t < 24 Phương trình C '(t ) = ⇔ ⇔ t = Tính C (2) = 0, 07 −0, 28t + 1,12 = Suy max C = (t ) C= (2) 0, 07 Vậy sau nồng độ hấp thu cao (0;24) Ví dụ 2: Người ta giới thiệu loại thuốc kích thích sinh sản loại vi khuẩn Sau phút, số vi khuẩn xác định theo công thức N (= t ) 1000 + 30t − t (0 ≤ t ≤ 30) Hỏi sau phút số vi khuẩn lớn nhất? A 10 phút B 20 phút C 30 phút D 15 phút Lời giải Đáp án: Chọn B u cầu tốn: Tìm giá trị t ∈ [0;30] để N (t ) = 1000 + 30t − t đạt giá trị lớn Xét hàm số N (t ) = 1000 + 30t − t [0;3], có N '(= t ) 60t − 3t 0 ≤ t ≤ 30 Phương trình N '(t ) = ⇔ ⇔ t = 20 Tính 60t − 3t = N (0) N(30) = 1000 = N (20) = 5000 Suy max= N (t ) N= (20) 5000 Vậy sau 20 phút số vi khuẩn lớn [0;30] Ví dụ 3: Ơng A muốn mua mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m2 để làm khu vườn Hỏi người phải mua mảnh đất có kích thước để chi phí xây dựng bờ rào tốn nhất? A 10m x 10m B 4m x 25m C 5m x 20m D 25m x 8m Lời giải Đáp án: Chọn A Yêu cầu toán: Cho diện tích tìm giá trị nhỏ chu vi hình chữ nhật Gọi x, y chiều rộng, chiều dài hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật S = xy = 100 ⇔ y = 100 x Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) C = x + y = x + Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có x + Dấu xảy x = 200 x 200 200 ≥ 2 =40 ⇒ Cmin =40 x x 200 ⇔ x = 100 ⇔ x = 10 ⇒ y = 10 x Ví dụ 4: Một cơng ty muốn thiết kế loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng cho thể tích khối hộp tạo thành 8dm3 diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ Độ dài cạnh đáy hộp muốn thiết kế A 2dm B 2dm C 4dm D 2dm Lời giải Đáp án: Chọn B Gọi h, x chiều cao độ dài cạnh đáy hình hợp chữ nhật Thể tích khối hộp chữ nhật V = Bh = x h = ⇔ h = x2 Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Stp = S xq + S d = 4hx + x = x + Ta có x + 32 x 32 16 16 16 16 = x + + ≥ 3 x = 24 ⇒ S = 24 x x x x x Dấu xảy x = 16 ⇔ x3 = ⇔ x = x Ví dụ 5: Cho nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x cm, gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x = B x = C x = D x = Lời giải Đáp án: Chọn C Khi cắt gấp nhơm, ta hình hộp chữ nhật có chiều cao x; đáy hình vng cạnh 12 − 2x ⇒ Thể tích khối hộp chữ nhật V = Bh = x.(12 − x)(12 − x) Cách Khảo sát hàm số f ( x) = → max f ( x) x.(12 − x).(12 − x) (0;6) (0;6) Cách Ta có x(12 − x).(12 − x) ≤ (4 x + 12 − x + 12 − x)3 = 512 ⇒ V ≤ 128 27 Dấu xảy x = 12 − x ⇔ x = 12 ⇔ x = Ví dụ 6: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp (diện tích tồn phần lon nhỏ nhất) Bán kính đáy vỏ lon ta muốn tích lon 314 cm3 ? A R = 314 π B R = 628 π = C R 942 2π D R = 314 2π Lời giải Đáp án: Chọn D Gọi R, h bán kính đáy, chiều cao lon sữa 314 π R2 Thể tích lon sữa hình trụ V= π R h= 314 ⇔ h= Diện tích nguyên liệu làm vỏ hộp ( Stp hình trụ) Stp = 2π Rh + 2π R = 2π R + Ta có 2π R + 628 R 628 314 314 314 314 = 2π R + + ≥ 3 2π R = 3 2.(314) π R R R R R Dấu xảy 2π R 2= 314 314 ⇔ R 3= ⇔ R= R 2π 314 2π Ví dụ 7: Một đường dây điện nối từ nhà máy điện đất liền vị trí A đến vị trí C hịn đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền BC = 1km , khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000 USD, km điện đặt ngầm biển 5000 USD, Hỏi điểm S phải cách A bao nhiên km để chi phí mắc đường dây điện nhất? A km B km C 13 km D Lời giải Đáp án: Chọn C Đặt= SA x (km; ≤ x ≤ 4), ta có SA + SB =AB ⇒ SB =4 − x (km) Tam giác SBC vng B, có SC = SB + BC = + (4 − x) = x − x + 17 Do đó, số tiền để mắc dây điện đất liền T1 = 3000 x SA = 3000x Số tiền để mắc dây điện ngầm biển T2 = 5000 x= SC 5000 x − x + 17 Suy tổng số tiền mắc dây điện T = T1 + T2 = 3000 x + 5000 x − x + 17 Xét hàm số f ( x) = x + x − x + 17 [0;4], có f '( x)= + x − 20 x − x + 17 km Phương trình f '( x) = ⇔ x − x + 17 = 20 − x ⇔ x = 13 13 Dựa vào bảng biến thiên, ta min= f ( x) f= 16 [0;4] 4 Vậy số tiền nhất= T 100.16 = 16000 USD Dấu xảy x = 13 Ví dụ 8: Một sợi dây kim loại dài 60 cm cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ uốn thành hình vng cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r Để tổng diện tích hình vng hình trịn nhỏ tỉ số A a r B C D Lời giải Đáp án: Chọn B Gọi x độ dài đoạn dây cuộn thành hình trịn (0 < x < 60) Suy chiều dài đoạn lại 60 − x Chu vi đường tròn: 2π= r x ⇒= r x2 x S1 π= r2 → Diện tích hình trịn: = 4π 2π 60 − x Diện tích hình vng: S = 2 x 60 − x (4 + π ) x − 120π x + 3600π Tổng diện tích hai hình: S = + = 4π 16π Đạo hàm: S ' = (4 + π ).x − 60π 60π 4+π ;S ' =0 ⇔ x = ; S '' = >0 8π 4+π 8π Suy hàm S có cực trị cực tiểu x = Do S đạt giá trị nhỏ x = Với x = 60π 4+π 60π 4+π 60π 30 240 a 240 a = = → = = →r 4+π (4 + π ) (4 + π ).4 r 120 Ví dụ 9: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất mặt hàng 10 ngày phải sử dụng hai máy A B Máy A làm việc x ngày cho số tiền lãi x3 + x (triệu đồng), máy B làm việc y ngày cho số tiền lãi 326 y − 27 y (triệu đồng) Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc ngày cho số tiền lãi nhiều nhất? (Biết A B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không ngày) A B C D Lời giải Đáp án: Chọn B Tổng số tiền hai máy làm T = TA + TB = x3 − 27 y + x + 326 y Theo ra, ta có x + = y 10; y ≤ nên = y 10 − x ≤ x ≤ 10 Suy T = x − 27(10 − x) + x + 326(10 − x) = x − 27 x + 216 x + 560 Xét hàm số f ( x) = x3 − 27 x + 216 x + 560 [4;10], có f '( x) = 3(x − 18 x + 72) Phương trình f '(= x) ⇔= x → max f (= x) f (6) = 1100 [4;10] Vậy x = thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 10: Có hai cột dựng đứng mặt đất lần lượt= AB 1= m, CD 4m đỉnh hai cột hai điểm A C cách 5m Người ta chọn vị trí mặt đất (nằm B, D) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mơ hình bên Tính độ dài ngắn đoạn dây? A B 41 C 37 D 29 Lời giải Đáp án: Chọn A Cách 1: Đặt BE = x với x > Ta có BD= x + + (4 − x) + 16 Đặt f ( x= ) Lại có AE + EC= Ta có = f '( x) BD − BE =− x 52 − (4 − 1) = nên ED = x x2 + + x−4 x − x + 32 x + + x − x + 32, x > ; ∀x > Giải phương trình f '( x) = 0, ta thu x = tìm f ( x) = 41 Cách 2: Gọi H điểm đối xứng với A qua B K điểm đối xứng với C qua D Và I hình chiếu A lên CD Khi AHKC hình thang cân AG = AC − GC = Ta thấy EC = EK nên AE + EC = AE + EK Để { AE + EC}min { AE + EK }min điều có nghĩa A, E, K thẳng hàng Vì AK = KG + AG = + 52 = 41 Hay độ dài ngắn đoạn dây 41 Ví dụ 11: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 961 m2, người ta muốn mở rộng thêm phần đất cho tạo thành hình trịn ngoại tiếp mảnh vườn Biết tâm hình trịn trùng với tâm hình chữ nhật (xem hình minh họa) Tính diện tích nhỏ S phần đất mở rộng A S = 961π − 961 B S= 1922π − 961 C S= 1892π − 946 D = S 480,5π − 961 Lời giải Đáp án: Chọn D Gọi x (m), y (m) (x>0, y>0) hai kích thước mảnh vườn hình chữ nhật; R (m) bán kính hình trịn ngoại tiếp mảnh vườn = → R2 = OB x2 + y Theo đề bài, ta có xy = 961 m Diện tích phần đất mở rộng: S =Stron − S ABCD =π R − xy = π Cosi ( x2 + y ) xy − xy ≥ π −= xy 480,5π − 961 4 Ví dụ 12: Cho tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm chiều rộng 8cm Gấp góc bên phải tờ giấy cho sau gấp, đỉnh góc chạm đáy hình vẽ Để độ dài nếp gấp nhỏ giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C D Lời giải Đáp án: Chọn D Đặt CN = x(cm) MC = y (cm) Độ dài đường gấp khúc cần tìm độ dài đoạn thẳng MN = Dễ thấy MHNC hình thoi nên MC = MH = y, NC = NH = x x2 + y Gọi K hình chiếu M xuống BD ⇒ MK = ⇒ HK =y − 64 HN − ND = Mà HD= x − (8 − x) = 16 x − 64= x − ⇒ KD = y= HK + HD = y − 64 + x − ⇔ y − y − 64 = x−4 ⇔ 64 = x − ⇔ y + y − 64= y + y − 64 16 x−4 16 + 2( x − 4) +4 x−4 ⇔ = y = x−4 x−4 Khi = 2y Do MN = x + y = x + Có f '( x) = x + − 2x x−4 4x2 4x2 với > x > Đặt f ( x= ) x2 + x−4 x−4 64 ; f '( x) = ⇔ ( x + 2)( x − 4) = 32 ⇔ x = ( x − 4) Suy f ( x) = f (6) = 108 ⇒ MN = 108 ⇒ MN = (4;8) Ví dụ 13: Một cửa sổ có hình dạng hình bên, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình trịn có tâm nằm cạnh hình chữ nhật Biết tổng độ dài đường viền cho phép cửa sổ 4m Hỏi diện tích lớn cửa sổ bao nhiêu? A S = 4+π B S = 4+π C S = 8+π Lời giải Đáp án: Chọn B = BC = x AD Gọi ⇒ Chcn =CD + BC =2( R + x); Chcn =π R = IB = R AI Suy π R + 2( R + x) = ⇔ x = Và = S hcn AB = BC Rx = ; S hcn − (π + 2) R π R2 Tổng diện tích cửa sổ S =2 Rx + π R2 =2 R − (π + 2) R π R π R2 + =R [ − (π + 2) R ] + 2 D S = 8+π 8 π π = 4R − + R2 = − −R 2+ 2 4+π 4+π Do diện tích lớn cửa sổ S = ≤ 4+π 4+π Ví dụ 14: Cho hình vng ABCD độ dài cạnh 2m hình vẽ Lấy hai điểm P, Q (thay đổi) nằm hai cạnh DC, CB cho PQ tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính AB Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng PQ (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 1,08 m B 1,32 m C 1,66 m Lời giải Đáp án: Chọn C = x , ta có DAP + BAQ =1 Đặt DAP A =45o suy BAQ = 45o − x − tan x tan x + Khi = PQ AD tan x + AB tan(45 −= x) tan x + = + tan x tan x + o 2t + Đặt = t tan x (0 < t < 1), ta PQ = t +1 t + 2t − t2 +1 Xét f (t ) = (0;1), có f '(t ) = ; f '(t ) =0 ⇔ t =−1 + (t + 1) t +1 Suy hàm số f (t ) đạt giá trị nhỏ t =−1 + Vậy PQmin ≈ 1, 66 D 1,54 m BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm giá trị lớn hàm số y = x − x − x + đoạn [-2;1] A B C D Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) liên tục có bảng biến thiên x -1 −∞ - y' y || + +∞ - -1 -2 Khẳng định sau sai? A Hàm số khơng có giá trị lớn có giá trị nhỏ – B Hàm số có hai điểm cực trị C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ – Câu 3: Hàm số y = (4 − x ) + có giá trị lớn đoạn [-1;1] A 10 B 12 C 14 D 17 Câu 4: Giá trị nhỏ hàm số y = x − x + đoạn [2;4] A y = [2;4] B y = [2;4] C y = [2;4] D y = [2;4] − x2 − 3 Câu 5: Giá trị lớn hàm số y = đoạn ; x 2 A – B – C − 25 D – Câu 6: Giá trị nhỏ hàm số y = x − x + đoạn [-1;4] A B – Câu 7: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = A – Câu 8: Hàm số f = ( x) A xo = B – C – D x−2 đoạn [0;2] x +1 C D 2 x − x Biết hàm số f ( x) đạt giá trị lớn điểm xo Tìm xo B xo = C xo = 1 Câu 9: Tìm giá trị nhỏ hàm số = y x(3 − x) ;1 4 D xo = A B C D Câu 10: Giá trị lớn hàm số y = x − x − x + đoạn [1;3] A – B C Câu 11: Giá trị nhỏ hàm số y = A y = −7 [ − 4; −2] B y = − [ − 4; −2] x2 + đoạn [ − 4; −2] x +1 19 C y = −8 D y = −6 [ − 4; −2] Câu 12: Giá trị nhỏ hàm số y =1 + x + A D [ − 4; −2] đoạn [ − 3; −1] x B – C – D – Câu 13: Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = 2x −1 đoạn [0;3] x +1 Tính giá trị M – m A M − m = − C M − m = B M − m = D M − m = Câu 14: Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = x − x + 13 đoạn [-2;3] A m = 51 B m = 49 C m = 13 D m = 51 Câu 15: Giá trị lớn hàm số y =x − x + 16 x − đoạn [1;3] A max f ( x) = −6 [1;3] B max f ( x) = [1;3] 13 27 C max f ( x) = D max f ( x) = [1;3] [1;3] Câu 16: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau Mệnh đề đúng? x -1 −∞ + y' 0 - || y +∞ + +∞ −∞ A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số có giá trị lớn C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số có giá trị nhỏ Câu 17: Hàm số y = f ( x) liên tục có bảng biến thiên đoạn [-1;3] cho hình bên Gọi M giá trị lớn hàm số y = f ( x) đoạn [-1;3] Tìm mệnh đề đúng? x -1 + y' y - + A M= f (−1) B M = f (3) Câu 18: Gọi m giá trị nhỏ hàm số y = A m = B m = C M = f (2) D M = f (0) 3x + [-1;1] Khi giá trị m x−2 C m = −4 D m = − Câu 19: Giá trị nhỏ hàm số y = x3 + x − 12 x + đoạn [-1;2] đạt xo Giá trị xo A B C – D – Câu 20: Giá trị nhỏ hàm số y =x + x − x đoạn [0;4] A – 259 B 68 C D – Câu 21: Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = x − x − x + [-4;4] A m = −211 B m = 11 C m = −121 D m = −70 Câu 22: Giá trị nhỏ hàm số f ( x) =x − x + đoạn [-1;2] A – B – C − 14 D Câu 23: Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = − x + x − đoạn [-2;3] A – B – C – 197 D – 50 Câu 24: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = −2 x + x + [-2;1] A B C – 16 D – 11 Câu 25: Tìm giá trị lớn M hàm số y = 2sin x − sin x + 11 A M= 12 − B M= 10 + C M= 12 + D M= 10 − Câu 26: Trong hàm số sau, hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất? A y = x−2 x +1 B = y x + x C y = x + x + D.= y x − Câu 27: Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 2x + đoạn [-1;1] Giá x+2 trị M, m A M = , m = −3 B M = , m = −2 Câu 28: Tìm giá trị lớn hàm số f ( x) = A max f ( x) = [1;4] B max f ( x) = [1;4] C M = , m = −2 D.= M , m = x đoạn [1;4] x+2 C max f ( x) = [1;4] Câu 29: Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số = y D Không tồn − x đoạn [-1;1] Khi M – m A B C D Câu 30: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x − x − x + 35 đoạn [-4;4] Giá trị M m A M = 40; m = −41 B M = 15; m = −41 Câu 31: Xét hàm số y = x + − C.= M 40; = m D M = 40; m = −8 đoạn [-1;1] Mệnh đề sau đúng? x+2 A Hàm số có cực trị khoảng ( −1;1) B Hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [-1;1] C Hàm số đạt giá trị nhỏ x = −1 đạt giá trị lớn x = D Hàm số nghịch biến đoạn [-1;1] Câu 32: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = sin x − 4sin x − A – 20 B – Câu 33: Tìm tập giá trị hàm số y= A T = [1;9] C – D x −1 + − x B T = 2; C T = (1;9) D T = 0; 2 Câu 34: Một tạp chí bán 25 nghìn đồng Chi phí xuất x tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) cho công thức C (= x) 0, 0001x − 0, x + 11000, C ( x) tính theo đơn vị vạn đồng Chi phí phát hành cho nghìn đồng Các khoản thu bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí 100 triệu đồng nhận từ quảng cáo Giả sử số in bán hết Tính số tiền lãi lớn có bán tạp chí A 100.250.000 đồng B 100.000.000 đồng C 100.500.000 đồng D 71.000.000 đồng Câu 35: Công ty xe khách Thiên Ân dự định tăng giá vé hành khách Hiện giá vé 50.000 VNĐ khách có 10.000 khách tháng Nhưng tăng giá vé thêm 1.000 VNĐ khách số khách giảm 50 người tháng Hỏi công ty tăng giá vé khách để có lợi nhuận lớn nhất? A 50.000 VNĐ B 15.000 VNĐ C 35.000 VNĐ D 75.000 VNĐ Câu 36: Ông A dự định sử dụng hết 6,5m2 kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)? A 2, 26m3 B 1, 61m3 C 1,33m3 D 1,50m3 Câu 37: Ơng A sử dụng hết 5m2 kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)? A 0,96m3 B 1, 01m3 C 1,51m3 D 1,33m3 Câu 38: Ơng A sử dụng hết 6,7m2 kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng trăm)? A 1,57 m3 B 1,11m3 C 1, 23m3 D 2, 48m3 Câu 39: Đợt nộp hồ sơ dự thi tốt nghiệp THPT quốc gia thường kéo dài tháng (30 ngày) Nhà trường nhận thấy số lượng hồ sơ mà học sinh nộp tính theo ngày thứ t cho cơng thức S (t ) = 3 t − t + 36t − 270 50 (hồ sơ) với ≤ t ≤ 30 Hỏi 30 ngày ngày thứ có số lượng hồ sơ nộp nhiều nhất? A 15 B 16 C 20 D 25 Câu 40: Bác Tơm có ao có diện tích 50m2 để ni cá Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ 20 con/m2 thu tất 1,5 cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá thu bác giảm con/m2 tương ứng có cá thành phẩm thu tăng thêm 0,5 kg Hỏi vụ tới bác phải mua cá giống để đạt tổng khối lượng cá thành phẩm cao nhất? (Giả sử khơng có hao hụt q trình ni) A 1100 B 1000 C 500 D 502 Câu 41: Người ta muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 288m3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, tiền chi phí xây bể 500.000 đồng/m2 Xác định kích thước bể hợp lí chi phí thấp Hỏi chi phí thấp để xây bể bao nhiêu? A 168 triệu đồng B 54 triệu đồng C 108 triệu đồng D 90 triệu đồng Câu 42: Người ta muốn xây bể chứa nước có hình dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 500 m Biết đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng giá thuê thợ xây 100.000 đồng/m2 Tìm kích thước hồ để chi phí th nhân cơng Khi chi phí th nhân công A 15 triệu đồng B 11 triệu đồng C 13 triệu đồng D 17 triệu đồng Câu 43: Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức = G ( x) 0, 035 x (15 − x), x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều B x = 10 A x = C x = 15 D x = Câu 44: Người ta cần xây bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 200m3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Chi phí để xây bể 300 nghìn đồng/m2 (chi phí tính theo diện tích xung quanh, khơng tính chiều dày đáy thành bể) Hãy xác định chi phí thấp để xây bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng) A 75 triệu đồng B 51 triệu đồng C 36 triệu đồng D 46 triệu đồng Câu 45: Một sợi dây kim loại dài 60 cm cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ uốn thành hình vng cạnh a, đoạn dây thứ hai uống thành đường trịn đường kính r Để tổng diện tích hình vng hình trịn nhỏ tỉ số a sau đúng? r A B C Câu 46: Tìm nhánh đồ thị (C) : y = D 4x − điểm M ; M để độ dài M 1M đạt giá trị nhỏ x −3 nhất, giá trị nhỏ bằng: A B 2 C D Câu 47: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục có bảng biến thiên sau x -1 −∞ - y' y 0 + - +∞ +∞ + +∞ 2 Giá trị nhỏ hàm số= y f ( x + 3) đoạn [0;2] A 64 B 65 C 66 D 67 Câu 48: Cho hàm số y = sin x + Gọi M giá trị lớn m giá trị nhỏ hàm số sin x + sin x + cho Chọn mệnh đề A M= m + B M = m C M= m + D M= m + Câu 49: Có giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số y = A B C m sin x + nhỏ cos x + D Câu 50: Gọi T tổng giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = 2sin x + 3cos x Giá trị T cos x + bao nhiêu? A T = 13 B T = 113 − D T = − C T = Câu 51: Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm= số y sin 2018 x + cos 2018 x Khi đó: A = M 2;= m 2018 B = M 1;= m Câu 52: Hàm số y = 2019 C = M 1,= m D = M 1;= m 2018 2x − m đạt giá trị lớn đoạn [0;1] x +1 A m = B m = m = Câu 53: Cho hàm số y = mx + (m tham số, m ≠ −2) Gọi a, b giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2x −1 C m ∈ ∅ D m = hàm số [1;3] Khi có giá trị m để ab = A B C D Câu 54: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho max( x − 6mx + m ) = 16 Số phần tử [ − 2;1] S là? A B C Câu 55: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình A m ≥ B m ≤ Câu 56: Gọi m giá trị để hàm số y = D x + 3x + ≥ m nghiệm với x ∈ [0;1] x +1 C m ≥ D m ≤ x − m2 có giá trị nhỏ [0;3] – Mệnh đề sau x +8 đúng? A < m < B m ≠ 16 C m < D m = Câu 57: Tìm m để giá trị nhỏ hàm số y = x3 − 3mx + đoạn [0;3] A m = B m = 31 27 C m > D m = Câu 58: Tìm tất giá trị m > để giá trị nhỏ hàm số y = x − x + đoạn [ m + 1; m + 2] bé A m ∈ (0; 2) B m ∈ (0;1) C m ∈ (1; +∞) D m ∈ (0; +∞) Câu 59: Cho hàm số y = x3 + x + m (1), với m tham số thực Tìm m để giá trị lớn hàm số (1) [0;1] A m = B m = −1 C m = Câu 60: Biết giá trị nhỏ hàm số = y mx + D m = 36 [0;3] 20 Mệnh đề sau đúng? x +1 A < m ≤ B < m ≤ C < m ≤ D m > Câu 61: Cho hàm số y = x−m (m tham số) Giá trị nhỏ hàm số đoạn [0;3] – Khi x+4 m thuộc khoảng sau đây? A (12; +∞) B (−∞;0) C (5;12) D (0;5) Câu 62: Gọi S tổng tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 + (m + 1) x − m + có giá trị lớn đoạn [0;1] Giá trị S A S = B S = −1 C S = −5 Câu 63: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = D S = mx + có giá trị lớn đoạn [-2;3] x + m2 A m = m = B m = m = C m = m = D m = Câu 64: Gọi M giá trị lớn hàm số = y f ( x= ) x − x + + x − x Tính tích nghiệm phương trình f ( x) = M A B C – D Câu 65: Tập hợp sau chứa tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y = x − x + m đoạn [-1;2] 5? A (−6; −3) ∪ (0; 2) B (−4;3) C (0; +∞) D (−5; −2) ∪ (0;3) Câu 66: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số y = x + x + m − đoạn [-2;1] 4? A B C D Câu 67: Tập hợp chứa tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số y = x − x − m đoạn [0;3] 14? A (−∞; −5) ∪ (−3; +∞) B (−5; −2) C (−7;1) D (−4; 2) Câu 68: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y = x3 − x − x + m đoạn [-2;4] 16 Số phần tử S A B C D Câu 69: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số x + mx + m [1;2] Số phần tử S x +1 y= A B C D Câu 70: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số y= 19 x − x + 30 x + m đoạn [0;2] không vượt 20 Tổng phần tử S A – 210 B – 195 C 105 D 300 Câu 71: Cho hàm số f ( x) = x − x3 + x + a Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn [0;2] Có số nguyên a thuộc đoạn [-3;3] cho M ≤ 2m ? A B C D Câu 72: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x + tan x + cot x + A − B 2 + C 1 + sin x cos x + D 2 − Câu 73: Cho hàm số f ( x) = x + ax + b , a, b tham số thực Biết giá trị lớn hàm số f ( x) đoạn [-1;1] Hãy chọn khẳng định đúng? A a < 0, b < B a > 0, b > C a < 0, b > D a > 0, b < Câu 74: Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (= x) ( x − 1)(3 − x) − A S =−2 − 2 ( ) x − + − x m, M Tính S= m + M B S = −5 C S =−3 − 2 D S = Câu 75: Xét số thực x, y không âm thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức = S x y − xy A S = −3 B S = −4 C S = D S = Câu 76: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P= + x 4y A Pmin = 34 B Pmin = 65 C Pmin không tồn D Pmin = Câu 77: Cho x, y hai số thực tùy ý thỏa mãn x + y = Giá trị lớn biểu thức A = A − B 15 C 21 40 y2 x+2 D − Câu 78: Cho hàm số y =f ( x) =x + − x Tìm tất giá trị thực tham số m thỏa mãn f ( x) ≤ m với x ∈ [−1;1] A m ≥ B m < C m = Câu 79: Cho số thực x, y thỏa mãn x += y ( D m < ) − x + y + Tìm giá trị biểu thức P = 4( x + y ) + 15 xy A P = −80 B P = −91 ( C P = −83 D P = −63 ) Câu 80: Biết bất phương trình m x + − x + ≤ x − x + x + − x + có nghiệm m ∈ (−∞; a + b], với a, b ∈ Tính giá trị T= a + b A T = B T = C T = D T = 1 Câu 81: Cho hai số thực x, y thỏa mãn ≤ x ≤ , ≤ y ≤ log(11 − x − y ) = y + x − Xét biểu thức 2 = P 16 yx − x(3 y + 2) − y + Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn P Khi giá trị của= T (4m + M ) bao nhiêu? A 16 B 18 C 17 D 19 Câu 82: Cho số thực x, y thỏa mãn x + xy + y = Giá trị lớn biểu thức P= ( x − y ) A max P = B max P = 16 C max P = 12 D max P = Câu 83: Cho x, y > thỏa mãn log( x + y )= log( x) + log( y ) Khi đó, giá trị nhỏ biểu thức P = y2 x2 là: + 1+ y 1+ x A B 32 C 31 D 29 Câu 84: Cho a, b ∈ , a, b > thỏa mãn 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) Giá trị nhỏ biểu thức a b3 a b P = + − + a b a b A – 10 B −21 C −23 D 23 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Chọn C x = −1 y ' =3 x − x − 7; y ' =0 ⇔ Ta có y (−2) = −1; y (−1) = 5; y (1) = −7 x = (l ) Do giá trị lớn hàm số Câu 2: Chọn A Đồ thị hàm số có giá trị lớn nên đáp án A sai Câu 3: Chọn D Đặt t = x ⇒ t ∈ [0;1] Khi y = (4 − t ) + = t − 8t + 17 Ta có y ' = 2t − < ⇒ max y = y (0) = 17 Câu 4: Chọn B y =' x − > ⇒ min= y (2)= Câu 5: Chọn B y ' =−1 + x = −2(l ) ; y ' =0 ⇔ x x = 25 3 Ta có y =− ; y (2) =−4; y (4) =−5 ⇒ max =−4 2 Câu 6: Chọn B x = y' = x − 3; y ' =⇔ x = −1 Ta có y (−1) = 3; y (1) = 53 ⇒ = −1; y (4) = −1 Câu 7: Chọn B Ta có = y' > ⇒ hàm số đồng biến ⇒ = −2 y (0) = ( x + 1) Câu 8: Chọn C f ( x) = x − x2 = − (1 − x) ≤ x = Câu 9: Chọn D x = (l ) y' = 12 x − 24 x + 9; y ' =⇔ x = 25 Ta có y = ; y = 2; y (1) = ⇒ = 16 Câu 10: Chọn C x = y ' =3 x − x − 4; y ' =0 ⇔ x = − (l ) Ta có y (1) = 0; y (2) = ⇒ max = −3; y (3) = Câu 11: Chọn A y =' x = 1(l ) x2 + 2x − ; y =' ⇔ ( x + 1) x = −3 Ta có y (−4) = − 19 ; y (−3) = −6; y (−2) = −7 ⇒ = −7 Câu 12: Chọn B x = 2(l ) y' = 1− ; y ' = 0⇔ x x = −2 Ta có y (−3) =− 10 ; y (−2) =−3; y (−1) =−4 ⇒ =−4 Câu 13: Chọn C f '( x) = > ⇒ M = f (3) = , m = f (0) =−1 ⇒ M − m = ( x + 1) 4 Câu 14: Chọn A x = x − x; y ' = 0⇔ y' = x = ± 51 51 51 Ta có y (−2) = 25; y − = ; y (0) = 13; y = ; y (3) = 85 ⇒ = 2 2 Câu 15: Chọn B x = 4(l ) y' = x − 16 x + 16; y ' = 0⇔ x = 13 13 Ta có y (1) =0; y = ; y (3) =−6 ⇒ max = 27 27 Câu 16: Chọn A Hàm số có điểm cực trị Câu 17: Chọn D Ta có M = f (0) Câu 18: Chọn C y' = −7 < 0, ∀x ∈ (−1;1) ⇒ m = y (1) =−4 ( x − 2) Câu 19: Chọn A 15 y (−1) = x ∈ (−1; 2) Ta có ⇔= x → y (2) = y ' = x + x − 12 = y (1) = −5 Câu 20: Chọn D y (0) = x ∈ (0; 4) Ta có x ⇔= → y (4) = 68 y '= x + x − 7= y (1) = −4 Câu 21: Chọn D −70 y (−4) = x ∈ (−4; 4) x = y (4) = −14 Ta có ⇔ → −1 −21 x = y =' x − x − 9= y (3) = y (−1) = 11 Câu 22: Chọn A −1 y (−1) = x = x ∈ (−1; 2) y (2) = −4 Ta có ⇔ → y ' = x − 12 x = x = y (0) = y ( 3) = −5 Câu 23: Chọn D −5 y (−2) = x = x ∈ (−2;3) y (3) = −50 Ta có ⇔ → −4 x + x = f '( x) = x = ± y (0) = −5 y (± 2) = −1 Câu 24: Chọn D −11 y (−2) = x ∈ (−2;1) Ta có x ⇔= → y (1) = −8 x3 + x = y' = y (0) = Câu 25: Chọn C y = − cos x − sin x + 11 = 12 − (sin x + cos x) ≤ 12 + 12 + 12 = 12 + Câu 26: Chọn A Hàm số phân thức bậc bậc khơng có giá trị nhỏ TXĐ Câu 27: Chọn D y '= > 0, ∀x ∈ (−1;1) ⇒ M = y (1) = ; m = y (−1) = ( x + 2) Câu 28: Chọn B f '(= x) 2 > 0, ∀x ∈ (1; 4) ⇒ max f (= = x) y (4) [1;4] ( x + 2) Câu 29: Chọn D 5 − x ≥ − = Ta có ⇒ ≤ y ≤ ⇒ M − m = −1 = 5 − x ≤ + = Câu 30: Chọn A −41 y (−4) = x ∈ (−4; 4) = x 3= y (4) 15 Ta có ⇔ → −1 x = y '= x − x − 9= y (3) = y (−1) = 40 Câu 31: Chọn C y ' = 1+ > 0, ∀x ∈ (−1;1) ⇒ y = y (−1); max y = y (1) [ −1;2] [ −1;2] ( x + 2) Câu 32: Chọn B y= (sin x − 2) − Ta có ⇒ y ≥ − =−8 −3 ≤ sin x − ≤ −1 Câu 33: Chọn B y =8 + ( x − 1)(9 − x) ≥ Ta có ⇒2 2≤ y≤4 y ≤ 2( x − + − x) =4 Câu 34: Chọn A Tổng số tiền thu bán x tạp chí 2,5 x + 10000 (vạn đồng) Chi phí sản suất x tạp chí T= ( x) C ( x) + 0, x (vạn đồng) Lãi thu π = −0, 0001x + 2,1x − 1000 = 2,5 x + 10000 − 0, 0001x − 0, x − 11000 = f ( x) f '( x) = −0, 0003 x + 2,1 = 0⇔ x= 10500 ⇒ Maxf ( x) =f (10500) = 10025 (vạn đồng) Câu 35: Chọn D Giả sử công ty tăng vé thêm x nghìn VNĐ số lượng khách giảm 50x người Khi doanh thu cơng ty là: T =(50 + x).(10000 − 50 x) =50(50 + x)(200 − x) (với < x < 200) 2 a+b 50 + x + 200 − x Áp dụng bất đẳng thức: ab ≤ 15625 ⇒ (50 + x)(200 − x) ≤ = Do Tmax ⇔ 50 + x= 200 − x ⇔ x= 75 nghìn VNĐ Vậy cơng ty tăng giá vé thêm 75 nghìn VNĐ Câu 36: Chọn D Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao bể cá x, 2x, y (x, y > 0) Diện tích phần lắp kính là: S = x + xy + 2.2 xy = x + xy = 6,5 ⇔ xy = ⇔ x< 6,5 − x >0 6,5 13 = 2 Thể tích bể cá là:= V 2= x3 x Ta có: V '( x)= 6,5 − x −4 x + 13 x 13 với < x < = 6 −12 x + 13 x >0 = → x= 13 ⇒ x= 12 39 13 39 13 39 Mặt khác= V (0) V = ≈ 1,5 m3 0;V = 6 Vậy Vmax ≈ 1,5m3 Câu 37: Chọn B Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao bể cá x, 2x, y (x, y >0) Diện tích phần lắp kính là: S= x + xy + 2.2 xy= x + xy= ⇔ xy= Thể tích bể cá là:= V 2= x x Ta có: V '( x)= − x2 >0⇒ x< 5 − x −2 x3 + x với < x < = −6 x + x >0 = → x= 5 30 Mặt khác = V (0) V = ≈ 1, 01m3 0, V = 27 Vậy Vmax ≈ 1, 01m3 Câu 38: Chọn A Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao bể cá x, 2x, y (x, y >0) Diện tích phần lắp kính là: S = x + xy + 2.2 xy = x + xy = 6, ⇔ xy = ⇒x< 6, − x >0 6, 6, 6, − x −2 x3 + 6, x Thể tích bể cá là:= với < x < V 2= x x = 2 Ta có: V '( x)= −6 x + 6, x >0 x= = → 6, 6, 6, Mặt khác = V (0) V= 0, V ≈ 1,57 m Vậy Vmax ≈ 1,57 m3 Câu 39: Chọn C 3 t − t + 36t − 270 với ≤ t ≤ 30 50 Xét hàm số S (t ) = Ta có: S '(t ) = t = 30 3t − 3t + 36 = ⇔ 50 t = 20 Mặt khác S (1) = −5887 , S (20) 10, S (30) = = 25 Từ suy ngày thứ 20 có số lượng hồ sơ nhiều Câu 40: Chọn A Vụ cân nặng trung bình cá là: 1500 = 1,5kg 50.20 Giả sử vụ sau bác Tôm giảm 8x con/m2 tương ứng cá trung bình tăng thêm 0,5x kg (Quy ước x > giảm, x < tăng) Khi số kg cá bác Tôm thu là: 50.(20 − x).(1,5 + 0,5 x) = 25(20 − x)(3 + x) −b − = 25(−8 x − x + 60) lớn ⇔ x = = = 2a −16 Khi cần tăng = con/m2 Vậy vụ tới bác Tôm cần phải nuôi (20 + 2).50 = 1100 Câu 41: Chọn C Chi phí xây hồ 500.000 đồng/m2 = 0,5 triệu đồng/m2 Gọi chiều rộng hình chữ nhật đáy bể x (m) suy chiều dài hình chữ nhật 2x (m) Gọi h chiều cao bể nên ta có V = S h= x h= 288 ⇒ x h= 144 ⇔ h= Diện tích bể S = 2.h.x + 2.2h.x + x = x + 6.hx = x + Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có x + Dấu = xảy x = 144 x2 144 864 x = 2x2 + x x 500 432 432 432 432 = x2 + + ≥ 3 x2 = 216 x x x x x 432 ⇔ x = ⇒ chi phí thấp th nhân cơng 216.0,5 = 108 triệu đồng x Câu 42: Chọn A Chi phí xây hồ 100.000 đồng/m2 = 0,1 triệu đồng/m2 Gọi chiều rộng hình chữ nhật đáy bể x (m) suy chiều dài hình chữ nhật 2x (m) Gọi h chiều cao bể nên ta có V = S h= x h= 500 250 250 ⇒ x h= ⇔ h= 3 3x Diện tích bể S = 2.h.x + 2.2h.x + x = x + 6.hx = x + 250 500 x = 2x2 + 3x x Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có x + Dấu = xảy x 2= 250 ⇔ x= x 500 250 250 250 250 = x2 + + ≥ 3 x2 =150 x x x x x 125 ⇒ chi phí thấp th nhân cơng 150.0,1 = 15 triệu đồng Câu 43: Chọn B Xét G ( x) đoạn [0;15] x = Ta có: G ( x) =0, 035(15 x − x3 ) ⇒ G '( x) =0, 035(30 x − x ) =0 ⇔ x = 10 Mặt khác G (0)= G (15)= 0, G (10)= 17,5 ⇒ Max G ( x= ) 17,5 ⇔ x= 10 [0;15] Câu 44: Chọn B Chi phí xây hồ 300.000 đồng/m2 = 0,3 triệu đồng/m2 Gọi chiều rộng hình chữ nhật đáy bể x (m) suy chiều dài hình chữ nhật 2x (m) Gọi h chiều cao bể nên ta có V = S h= x h= 200 ⇒ x h= 200 ⇔ h= Diện tích bể S = 2.h.x + 2.2.h.x + x = x + 6h.x = x + 100 x2 100 600 x = 2x2 + x x Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: S = 2x2 + 600 300 300 300 300 = 2x2 + + ≥ 3 2x2 = 3 3002.2 = S x x x x x Dấu = xảy x 2= 300 ⇔ x= x 150 ⇒ chi phí thấp thuê nhân công S 0,3 ≈ 50,8 triệu đồng Câu 45: Chọn B Đoạn thứ có độ dài 4a đoạn thứ có độ dài 2π r Ta có 4a + 2π r = 60 ⇒ a = 30 − π r , tổng diện tích hình vng hình trịn 2 30 − π r S =a + π r = + π r =f (r ) 2 −30π + π r + 4π r 30 30 − π r −π Ta có: f '(r ) = + r = =0⇔r= π π +4 30 a 30 − π r 30 Khi S = f (r ) đạt giá trị nhỏ ⇔ r = = : Suy = r π +4 π +4 Câu 46: Chọn C y= x − 4( x − 3) + 3 = = 4+ x −3 x −3 x −3 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x = Gọi A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) điểm thuộc nhánh (C) ta có: x1 < < x2 y1= − a Đặt x1 =3 − a, x2 =3 + b(a, b > 0) ⇒ ⇒ AB =( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) y = 4+ b 1 1 =(a + b) + + =(a + b) 1 + a b (ab) (a + b) ≥ 4ab Ta có: 9 ⇒ AB ≥ 4ab ab =24 ⇒ AB ≥ 1 + 2 ≥ 2 = ab ab ab a = b Dấu xảy ⇔ ⇔ a =b =3 ab = Câu 47: Chọn C Dựa vào BBT ta có: y=' kx( x + 1)( x − 1)= kx( x − 1)= k ( x3 − x) x4 x2 Suy y = k − + y (0) = 2 Mặt khác y (1) = ⇒ k −1 + = ⇒ k = ⇒ y = x4 − x2 + x + =−1 x =−4 Đặt g ( x) =f ( x + 3) ⇒ g '( x) =f '( x + 3) =0 ⇔ x + =0 ⇔ x =−3 x + =1 x =−2 Suy g '( x) vô nghiệm đoạn [0;2] Mặt khác g (0) = f (3) = 66, g(2) = f (5) = 578 ⇒ Min f ( x + 3) = 66 [0;2] Câu 48: Chọn B Đặt= t sin x ⇒ t ∈ [0;1] t +1 t + t + − (2t + 1)(t + 1) −t − 2t Xét hàm số= ⇒= = ≤ ( ∀t ∈ [0;1]) f (t ) f '(t ) t + t +1 (t + t + 1) (t + t + 1) 2 Mặt khác g (0) =1; f (1) = ⇒ M =1, m = ⇒ M = m 3 Câu 49: Chọn A m sin x + y= ⇔ m sin x + = y cos x + y ⇔ m sin x − y cos x =− y 1(*) cos x + Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m + y ≥ (2 y − 1) ⇔ y − y + − m ≤ (1) Ta có ∆ y = − 3(1 − m ) = 3m + ⇒ (1) ⇔ Khi giá trị lớn hàm số Yêu cầu toán ⇔ − 3m + + 3m + ≤ y≤ 3 + 3m + + 3m + < ⇔ 3m + < ⇔ m < ⇔ − < m < Kết hợp m ∈ ⇒ m ={−2; −1;0;1; 2} ⇒ có giá trị m Câu 50: Chọn D y= 2sin x + 3cos x ⇔ 2sin x + 3cos x = y cos x + y ⇔ 2sin x + (3 − y ) cos x = y (*) cos x + Phương trình (*) có nghiệm ⇔ 22 + (3 − y ) ≥ y ⇔ y + y − 13 ≤ −3 − 113 −3 + 113 −3 ≤ y≤ ⇒T = 8 Câu 51: Chọn A Xét hàm số y sin 2018 x + cos 2018 x = π π π 2018 Do sin 2018 x + + cos 2018 x + = x + cos 2018 x ⇒ Hàm số tuần hoàn với chu kỳ sin 2 2 π Ta xét hàm số y sin 2018 x + cos 2018 x đoạn 0; = 2 Ta có: y ' = 2018.sin 2017 x.cos x − 2018cos 2017 x.sin x = 2018sin x cos x(sin 2016 x − cos 2016 x) sin x = π π Khi đó: y ' = ⇔ cos x = ⇔ x = 0; ; 2 sin x = cos x 1 π π Lại có: y (0) = y = 1, y = 1009 + 1009 = 1008 2 2 4 Do = M 2,= m 2018 Câu 52: Chọn D Ta có y ' = 2+m Hàm số ln đơn điệu (đồng biến nghịch biến đoạn [0;1]) ( x + 1) 2 + m > 2−m = y (1) = Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ ⇔m= 2+m < y (0) = −m = Câu 53: Chọn B Hàm số y = mx + đơn điệu (đồng biến nghịch biến đoạn [1;3] với m ≠ −2) 2x −1 m = m + 3m + 1 Do ab =y (1) y (3) = = ⇔ (m + 1)(3m + 1) =1 ⇔ 3m + 4m =0 ⇔ m = − 5 Câu 54: Chọn A x = Xét hàm số y =x − 6mx + m ⇒ y ' =4 x3 − 12mx =0 ⇔ x = 3m Ta có: y (−2) =16 − 24m + m ; y (1) =1 − 6m + m , y (0) =m m = TH1: Với m ≤ ⇒ max y = y (−2) = m + 16 − 24m = 16 ⇔ [ − 2;1] m = 24 Kết hợp m ≤ ⇒ m = TH2: Dựa vào dạng đồ thị hàm bậc trùng phương có hệ số a = > suy với 3m > Max y = y (0) [ − 2;1] Max y= y (−2) [ − 2;1] m>0 +) Với Max y= y (0)= 16 ⇔ m= ±4 → m= ⇒ y (−2)= −64 < 16 ⇒ m= giá trị cần tìm [ − 2;1] m = m>0 +) Với Max= y y (−= m 24 ⇒ y = 2) 16 ⇔ →= (0) 576 > 16 ⇒ Loại m = 24 [ − 2;1] m 24 = Vậy= m 0,= m giá trị cần tìm Câu 55: Chọn A Xét hàm số g ( x) = Ta có: g ( x) = x + 3x + với x ∈ [0;1] x +1 x = x + 3x + + 1 =x + 2+ ⇒ g '( x) =1 − =0 ⇔ x +1 x +1 ( x + 1) x = −2(l ) 7 Khi g (0) = 3, g(1) = ⇒ Max g ( x) = , Min g ( x) = [0;1] 2 [0;1] Ta có: x + 3x + ≥ m ( ∀x ∈ [0;1]) ⇔ Min g ( x) ≥ m ⇔ m ≤ [0;1] x +1 Câu 56: Chọn C = y' + m2 > với x ∈ [0;3] ⇒ Hàm số đồng biến đoạn [0;3] ( x + 8) −m2 Khi Min y =y (0) = =−2 ⇔ m =16 ⇔ m =4 [0;3] Câu 57: Chọn D y (0) = Ta có = 33 − 27 m y (3) x = Mặt khác y ' = ⇒ y (2m) = −4m + x − 6mx = 0⇔ x = 2m 2m ∈ [0;3] 31 TH1: 33 − 27 m =2 ⇔ m = ⇒ (loại) 530 27 m) (thỏa mãn) TH2: 2m ∈ [0;3] Vậy m = giá trị cần tìm Câu 58: Chọn B Ta có: y =' x − 3= Do x ∈ [m + 1; m + 2] m > nên = y ' 3( x − 1) > 0∀x ∈ [m + 1; m + 2] Do hàm số cho đồng biến đoạn [m + 1; m + 2] Ta có: Min y < ⇔ y (m + 1) < ⇔ (m + 1)3 − 3(m + 1) + < ⇔ m3 + 3m − < [m +1; m + 2] ⇔ (m − 1)(m + 2) < ⇔ m < Câu 59: Chọn C Ta có: y=' x + > 0(∀x ∈ [0; 4]) hàm số cho đồng biến đoạn [0;1] Do Max y = y (1) = m + = ⇔ m = [0;1] Câu 60: Chọn C m( x + 1) − 36 36 y (0) = y' = m− = 36 ≠ 20 ( x + 1) ( x + 1) TH1: Phương trình y’=0 khơng có nghiệm x ∈ [0;3] (khi hàm số đồng biến nghịch biến khoảng [0;3]) Do y (0) = 36 > 20 nên bắt buộc trường hợp hàm số phải nghịch biến khoảng [0;3] Nếu y ' < (∀x ∈ [0;3]) ⇒ Min y= y (3)= 3m + 9= 20 ⇔ m= [0;3] 11 11 108 Thay m = ⇒ y ' =0 ⇔ ( x + 1) = có nghiệm x ∈ [0;3] nên loại trường hợp 11 TH2: Phương trình y’=0 có nghiệm x ∈ [0;3] Khi m > ta có: mx + 36 36 = m( x + 1) + − m ≥ 12 m − m x +1 x +1 Dấu xảy ⇔ m( x + 1)= 36 36 ⇔ ( x + 1)= x +1 m 36 Bài toán thỏa mãn 12 m − m = 20 phương trình ( x + 1) = có nghiệm x ∈ [0;3] m m 10 = = m 100 Giải 12 m − m = 20 ⇔ m − 12 m + 20 =0 ⇔ ⇔ m = m = 36 Để phương trình ( x + 1) = có nghiệm x ∈ [0;3] m = giá trị cần tìm m Câu 61: Chọn C Ta có y ' = 4+m Hàm số ln đơn điệu (đồng biến nghịch biến đoạn [0;3]) ( x + 4) 4 + m > y (0) = −m = −2 Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ ⇔m= m + < 3− m = −2 y (3) = Câu 62: Chọn B y=' x + m + > (∀x ∈ [0;1]) nên hàm số đồng biến đoạn [0;1] Khi Max y =y (1) =1 + m + − m + =m − m + =9 ⇔ m − m − =0 ⇒ m1 + m2 =1 [0;1] Câu 63: Chọn D y' = m3 − Hàm số đơn điệu (đồng biến nghịch biến đoạn [-2;3]) ( x + m2 )2 m3 − > m > m + = y (3) = 5m + 15= 18m + 3+ m Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ ⇔ m > ⇔m= m − < m= ± y (0) = = m2 Câu 64: Chọn C Đặt = t x − x + 3= ) ( x − 1) + ⇒ t ∈ 2; +∞ , x − x= t − Khi xét hàm số f (t ) = 4t − t + với t ∈ 2; +∞ Ta có: f (t ) =−(t − 2) + ≤ với t ∈ 2; +∞ ) ) Do f ( x) =M ⇔ f (t ) =7 ⇔ t =2 ⇔ x − x =1 ⇔ x − x − =0 ⇔ x1 x2 =−1 Câu 65: Chọn D Xét hàm số f ( x) = x − x + m [-1;2], f '( x) = x − 2; f '( x) = ⇔ x = { m + ; m − 1} Tính f (−= 1) m + 3; f = (1) m − 1; f (2) y = m → max= [ −1;2] m + = TH1: Với max = → ⇔= y m + m [ −1;2] m + ≥ m − m − = TH2: Với max y= m − → ⇔ m= −4 [ −1;2] m + ≤ m − Vậy m = 2; m = −4 hai giá trị cần tìm Câu 66: Chọn B Xét hàm số f ( x) = x + x + m − [-2;1], f '( x) = x + 2; f '( x) = 0⇔ x= −1 Tính f (−= 2) m − 4; f (−= 1) m − 5; f = (1) m − y → max= [ −1;2] { m − ; m − 1} m − = TH1: Với max = → ⇔= y m − m [ − 2;1] m − ≥ m − m − = TH2: Với max = y m − → ⇔= m [ − 2;1] m − ≤ m − Vậy = m 1;= m hai giá trị cần tìm Câu 67: Chọn A Xét hàm số f ( x) =x − x + m [0;3], có f '( x) = x3 − 16 x; f '( x) = ⇔ x = Tính f (0)= −m; f (2)= −16 − m; f (2)= −9 − m → max y= [0;3] { m= 16 ; m } m + 16 = 14 TH1: Với max y= m + 16 → ⇔ m= −2 [0;3] m + 16 ≥ m 14 m = TH2: Với max y= m → ⇔ m= −14 [0;3] m + 16 ≤ m Vậy m = −2; m = −14 hai giá trị cần tìm Câu 68: Chọn B Xét hàm số f ( x) = x3 − x − x + m [ − 2; 4] , có f '( x) = x − x − 9; f '( x) = ⇔ x = Tính f (−= 2) m − 2; f (2) = m − 27; f (2) = m − 20 → max= y [0;3] 16 m − 27 = TH1: Với max y m − 27 m 11 = → ⇔= [-2;4] m − 27 ≥ m − { m − 27 ; m − } 16 m − = TH2: Với max = y m − → ⇔= m 18 [-2;4] m − 27 ≤ m − Vậy= m 11, = m 18 hai giá trị cần tìm Câu 69: Chọn C x + mx + m x2 + 2x Xét hàm số f ( x) = [1;2], có = f '( x) > 0; ∀x ≠ −1 x +1 ( x + 1) Tính = f (1) 2m + 3m + 2m + 3m + ; f (2) ; = → max y [1;2] 3 TH1: Với max y= [1;2] 2m + =2 2m + → ⇔ m= − 2 2m + ≥ 3m + 3m + =2 3m + TH2: Với = → = ⇔m max y [1;2] 3 2m + ≤ 3m + Vậy m = giá trị cần tìm − ;m = Câu 70: Chọn A Xét hàm số f ( x) = f '( x) =x3 − 19 x + 30 19 x − x + 30 x + m [0;2], có f '( x) = ⇔ x = Tính f (0) =m; f (2) =m + 26 ⇒ max y =max { m ; m + 26 } [0;2] [0;2] m ≤ 20 • Với max y =m ⇒ → m =− { 20; −19; −18; ; −13} [0;2] m ≥ m + 26 m + 26 ≤ 20 • Với max = y m + 26 ⇒ →m = [0;2] m ≤ m + 26 {−13; −12; −11; ; −6} Vậy tổng tất giá trị nguyên m – 210 Câu 71: Chọn D Xét hàm số u ( x) =x − x + x [0;2], có u '( x) =4 x − 12 x + x Phương trình u '( x) = ⇔ x = {0;1; 2} Khi u (0)= u (2)= a; u (1)= a + Suy max = f ( x) [0;2] f ( x) { a ; a + } { a ; a + 1} = [0;2] min f ( x) = M = [0;2] TH1:Với a = 0, ta thấy (không TMĐK) ⇒ f ( x) = m = max [0;2] min f ( x) = a [0;2] TH2: Với a > 0, ta thấy mà M ≤ 2m ⇒ a + ≤ a ⇔ a ≥ f ( x)= a + max [0;2] → a= Kết hợp điều kiện a ∈ [−3;3] a ∈ {1; 2;3} min f ( x) = a +1 [0;2] TH3: Với a < , ta có mà M ≤ 2m ⇒ a ≤ a + ⇔ a ≤ −2 f ( x) = a max [0;2] →= a Kết hợp điều kiện a ∈ [−3;3] a ∈ {−3; −2} Vậy có giá trị nguyên a Câu 72: Chọn D 1 + sin x + cos x Ta có tan x + cot x = nên y = sin x + cos x + sin x cos x sin x.cos x t −1 π sin x + ∈ − 2; nên sin x.cos x = 4 Đặt= t sin x + cos= x Do = y t+ 2(1 + t ) = t+ → = y 2 −1 [− ; ] t −1 t −1 Câu 73: Chọn C g ( x) = x + ax + b Xét ⇒ k ( x) = g ( x) − h( x) = (a + 8) x + b − h( x) = x − x + Theo giả thiết, ta có max g ( x) = ⇒ g ( x) ≤ 1, ∀x ∈ [−1;1] ⇒ g ( x) ∈ [−1;1] [ −1;1] Khi k (−1) ≤ 0, k − ≥ 0, k (0) ≤ 0, k ≥ k (1) ≤ 2 2 Suy k ( x) = có nghiệm đoạn [-1;1] mà k(x) đa thức bậc ⇒ k ( x) ≡ Vậy a = −8, b = Câu 74: Chọn B Ta có ( x −1 + − x ) = + ( x − 1)(3 − x) ≥ ⇒ x − + − x ≥ x − + − x ≤ 2( x − + − x) =2 → t= x − + − x ∈ 2; → g (t )= t − − 2t= (t − 1) − ≥ −3 ⇒ m= −3 g (t ) =t (t − 2) − ≤ −2 ⇒ M =−2 ⇒ S =−5 Câu 75: Chọn A Ta có S = x (2 − x) − x(2 − x) = ( x − x) + 4( x − x) = f ( x), x ∈ [0; 2] f '( x) = 2( x − x)(2 x − 2) + 4(2 x − 2) = ⇒ x = → f (0)= 0; f (2)= 0; f (1)= −3 ⇒ S= −3 Câu 76: Chọn D 17 x y 17 25 P = (2 x + y ) + + + ≥ +2= ⇒ P≥5 = 4 x 4y 2y x Câu 77: Chọn A = A − x2 −2 x( x + 2) − (1 − x ) = f ( x), x ∈ [−1;1] ⇒ f = '( x) = x+2 ( x + 2) ⇒= x ⇒ − x − x −= − 1) f (1) 2) − → f (−= = 0; f ( − = Câu 78: Chọn A f ( x) ≤ x + (1 − x= ) →m ≥ Câu 79: Chọn C Ta có x + y > ( x + y ) 2= 4( x + y ) + ( x − 3)(y + 3) ≥ 4( x + y ) ⇒ x + y ≥ x + y ≤ 2( x − + y += 3) 2( x + y ) ⇒ x + y ≤ ( x + 3)(y + 3) ≥ ⇔ xy ≥ −3( x + y ) − ⇒ P =4( x + y ) + xy ≥ 4t − 21t − 63 =f (t ); t =x + y ∈ [4;8] ⇒ Pmin =f (7) =−83 Câu 80: Chọn D Đặt = t x + − x ≤ 2( x + − x 2= ) t −1+ t + =t + = f (t ); t ∈ 1; t = + x (1 − x ) ≥ ⇒ t ≥ ⇒ m ≤ t +1 t +1 2 ⇒ f '(t ) =1 − > 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇒ f (t ) ≤ f ( 2) =−1 + 2 ⇒ a =2, b =−1 (t + 1) Câu 81: Chọn A Ta có 11 − x = − y 102(2 x + y ) −1 = → t x + y ⇒ 102t −1= + t 11 Hàm đồng biến ⇒ t = ⇒ y = − x ⇒ P = 16 x (1 − x) − x(3 − x + 2) + x − + 1 1 ⇒ P =−32 x + 28 x − x + =f ( x); x ∈ 0; ⇒ f '( x) =−96 x + 56 x − ⇒ x = ; x = 2 1 88 13 → f= (0) 4; f = ; f = ⇒= M 4; = m 3; f = 2 27 Câu 82: Chọn C P ( x − y)2 (t − 1) Ta có = = = f (t ) x + xy + y t + 2t + ⇒ f '(t ) 2(t − 1)(t + 2t + 3) − (t − 1) (2t + 2) = (t + 2t + 3) → t + 2t + = (t − 1)(t + 1) = t −1 ⇒ t = −2 ⇒ Pmax = f (−2) = 12 Câu 83: Chọn B Ta có x + y = xy ≥ 2 xy ⇒ xy ≥ ⇒ x + y ≥ →P ≥ ( x + y)2 ( x + y)2 82 32 = = ≥ (1 + y ) + (1 + x) x + y + + Câu 84: Chọn C 2 a b a b 1 1 + + = (a + b) 1 + = a + b + + ≥ 2(a + b) + = 2 + + a b b a b a ab a b Đặt= t a b + ⇒ t ≥ →= P 4(t − 3t ) − 9(t −= 2) 4t − 9t − 12t += 18 f (t ) b a f '(t ) =12t − 18t − 12 =0 > 0, ∀ t > 23 5 ⇒ f (t ) ≥ f =− 2