Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 172 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
172
Dung lượng
3,48 MB
Nội dung
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định miền D f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ D M ∃ x0 ∈ D, f ( x0 ) = • Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x ) D nếu: Kí hiệu: M = max f ( x ) M = max f ( x ) x∈D D f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D m ∃ x0 ∈ D, f ( x0 ) = • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) D nếu: Kí hiệu: m = f ( x ) m = f ( x ) x∈D D Định lý Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm liên tục đoạn Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm f đoạn [ a; b ] ta làm sau: Tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn thuộc ( a; b ) cho hàm số f có đạo hàm khơng xác định Tính f ( x1 ) ; f ( x2 ) ; ; f ( xn ) ; f ( a ) ; f ( b ) So sánh giá trị tìm Số lớn giá trị giá trị lớn hàm f đoạn [ a; b ] , số nhỏ giá trị giá trị nhỏ hàm f đoạn [ a; b ] * Nếu: max f ( x ) = f ( b ) [ a ;b ] 1) y ' > 0, ∀x ∈ [ a; b ] ⇒ f ( x) = f (a) min [ a ;b ] max f ( x ) = f ( a ) [ a ;b ] 2) y ' < 0, ∀x ∈ [ a; b ] ⇒ f ( x ) = f (b) min [ a ;b ] Chú ý Page 126 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Quy tắc sử dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn Đối với tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng (nửa khoảng) ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên hàm f dựa vào nội dung bảng biến thiên để suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm f khoảng (nửa khoảng) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng (nửa khoảng) khơng tồn * Với toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện ẩn phụ II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ −3; 2] có bảng biến thiên hình Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) [ −1; 2] Giá trị M + m ? Câu a) Tìm GTLN, GTNN hàm số y =x −x b) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = + x − đoạn 1; + 3x + đoạn [ −1; 2] − x2 − 3 Câu Tìm giá trị lớn hàm số f ( x ) = đoạn ; x 2 Câu Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x − x + đoạn [ 0; 2] Câu Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x2 − 2x + x−2 3; + 2 Tính M − m Câu Kí hiệu m M giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = đoạn [ 0;3] Tính giá trị tỉ số x2 + x + x +1 M m − x2 − Câu Gọi giá trị lớn hàm số, giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = đoạn x 3 ; M , m Tìm M − 3m Page 127 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ −2;3] có đồ thị hình vẽ Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số đoạn [ −2;3] Giá trị 2m − 3M bao nhiêu? Câu Cho hàm số f ( x) liên tục [ −1;5] có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số cho [ −1;5] Giá trị M − m bao nhiêu? Page 128 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 10 Cho hàm số f x liên tục [ −1;3] có đồ thị hình vẽ bên Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) [ −1;3] Tính M − m Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ −2;6] có đồ thị hình vẽ Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x ) đoạn [ −2;6] Giá trị M + 3m Câu 12 Cho hàm số y = − x + x + 21 − − x + x + 10 , gọi y0 GTNN hàm số cho, đạt điểm x0 Tính 6x0 + y04 Câu 13 Cho hàm số y = f ( x) liên tục có đồ thị hình dưới: Tìm GTLN, GTNN hàm= số y f ( x) + đoạn [ 0; 2] Câu 14 Cho hàm số y = f ( x) liên tục có đồ thị hình dưới: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = − f ( x) đoạn [ −2;1] Page 129 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 2: TÌM MAX- MIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x − 4sin x + Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu biến thiên sau: Giá trị lớn hàm số f ( sin x − 1) bao nhiêu? Câu Cho hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Gọi M vàm giá trị lớn nhỏ hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 + 2) Giá trị 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tìm giá trị lớn hàm số= y f ( − x ) đoạn 0; Page 130 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu Cho hàm số f ( x) liên tục [ −1;5] có đồ thị hình vẽ bên Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y= f ( x − x + ) [ 0; 2] Câu Cho hàm số y f x liên tục tập có bảng biến thiên sau Gọi M ; m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x x 7 2 đoạn ; Tìm tổng M m Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ: Xét hàm số g = ( x ) f ( x3 + x − 1) + m Tìm m để max g ( x ) = −10 [0;1] DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ CHỨA THAM SỐ − x3 − x + m Câu Tìm tất giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số y = đoạn [ −1;1] Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = [ −4; −2] x − m2 đạt giá trị lớn x +1 Page 131 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu Tính tổng tất giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm số y = ( x3 − x + m ) đoạn [ −1;1] Câu Tìm tất tham số m đểGTNN hàm số y = x − x + m + Câu Tìm tất giá trị m để GTNN hàm số y = x − x + m + − x −5 Câu Gọi S tập tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f ( x ) = x3 − x + m đoạn [ 0;3] 16 Tổng tất phần tử S Câu 7: Gọi tập S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số Câu 8: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = x + x + m thỏa mãn y = x − x + m đoạn [ 0; 2] Số phần tử S y = Tổng tất phần tử S [ −2; 2] Câu 9: Gọi M giá trị lớn hàm số f ( x ) = x − x3 − 12 x + m đoạn [ −1;3] Có số thực m để M = 59 ? Câu 10: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = x − m2 − m thỏa max y = [1;2] x+2 Tích phần tử S Câu 11: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y= x + mx + m [1; 2] Số phần tử S x +1 Câu 12: Xét hàm số f ( x ) = x + ax + b , với a , b tham số Gọi M giá trị lớn hàm số [ −1;3] Khi M nhận giá trị nhỏ tính T= a + 2b Câu 13: Cho hàm số y = x3 − x + m (với m tham số thực) Hỏi max y có giá trị nhỏ [1;2] Câu 14: Cho hàm số f ( x ) = x + ax + b , a , b tham số thực Tìm mối liên hệ a b để giá trị lớn hàm số f ( x ) đoạn [ −1;1] Câu 15: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x + a Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cho đoạn [ 0; 2] Có số nguyên a thuộc đoạn [ −3;3] cho M ≤ 2m ? Câu 16: Cho hàm số y = x + ax + a Gọi M , x +1 m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [1;2] Có số nguyên Câu 17: Cho hàm số y = x − x − a cho M ≥ 2m ? ( x + 1)( − x ) + m Có tất giá trị thực tham số m để max y = ? Page 132 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ( x + 1)( − x ) + m Khi giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ Câu 18: Cho hàm số y = x − x − Mệnh đề sau đúng? Câu 19: Gọi S tập hợp tất số nguyên m để hàm số y = 19 x − x + 30 x + m có giá trị lớn đoạn [ 0; 2] không vượt 20 Tổng phần tử S Câu 20: Cho hàm số y = x − x + m Có số nguyên m để f ( x ) ≤ ? [ −1;3] Câu 21: Cho hàm số f ( x) = ax + bx + c, f ( x) ≤ 1, ∀x ∈ [0;1] Tìm giá trị lớn f ′(0) Câu 22: Cho hàm số y = x − x3 + x + a Có số thực a để y + max y = 10 ? [ −1; 2] [ −1; 2] DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TỐN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH f ( x , m ) = CÓ NGHIỆM (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN ) I Phương pháp: Bước Tìm điều kiện xác định phương trình cho Bước Đặt t = u ( x ) x = u ( t ) Tìm tập giá trị K t Chuyển tốn về: tìm điều kiện m để phương trình g ( t ) = h ( m ) có nghiệm thuộc K Bước Tìm GTLN, GTNN g ( t ) tập giá trị g ( t ) K để suy điều kiện Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp: ax + b ± cx + d PP: Đặt Xuất biểu thức đối xứng Xuất PP: Vì ( ax + b )( cx + d ) ( a + bx =t ax + b + cx + d a + bx c − bx ( a + c > ) ) ( + c − bx ) π a + bx = a + c sin α =+ a c Nên đặt , α ∈ 0; 2 c − bx = a + c cos α α tan sin α = α + tan Và sử dụng hệ thức , tiếp tục đặt t = tan α , t ∈ [ 0;1] α − tan cos α = 2α + tan Ta phương trình ẩn t Câu Tìm giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm: − x + 2 ( x − 1)( − x ) = m + x − + 4 − x Câu Tìm giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm: ( 2m − 1) x + + ( m − ) − x + m − =0 Page 133 m CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TỐN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI MỌI x ∈ K (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN) I Phương pháp Tìm điều kiện tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm nghiệm với x ∈ [ a; b ] m > f ( x ) ∀x ∈ [ a; b ] ⇔ m > max f ( x ) [ a ;b ] m ≥ f ( x ) ∀x ∈ [ a; b ] ⇔ m ≥ max f ( x ) [ a ;b ] m < f ( x ) ∀x ∈ [ a; b ] ⇔ m < f ( x ) [ a ;b ] m ≤ f ( x ) ∀x ∈ [ a; b ] ⇔ m ≤ f ( x ) [ a ;b ] m > f ( x ) có nghiệm x ∈ [ a; b ] ⇔ m > f ( x ) [ a ;b ] m ≥ f ( x ) có nghiệm x ∈ [ a; b ] ⇔ m ≥ f ( x ) m < f ( x ) có nghiệm x ∈ [ a; b ] ⇔ m < max f ( x ) m ≤ f ( x ) có nghiệm x ∈ [ a; b ] ⇔ m ≤ max f ( x ) [ a ;b ] [ a ;b ] [ a ;b ] Tìm điều kiện tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm nghiệm với x ∈ ( a; b ) MẸO NHỚ Nếu hàm có max biên khơng tồn thì: Loại ∀ ln có dấu =, loại có nghiệm ln bỏ dấu = Nếu hàm có max tồn có dấu giữ ngun m > f ( x ) ∀x ∈ ( a; b ) → m ≥ f (b) m > max → m > f ( d ) m ≥ f ( x ) ∀x ∈ ( a; b ) → m ≥ f (b) m ≥ max → m ≥ f ( d ) m < f ( x ) ∀x ∈ ( a; b ) → m ≤ f (a) m < → m < f ( c ) m ≤ f ( x ) ∀x ∈ ( a; b ) → m ≤ f (a) m ≤ → m ≤ f ( c ) m > f ( x ) có nghiệm → m > f (a) m > → m > f ( c ) m ≥ f ( x ) có nghiệm → m > f (a) m ≥ → m ≥ f ( c ) m < f ( x ) có nghiệm → m < f (b) m < max → m < f ( d ) m ≤ f ( x ) có nghiệm → m < f (b) m ≤ max → m ≤ f ( d ) Page 134 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình x + ( + x )( − x ) ≤ x + m − nghiệm với x ∈ [ −2;8] Câu Cho phương trình + x − x − x ≤ m ( ) x + + − x Tìm m để bất phương trình cho có nghiệm thực? Câu Tìm m để bất phương trình x + − x ≥ − x + x + m (1) có nghiệm Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Tìm m cho bất phương trình f ( 2sin x ) − 2sin x < m với x ∈ ( 0; π ) ? DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ: I Phương pháp: Đưa yêu cầu toán mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước Chú ý: Ta sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức Một số bất đẳng thức thường dùng Bất đẳng thức AM − GM : a+b • Cho hai số thực a , b ≥ ta có: ≥ ab hay a + b ≥ ab Dấu '' = '' xãy a = b a+b+c • Cho ba số thực a , b , c ≥ ta có: ≥ abc hay a + b + c ≥ 3 abc Dấu '' = '' xãy a= b= c Bất đẳng thức Bunhiacopxki : • Cho hai số thực ( a ; b ) , ( x ; y ) ta có: ax + by ≤ (a + b )( x + y ) Dấu '' = '' xãy ay = bx • Cho hai số thực ( a ; b ; c ) , ( x ; y ; z ) ta có: ax + by + cz ≤ (a + b + c )( x + y + z ) Dấu '' = '' xãy a : b : c = x : y : z Page 135 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Xét hàm số f ( x ) = ( a − x ) 2ax − a2 f ′( x) = −2ax + a + a − ax 2a − 3ax 1 a + (a − x) − 2ax − a = = 2 2 2ax − a 2x2 − a2 2x − a f ′( x) = ⇔ x = 2a 2a Vậy diện tích lớn tam giác ABC= S f= 18 a Câu 39: Một loại thuốc dùng cho bệnh nhân nồng độ thuốc máu bệnh nhân giám sát bác sĩ Biết nồng độ thuốc máu bệnh nhân sau tiêm vào thể t t cho công thức c ( t ) = ( mg / L ) Sau tiêm thuốc nồng t +1 độ thuốc máu bệnh nhân cao nhất? A B C D Lời giải Xét hàm số c ( t ) = c′ ( t ) = 1− t2 ( t + 1) t , (t > 0) t +1 t = c′ ( t )= ⇔ t = −1 Với t = nồng độ thuốc máu bênh nhân cao Câu 40: Cho nhôm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x , gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn Page 31 CHUN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A x = B x = C x = D x = Lời giải Chọn B Ta có : h = x ( cm ) đường cao hình hộp Vì nhơm gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy hình hộp là: 12 − 2x ( cm ) S Vậy diện tích đáy hình hộp = (12 − x ) x>0 x>0 ( cm ) Ta có: 12 − x > ⇔ x < ⇔ x ∈ ( 0;6 ) Thể tích hình hộp là: V = S h = x (12 − x ) y x (12 − x ) ∀x ∈ ( 0;6 ) Xét hàm số:= Ta có : y ' = (12 − x ) − x (12 − x ) = (12 − x )(12 − x ) ; y ' = ⇔ (12 − x ) (12 − x ) = ⇔ x = x = Suy với x = thể tích hộp lớn giá trị lớn y ( ) = 128 Câu 41: Một sợi dây có chiều dài 28m cắt thành hai đoạn để làm thành hình vng hình trịn Tính chiều dài đoạn dây làm thành hình vng cắt cho tổng diện tích hình vng hình tròn nhỏ nhất? 56 112 84 92 A B C D 4+π 4+π 4+π 4+π Lời giải Gọi chiều dài đoạn dây làm thành hình vng x ( m ) => chiều dài đoạn dây làm thành hình trịn 28 − x ( m ) x2 x +) Diện tích hình vng là: = 16 28 − x +) Bán kính hình trịn là: R = 2π Page 32 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 784 − 56 x + x 28 − x => Diện tích hình= trịn: π R π= 4π 2π x 784 − 56 x + x π + 14 196 + = x − x+ π π 16 4π 16π 196 π + 14 f ( x) Xét = Nhận thấy f ( x) đạt giá trị nhỏ x − x+ π π 16π 112 −b 14 16π = x = = π (π + ) π + 2a +) Tổng diện tích hai hình: Vậy chiều dài đoạn dây làm thành hình vng để tổng diện tích hai hình đạt giá trị nhỏ 112 m 4+π Câu 42: Cho nhôm hình chữ nhật có chiều dài 10cm chiều rộng 8cm Người ta cắt bỏ bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x ( cm ) , gập nhôm lại để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x = − 21 B x = 10 − C x = + 21 D x = − 21 Lời giải Chọn D Ta có : h = x ( cm ) đường cao hình hộp Vì nhơm gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy hình hộp là: 10 − 2x ( cm ) − 2x ( cm ) x > x > Vậy diện tích đáy hình hộp S = ⇔ x ∈ ( 0; ) (10 − x )(8 − x ) cm Ta có: 10 − x > ⇔ x < 8 − x > ( ) Thể tích hình hộp là: = h x (10 − x ) ( − x ) V S= Xét hàm số:= y x (10 − x ) ( − x ) ∀x ∈ ( 0; ) Ta có : y ' = 12 x − 72 x + 80 ; Page 33 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ + 21 = > (l ) x y =' ⇔ − 21 (n) x = − 21 thể tích hộp lớn giá trị lớn Suy với x = Ông A dự định sử dụng hết m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật Câu 43: không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng Bể cá có dung tích lớn ? A 1, 01 m3 B 0,96 m3 C 1,33 m3 D 1,51 m3 Lời giải Chọn A A' D' B' C' y x A 2x D C B Gọi x, y chiều rộng chiều cao bể cá Ta tích bể cá V = x y ⇔ xy + x = Theo đề ta có: xy + 2.2 xy + x = − 2x2 ⇔ y= 6x − x x − x3 − 6x2 = ⇒ V 2x2 = ⇒V′ = ⇒ V ′ = ⇔ − 6x2 = ⇔ x = 6x ⇒ Vmax = 30 ≈ 1, 01 m3 27 Page 34 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 44: Một người nơng dân có 15.000.000 đồng muốn làm hàng rào hình chữ E dọc theo sông để làm khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng chi phí ngun vật liệu 60.000 đồng mét, cịn ba mặt hàng rào song song chi phí nguyên vật liệu 50.000 đồng mét Tìm diện tích lớn đất rào thu A 3125 m C 1250 m B 50 m Chọn D Gọi x chiều dài mặt hàng rào hình chữ E D 6250 m Lời giải Gọi y chiều dài mặt hàng rào hình chữ E song song với bờ sông ( y > ) .60000 15.000.000 = ⇔y Số tiền phải làm là: x.3.50000 + y= S x= y x Diện tích đất: = 500 − x 500 − x = 250 x − x 2 S ' 250 − x Ta có: = S ' = ⇔ 250 − x ⇔ x = 50 Bảng biến thiên: x 50 S' + S +∞ 6250 -∞ Vậy: max S = 6250 (m ) x = 50 ( 0;+∞ ) Câu 45: Ông Khoa muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 288m Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu ông Khoa biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân công thấp Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp để xây dựng bể ? A 90 triệu đồng B 168 triệu đồng C 54 triệu đồng D 108 triệu đồng Lời giải Chọn D Theo ta có để chi phí th nhân cơng thấp ta phải xây dựng bể cho tổng diện tích xung quanh diện tích đáy nhỏ Gọi ba kích thước bể a , 2a , c ( a ( m ) > 0, c ( m ) > ) Page 35 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ta có diện tích cách mặt cần xây S = 2a + 4ac + 2ac = 2a + 6ac 144 V a.2= a.c 2= a c 288 ⇒ c = Thể tích bể= a Suy S = 2a + 6a 144 864 432 432 432 432 = 2a + = 2a + + ≥ 3 2a = 216 a a a a a a Vậy S = 216 m , chi phí thấp 216.500000 = 108 triệu đồng Một người nơng dân có lưới thép B40, dài 12 ( m ) muốn rào mảnh vườn Câu 46: dọc bờ sơng có dạng hình thang cân ABCD hình vẽ Hỏi ơng ta rào mảnh vườn có diện tích lớn m ? B A C D A 100 B 106 C 108 D 120 Lời giải Chọn C Kẻ đường cao BH , gọi số đo góc đáy CD hình thang x, x ∈ ( 0°;90° ) Diện tích mảnh vườn là: = S 1 BH ( AB + CD = x) AB ( 2sin x + sin x ) ) BC.sin x ( AB + BC.cos= 2 ( ) Xét hàm số = f ( x ) 2sin x + sin x với x ∈ 00 ;900 có = f ′ ( x ) cos x + cos x cos x = Ta có: f ′ ( x ) = ⇔ cos x + cos x = ⇔ cos x + cos x − = ⇔ cos x = −1 ( ) Do x ∈ 00 ;900 nên ta nhận cos x = ⇔ x = 600 Ta có bảng biến thiên: Page 36 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ f ( x) ≤ Từ bảng biến thiên ta thấy: max 0 ( ;90 ) 3 đạt x = 600 ( ) = D = 600 ⇒ max S = 108 ( m ) góc đáy CD hình thang 600 C Câu 47: Cho nửa đường trịn đường kính AB = hai điểm C , D thay đổi nửa đường trịn cho ABCD hình thang Diện tích lớn hình thang ABCD A B 3 C D 3 Lời giải Chọn B Gọi H hình chiếu vng góc D lên AB , I trung điểm đoạn CD O trung điểm AB Đặt DH = x , < x < Ta có DC =2 DI =2OH =2 OD − DH =2 − x Diện tích hình thang ABCD S = f ( x ) = Ta có f ′ ( x ) = Đặt = t − x2 + − 2x2 1− x ( AB + CD ) DH ( ) = + − x2 x f ′ ( x ) = ⇔ − x2 + − 2x2 = t = −1 − x , phương trình trở thành 2t + t − = ⇔ t = t = −1 loại t = 3 ta có − x = ⇔ x = ⇔ x = ± 2 Bảng biến thiên Page 37 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Vậy diện tích lớn hình thang ABCD Câu 48: 3 Một người đàn ông muốn chèo thuyền vị trí A tới điểm B phía hạ lưu bờ đối diện, nhanh tốt, bờ sơng thẳng rộng km Anh chèo thuyền trực tiếp qua sơng để đến C sau chạy đến B , hay chèo trực tiếp đến B , chèo thuyền đến điểm D C B sau chạy đến B Biết anh chèo thuyền km/ h , chạy km/ h quãng đường BC = km Biết tốc độ dịng nước khơng đáng kể so với tốc độ chèo thuyền người đàn ơng Tính khoảng thời gian ngắn để người đàn ông đến B A B C 73 D + Lời giải Cách 1: Anh chèo thuyền trực tiếp qua sơng để đến C sau chạy đến B Thời gian chèo thuyền quãng đường AC : Thời gian chạy quãng đường CB : = 0,5 =1 Tổng thời gian di chuyển từ A đến B 1,5 Cách 2: chèo trực tiếp quãng đường AB = 32 + 82 = 73 73 h ≈ 26′ Cách 3: Page 38 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Gọi x ( km ) độ dài quãng đường BD ; − x ( km ) độ dài quãng đường CD Thời gian chèo thuyền quãng đường AD = Thời gian chạy quãng đường DB là: x + là: 8− x Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là= f ( x) x2 + − x + x2 + − x khoảng ( 0; ) + Xét hàm số= f ( x) f ′( x) = Ta có x2 + 9 − ; f ′ ( x ) = ⇔ x2 + = 4x ⇔ x = x2 + x Bảng biến thiên Dựa vào BBT ta thấy thời gian ngắn để di chuyển từ A đến B + Vậy khoảng thời gian ngắn để người đàn ông đến B + h ≈ 20′ h ≈ 20′ DẠNG DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC Câu 49: Biết giá trị lớn biểu Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ , x + y + z = thức P = xyz A a a với a, b ∈ * phân số tối giản Giá trị 2a + b b b B 43 C D Lời giải Page 39 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn D 2 x+ y 2− z Ta có: P = xyz ≤ z = z = ( z − z + z ) 2 z − z + z ) [1; 2] Xét hàm số f ( z )= ( z = (loai ) Ta có: f ′ ( z ) = ( − z + z ) ; f ′ ( z ) =0 ⇔ z = Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có: P ≤ Vậy Pmax z = 1 = ⇒ a = 1; b = ⇒ 2a + b = x= y= 2 Giá trị nhỏ P = x + xy + y bằng: Cho x − xy + y = Câu 50: A B C D Lời giải Chọn A P x + xy + y x + xy + y Xét = = 2 x − xy + y 2 = x= suy P = +nếu y = x = Do P +nếu y ≠ ta chia tử mẫu cho y ta x x 1+ + 2 P x + xy + y y y = = 2 2 x − xy + y x x 1− + y y Đặt t = P 1+ t + t2 x , = 1− t + t2 y 1+ t + t2 ⇒ f ' ( t )= Xét f ( t )= 1− t + t2 −2t + (1 − t + t ) 2 t = f ' ( t )= ⇔ t = −1 Bảng biến thiên Page 40 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Khi Câu 51: P = P = 3 Cho x , y số thực thỏa mãn x + y= x − + y + Gọi M , m giá trị lớn nhỏ P = x + y + ( x + 1)( y + 1) + − x − y Tính giá trị M + m A 42 B 41 C 43 D 44 Lời giải Chọn C ( ( x + y )= ) x −1 + y +1 ≤ 3( x + y ) ⇔ ≤ x + y ≤ P = x + y + ( x + 1)( y + 1) + − x − y = Đặt t = ( x + y) + 2( x + y) + + − ( x + y) − ( x + y ) , t ∈ [1; 2] Ta có: f ( t ) = ( − t ) + ( − t ) + + 8t = t − 10t + 8t + 26 f ′ ( t ) = 4t − 20t + t= ∈ [1; 2] t = f ′ ( t ) =0 ⇔ ⇔ t =−1 + ∈ [1; 2] t + 2t − =0 t =−1 − ∈ [1; 2] = f (1) 25; = f ( ) 18 m f= M max f= Suy ra= ( t ) f= (1) 25 ( t ) f= ( ) 18;= [1;2] [1;2] Vậy M + m = 43 Câu 52: + Cho x , y > thỏa mãn x + y = biểu thức P= đạt giá trị nhỏ Tính x + y x 4y A 153 100 B C 2313 1156 D 25 16 Page 41 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn A 3 Từ x + y = suy y= − x Ta có: < x, y < 2 4 + Xét hàm P ( x )= khoảng = + x x − 4x 4 − x 2 −4 P′ ( x ) = − 2− x ( − x )2 P′ ( x ) = ⇔ (6 − 4x) 3 0; , ta có: 2 x= x= − x 2 ⇔ x = − x = ⇔ ⇔ ( ) = x2 x 4x − x = 3 Bảng biến thiên P ( x ) 0; : 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy P ( x ) = 3 0; 2 25 x = 6 y = 10 25 Như P = x = , y = 10 153 Khi đó, x + y = 100 Với x = Câu 53: + Cho x, y > x + y = cho biểu thức P= đạt giá trị nhỏ Khi x 4y 25 A x + y = 32 Từ x + y = 17 25 B x + y = C x + y = 16 16 Lời giải 13 D x + y = 16 5 ⇒ y = − x , nên P= + 4 x − 4x Xét hàm số P= + với < x < x − 4x 4 P′ = − 2+ ; P′ =0 ⇔ x =( − x ) x (5 − 4x ) 5 x = ∈ 0; ⇔ 5 ∉ 0; x= 4 Page 42 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bảng biến thiên Như vậy: P = x = ; y = 17 Khi x + y = 16 Câu 54: xy + yz + zx = Giá trị nhỏ Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 1 biểu thức x3 + y + z + + bằng: x y z A 20 B 25 ( ) D 35 C 15 Lời giải x + y = − z x + y + z = ⇔ Ta có: xy =5 − z ( x + y ) =5 − z + z xy + yz + zx = ( ) Lại có: ( x + y ) ≥ xy ⇒ ( − z ) ≥ − z + z ⇒ 2 ≤ z ≤ Dấu " = " xảy x = y 3 Và ( x + y + z ) = x3 + y + z + ( x + y + z )( x + y ) z + xy ( x + y ) ( ) ⇒ x3 + y + z = 43 − 12 ( x + y ) z − xy ( x + y ) =64 − ( − z ) + z Ta có: P = (x 1 1 + y + z + + = z − 12 z + 15 z + z − z + 5z x y z ) Đặt t =z − z + z , với ( ) 50 ≤ z ≤2⇒ ≤ t ≤ 27 50 Do xét hàm số f = ( t ) + , với ≤ t ≤ 27 t t) Ta có f ′ (= −20 50 < 0, ∀t ∈ ; nên hàm số f ( t ) liên tục nghịch biến t 27 Do = Pmin f= ( ) 25 đạt x= y= , z = Câu 55: ( ) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y + xy = ( x + y )( xy + ) Giá trị nhỏ x3 y x y biểu thức P = + − + x y x y Page 43 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A − 25 B C − 23 D −13 Lời giải ( ) Ta có x + y + xy = ( x + y )( xy + ) ≥ ( x + y ) 2 xy x2 + y ; b = xy ta được: ( 2a + b ) ≥ 8b ( a + 2b ) ⇔ 4a − 4ab − 15b ≥ Đặt a = a x2 + y x y ⇒ ≥ Suy ra: ≥ ⇔t= + ≥ b xy y x Ta có: x3 y x y P = + − + = t − 3t − t − = 4t − 9t − 12t + 18 = f ( t ) với t ≥ x y x y ( Khảo sát hàm số f ( t ) với t ≥ Câu 56: ) ( ) 23 ta f ( t ) ≥ − Vậy chọn C Cho số thực dương x , y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P= + x 4y A Pmin = 34 B Pmin = 65 C Pmin không tồn D Pmin = Lời giải Từ giả thiết ta có y= 5 5 − x Vì y > nên − x > ⇒ x < Do < x < 8 2 10 − 15 x Ta có P = với < x < + = + =2 x 5 x − x −8 x + x − 2x 4 P′ −15 ( −8 x + x ) − ( −16 x + )(10 − 15 x ) 120 x − 75 x − ( −160 x + 240 x + 50 − 75 x ) = 2 ( −8x + 5x ) ( −8x + 5x ) x= −120 x + 160 x − 50 P′ = Có P′ = ⇒ −120 x + 160 x − 50 = ⇒ 2 ( −8x + 5x ) x= 5 ∉ 0; 8 5 ∈ 0; 8 Bảng biến thiên Page 44 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin = Page 45