PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO ………………… ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015- 2016 MÔN : TỐN (THỜI GIAN LàM BàI 120 Đề thức PHÚT) NGÀY THI: 29 THÁNG 02 NĂM 2016 Bài 1: (6 điểm): Tính giá trị biểu thức sau: 212.35 6.9 510.7 25 5.49 1) A = ( 3) 4.35 (125.7) 9.14 6 6 2) B = 16 16.26 26.36 36.46 2006.2016 z x y 3) Cho x, y, z 0 x – y – z = Tính B = x y z Bài 2: (4 điểm) 1) Tìm x biết: x x x x 2016 2015 2014 2013 2) Tìm số x; y; z biết: 5z – 3x – 4y = 50 Bài 3: (3 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 2) Tìm số nguyên , cho: – + x 2016 2017 x 2016 2018 =0 Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A góc tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Trên tia đối CA lấy điểm I cho CI = CA 1) Chứng minh: a) ABD ICE b) AB + AC < AD + AE 2) Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự M; N Chứng minh BM = CN 3) Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam giác AMN Bài 5: (1 điểm) Tìm số tự nhiên n có chữ số biết số 2n +1 3n + đồng thời số phương Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) BÀI §iĨ m HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU TOÁN 212.35 46.92 10 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 A 12 12 9 3 0,5 125.7 14 3 212.34 1 510.73 12 1 59.73 0,5 10 212.34.2 12 59.73.9 10 B= Bài = 0,5 0,5 6 6 16 16.26 26.36 36.46 2006.2016 6 6 6.16 16.26 26.36 36.46 2006.2016 0,5 1 1 2006.2016 6.16 16.26 26.36 36.46 = = 10 0,5 10 10 10 10 10 16 16 26 26 36 36 46 2006 2016 = 1 1 1 1 1 2006 2016 16 16 26 26 36 36 46 = 1 67 = 2016 672 Ta cã: B= 0,5 z x y x y z x z y x z y B= x y z Mà Từ (1) (2) Suy : x 0,5 y z 0 B= x y z x y z z x y x y z y ( x z ( y (1) z) x) (2) 0,5 0,5 Bài x x x x 2016 2015 2014 2013 x x x x 2016 2015 2013 2014 x x x x 1 1 1 1 2016 2015 2013 2014 x 2017 x 2017 x 2017 x 2017 2016 2015 2013 2014 x 2017 x 2017 x 2017 x 2017 0 2016 2015 2013 2014 1 1 ( x 2017)( ) 0 2016 2015 2013 2014 1 1 0 x 2017 0 x 2017 Do 2016 2015 2013 2014 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 Vậy x 2017 a) 2) Ta cú 0,25 = 0,75 0,25 Vậy x = 5; y = z = 17 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= Bài A= x 2016 2017 x 2016 2018 x 2016 2018 x 2016 2018 A= x 2016 2018 0,25 0,25 Đặt B= x 2016 2018 x 2016 2018 2018 Với giá trị x Mà tử số dương không đổi mẫu số đạt GTNN 2018 dấu “=” xẩy x 2016 0 x 2016 mà 2018 2017 1- 2018 = 2018 Vậy B đạt GTLN GTNN MinA= số dương không đổi A=1-B đạt 0,25 0,25 0,25 0,25 – + =0 –1– ( Vì , – 1) ( Z nên ( 0,25 + = –1 0,5đ – ) = –1 – 1) ( –2 ) TH 1: Z 0,25 0,25 ( Thỏa mãn ) 0,25đ TH 2: ( Thỏa mãn ) Vậy ( ; ) = ( 1;1), (0;0) A M O B C E D N I 1): câu cho điểm Câu a: Chứng minh ABD= ICE (c-g-c) Câu b: có AB + AC = AI Vì ABD= ICE AD=EI (2 cạnh tương ứng) 1,5 0,75 0,75 áp dụng bất đẳng thức tam giác AEI cã: AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC 2) Chøng minh BDM = CEN (gcg) BM = CN 3) Vì BM = CN AB + AC = AM + AN (1) có BD = CE (gt) BC = DE Gọi giao điểm MN với BC O ta có: MO OD MO NO OD OE NO OE MN DE 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 MN BC Từ (1) (2) chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Vì n số tự nhiên có chữ số 10 n 100 Do 21 2n +1 201 (1) Mặt khác 2n + số phương lẻ (2) Từ (1) (2) 2n + {25; 49; 81; 121; 169} n {12; 24 ; 40 ; 60 ; 84} Do 3n +1 {37; 73; 121; 181; 253} Trong số có 121 = 112 số phương Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm 40 0,25 0,25 0,25