Hsg thcs minh khai 2015 2016

Trường THCS NTM KHAI -o0o - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN Năm học 2015 – 2016 Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề) o0o Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị biểu thức a) A = 5.94  2.69 10 8  20 ; b) B =   32  33   32015  32016 Bài 2: (4 điểm) a) Tìm x biết: 15  x  28 14 12 b) Tìm x, y nguyên biết: 25  y 4( x  2016) Bài 3: (4 điểm) a) Cho đa thức: f(x) = ax2 + bx + c Biết 13a + b + 2c = Chứng minh f(-2) f(3) ≤ b) Cho số thực x, y, z 0 thỏa mãn: Tính giá trị cuả biểu thức: M = xy yz xz   x y yz xz x2  y  z xy  yz  xz Bài 4: (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, có phân giác BD, CE cắt I Gọi M, N hình chiếu D, E BC a) Chứng minh tam giác ABM cân b) Chứng minh MN = AB + AC – BC c) Tính góc MAN d) Gọi G, K giao điểm BD AN; CE AM Tia AI cắt GK H Tính góc AHG -Hết Họ tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:………… Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi mơn tốn Năm học 2015-2016 o0o -Bài Câu a) 2đ b) 2đ a) 2đ b 2đ a) 2đ b) 2đ Tóm tắt cách giải  39 210.38 (1  3)   A = 10  210.38.5 210.38 (1  5) Đặt M = 1+3+32+…+32015 Ta có 3M=3+32+33+…+32016 10 Điểm 10 32016  2 2016 2016 3  Khi B = =2 2 15 80 x   x  14 28 12 14 84 80 80 x  x   14 84 14 84 80 80 x  x  14 84 14 84 31 x x 42 31 Vậy x  ; x  42 Ta có ( x – 2016)2  với x nên 25 - y2 0 => y2 25 3M - M=32016 – => M = Mà ( x – 2016)2 số phương chẵn => 25 - y2 chẵn =>y lẻ y2 số phương lẻ, y2 25 => y2  {1;9;25} + Nếu y2=25 => ( x – 2016)2=0 => x=2016 + Nếu y2=9 => ( x – 2016)2=16 => x=2016 => ( x – 2016)2= x-2016 =2 x-2016 = -2 x = 2018 x = 2014 + Nếu y2 =1 => ( x – 2016)2= 24 số phương (loại ) Vậy với y = 3 x = 2018; x = 2014 Với y = 5 x = 2016 Ta có f(3)= 9a+3b+c ; f(-2)= 4a-2b+c f(3)+ f(-2) =13a+b+2c = => f(3)= -f(-2)  f(3).f(-2) = -f(3)  x y yz 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 1,0 xz Vì x, y, z  nên theo ta có: x y  y.z  x.z  1   => x = y = z x y z Thay x = y = z vào M ta M = 1,5 0,5 Bài Câu a) 2đ b) 2đ Tóm tắt cách giải ABD = MBD (cạnh huyền – góc nhọn) => AB = AM => AMB cân B Ta có AEC = NEC => CN = CA Khi AB + AC = BM + CN = BM + MC + MN = BC + MN  MN = AB + AC - BC ABC 180o  ABC Từ AMB cân M => AMB  90o  c) 2đ d) 2đ 2 o   180  ACB ACB Từ ANC cân N => ANB  90o  2  Trong AMN có MAN 180o  AMB  ANC ABC ACB = 180o  (90o  )  (90o  ) 2 ABC ACB 90o =   45o 2 (Vì ABC vuông A nên ABC  ACB 90o )  Vậy MAN 45o Vì AMB cân B nên đường phân giác BD đồng thời đường cao => BD  AM hay GI  AK ANC cân C => đường phân giác CE đồng thời đường cao => CE  AN hay KI  AG Trong AKG có đường cao xuất phát từ G, K cắt I => I trực tâm AKG  AI  GK H => AHG 90o Điểm 2,0 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5