PHÒNG GD&ĐT VŨ THƯ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài (5 điểm ) 1.Thực phép tính: 193 33 11 1008 1007 A : 2016 193 386 17 34 1008 2016 25 B ( 11) 77 : 3.116 77 7 a b c c a b a cb Cho số a, b, c khác thỏa mãn: 2b 2a 2c Tính giá trị biểu thức: P c b a b a c Bài (5 điểm ) x 3x b) Tìm hình chữ nhật có kích thước cạnh số ngun cho số đo diện tích số đo chu vi c) Tìm số nguyên dương x; y; z thỏa mãn: x y y z 2015 x z 2017 a) Tìm x biết: Bài (3 điểm) Cho hàm số: y f x x a) Vẽ đồ thị hàm số (1) x (1) b) Gọi E F hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ (-4) , xác định tọa độ hai điểm E, F Tìm trục tung điểm M để EM+MF nhỏ Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân A tam giác ABD tam giác ACE a) Chứng minh DC = BE DC BE b) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến ED M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh A, M, H thẳng hàng Cho tam giác ABC vng A có AB= 3cm; AC= 4cm Điểm I nằm tam giác cách ba cạnh tam giác ABC Gọi M chân đường vng góc kẻ từ điểm I đến BC Tính MB Bài (1 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n 2 tổng: 15 n2 S số nguyên 16 n Họ tên :………………………………………… Số báo danh :………… -Hết - Câu (3 im) Đáp án biểu điểm chấm HSG môn to¸n năm học 2015-2016 Bài 1(5điểm ) Nội dung 193 33 11 1008 1007 : 2016 193 386 17 34 1008 2016 25 33 11 1007 A : 17 34 34 25 50 2016 a)Tính A 0,75 0,5 1007 A 1 : 2016 2015 A 1 : 2016 2016 A 2015 2016 Vậy A 2015 0,25 0,25 0,25 ( 11) 77 5. : 7 3\ 116 b ) Tính B 77 7 1 B 2 4.112.7 5.115 11 7 11 7 11 B 11 B 11 Vậy B 11 1,5® c b a b c a b c a b c a b c a P với a,b,c 0 a c b a c a c b b a b c a c b Khi a+b+c =0 b c a P a c b c a b 0,25 2 (1,5®iểm ) Điểm 2® 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Khi a+b+c 0 , áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c c a b a c b a b c c a b a c b 2b 2a 2c 2(c a b) a c c b a b a c c b a b 1 2 2b 2a 2c b a c P 8 Với a,b,c 0 P =-1 a+b+c =0; P = a+b+c 0 Câu a) Nội dung a) Tìm x biết : x 3x 0,25 0,25 0,25 Điểm (2 điểm) x x 1 0,5 x 3 x 0,25 0,25 x 4 4 x 3 x 10 x x 2 10 Vậy x ; 3 x 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,5điểm) Gọi kích thước hình chữ nhật cần tìm x,y (đơn vị độ dài ) (x,y N * ; x y ) Ta có diện tích chu vi hình chữ nhật : x.y 2(x+y) Theo ta có : x.y= 2(x+y) với x,y N * ; x y xy x y 0 x( y 2) 2( y 2) 4 ( y 2)( x 2) 4 Với x,y N * ta có ( y 2); ( x 2) Z y 2; x Ư 1;2;4 (4)= Ta có trường hợp sau : x 4 x 6 y 1 y 3 x-2 ; y-2 > -2 x y x 2 x 4 y 2 y 4 c) (1,5điểm) Chứng minh: x y x y chia hết cho 2 y z chia hết cho z x z x chia hết cho 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x y y z 2015 x z x y x y y z y z z Chia hết cho 0,25 0,25 Có hai hình chữ nhật thỏa mãn tốn : Hình chữ nhật có kích thước 3; y z 0,25 x z x 2014 z x 0,5 Mà 2017 không chia hết không tồn số nguyên dương x; y; z thỏa mãn đề Bài 3(3 điểm ) Câu Nội dung a) x x (1) Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)= (1,5điểm) x với x 0 1 x với x y= Từ hàm số (1) ,ta có : 0,25 Điểm y= Cho x= y 5 , ta có điểm A(2 ;5) thuộc đồ thị hàm số(1) Cho x= -2 y 1 , ta có điểm B(-2 ;1) thuộc đồ thị hàm số (1) Đồ thị hàm số (1) hai tia OAvà OB 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b) (1,5điểm) Từ hàm số (1) ,ta có : x với x 0 1 x với x y= y= Điểm E thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ x= -4 0 5 nên tung đô điểm F y= 2 F (1;2) Điểm M thuộc trục tung nên hoành độ điểm M x = 0,25 0,25 0,25 Ta có E,F thuộc đường thẳng y=2 Để EM+FM nhỏ M nằm E F nên M thuộc đường thẳng y=2, nên tung độ M y=2 Vậy điểm M (0;2) Câu (4,5điểm) Nội dung 0,25 0,25 0,25 Điểm a)Chứng minh DC= BE Ta có DAC = DAB+ BAC =90 + BAC tương tự BAE = 900+ BAC DAC = BAE Xét DAC BAE có AD =AB ( ABD vng cân A) AC=AE ( AC E vuông cân A) DAC = BAE (cmt) DAC = BAE(c-g-c) DC =BE ( định nghĩa tam giác nhau) Chứng minh DC BE Gọi K , N giao điểm DC với BE AB AND KNB có AND= KNB( đối đỉnh ); ADN= KBN ( DAC = BAE) 1,5® DAN= BKN định lí tổng góc tam giác ) Mà DAN=900(( ABD vuông cân A) BKN=900 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5® DC BE K b) Chứng minh A,H,M thẳng hàng Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI=MA Chứng minh AMB= IMC(cgc) CI=AB CI //AB 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5® 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh ACI= DAE( bù BAC) Chứng minh ACI= EAD (c-g-c) CAI= AED mà AED + EAH =900( AHE vuông H) CAI+ EAH=900 MAH=1800 M,A,H thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì điểm I nằm tam giác cách cạnh tam giác ABC nên I giao điểm dường phân giác tam giác ABC Tam giác ABC vuông A nên AB2+AC2=BC2( định lý Pitago) Tính BC=5cm Chứng minh CEI= CMI (cạnh huyền- góc nhọn ) CE =CM Tương tự AE =AD; BD =BM 0,25 (1,5điểm) Chứng minh BM BM BC BA AC 0,25 0,5 0,25 53 2 cm Bài 5(1điểm ) Nội dung Câu 0,25 S Có (n-1) số hạng: 15 n2 1 S 16 n n 1 S n n n 2 1 1 1 1 Mặt khác 2 n 1.2 2.3 3.4 (n 1)n 1 n 1 S n n n n n Từ (1) (2) ta có n S n Vậy S khơng có giá trị ngun với số tự nhiên n 2 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25