Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IOM 90 I và M không trùng các đỉnh của hình vuông.. a Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 m¤N: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Bài (4,5 điểm) A Cho biểu thức a) Rút gọn A 4xy y2 x : y 2xy x y x với x y, y 0 2 b) Tìm x, y thỏa mãn 3x y 2x 2y 0 và A = 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2016x 2015x 2016 Bài (4,0 điểm) a) Cho A=11 155 56 với n N * Chứng minh A là số chính phương (n chữ số 1) (n - chữ số 5) b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thì thương là 5x và còn dư Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x y z xy yz zx và x 2015 y 2015 z 2015 32016 b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm 1 x x 2(x m) x m x m m2 x Bài (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM 90 (I và M không trùng các đỉnh hình vuông) a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Gọi N là giao điểm tia AM và tia DC, K là giao điểm BN và tia OM Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và BKM BCO 1 2 AM AN c) Chứng minh CD Bài (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB là a, b, c Các đường cao tương ứng là h a, hb, hc Tam giác đó là tam giác gì biểu thức (a b c) h a2 h 2b h c2 đạt giá trị nhỏ nhất? Họ và tên thí sinh: (2) Số báo danh: Phòng (3) PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 05 trang) Bài Bài (4,5đ) a/ 2,0 điểm Nội dung Cho biểu thức a) Rút gọn A A xy y x2 : 2 y xy x với x y , y 0 y x Điểm 3đ 2 b) Tìm x, y thỏa mãn 3x y 2x 2y 0 và A = Với x y; y 0 ta có: : 2 y xy x y x xy 1 A : ( y x)( y x) ( y x)( y x) ( y x) A xy y x2 yxy x xy : ( y x)( y x) ( y x)( y x) xy 2y A : ( y x )( y x) ( y x )( y x) 0,75đ A A xy ( y x)( y x) ( y x )( y x) 2y A 2 x( x y ) Vậy x y; y 0 thì A = 2x(x + y) b/ 1,0 điểm 0,75đ 0,25đ 0,25đ Ta có x y x y 0 x xy x xy y x y 0 2 0,5đ (2 x xy ) ( x xy y ) (2 x y ) 0 x( x y ) ( x y ) 2( x y ) 0 A ( x y ) 2( x y ) 2 A ( x y 1) 2 ( x y 1) 2 x y 0 ( x y; y 0 ) Thay y = x + vào A = 2x(x + y) ta : 2x( x + x + 1) = 2x2 + x = 2x2 + x - = (x + 1)(2x - 1) = + Với x = - 1, ta có y = (loại) 0,5 0,5 + Với x = , ta có y = (thoả mãn) (4) Vậy x, y cần tìm là x = và y = 2 Phân tích đa thức thành nhân tử 1,5đ x 2016 x 2015 x 2016 x 2016 x 2015 x 2016 x 2015 x x 2015 x 2015 0,5đ ( x x x ) 2015 x 2015 x 2015) 0,5đ ( x x 1) x 2015( x x 1) ( x 1)2 x 2015( x x 1) 0,5đ ( x x)( x x) 2015( x x 1) 2 ( x x 1)( x x 2016) Bài (4 đ) a)Tìm đa thức f(x) thỏa mãn chia cho (x+1) dư 4, chia cho (x+2) dư 1, chia cho (x+1)(x+2) thì thương là 5x và còn dư Vì f(x) : (x+1) dư f(x)= (x+1).Q(x)+4 Vì f(x) : (x+2) dư f(x)= (x+2).P(x)+1 Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 và còn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ Do đó f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b Ta có f(-1) = - a+b = b = 4+a (1) f(-2) = -2a+b = b = 1+2a (2) 2đ 1đ 1đ a 3 Từ (1) và (2) b 7 Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7 A 11 55 n ( c / s1) ( n 1) c / s b) Cho Chứng minh A là số chính phương 2đ Ta có 1.75đ A 11 4.11 1 n ( c / s1) n ( c / s1) 10 02 102 n 10n 102 n 4.10n (10n 2) ( n 1) cs 1 (33 34) 9 9 ( n 1) c / s Bài 3(4đ) là số chính phương A 11 55 n ( c / s1) ( n 1) c / s Vậy là số chính phương a) Tìm x, y, z biết 0.25đ 2đ x y z xy yz zx và x 2015 y 2015 z 2015 32016 Ta có 0,5đ (5) x y z xy yz zx x y z xy yz zx 0 ( x y ) ( y z ) ( z x) 0 Chứng minh tìm 1đ x y 0 y z 0 x y z z x 0 2015 2015 2015 2016 x y z Thay vào x = y = z vào ta có 2015 2016 2015 2015 3z 3 z 3 z 3 Vậy x = y = z = 0,5đ b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm 2đ x x 2( x m) x m xm m2 x (1) ĐKXĐ: x+ m 0 và x- m 0 x m (1 x)( x m) ( x 2)( x m) 2 2( x m) (2m 1) x m 2(*) 0,5 0,5đ 3 ta có (*) 0x = (vô nghiệm) + Nếu 2m -1= m x 2m + Nếu m ta có (*) 0,5đ - Xét x = m 0,5đ m m m m 2m m 2m 1 2m 2m 0 m m 0 m 0 2 2 (Không xảy vì vế trái luôn dương) Xét x= - m m m m 2m m m2 1 m 1 2m 1 m m = 1 Vậy phương trình vô nghiệm (6) Bài 4(6đ) 6đ A I O E D B M K C N a) Xét BIO và CMO có: 1đ IBO MCO (450 ) BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông) BOI COM ( cùng phụ với BOM ) BIO = CMO (g.c.g) S BIO SCMO mà S BMOI S BOI S BMO 1 S BMOI SCMO S BMO S BOC S ABCD a 4 Hay b) Ta có CM = BI ( vì BIO = CMO ) BM = AI BM AM IA AM Vì CN // AB nên CM MN IB MN IM // BN ( Định lí Talet đảo) Hay IMNB là hình thang Vì OI = OM ( vì BIO = CMO ) IOM cân O IMO MIO 450 Vì IM // BN IM // BK BKM IMO 450 ( sole trong) BKM BCO c) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD E Chứng minh ADE ABM ( g c.g ) AE AM Ta có ANE vuông A có AD NE nên AD.NE AN AE S AEN 2 AD.NE AN AE ( AD.NE ) ( AN AE )2 áp dụng định lí pitagota vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 2 2 AD ( AN AE ) AN AE 1đ 1,5đ 0,5đ 0,75đ 0,75đ AN AE 1 1 2 2 AN AE AD AE AN AD 1 2 Mà AE AM và CD = AD CD AM AN 0,5đ (7) Bài5 (1,5đ) A x hc B C D Qua C vẽ Cx song song AB gọi D là điểm đối xứng A qua Cx BAD 900 ; CD = AC = b; AD = 2hc Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD Tam BDA có BAD 90 theo định lý pitago AB AD BD ( BC CD ) c 4hc2 ( a b) 4hc2 ( a b) c (Dấu ‘‘ = ’’ xảy a = b) Chứng minh tương tự: 4ha2 (b c) a (Dấu ‘‘ = ’’ xảy b = c) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4hb2 ( a c) b (Dấu ‘‘ = ’’ xảy c = a) 4( ha2 hb2 hc2 ) ( a b c) (a b c) 4 hb2 hc2 Dấu ‘‘ = ’’ xảy a = b = c *) Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa theo thang điểm *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống *) Chấm và cho điểm phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn (8)