nằm trên đường tròn tâm J, bán kính bằng OM/2 b 2đ.. tam giác vuông.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUỲ HỢP ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG I Năm học 2011-2012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề chính thức Câu 1: Rút gọn biểu thức A = ( ( √ a −3 ) √ a+ a+ a √ a −3 − + : a −2 √ a −3 √ a+1 − √ a a −1 ) Câu 2: Tìm tất các số tự nhiên n cho 28+211+2n là số chính phương Câu 3: Cho z y y x > Chứng minh rằng: ( 1x + 1z )+ 1y ( x + z ) ≤ ( x + z ) ( 1x + 1z ) Câu 4: a) Giải phương trình √ x −1=√ x −2 √ x − b) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = Tính tổng x + y + z Câu 5: Cho đường thẳng y = (m-1)x + Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất? Câu 6: Cho (O;R) và đường thẳng d cố định không cắt (O) Hạ OH vuông góc với d (H d) M là điểm thay đổi trên d, từ M kẻ MQ và MP là tiếp tuyến (O), (P,Q là tiếp điểm) Dây cungPQ cắt OH I, cắt OM K a) Chứng minh điểm O, Q, H, M, P cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh tích IO.OH không đổi c) Giả sử góc PMQ = 600 Tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ và OPQ - Hết Lưu ý: - Học sinh không sử dụng máy tính - Học sinh bảng A làm hết tất các câu - Học sinh bảng B không phải làm câu 6c Họ tên thí sinh:……………………………… ; SBD:…… (2) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Nội dung đáp án Câu 4đ A= = = = Bảng A 0.75 0.75 2( √ a− 3) √a+ a+ a √ a −3 − − : ( √ a −3 ) ( √ a+1 ) √a+ √ a −3 a −1 a √ a− −2( √ a −3)( √a − 3)−( √ a+3)( √ a+1) a+ : a −1 ( √ a −3)( √ a+1) a √ a+8 √ a −3 a −24 a+ : a −1 ( √ a− 3)( √ a+1) ( √ a− 3)(a+8) (√ a+1)(√ a −1) = √ a− (a+ 8) ( √ a −3)( √ a+1) ( ) 1.0 3đ 1.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 y 1 ( x + z)+ (x+ z )≤( x + z )(x+ z ) xz y xz a 2đ 0.5 0.5 vì x+z > 0, y > 0, xz > nên nhân hai vế với x + z ta bất đẳng thức tương đương y2 + xz xy + yz <=> y - xy + xz - yz <=> - (y - x)(z - y) đúng vì y - x và z - y dấu " = " xẩy và x = y y = z Điều kiện x √ x −1=√ x −2 √ x − <=> √ x −1=√ (x − 1) −2 √ x −1+1 √ x −1 −1 ¿2 ¿ <=> hay √ x −1 = | √ x −1 −1 | (1) √ x − 1=√ ¿ + Khi √ x −1 −1 ≥ hay x thì phương trình (1) trở thành √ x −1=√ x −1 −1 <=> √ x −1 = -1 (vô nghiệm) + Khi √ x −1 −1 < hay x < thì phương trình (1) trở thành 10 √ x −1=1− √ x −1 <=> √ x −1= ⇔ x= (thỏa mãn đk: x < 0.75 0.75 2) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = b 1đ 1.5 0.25 0.25 xyz 3đ 1.0 0.75 0.75 Giả sử 28+211+2n = a2 => 2n = a2 - (28+211) hay 2n = a2 - 482 = (a - 48)(a + 48) lúc đó ta có: 2p = a + 48 2q = a - 48 , với p, q N và p + q = n, p > q => 2p - 2q = 96 <=> 2q.(2p-q - 1) = 25.3 => q = và p - q = => p = => n = 7+5 = 12 thử lại 28+211+212 = 802 Bất đẳng thức đã cho viết lại dạng: 1đ Bảng B Từ điều kiện bài toán ta có nhận xét: |x| nên x3 x2 , y3 y2 , z3 z2 => x3 + y3 + z3 x2 + y2 + z2 0.75 0.75 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 10 1, |y| 1, |z| 0.25 0.25 0.25 0.25 (3) dấu " = " xẩy và x3 = x2 x = x = y = y <=> y = y = x =z z = z = => x + y + z = x + y2 + z2 = Gọi A,B là hai giao điểm đường thẳng y= (m-1)x +2 (d)với trục Ox và trục Oy Ta dễ dàng tìm toạ độ hai điểm là 3đ −2 A( m−1 ;0) và B(0;2) tam giác AOB vuông O(O là gốc toạ độ),gọi OH là đường cao thì OH chính là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng y = (m-1)x + ta có: 1 = + 2= 2 OH OA OB ( 1 ( m−1 ) +1 + 2= −2 m −1 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ) √( m −1 ) +1 OHMAX <=> √ ( m−1 ) +1 <=> m- 1= <=> m = Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng(d) lớn <=> m = Min a HS vẽ hình đúng Học sinh Δ OPM, Δ 3đ OQM P là các tam giác vuông - Gọi J là trung điểm OM => JQ, JP, JH là ba trung tuyến ba tam giác vuông => JQ = JP = JH = JO = JM => năm điểm O, Q, H, M, P O K I J Q d cùng 0.25 0.25 OH = 6đ 0.25 0.25 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.5 0.75 M H nằm trên đường tròn tâm J, bán kính OM/2 b 2đ Xét Δ IOK và Δ MOH: có IOK = MOH có OM PQ (t/c đường kính và dây cung) => IKO = 90 0.25 0.5 => IKO = MHO = 900 => Δ IOK ~ Δ MOH 0.25 0.5 => IO OK = MO OH => IO.OH = OK.OM Δ OPM vuông O => OP2 = OK.OM (hệ thức lượng tam giác vuông) => IO.OH = OK.OM = OP2 = R2 không đổi 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (4) c 1đ PMQ = 600 => OMQ = OMP = 300 ta có OM PQ, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: MP = OP : tg 300 = R : 1/ √ = R √ MO = √ OP2 +MP = √ R 2+ R = 2R 2 MK = MP :MO = 3R : 2R = 3R/2 OK = OM - MK = 2R - 3R/2 = R/2 PK = √ PM2 −KM2 = R √ /2 => SOPQ = 1/2OK.PQ = 1/2.R/2.2.(R √ /2) = R2 √ /4 SMPQ = 1/2 PQ.KM = 1/2.(2.R √ /2).3R/2 = 3R2 √ /4 => SMPQ /SOPQ = 3R2 √ /4 : R2 √ /4 = 0.25 0.25 0.25 0.25 (5)