Chứng minh A là số chính phương.. a Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.. b Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM.. ĐỀ CHÍNH T
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 m¤N: TOÁN 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: 1) Cho biểu thức A 24xy2 : 21 2 2 1 2
− − + + với x ≠ ±y, y 0≠ a) Rút gọn A.
b) Tìm x, y thỏa mãn 3x 2 + y 2 + 2x 2y 1 0 − − = và A = 2
2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x 4 + 2016x 2 + 2015x 2016 +
Bài 2: a) Cho A 111 11555 556=14 2 43 14 2 43
6n ch÷ sè 1 6n-1 ch÷ sè 1 với n ∈ N * Chứng minh A là số chính phương.
b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thì thương là 5x và còn dư 2
Bài 3: a) Tìm x, y, z biết x 2 + y 2 + = z 2 xy yz zx + + và x 2015 + y 2015 + z 2015 = 3 2016
b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm 1 x x 2 2(x m) 22 2
Bài 4 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O Lấy điểm I thuộc
cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho · 0
IOM 90 = (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông) a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và ·BKM BCO= ·
c) Chứng minh 12 1 2 1 2
CD = AM + AN
Bài 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c Các đường cao tương ứng
là h a , h b , h c Tam giác đó là tam giác gì khi biểu thức
2
(a b c)
+ + + + đạt giá trị nhỏ nhất ?
Họ và tên thí sinh: .
Số báo danh: Phòng
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 8
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Bài 1
:
2
xy A
− − + + với x≠ ±y y, ≠0 a) Rút gọn A
b) Tìm x, y thỏa mãn 3x2 +y2 +2x 2y 1 0− − = và A = 2
3đ
a/
2,0
điểm
Với x≠ ±y y; ≠ 0 ta có:
2
:
2
:
xy A
xy A
0,75đ
2
4
:
A
2
2
:
.
A
A
=
=
0,75đ
b/
1,0
điểm
Ta có
2
0,5đ
2
2
2
x y
1 0
x y
⇔ − + = (x≠ ±y y; ≠ 0)
0,5
Thay y = x + 1 vào A = 2x(x + y) ta được : 2x( x + x + 1) = 2 ⇔2x2 + x = 1
⇔2x2 + x - 1 = 0 ⇔(x + 1)(2x - 1) = 0 + Với x = - 1, ta có y = 0 (loại)
+ Với x =1
2 , ta có y = 3
2 (thoả mãn) Vậy x, y cần tìm là x =1
2 và y = 3
2
0,5
Trang 32 Phân tích đa thức thành nhân tử
x4 + 2016x2 + 2015x+ 2016
1,5đ
4 2016 2 2015 2016
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
(4 đ)
a)Tìm đa thức f(x) thỏa mãn chia cho (x+1) dư 4, chia cho (x+2) dư 1,
chia cho (x+1)(x+2) thì thương là 2
5x và còn dư
2đ
Vì f(x) : (x+1) dư 4 ⇒f(x)= (x+1).Q(x)+4
Vì f(x) : (x+2) dư 1 ⇒f(x)= (x+2).P(x)+1
Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 và còn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ
hơn hoặc bằng 1
Do đó f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b
1đ
f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b
Ta có f(-1) = - a+b = 4 ⇒b = 4+a (1)
f(-2) = -2a+b = 1 ⇒b = 1+2a (2)
Từ (1) và (2) ⇒ =b a=73
Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7
1đ
b) Cho A=11 1 55 5 6{ {n c s( / 1) (n−1) / 5c s
Chứng minh A là số chính phương
2đ
Ta có
2 ( / 1) ( / 1)
2
( 1) / 3
11 1 4.11 1 1
10 02
n cs
n c s
A
−
−
1 2 3
142 43
là số chính phương
1.75đ
( / 1) ( 1) / 5
11 1 55 5 6
n c s n c s
A
−
Bài
3(4đ)
a) Tìm x, y, z biết
x2 + y2 + z2 = xy yz zx + + và x2015 + y2015 + z2015 = 32016
2đ
Ta có
0,5đ
Trang 4Chứng minh tìm ra
0 0 0
x y
z x
− =
− = ⇔ = =
= =
1đ
Thay vào x = y = z vào x2015 + y2015 + z2015 = 32016 ta có
2015 2016 2015 2015
3 z = 3 ⇔ z = 3 ⇔ = z 3 Vậy x = y = z = 3
0,5đ
b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
1 x x 2 2(x m2 ) 22
2đ
⇒ −⇔(1(2m x x m−)(1)x m+= −) (+ −2(*)x 2)(x m− ) 2 2(= − x m− ) 0,5đ
+ Nếu 2m -1= 0 1
2
m
⇔ = ta có (*) 0x = 3
2
− (vô nghiệm) + Nếu m 1
2
m x m
−
⇔ =
−
0,5đ
- Xét x = m
2
2
2
2 2
m
m
−
−
(Không xảy ra vì vế trái luôn dương)
Xét x= - m
2
−
−
m
m
Vậy phương trình vô nghiệm khi 1
2
m= hoặc m = ± 1
0,5đ
Bài
4(6đ)
E
K
N M
I
O
B A
6đ
Trang 5IBO MCO· =· ( 45 ) = 0
BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông) ·BOI COM=· ( cùng phụ với·BOM )
⇒∆BIO = ∆CMO(g.c.g)
⇒ S BIO =S CMO mà S BMOI =S BOI +S BMO
1đ
b) Ta có CM = BI ( vì ∆BIO=∆CMO) ⇒BM = AI
Vì CN // AB nên BM AM IA AM
⇒IM // BN ( Định lí Talet đảo) Hay IMNB là hình thang
1,5đ
Vì OI = OM ( vì ∆BIO=∆CMO)
⇒ ∆IOM cân tại O ⇒ · · 0
45
IMO MIO= =
Vì IM // BN ⇒ IM // BK
⇒ BKM· =IMO· = 45 0( sole trong) ⇒BKM· =·BCO
0,5đ
c) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E Chứng minh
( )
Ta có ∆ANE vuông tại A có AD ⊥ NE nên
AEN
S
0,75đ
áp dụng định lí pitagota vào ∆ANE ta có AN2 + AE2 = NE2
.
+
0,75đ
Mà AE= AM và CD = AD ⇒ 12 1 2 12
Bài5
(1,5đ)
hc
B
C
A
x
D Qua C vẽ Cx song song AB gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx ⇒
· 90 0
BAD= ; CD = AC = b; AD = 2hc
Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD
0,5đ
Tam BDA có ·BAD= 90 0 theo định lý pitago 0,5đ
Trang 62 2 2 2
(Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b)
Chứng minh tương tự:
4h a ≤(b+c) −a (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra b = c)
4h b ≤(a+c) −b (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra c = a)
2
4
+ +
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b = c
0,5đ
*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm
*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất
*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.