De thi HSG huyen tien hai 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4,0 điểm) Cho A = + 32 + 33 + … + 32015 + 32016 a) Tính A b) Tìm chữ số tận A c) A có số phương khơng? Vì sao? Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: x − +2 = b) Tìm phân số có tổng chúng 1 , tử chúng tỉ lệ với 3; 4; 70 mẫu tương ứng chúng tỉ lệ với 5; 1; Bài (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + có đồ thị qua điểm A(a + 1; a2 – a) a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tính giá trị x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x) Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABM, ACN vuông cân A BN MC cắt D a) Chứng minh: ∆AMC = ∆ABN b) Chứng minh: BN ⊥ CM c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm Tính MN d) Chứng minh DA phân giác góc MDN Bài (2,0 điểm) ( ) a Tìm số tự nhiên a, b cho: ( 2016a + 13b − 1) 2016 + 2016a + b = 2015 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 P N BIU IM CHM mÔN: TON (ỏp ỏn biểu điểm chấm gồm 03 trang) Bài (4,0 điểm) Cho A = + 32 + 33 + … + 32015 + 32016 a) Tính A b) Tìm chữ số tận A c) A có số phương khơng? Vì sao? Câu Nội dung Ta có: A = + + + … + 32015 + 32016 3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + … a/ (1,5 đ) + 32015 + 32016) A= b/ (1,5 đ) c/ (1,0 đ) 32017 − Điểm 0,5 0,5 0,5 Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016) = 3(1 + + 32 + 33) + + 32013(1 + + 32 + 33) = 3.40 + + 32013.40 = 40.(3 + 35 + + 32013) Suy A có chữ số tận Lập luận A chia hết cho Lập luận A không chia hết cho 32 Mà số ngun tố nên suy A khơng số phương 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: x − +2 = b) Tìm phân số có tổng chúng mẫu tương ứng chúng tỉ lệ với 5; 1; , tử chúng tỉ lệ với 3; 4; 70 b a c a x b y c z y ⇒ : = : = : ⇒ x= =z 5 5 0,75 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a b c + + x = y = z = x y z = 70 = ⇒ a = ; b = ; c = x 35 y z 14 5 71 + + 5 10 ; ; Vậy phân số cần tìm 35 14 Bài (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + có đồ thị qua điểm A(a + 1; a2 – a) a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tính giá trị x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x) Câu Nội dung Đồ thị hàm số y = ax + qua điểm A(a+1; a2- a) nên có: a2- a = a(a+1) +4 a/ (1,5đ) ⇒ a2 - a = a2 +a + ⇒ a = -2 Vậy a = -2 đồ thị qua điểm A(a + 1; a2 – a) Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + ⇒ f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + b/ Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) ⇒ -6x + = 6x + ⇒ x = (1,5đ) Vậy x = f(3x- 1) = f(1- 3x) 0,5 0,25 Điểm 0,5 0,75 0,25 0,5 0,75 0,25 Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABM, ACN vuông cân A BN MC cắt D a) Chứng minh: ∆AMC = ∆ABN b) Chứng minh: BN ⊥ CM c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm Tính MN d) Chứng minh DA phân giác góc MDN Câu Nội dung Điểm N M A E F D B C · · · a/ C/minh MAC (Cùng 900 + BAC ) = BAN (2,0đ) MA = AB (∆MAB vuông cân A) AC = AN ( tam giác NAC vuông cân A) ⇒ ∆AMC = ∆ABN(c-g-c) Gọi giao điểm BN với AC F · · Chỉ AFN ( ∆AMC = ∆ABN) = DFC b/ · · ( ∆AMC = ∆ABN ) ANF = FCD (2,0đ) · · Từ suy FDC = 900 = FAN Do đó: BN ⊥ CM Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông MDN, BDC, c/ MDB, NDC để C/m hệ thức MN2 = MB2 + NC2 – BC2 (1,5đ) Tính MN = 21 cm Trên tia BN lấy điểm E, cho BE = MD CM ∆AMD = ∆ABE (c-g-c) Suy AD = AE ⇒ ∆ADE cân A (1) · · · · ∆AMD = ∆ABE ⇒ MAD d/ = BAE ⇒ DAE = MAB = 900 ⇒ ∆ADE (1,5đ) vuông A (2) 1· · · Từ (1) (2) ADE = 450 ⇒ ADE = MDN · ⇒ DA phân giác MDN Bài ( 2,0 điểm) ( 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,75 0,25 ) a Tìm số tự nhiên a, b cho: ( 2016a + 13b − 1) 2016 + 2016a + b = 2015 Câu Nội dung Điểm Vì ( 2016a + 13b − 1) 2016 + 2016a + b = 2015 0.25 Þ 2016a + 13b – 2016a + 2016a + b số lẻ (*) * Nếu a ≠ Þ 2016a + 2016a số chẵn Vì 2016a + 2016a + b lẻ Þ b lẻ 0.5 Với b lẻ Þ 13b – chẵn 2016a + 13b – chẵn (khơng t/m (*)) * Nếu a = Þ (13b – 1)(b + 1) = 2015 = 1.5.13.31 Vì b ∈ N Þ (13b – 1)(b + 1) = 5.403 = 13.155 = 31.65 0,25 13b – > b + +) Nếu b + = Þ b = Þ 13b – = 51 (loại) +) Nếu b + = 13 Þ b = 12 Þ 13b – = 155 (t/m) 0.75 Þ Þ +) Nếu b + = 31 b = 30 13b – = 389 (loại) Vậy (a; b) = (0; 12) 0.25 *) Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm *) Giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án thống *) Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần không làm trßn ( a ) ... b cho: ( 2016a + 13b − 1) 2016 + 2016a + b = 2015 Câu Nội dung Điểm Vì ( 2016a + 13b − 1) 2016 + 2016a + b = 2015 0.25 Þ 2016a + 13b – 2016a + 2016a + b số lẻ (*) * Nếu a ≠ Þ 2016a + 2016a số... dung Ta có: A = + + + … + 32015 + 32016 3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + … a/ (1,5 đ) + 32015 + 32016) A= b/ (1,5 đ) c/ (1,0... ∆AMD = ∆ABE (c-g-c) Suy AD = AE ⇒ ∆ADE cân A (1) · · · · ∆AMD = ∆ABE ⇒ MAD d/ = BAE ⇒ DAE = MAB = 900 ⇒ ∆ADE (1,5đ) vuông A (2) 1· · · Từ (1) (2) ADE = 450 ⇒ ADE = MDN · ⇒ DA phân giác MDN Bài