PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2015 2016 MÔN TOÁN – LỚP 8 Thời gian làm bài 150 phút Đề gồm 01 trang Bài 1 (3 điểm) 1) Chứn.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN : TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Bài (3 điểm) 1) Chứng minh : ( x + y )( x − x y + xy − y ) = x − y 2) Phân tích đa thức thành nhân tử : x( x + 2)( x + x + 2) + 3) Tìm a, b, c biết : a + b + c = ab + bc + ca a8 + b8 + c8 = Bài (4 điểm) Cho biểu thức : P= x2 y2 − x2 y2 x+ y − + − với x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ − y ÷ x x + xy xy xy + y x + xy + y 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x + y + 10 = 2( x − y ) Bài (4 điểm) 1) Giải phương trình: (6 x + 8)(6 x + 6)(6 x + 7) = 72 2) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x + x + = y Bài (2 điểm) Cho số a, b, c thỏa mãn1 ≥ a, b, c ≥ Chứng minh : a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ Bài (5,5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I · thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM = 900 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM CD, K giao điểm OM BN 1) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a · · 2) Chứng minh BKM = BCO 3) Chứng minh 1 = + 2 CD AM AN Bài (1,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC), trọng tâm G Qua G vẽ đường thẳng d cắt cạnh AB, AC thứ tự D E Tính giá trị biểu thức AB AC + AD AE Họ tên thí sinh: ………………… Họ, tên chữ ký GT 1: ………………………… Số báo danh:………………………… Họ, tên chữ ký GT 2: ………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP I Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý học sinh phải trình bày, học sinh giải theo cách khác mà đủ bước cho điểm tối đa 2) Điểm tồn tổng điểm ý, câu khơng làm trịn II Đáp án thang điểm: Bài Ý Nội dung trình bày Điểm Chứng minh : ( x + y )( x − x y + xy − y ) = x − y 1) (0,5đ) (3đ) Ta có: ( x + y )( x − x y + xy − y ) = x − x y + x y − xy + x y − x y + xy − y = x4 − y4 Vậy đẳng thức chứng minh Phân tích đa thức thành nhân tử : x( x + 2)( x + x + 2) + 2) (1đ) 0,25 = ( x + x ) + 2( x + x) + 0,25 = ( x + x + 1) 0,25 2 2 = ( x + 1) 0,25 Tìm a, b, c biết : a + b + c = ab + bc + ca a8 + b8 + c8 = Biến đổi a + b + c = ab + bc + ca (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a ) = Lập luận suy a = b = c Thay vào a = b = c vào a8 + b8 + c8 = ta có 3a = ⇔ a = ⇔ a = ±1 Vậy a = b = c = a = b = c = -1 Với x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ − y ta có: x y − ( x − y )( x + y ) − xy x+ y P = − x xy ( x + y ) x + xy + y x+ y xy( x − y ) − ( x − y ).( x + y ) x + xy + y x xy ( x + y ) x+ y ( x − y )( x + xy + y ) = + x + xy + y x xy( x + y ) = 1) (2đ) x− y + xy x x+ y = xy = (4đ) 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Ta có: x + y + 10 = 2( x − y ) ⇔ x2 − 2x + + y + y + = 0,5 ⇔ ( x − 1) + ( y + 3) = 2) (2đ) 0,25 Ta có: x( x + 2)( x + x + 2) + = ( x + x )( x + x + 2) + 3) (1,5đ) 0,25 Lập luận suy x = 1; y = −3 Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ − y x+ y + (−3) = nên thay x = 1; y =- vào biểu thức P = ta có: P= xy 1.( −3) 0,5 1,0 Giải phương trình: (6 x + 8)(6 x + 6)(6 x + 7) = 72 1) (2đ) Đặt x + = t Ta có (t + 1)(t − 1)t = 72 ⇔ (t − 1)t = 72 ⇔ t − t − 72 = 0,5 ⇔ t − 9t + 8t − 72 = ⇔ t (t − 9) + 8(t − 9) = ⇔ (t − 9)(t + 8) = 0,5 Mà t + > nên t − = ⇔ t = ⇔ t = ±3 0,5 Từ tìm x = − x = − 3 0,5 −2 −5 Vậy phương trình có tập nghiệm S = ; 3 3 x + x + = y ⇔ x + x + 12 = y ⇔ ( x + 1) − y = −11 (4đ) ⇔ ( x + y + 1) ( x − y + 1) = −11 Do x, y nguyên nên x + y + x − y + số nguyên 2) (2đ) Do đo xảy trường hợp sau x + y + =1 x − y + = -11 Tìm x =-3 y = 0, 25 0,25 0,25 0,25 x + y + =-1 x − y + = 11 Tìm x = y = -3 0,25 x + y + =11 x − y + = -1 Tìm x = y = 0,25 x + y + = -11 x − y + = Tìm x = -3 y = - 0,25 KL:……………………… 0,25 Cho số a, b, c ∈ [ ; 1] Chứng minh : a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ Vì b, c ∈ [ 0;1] nên suy b ≤ b; c3 ≤ c 0,25 Do đó: a + b + c – ab – bc – ca ≤ a + b + c – ab – bc – ca (1) 0,5 Lại có: a + b + c – ab – bc – ca = (a – 1)(b – 1)(c – 1) – abc + (2) 0,5 Vì a, b, c ∈ [ ; 1] nên (a – 1)(b – 1)(c – 1) ≤ ; – abc ≤ 0,25 Do từ (2) suy a + b + c – ab – bc – ca ≤ (3) 0,25 Từ (1) (3) suy a + b + c – ab – bc – ca ≤ 0,25 (2đ) 3 Hình vẽ: A I O E ( 5,5đ) 1) (2đ) D B M K C Xét ∆BIO ∆CMO có: · · IBO = MCO (= 450 ) ( tính chất đường chéo hình vng) BO = CO ( tính chất đường chéo hình vuông) · · · ( phụ với BOM ) BOI = COM N 1,0 2) (1,5đ) 3) (2đ) ⇒ ∆BIO = ∆CMO (g.c.g) ⇒ S BIO = SCMO mà S BMOI = S BOI + S BMO 1 Do S BMOI = SCMO + S BMO = S BOC = S ABCD = a 4 Ta có ∆BIO = ∆CMO (cmt) ⇒ CM = BI ( cặp cạnh tương ứng) ⇒ BM = AI BM AM IA AM = ⇒ = Vì CN // AB nên Từ suy IM // BN CM MN IB MN · · Ta có OI = OM ( ∆BIO = ∆CMO ) ⇒ ∆IOM cân O ⇒ IMO = MIO = 450 · · · · Vì IM // BN ⇒ BKM = IMO = 450 ⇒ BKM = BCO Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ∆ADE = ∆ABM ( g c.g ) ⇒ AE = AM Ta có ∆ANE vng A có AD ⊥ NE nên AD.NE AN AE S AEN = = ⇒ AD.NE = AN AE ⇒ ( AD.NE ) = ( AN AE ) 2 Áp dụng định lí Pitago vào ∆ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AN + AE 1 1 ⇒ AD ( AN + AE ) = AN AE ⇒ = ⇒ + = 2 2 AN AE AD AE AN AD 1 = + Mà AE = AM CD = AD ⇒ 2 CD AM AN Hình vẽ: 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 A d E G D I M B C K (1,5 đ) Gọi M trung điểm BC AB AI = (1) AD AG AC AK = (2) Qua C vẽ đường thẳng song song với d cắt AM K, ta có: AE AG AB AC AI + AK + = (3) Từ (1) (2) suy ra: AD AE AG Mặt khác: AI + AK = (AM - MI) + (AM + MK) = 2AM (4) (vì MI = MK ∆ BMI = ∆ CMK) AB AC AM AM + = = =3 Từ (3) (4) suy ra: AD AE AG AM Qua B vẽ đường thẳng song song với d cắt AM I, ta có: 0,25 0,25 0,5 0,5 ... bày cách giải với ý học sinh phải trình bày, học sinh giải theo cách khác mà đủ bước cho điểm tối đa 2) Điểm toàn tổng điểm ý, câu khơng làm trịn II Đáp án thang điểm: Bài Ý Nội dung trình bày... + 12 = y ⇔ ( x + 1) − y = −11 (4đ) ⇔ ( x + y + 1) ( x − y + 1) = −11 Do x, y nguyên nên x + y + x − y + số nguyên 2) (2đ) Do đo xảy trường hợp sau x + y + =1 x − y + = -11 Tìm x =-3 y = 0, 25