PHÒNGD-ĐT VŨ THƯ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008 MƠN: TỐN LỚP THỜI GIAN LM BI : 120 PHT Bài 1: (5điểm) 1) Thực phép tính (theo cách hợp lí có thể) 2009 a)2008 2009 2007 1004 2007 2 9 10 b) 412 169 3 : 16 2 10 2) Chứng tỏ rằng: + + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31 Bài 2: (4điểm) 1) Tìm x biết: : x 0, 25 12 y z 2) Tìm ba số x,y,z biết rằng: 2x x y z 20 Bài 3: (4điểm) Cho hai đa thức : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x Đặt H(x) = P(x) - Q(x) 1) Chứng minh đa thức H(x) khơng có nghiệm 2) Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x Z Bài 4: (5điểm) Cho tam giác ABC, cạnh AB AC theo thứ tự lấy điểm M,N cho AM = AN (M nằm A B, N nằm A C) 1) Chứng minh : Nếu AB = AC BN = CM 2) Cho biết AB > AC: a) Chứng minh : BN > CM b) Gọi giao điểm BN CM K, so sánh BK CK Bài 5: (2điểm) Chứng minh rằng: 1 1 với n N, n 4 2 n HƯỚNG DẪN GIẢI-VŨ THƯ Bài 1: Câu 1: 3,5 đ - ý a: 1,5 đ; ý b: 2đ; Câu 2: 1,5 đ 1) Thực phép tính (theo cách hợp lí có thể) 2009 a)2008 2009 2007 1004 2007 2008 2008.2009 2009 2 2.2009 1004 2007 2007 2008 2009 2.2009 2.2009 2007 2007 2008 2009 1 2007 2007 2007 (0,5đ) 2 9 10 b) 12 16 218 230 24 (0,5đ) 236 10 (0,5đ) 10 3 9 3 210 : 40 224 236 218 (1 212 ) 1 24 (0,5đ) 12 (1 ) 64 3 : 16 (0,5đ) 10 (0,5đ) 2) Chứng tỏ + + 52 + 53 + + 529 chia hết cho 31 + + 52 + 53 + + 529 =(1 + + 52) + (53 + 54 + 55) + +( 527 + 528 + 529) (0,25đ) = (1 + + 52) + 53 (1+ + 52) + + 527 (1 + + 52) (0,5đ) 27 = 31 + 31 + + 31 (0,25đ) 27 = 31.(1 + + + ) chia hết cho 31 (0,25đ) 29 Vậy + + + + + chia hết cho 31 (0,25đ) Bài Mỗi câu cho đ Bài Làm câu cho 2điểm 1.Chứng minh đa thức H(x) khơng có nghiệm +Tính H(x) = x2 + 2x + (1đ) = ( x + 1) + (0,25đ) Do x 1 0x (0,25đ) x 1 1 0x => H(x) khơng có nghiệm 2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x Z H(x) = x2 + 2x + = x(x + 2) + Giả sử tồn x Z để H(x)= 2008 => x(x + 2) + = 2008 => x(x + 2) = 2006 => x x+ chia hết cho => x x+ chia hết cho => x(x + 2) chia hết cho tức 2006 không chia hết cho Mâu thuẫn, 2006 khơng chia hết cho 4, điều giả sử sai (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Vậy H(x) 2008 với x Z Bài Câu 1: 1đ: Câu 2: 4đ A VABN VACM(cgc) BN CM 1) M N B 2) ý a cho 2điểm, ý b cho điểm a) Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = AC Khi D nằm B M Nối D với N +.c/m: VADN VACM(c.g.c) DN CM · · +.Trong VADC có ADN ACM 180 · => ADN 90 · · · Mà BDN NDA 180 BDN 90 => Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM => BN > CM b) Gọi giao điểm DN CM I Ta c/m : VDNM VCMN C A M I D K B · · INM IMN Do D nằm B M nên tia ND nằm tia NB NM · · · · BNM DNM KNM INM => · · KNM KMN KM KN Mặt khác theo c/m ta có : BN > CM => BK > CK Bài 1 1 với n N, n 4 2 n 1669 BĐT +.Với n = dễ dành tính giá trị biểu thức 3600 Chứng minh rằng: +.Với n > 1 1 1 có k N; k 2 k k(k 1) n 1 1 1 1669 1 A ( ) n 3600 5.6 6.7 n(n 1) 1669 1 1 A 3600 n n 1669 1 1669 2389 A ( ) ( ) 3600 n 3600 3600 Đặt A N C