TRƯỜNG THCS HỒ TÙNG MẬU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 MƠN THI: TỐN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4,5 điểm) 2 1) Tính giá trị biểu thức: A : : 15 11 22 12 2) Tìm x, biết: x : 2 13 3) Tính giá trị biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn: (x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 0 Câu 2: (4,5 điểm) x y y z ; x y z 14 2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 3 1 1 3) Tìm số nguyên x, biết rằng: 15 x : 7 2 3 1) Tìm số x, y, z biết: Câu 3: (5,0 điểm) 1) Cho số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết : a c e b d f af – be = 2) Cho A 1 Chứng minh : d ≥ b + f 1 1 A 2013 , B 1 So sánh với 4026 4025 B 2014 Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C) Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Đường vng góc với BC kẻ từ D cắt BA M Đường vng góc với BC kẻ từ E cắt tia AC N MN cắt BC I 1) Chứng minh rằng: DM = EN 2) Chứng minh IM = IN; BC < MN 3) Gọi O giao đường phân giác góc A đường thẳng vng góc với MN I Chứng minh rằng: BMO CNO Từ suy điểm O cố định Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E cho DAE ECB ABD (E nằm B D) Chứng minh DAE Hết MƠN THI: TỐN Câu Hướng dẫn 22 1) (1,5đ) A : : 9 22 3 13 12 2) (1,5đ) Ta có: x x 13 Câu1: 2014 3) (1,5đ) Vì (x - 2) 0; (2y – 1) với x, y nên 4,5đ 2014 (x - 2) + (2y – 1) Mà (x - 2) + (2y – 1) 2014 Suy (x - 2)4 = (2y – 1) 2014 = suy x = 2, y = Khi M = 44 x y y z x y z ; 12 16 x y z 2x y z 2x y z 14 Vậy: 12 16 18 12 16 18 12 16 14 1) (1,5đ) Từ Suy x = -9; y = -12; z = -16 2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x + Dễ thấy x – < x + Câu2: 4,5đ 2 ) > suy x – x + dấu 3 dương x – > x > 2 x – x + âm x + < x < 3 Vậy x > x < 3 3 2 3)(1,5đ) Ta có 15 15 21 9 7 5 1 1 : 14 2 3 Do đó: x 14 x nguyên nên x 9;10;11;12;13;14 Câu3: 1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014 (5.0đ) (Vì x + y = 0) 2)(2,0đ) Vì p(x) 5 với x nguyên nên p (0) = d p (1) = a + b + c + d 5 (1) p (- 1) = - a + b - c + d 5 (2) Từ (1) (2) suy : 2(b + d) 5 2(a + c) 5 Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = nên b+ d 5 suy b 5 p (2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d 5; b 5 nên 8a + 2c 5, kết hợp với 2(a + c) 5 suy 6a 5 suy a 5 (6,5) = từ c 5 Vậy a, b, c, d chia hết cho Ta có 1,5 1,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 nên ta có: x – x + 1 1 C A B 4026 1 1 1 1 B 1 C (1) 4025 4026 3)(1,5đ) Đặt Điểm 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 1,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Lại có 2013 1 1 1 1 C 4026 2 2 2 2 0,25 2013 sohang C 2013 (2) C C 2013B 2014C 2013 C 2013 CB 2013 A 2013 1 1 Do đó: B 2014 B 2014 B 2014 0,5 Từ (1) (2) suy B A M B I C E D N Câu4: 1) (1,5đ) O (4,5đ) Tam giác ABC cân A nên ABC ACB; Do đó: MDB NEC ( g.c.g ) DM EN NCE ACB; (đối đỉnh) 2) (1,5đ)Ta có MDI NEI ( g c.g ) MI NI Vì BD = CE nên BC = DE Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN Suy BC < MN 3)(1,5đ) Ta chứng minh được: ABO ACO (c.g.c) OC OB, ABO ACO MIO NIO (c.g c) OM ON 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Lại có: BM = CN, BMO CNO(c.c.c) 0,25 , Mà: MBO MBO NCO ACO suy NCO ACO , 0,5 mà hai góc kề bù nên CO AN Vì tam giác ABC cho trước, O giao phân giác góc A đường 0,25 vng góc với AC C nên O cố dịnh A F G D E H B C Câu5: (1,5đ) Vẽ AF vng góc BD, CG vng góc BD, CH vng góc với AE Ta có ABF CAH (cạnh huỳen – góc nhon) Suy ra: AF = CH ADF CDG (ch gn) suy AF = CG Từ ta có CH = CG 0,25 CEH CEG (ch cgv) CEH CEG ; Mà CEG EBC ECB ; CEH EAC ECA ; Do đó: EBC ECB EAC ECA ; (1) 0,5 Măth khác: EBA EBC ECB ECA ; (2) ECB EBA EAC ECB EBA ECB lấy (1) trừ (2) theo vế ta có: EBA ECB Mà DAE ECB ABD nên DAE 0,5 0,25 Giải: d = d( af – be ) = adf – bed = ( adf – bcf ) + ( bcf – bed ) = f( ad – bc ) + b ( cf – ed ) ≥ f.1 + b.1 = f + b Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm