Hsg thcs hồng hà 2015 2016

PHỊNG GD&ĐT TAM NƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP TRƯỜNG THCS HỒNG ĐÀ NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (3 điểm) a Tính giá trị biểu thức: 212.13  212.65 310.11  310.5 + 210.104 b Cho A = + 32 + 33 + …+ 32015 Tìm số tự nhiên n biết 2A + = 3n Câu (5 điểm) y  z 1 x  z  y  x     x y z xyz x  x  x  x 1    b Tìm x: 2012 2013 2014 2015 a Tìm số x; y; z biết rằng: c Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 + 2016x Câu (5 điểm) a Cho A x 1 x Tìm số nguyên x để A số nguyên b Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x  15 x2  c Tìm số nguyên x,y cho x - 2xy + y = Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a AC = EB AC // BE b Gọi I điểm AC; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng   c Từ E kẻ EH  BC  H  BC  Biết HBE = 50o; MEB =25o   Tính HEM BME Câu (2 điểm) Từ điểm I tùy ý tam giác ABC, kẻ IM, IN, IP vng góc với BC, CA, AB Chứng minh rằng: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHỊNG GD&ĐT TAM NƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS HỒNG ĐÀ Câu THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi : Tốn Điểm Nội dung Câu 212.78 310.16 a b, = 10 + 104 39.16 1,0 =3+3 =6 0,5 b Tìm n = 2010 1,5 a Theo tính chất dãy tỉ số ta có : Câu y  z 1 x  z  y  x     x y z xyz y  z   x  z   y  x  2( x  y  z )  2 = x yz x yz ( Vì x+y+z 0) Do x+y+z = 0,5 Thay kết vào đề ta có: 0,5  x  0,5  y  0,5  z  1,5  x 2,5  y  2,5  z   2 tức   2 x y z x y z 5 Vậy x  ; y  ; z  6 x  x  x  x 1 b    2012 2013 2014 2015 x4 x 3 x2 x 1  1  1  1  1 2012 2013 2014 2015 1 1  ( x  2016)(    ) 0 2012 2013 2014 2015 1 1  x  2016 0 (Vì    0) 2012 2013 2014 2015  x  2016 0,5 0,5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy giá trị x cần tìm : x = -2016 c Ta có : x2+2014x = x(x+2014) x x+2014 x(x+2014) 0,5 - -2014 + + - 0,5 + + + 0.5 Vậy x +2014x > x < -2014 x > Câu a A  Để A số nguyên x  ước 4, tức Vậy giá trị x cần tìm : ; ; 16 ;25 ;49 b B = 0,5 x 1 x  34  1  x x x   12 x   12 x  15 = =1+ 2 x 3 x 3 x 3 x   1; 2; 4  0,5 0,5 Ta có: x  Dấu ‘ =’ sảy x = 0,5  x +  ( vế dương )  12 x 3  12  12 12   1+  1+ x 3 x 3 0,5  B 5 Dấu ‘ =’ sảy x = 0,5 Vậy Max B =  x = c Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trường hợp sau : 0,25 0,25 1  y 1  x 0    2 x    y 0 1  y   x 1   Hoặc  2 x  1  y 1 0,25 0,25 Vậy có cặp số x, y thoả mãn điều kiện đầu Câu Vẽ hình A I M B 0,5 C H K E Câu Câu Nội dung a Xét AMC EMB có : AMC = EMB  (đối đỉnh ) AM = EM Điểm (gt ) 0,5 BM = MC (gt )  AC = EB  AMC Nên : = EMB (c.g.c ) 0,5   Vì AMC = EMB  MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt 0,5 đường thẳng AE ) Suy AC // BE b Xét AMI EMK có : AM = EM (gt )   = MEK ( AMC EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c )  Suy AMI = EMK  Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )    EMK + IME = 180o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng  = 90o ) có HBE  c Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o   = 90o - HBE = 90o - 50o =40o  HEB    = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o  HEM    Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) Câu Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vng NIA NIC ta có: AN2 =IA2 – IN2; CN2 = IC2 – IN2  CN2 – AN2 = IC2 – IA2 (1) Tương tự ta có: AP2 - BP2 = IA2 – IB2 (2) MB2 – CM2 = IB2 – IC2 (3) Từ (1); (2) (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 Lưu ý: Nếu học sinh có cách làm khác cho điểm tối đa 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5