Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 67 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ TRƯỜNG THCS BỒ LÝ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN NĂM HỌC 2015-2016 Mơn thi : TỐN Câu (3 điểm) Cho đa thức : A( x) = x − x + x − x + B ( x) = x − x + x − x + C ( x) = x + x + x − x + 16 a) Tính M ( x ) = A ( x ) − B ( x ) + C ( x ) b) Tính giá trị M ( x ) x = − 0,25 c) Có giá trị x để M ( x) = không ? Câu (6 điểm) y + z +1 x + z + y + x − = = = x y z x+ y+z a) Tìm số x, y, z biết rằng: x + x + x + x +1 + = + b) Tìm x : 2010 2011 2012 2013 c) Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x + 2014 x Câu (4 điểm) x +1 A= x − a) Cho Tìm số nguyên x để A số nguyên x + 15 B= x +3 b) Tìm giá trị lớn biểu thức Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC , M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC / / BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50 , MEB = 25 · · Tính HEM BME Câu (2 điểm) Từ điểm I tùy ý tam giác ABC , kẻ IM , IN , IP vng góc 2 2 2 với BC , CA, AB Chứng minh rằng: AN + BP + CM = AP + BM + CN https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN Câu a) M ( x) = A( x) − B( x) + C ( x) = x − x3 + x − x + − ( x5 − x + x − x + 3) + x + x 3 = 5x4 + 2x2 + 16 16 b) Thay x = − 0,25 vào biểu thức M ( x ) ta được: − 0,25 + − 0,25 + 16 = 0,3125 + 0,5 + = 15 c) Ta có: 1 M ( x ) = x + x + = x + x + ÷+ − 16 25 16 +3 x − x + ( ) ( ) 1 = 5 x2 + ÷ − 80 1 M ( x) = ⇒ x + ÷ − = ⇔ x2 = − 80 20 (vô lý) M x =0 Vậy khơng có giá trị x để ( ) Câu a) Theo tính chất dãy tỉ số ta có : y + z +1 x + z + y + x − = = = x y z x+ y+z y + z + + x + z + + y + x − 2( x + y + z ) = =2 x+ y+z x+ y+z Vì x + y + z ≠ , đó: x + y + z = 0,5 Thay vào đề ta có: 0,5 − x + 0,5 − y + 0,5 − z − 5 = = = 2⇒ x = ; y = ;z = − x y z 6 x + x + x + x +1 b) + = + 2010 2011 2012 2013 x+4 x+3 x+2 x +1 ⇔ +1+ +1 = +1+ +1 2010 2011 2012 2013 1 ⇔ ( x + 2014 ) + − − ÷= 2010 2011 2012 2013 ⇔ x + 2014 = ⇔ x = −2014 = https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x < −2014 c) x + 2014 x = x ( x + 2014 ) > ⇒ x > Câu x +1 x −3+ 4 a) A = = =1+ x −3 x −3 x −3 x − = { ±1; ±2; ±4} Để A số nguyên x − ước 4, tức Vậy giá trị x cần tìm là: 1;4;16;25;49 x + 15 x + + 12 12 B= = =1+ 2 x +3 x +3 x +3 b) 2 Ta có: x ≥ Dấu " = " xảy ⇔ x = ⇒ x + ≥ (2 vế dương) 12 12 12 12 ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒1+ ≤1+ x +3 x +3 x +3 ⇒ B≤5 Dấu " = " xảy x = Vậy MaxB = ⇔ x = Câu · · a) Xét ∆AMC ∆EMB có: AM = EM ( gt ); AMC = EMB (đối đỉnh); BM = MC ( gt ) Nên ∆AMC = ∆EMB (c.g c) ⇒ AC = EB https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ · · Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) suy AC / / BE · · b) Xét ∆AMI ∆EMK có: AM = EM ( gt ); MAI = MEK (vì ∆AMC = ∆EMB ) · · AI = EK ( gt ) ⇒ ∆AMI = ∆EMK (c.g c) ⇒ AMI = EMK 0 · · · · Mà AMI + IME = 180 (tính chất kề bù ) nên EMK + IME = 180 Suy ba điểm I , M , K thẳng hàng µ = 900 BHE H · c) Trong tam giác vng có HBE = 50 · · ⇒ HEB = 900 − HBE = 900 − 500 = 400 · · · ⇒ HEM = HEB − MEB = 400 − 250 = 150 0 · · · Nên BME = HEM + MHE = 15 + 90 = 105 (định lý góc ngồi tam giác) Câu ( ) Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng NIA NIC ta có: AN = IA2 − IN ; CN = IC − IN ⇒ CN − AN = IC − IA2 (1) Tương tự ta có: AP − BP = IA2 − IB (2) MB − CM = IB − IC (3) 2 2 2 Từ (1), (2), (3) ta có: AN + BP + CM = AP + BM + CN BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 270 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=140k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 320 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=160k; 257 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=130k 64 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k; 77 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2020-2021)=80k; 95 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ SGD & ĐT TRÀ VINH TRƯỜNGPTDT NT THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VOØNG TRƯỜNG NĂM 2010-2011 MƠN TỐN KHỐI THỜI GIAN: 180 phút Câu 1: (4điểm) Tìm số tự nhiên x y, biết rằng: a / x +1.3 y = 12 x b / 3x −1 + 5.3x −1 = 162 Câu 2: (3điểm) Tìm x, biết rằng: 3x − + = Câu 3: (4điểm) Tính 5 13 − − 10 ÷.230 + 46 27 6 25 E= 10 1 + ÷: 12 − 14 ÷ 7 3 Câu 4: (3điểm) Cho hình vẽ Chứng minh O trung điểm đoạn thẳng AD, BC A B 1200 O 600 C D Câu 5: (6điểm) Cho tam giác ABC, D trung điểm AB Đường thẳng qua D song song với BC cắt AC E, đường thẳng qua E song song với AB cắt BC F Chứng minh rằng: a AD = EF b ∆ ADE = ∆ EFC c AE = EC https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI-TRÀ VINH ĐÁP ÁN CÂU Câu a / x +1.3 y = 22 x.3x (4điểm) 22 x y = x +1 3x ⇔ x −1 = y − x ⇔ x −1 = y − x = ⇔ 0,5 ⇔ x = y =1 0,5 0,25 0,25 0,5 b / 3x −1 ( + ) = 162 ⇔ 3x −1 = 27 0,5 0,5 0,25 0,25 ⇔ 3x −1 = 33 ⇔ x −1 = ⇔ x=4 3x − + = Câu (3điểm) ⇔ 3x − = 0,25 0,25 ⇔ 3x − = ≥0⇔ x≥ * Neáu 3x -1 Ta coù: 3x – =2 ⇔ x = ( TMĐK) x − = 3x − ⇔x< * Neáu 3x – < Ta coù: - ( 3x – 1) = x − = − ( x − 1) ⇔ −3 x + = −1 5 25 *13 − − 10 = 27 108 25 213 * 230 = 108 25 213 * + 46 = 100 4 10 100 *1 + = 21 −41 *12 − 14 = 21 100 −41 −100 * : = 21 21 41 −100 −41 *100 : = 100 = −41 41 100 ⇔x= Câu (4điểm) ĐIỂM 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Kết quả: E = - 41 1.0 Câu Ta có: Hai đường thẳng AB, CD tạo với BD hai góc 0,5 0 (3điểm) phía bù (120 + 60 = 180 ) 0,5 Neân AB PCD ∧ ∧ ∧ ∧ Suy A = D1 , B1 = C (so le trong) Tam giaùc AOB = tam giaùc DOC (g.c.g) Suy OA = OD (cặp góc tương ứng) OB = OC Vậy O trung điểm đoạn thẳng Câu a/ Nối D với F ∧ ∧ ( 6điểm D3 = F2 ( DB PEF ) Ta có : ) DF chung ∧ ∧ 0,25 D2 = F3 ( DE P BF ) ⇒ ∆DEF = ∆FBD ( g c.g ) 0,5 0,25 0,25 0,25 ⇒ EF = BD Maø BD = DA Suy AD = EF b/ Ta có: AB PEF ∧ suy Và 0,5 0,5 0,25 0,25 ∧ A = E1 ( đ/vị) AD = EF AD P EF , DE P FC ∧ ∧ ∧ D1 = F Nên ( B ) Suy ∆ADE = ∆EFC ( g c.g ) c/ ∆ADE = ∆EFC ( g c.g ) ( câu b/ ) suy AE = EC ( cặp cạnh tương ứng ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2016 – 2017 Mơn Tốn ( Thời gian : 120 phút) Bài : (4 điểm) 100 100.99 99.98 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 98.97 Rút gọn A = 2,Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 1 - …… - 3.2 - 2.1 2.22 + 3.23 + 4.24 + + ( n − 1).2n −1 + n.2n = 2n + 34 0,5 0,5 0,5 0,5 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bài : ( điểm ) xy yz zx x2 + y + z = = = 2 y + x z + y x + z + 42 + 62 Tìm số x, y, z biết: Chứng minh khơng thể tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn : x − y + y − z + z − x = 2017 Bài 3: ( điểm) 99 100 Chứng minh : + + + + + + + chia hết cho 31 Bài : ( điểm) ( ) Tìm giá trị lớn biểu thức : Bài : ( điểm) : Cho ∆ ABC có góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác góc A góc C cắt O Gọi F hình chiếu O BC ; H hình chiếu O AC Lấy điểm I đoạn FC cho FI = AH Gọi K giao điểm FH AI a Chứng minh ∆ FCH cân ; b Chứng minh AK = KI ; c Chứng minh điểm B, O, K thẳng hàng P = (2 x − y ) − 15 y − x − xy − 90 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN NĂM HỌC 2016 - 2017 ( Thời gian làm bài: 120 phút) Bài Câu Nội dung Điểm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1.1 0,25 1 1 1 − − − − − − (4đ) (2 3.2 2.1 A = 100 100.99 99.98 98.97 đ) 1 1 − + + + + + 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 ÷ A = 1 1 1 − + + + + + 97.98 98.99 99.100 ÷ A = 100 1.2 2.3 0,25 1 1 1 1 − 1 − + − + + − + − + − 97 98 98 99 99 100 ÷ A = 100 2 0,25 0,25 A = − 1 − 100 100 ÷ 0,25 A = 1 −1 + 100 100 0,25 A = −1 100 0,25 A = −1 50 A = 1.2 (2 đ) − 49 50 0,25 2.22 + 3.23 + 4.24 + + (n − 1).2n −1 + n.2n = 2n + 34 Đặt B = 2.2 + 3.2 + 4.2 + + ( n − 1).2 n −1 + n.2 (1) n 0,25 n −1 n Suy B = 2.(2.2 + 3.2 + 4.2 + + ( n − 1).2 + n.2 ) = 2.23 + 3.2 + 4.25 + + ( n − 1).2 n + n.2 n +1 n n +1 2B – B = (2.2 + 3.2 + 4.2 + + ( n − 1).2 + n.2 ) - 0,25 (2.2 + 3.23 + 4.24 + + ( n − 1).2 n −1 + n.2 n ) B = −23 − − 25 − − n + n.2 n +1 − 2.2 = −(23 + 24 + 25 + + n ) + n.2n +1 − 23 0,25 n Đặt C = + + + + n C = 2.(2 + + + + ) Suy = + 25 + 26 + + n+1 n +1 n 2C – C = (2 + + + + ) - (2 + + + + ) 0,25 n+1 C = −2 n +1 n +1 Khi : B = −(2 − ) + n.2 − 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ = −2n +1 + 23 + n.2n +1 − 23 = −2n +1 + n.2n +1 = (n − 1).2n +1 0,25 n +1 n + 34 Vậy từ (1) ta có : ( n − 1).2 = 2n + 34 − (n − 1).2n +1 = 2n +1 233 − (n − 1) = Do (5đ) 2.1 3,0đ 0,25 233 − n + = (Vì 2n+1 ≠ với n) n = 233 + Vậy n = 233 + 0,25 xy yz zx x2 + y + z = = = 2 Tìm số x, y, z biết: y + x z + y x + z + + (2) Xét x = ⇒ y = z = ⇒ y + z = (vơ lí) Suy x ≠ 0; y ≠ 0; z ≠ Khi từ (2) suy 0,25 0,25 y + 4x 4z + y 6x + 2z + + = = = xy yz zx x + y2 + z2 Suy Thay 2 4 6 22 + + + = + = + = x y y z z x x2 + y2 + z Suy Đặt 2 = = x y z ⇒ = = = (k ≠ 0) x y z k 22 + 42 + 62 = 2 2 x +y +z x 0,50 22 + 42 + 2 = x2 + y + z k 0,25 x = 2k ; y = 4k ; z = 6k va x + y + z = 28k (3) x = 2k ; y = 4k ; z = 6k vào (3) ta : ( 2k ) 2 0,50 0,50 + ( 4k ) + ( 6k ) = 28k 2 56k2 – 28k = 56k.(2k-1) = ⇒ k = (loại) Hoặc k= 0,25 ( thỏa mãn) 0,25 k= tìm x =1 ; y = 2; z = + Với 2.2 2,0đ 0,25 Kết luận: Vậy x =1 ; y = 2; z = Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x, y, z thỏa mãn : x − y + y − z + z − x = 2017 Ta có x − y + y − z + z − x = x − y + ( x − y) + y − z + ( y − z) + z − x + ( z − x) 2 x x +x= 0 Với số nguyên x ta lại có Suy x +x Nếu x ≥ 0,25 Nếu x < số chẵn với số nguyên x 10 0,25 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Cho số a, b, c, d Biết a = 3b = 4c = 5d ab – c2 – d2 = 831 Tính b- c Bài (1,5 điểm): Tìm số tự nhiên n Biết gạch bỏ chữ số n số nhỏ số n 2012 đơn vị Bài (3 điểm): Cho góc nhọn xOy tia phân giác Ot Trên tia Oy lấy điểm A Đường trung trực OA cắt tia Ox F Trên tia Ay lấy điểm B cho AB = AF BF cắt Ot E a) Chứng minh E thuộc đường trung trực FA b) So sánh EF EB Hết Sở GD&ĐT TP Đà Nẵng Trường THCS Nguyễn Khuyến Kỳ thi giải Nguyễn Khuyến – Lần thứ XII Năm học 2011 – 2012 Hướng dẫn chấm Bộ mơn: Tốn- Lớp Bài (1 điểm): B = 2.2+2.4+2.6+…+2.98+100 A = 2.1+2.3+2.5+….+2.99 B – A = + + +… + +2(50-99) = 2.49+ 2(-49) =0 Vậy A = B Bài (2,5 điểm): a) Giải: x2 - 2(x+3) = x - ⇔ x2 – 3x = ⇔ x(x+3) = ⇔ x = hoặc x= 39 15 39 15 − 3x = ⇔ 3x = − = 12 ⇔ x = ±2 2 b) Giải: 39 15 39 15 − 3x = − ⇔ 3x = + = 27 ⇔ x = ±3 2 2 Bài (2 điểm): Giải: a = 3b = 4c = 5d ⇒ 53 (1 đ) (0,5 đ) (1 đ) (1 đ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a b c d ab c2 d2 ab − c − d = = = ⇔ = = = 60 20 15 12 1200 225 144 1200 − 225 − 144 (1 đ) d 831 = ⇔ d = 12 ⇒ b = 20; c = 15 ⇒ b − c = ⇔ 144 831 d = −12 ⇒ b = −20; c = −15 ⇒ b − c = −5 (0,5 đ) (0,5 đ) Bài (2 điểm): Giải: Gọi chữ số bị gạch x, số m Nếu x chữ số tận n số m số n có chữ số tận Do n- m tận ⇒ n- m chia hết cho 10 mà 2012 không chia hết cho 10 Vậy x chữ số tận n (0,5 đ) Ta có: n = Ax ⇒ Ax − A = 2012 ⇔ A + x = 2012 ⇒ 2012 − 10 < A ≤ 2012 Mà A số tự nhiên nên A = 223 ⇒ x =5 Vậy n = 2235 (1 đ) Bài (3 điểm): Hình vẽ 0,5 đ Giải:a)F thuộc đường trung trực FA ⇒ FO=FA ⇒ ∆ OFA cân F ⇒ ∠ FOA = ∠ FAO = ∠ EOB = ∠ FOE AF = AB ⇒ ∆ FAB cân A ⇒ ∠ AFB = ∠ ABF ⇒ ∠ FAO = ∠ FBA Vậy: ∠ EOB = ∠ EBO ⇒ OE = EB (0,5 đ) ∆ OFE = ∆ BAE(OF = AB ; OE = EB, ∠ FOE = ∠ EBO) ⇒ EF= EA ⇒ E thuộc đường trung trực FA (1 đ) x ⇒ ∠ ∠ ≤ b) FOA 90 FOE< 45 ∆ OFE có ∠ OFE = 1800 - ∠ FOE =3(600- ∠ FOE) > 3(600-450)= 450 > ∠ FOE t F E ∆ OFE có ∠ OFE > ∠ FOE ⇒ OE = EB > FE (1 đ) Cách khác: ∠ EAB > ∠ EOA (góc ngồi ∆ EAB) Mà ∠ EOA = ∠ EBA y ⇒ ∠ EAB > ∠ EBA O B A ⇒ EB > EA mà EA =FE ⇒ EB > FE TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA a c = Câu (5 điểm) Cho c b chứng minh : a −c c −b a) = a +c c +b a2 + c2 a b) 2 = b +c b ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013-2014 b2 − a b − a c) 2 = a +c a 1+ 3y 1+ y 1+ y = = 5x 4x Câu (2 điểm) Tìm x, y , z biết 12 Câu (4 điểm) 1 1 1 < + + + + < 100 a) Chứng minh rằng: 6 2a + 5a + 17 3a + − a + a + số nguyên b) Tìm số nguyên a để: a + Câu (2 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức Câu (7 điểm) 54 A= x + 1996 −1997 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Cho tam giác ABC vuông A, có góc C = 30 , đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD = HB Từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh: a) Tam giác ABD tam giác b) AH = CE c) EH song song với AC ĐÁP ÁN HSG TỐN BÍCH HỊA 2013-2014 Câu a c a−c a+c a−c c−b = = = ⇒ = a) Từ c b c − b c + b a + c c + b a + c a + ab a (a + b) a a c = = = = ⇒ c = a.b 2 b) Từ c b đó: b + c b + ab b(a + b) b a2 + c2 a b2 + c b = ⇒ = 2 c) Theo câu b, ta có: b + c b a + b a b2 + c2 b b2 + c2 b b2 + c − a − c b − a = ⇒ 2 − = − hay = 2 a a2 + c2 a Từ a + c a a + c b2 − a b − a = 2 a Vậy a + c Câu Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: + y + y + y + y −1 − y y + y −1 − y 2y = = = = = = 12 5x 4x x − 5x −x x − 12 x − 12 2y 2y ⇒ = ⇒ − x = x − 12 ⇒ x = − x x − 12 1+ 3y y −1 = = −y ⇒ y = −2 15 Thay x = vào ta 12 −1 x=2 ;y= 15 Vậy Câu A= a) Đặt Ta có : 1 1 + + + + 1002 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + + − < − < 4.5 5.6 6.7 99.100 5 6 99 100 100 * 1 1 1 A> + + + + = − > 5.6 6.7 99.100 100.101 101 * 1 1 1 < + + + + < 100 Vậy 6 2a + 5a + 17 3a 4a + 26 4a + 12 + 14 4.(a + 3) + 14 14 + − = = = =a+ a+3 a+3 a+3 a+3 a+3 a + số nguyên b) Ta có : a + A< Khi (a + 3) ước 14 mà Ư ( 14 ) = { ±1; ±2; ±7; ±14} 55 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Ta có a = −2; −4; −1; −5;10; 4;11; −17 Câu A < với giá trị x nên A đạt giá trị lớn A đạt giá trị nhỏ x + 1996 x + 1996 A= = −1997 1997 x ≥ ∀x nên x + 1996 ≥ 1996 1996 Vậy A nhỏ 1997 x = 1996 −1996 = = Suy GTLN A −1997 1997 x = Câu a) Tam giác ABD có AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên tam giác ABD cân A 0 µ Lại có B = 90 − 30 = 60 nên tam giác ABD tam giác 0 · · · · b) EAC = BAC − BAD = 90 − 60 = 30 = ACH ⇒ ∆AHC = ∆CEA (cạnh huyền – góc nhọn) Do đó: AH = CE c) ∆AHC = ∆CEA (cmt ) nên HC = EA · · ∆ADC cân D có ADC = DCA ( = 30 ) nên DA = DC Suy DE = DH Tam giác DEH cân D · · Hai tam giác cân ADC DEH có : ADC = EDH (hai góc đối đỉnh ) ·ACD = DHE · vị trí so le , suy EH / / AC 56 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ THCS TAM HƯNG ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP Năm học 2013-2014 Bài (3 điểm) a) x + ≤ b) ( x − 20 ) ( x − 15 ) ( x − 10 ) ( x − ) < Bài (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên a ) 2m − 2n = 2048 ( m; n ) thỏa mãn b)3m + n − mn = 16 Bài (4 điểm) a) Cho x, y, z, t số khác thỏa mãn điều kiện sau: y = xz , z = yt y + z + t ≠ y + z + x3 x = 3 y + z + t t Chứng minh: x + y − z = a−b x− y+ z = b−c b) Cho − x + y + z = c − a Chứng minh x + y + z = Bài (4 điểm) 2015 2014 2013 2012 a) Cho đa thức f ( x) = x − 2000 x + 2000 x − 2000 x + + 2000 x − Tính giá trị đa thức x = 1999 b) Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c Chứng tỏ rằng: f (−2) f (3) ≤ 13a + b + 2c = Bài (5 điểm) a) Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác ABC · · tam giác vuông cân ABD, ACE ABD = ACE = 90 1) Qua C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt đường thẳng AH K Chứng minh CD vng góc với BK 2) Chứng minh ba đường thẳng AH , BE , CD đồng quy b) Cho hai điểm B C nằm đoạn thẳng AD cho AB = CD Lấy điểm M tùy ý mặt phẳng Chứng minh MA + MD ≥ MB + MC 57 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TAM HƯNG 2013-2014 Bài a) Chỉ rõ x + ∈ { 0;1; 2} , rõ trường hợp kết luận x+5 = x +5 =1 x+5 = b) x Lý luận để có ( − 20 ) < ( x − 15 ) < ( x − 10 ) < ( x − ) Xét đủng trường hợp - Trường hợp có số âm tính x = ±4 - Trường hợp có số âm tính x = ±3 Bài 2.a) Ta có ⇔ 2m +11−11 − n +11−11 − 211 = ⇔ 211 ( m −11 − n −11 − 1) = ⇒ 2m −11 − n −11 = m = 12 Lý luận tìm n = 11 ( − n ) ( m − 4) = b) Biến đổi Xác định tích số nguyên có trường hợp ( m; n ) = ( 8; ) ; ( 0; ) ; ( 5; −1) ; ( 3;7 ) ; ( 6;1) ; ( 2;5 ) Kết luận Bài x y z = = a) Từ giả thiết suy y z t Lập phương tỉ số áp dụng tính chất dãy tỉ số để có x3 + y + z y3 + z3 + t x3 x x x x y z x = = = y y y y y z t t Mặt khác ta có: Suy điều phải chứng minh b) Cộng vế theo vế suy điều cần chứng minh Bài a) f ( x) = x 2015 − ( 1999 + 1) x 2014 + ( 1999 + 1) x 2013 − ( 1999 + 1) x 2012 + + ( 1999 + 1) x − Thay x=1999 ta f ( x ) = x 2015 − x 2015 + x 2014 − x 2014 + x 2013 − x 2013 + − x + x − Tính kết kết luận f (1999) = 1998 f ( −2 ) b) Tính f (3) ⇒ f (−2) + f (3) = 13a + b + 2c ⇒ f ( −2) = − f (3) ⇒ f (−2) f (3) = − f (3) f (3) = − [ f (3) ] ≤ Bài a) 1) Vẽ hình chứng minh đến hết 58 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 2) Chỉ AH , BE , CD ba đường cao ∆BCK b) Xét trường hợp *Trường hợp điểm M ∈ AD ta có: MA + MD > MB + MC *Trường hợp M ∉ AD , Gọi I trung điểm BC Trên tia đối tia IM lấy điểm N cho IM = IN ta có IB = IC AB = CD ⇒ AI = ID Vì AB + IB = IC + CD *Chứng minh ∆IMA = ∆IND (c.g c) ⇒ MA = ND - Điểm C nằm ∆MDN chứng minh ND + MD > NC + MC - Chứng minh ∆IBM = ∆ICN (c.g.c) suy MA + MD > MB + MC PHÒNG GD & ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2013-2014 Mơn thi: TỐN Bài (5 điểm) Cho dãy tỉ số nhau: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d Tính M= a+b b+c c+d d +a + + + c+d d +a a+b b+c Bài (3 điểm) Cho đa thức P ( x ) = x − x + x + x + Q ( x) = −2 x − x + x − a) Tính P( x) + Q( x) b) Tìm đa thức H ( x) biết Q( x) − H ( x) = −2 x − c) Tìm nghiệm đa thức H ( x) Bài (3 điểm) Tìm x biết: a ) x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = 3 − + y y = 11 101 + 1 5 b) x − = ÷ − + 11 101 1 − + 5 − + Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( x − 2) + y − x + Bài (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh rằng: a ) BA = BH · b) DBK = 450 c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác DEK ĐÁP ÁN HSG THANH OAI NĂM 2013-2014 Bài 59 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d Từ 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d ⇒ −1 = −1 = −1 = −1 a b c d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d ⇒ = = = a b c d Nếu a + b + c + d = ⇒ a + b = −(c + d ); (b + c) = −(a + d ) ⇒M = a+b b+c c+d d +a + + + = −4 c+d d +a a+b b+c a+b+c+d ≠ 0⇒ a =b = c = d ⇒ M = a+b b+c c+d d +a + + + =4 c+d d +a a +b b+c Nếu Bài 4 a) P( x) + Q( x) = x − x + x + x + − x − x + x − = x − x + 3x + 3x − 4 b) H ( x ) = Q( x) + x + = −2 x − x + x − + x + = − x + x c) H ( x) = − x + x = x(1 − x) = ⇒ x = 0; x = Bài a ) x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 ≥ x − 2010 + 2014 − x + x − 2012 ≥ (*) Mà x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = nên (*) xảy dấu “=” suy x − 2012 = ⇒ x = 2012 2010 ≤ x ≤ 2014 1 1 1 3 − + − + ÷ 11 101 + = + =1 b) y = 1 1 5 1 5 − + − + ÷ ÷ 11 101 1 1 −1 2x − = ÷ ⇒ 2x − = ⇒ x = 2x − = ⇒x= hoặc 2 Bài Ta có ( x − ) ≥ với x y − x ≥ với x, y ⇒ A ≥ với x, y ( x − ) = x = ⇒ y − x = y = Suy A nhỏ = Bài 60 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a) ∆ABD = ∆HBD (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ BA = BH b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK, cắt EK I Ta có AB = BH (cmt ); AE = AB ( gt ) AE = BI ( BA / / IE ) ⇒ BH = BI ∆HBK = ∆IBK (cạnh huyền – cạnh góc vng) µ =B ¶ ⇒B µ ¶ · mà B1 = B2 ⇒ DBK = 45 c) ∆ABD = ∆HBD ⇒ AD = DH ∆HBK = ∆IBK ⇒ HK = KI ⇒ KD = DH + Hk = AD + KI Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = DE + KE + AD + KI = AE + IE = AB = 2.4 = 8(cm) TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI OLYMPIC TỐN CẤP HUYỆN Năm học : 2013-2014 Mơn: Tốn Câu (6 điểm) 33 32000 3 3 − 81 − 81 − 81 − 81÷ ÷ ÷ ÷ 4 5 6 2003 a) Tính b) Tính giá tri biểu thức x + x − x thỏa mãn x − = Câu (5 điểm) x, y , z biết x −1 y − z − = = x − y + z = Tìm Câu (2 điểm) M= 15 − x 5− x Tìm giá trị nguyên lớn biểu thức Câu (7 điểm) Cho tam giác ABC vng A có góc C 30 Trên cạnh AB lấy điểm M cho 2 góc BCM góc ACB, cạnh AC lấy điểm N cho góc CBN góc ABC Gọi giao điểm CM BN K 61 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1/ Tính góc CKN 2/ Gọi F I theo thứ tự hình chiếu điểm K BC AC Trên tia đối tia IK lấy điểm D cho IK=ID, tia KF lấy điểm E cho KF = FE ( E ≠ K ) Chứng minh ∆DCE tam giác 3/ Chứng minh ba điểm D, N, E thẳng hàng 62 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐÁP ÁN HSG TOÁN XUÂN DƯƠNG 2013-2014 Câu 36 − 81 = a) Trong dãy số có tích x − =1 b) Ta có *x − = ⇔ x = * x − = −1 ⇔ x = Thay x = vào biểu thức ta : 6.1 + 5.1 − = Thay x = vào biểu thức ta 6.3 + 5.3 − = 67 Câu x −1 y − z − x −1 y − 4z − x −1 − y + + 4z − = = = = = = =2 12 12 − 12 + 12 x −1 y −3 z −2 = ⇒ x = 5; = ⇒ y = 11; =2⇒ z =8 Vậy x = 5; y = 11; z = Câu 15 − x 10 10 = 1+ M 5− x 5− x lớn − x lớn 10 − x (1) 10 10 >0 +) x < − x mà − x có tử khơng đổi nên phương trình có giá trị lớn mẫu M= nhỏ − x số nguyên dương nhỏ − x = ⇒ x = 10 = 10 Khi − x (2) 10 So sánh (1) (2) thấy − x lớn 10 Vậy GTLN M = 11 x=4 Câu 63 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0 µ µ µ 1) Có B = 60 (do A = 90 ; C = 30 ) 2 · CBN = ·ABC = 600 = 400 3 2 · BCM = ·ACB = 300 = 200 3 ·BKC = 1800 − CBN · · + BCM = 1800 − 600 = 1200 ( ) · ⇒ CKN = 1800 − 1200 = 600 (hai góc kề bù) · · 2) ∆KIC = ∆DIC (cgc) ⇒ CK = CD DCI = KCI (1) · · ∆KFC = ∆EFC ( cgc ) ⇒ CK = CE KCF = ECF (2) ⇒ CD = CE ⇒ ∆DCE cân Từ (1) (2) · · Có: DCE = ABC = 60 ⇒ ∆DCE 0 0 · · 3) Xét tam giác vng ANB có ANB = 90 − 20 = 70 ⇒ BNC = 110 ( · · · · · ∆CND = ∆CNK (c.c.c ) ⇒ DNC = KNC = 1100 ⇒ CDN = 600 NCD = 100 ; DNC = 1100 · ) Có ∆CDE (cmt) ⇒ CDE = 60 · · Do CDN = CDE = 60 Suy :Tia DN trùng với tia DE hay điểm D, N, E thẳng hàng PHÒNG GD & ĐT TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài (4 điểm) 64 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Tính a) A = 212.35 − 46.92 ( 3) + 84.35 − 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) 2011 2 3 ÷ − ÷ ( −1) b) B = 2 − ÷ ÷ 12 + 59.143 Bài (4 điểm) Tìm x, y,z biết x = ;5 x = z a) Tìm x, y , z biết y x − y + z = 32 y + z +1 x + z + x + y − = = = x y z x+ y+z b) Bài (4 điểm) a) Cho M= 42 − x x − 15 Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ x x+ 1 1 ÷ + ÷ b) Tìm x cho Bài (6 điểm) = 17 · Cho Oz tia phân giác xOy = 60 Từ điểm B tia Ox vẽ đường thẳng song song với tia Oy cắt Oz điểm C Kẻ BH ⊥ Oy; CM ⊥ Oy; BK ⊥ Oz ( H , M ∈ Oy; K ∈ Oz ) MC cắt Ox P Chứng minh a) K trung điểm OC b) ∆KMC tam giác c) OP > OC Bài (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 3a + 2b M17 ⇔ 10a + b M17 ( a, b ∈ ¢ ) b) Cho hàm số f ( x) xác định với x thuộc R Biết với x ta có 1 f ( x ) + f ÷ = x x Tính f (2) ĐÁP ÁN HSG TOÁN … NĂM 2014-2015 Bài a) Thực hiện theo bước cho điểm tối đa b) Thực hiện theo bước cho điểm tối đa c) Bài 65 72 B= A= https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ a ) x = 84, y = 56, z = 60 −5 b) x = , y = , z = 6 Bài 3, 42 − x 27 27 = −1 + ⇔ x − 15 x − 15 đạt GTNN x − 15 nhỏ a) Ta thấy 27 >0 Xét x − 15 > x − 15 27 27 < Xét x − 15 < x − 15 Vậy x − 15 nhỏ x − 15 < 27 Phân số x − 15 có tử dương mẫu âm 27 Khi x − 15 nhỏ x − 15 số nguyên âm lớn hay x − 15 = −1 ⇔ x = 14 Vậy x = 14 M nhỏ M = −28 M= b) x x+4 1 1 ÷ + ÷ 2 2 x x x 1 1 = 17 ⇔ ÷ + ÷ 2 2 x 1 1 ÷ = 17 ⇔ ÷ 2 2 x 17 1 ⇔ ÷ = 17 ⇔ ÷ = 16 ⇔ 2− x = ⇔ x = −4 16 2 66 + 1÷ = 17 16 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Bi ả à Ã a) ∆ABC có O1 = O2 (Oz tia phân giác xOy ) , O1 = C1 (Oy // BC, so le trong) ả =C OBC O cân B ⇒ BO = BC , mà BK ⊥ OC K ⇒ KC = KO (hai đường xiên ⇔ hai hình chiếu nhau) Hay K trung điểm OC (đpcm) b) Học sinh lập luận để chứng minh: ∆KMC cân µ 0 0 ¶ · Mặt khác ∆OMC có M = 90 ; O = 30 ⇒ MKC = 90 − 30 = 60 ⇒ ∆KMC · · · · c) ∆OMC vuông M ⇒ MCO nhọn ⇒ OCP tù (Hai góc MCO; OCP bù nhau) · Xét ∆OCP có OCP tù nên OP > OC Bài a) * 3a + 2bM17 ⇒ 10a + bM17 Ta có: 3a + 2bM17 ⇒ 9.(3a + 2b)M 17 ⇒ 27 a + 18b M 17 ⇒ ( 17a + 17b ) + ( 10a + b ) M 17 ⇒ 10a + b M 17 *10a + bM 17 ⇒ 3a + 2b M 17 Ta có: 10a + bM17 ⇒ ( 10a + b ) M 17 ⇒ 20a + 2b M 17 ⇒ 17 a + 3a + 2b M 17 ⇒ 3a + 2b M 17 b) Tính f (2) = −13 32 67 ... BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 270 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7= 140k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG. .. PHÚC=100k 225 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=110k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 35 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=40k 320 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=160k; 2 57 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=130k 64 ĐỀ ĐÁP... BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 270 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7= 140k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG