(Luận văn) phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– lu LÊ THỊ THU an n va p ie gh tn to d oa nl w PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP oi lm ul nf va an lu z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ THU lu an n va to p ie gh tn PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TÁCH HAI CẤP d oa nl w an lu TOÁN ỨNG DỤNG 8460112 oi lm ul nf va Chuyên ngành: Mã số: z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z gm @ Cán hướng dẫn khoa học l PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY m co an Lu n va THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 ac th si iii Mục lục Bảng ký hiệu Chữ viết tắt lu Lời cảm ơn an n va tn to p ie gh Mở đầu d oa nl w Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 1.1 Một số tốn tử khơng gian Hilbert 1.1.1 Một số tính chất không gian Hilbert 1.1.2 Ánh xạ không giãn toán tử chiếu 1.1.3 Toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ đơn 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 1.2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách oi lm ul nf va an lu z at nh điệu z Chương Phương pháp chiếu giải lớp bất đẳng phân tách hai cấp 2.1 Bài toán phương pháp 2.1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp 2.1.2 Phương pháp chiếu hội tụ 2.2 Một số áp dụng ví dụ minh họa 2.2.1 Một số áp dụng 2.2.2 Ví dụ minh họa 7 10 12 12 13 13 m co l gm @ an Lu thức biến 15 15 15 17 28 28 30 n va ac th si iv Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập thực luận văn này, Trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tham gia học tập, nghiên cứu Tôi xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu nói chung Quý thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Tốn K12A (khóa 2018–2020) tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đõ tận tình PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô xin gửi lời tri ân sâu sắc điều cô làm cho tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn trân thành tới gia đình, bạn bè, người ln đồng hành, động viên, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh Thái Nguyên, ngày 28 tháng năm 2020 Tác giả luận văn z gm @ Lê Thị Thu m co l an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu lu an n va p ie gh tn to oa nl w không gian Hilbert thực tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert ánh xạ đơn điệu ánh xạ giả đơn điệu C ánh xạ giả đơn điệu Q tốn tử tuyến tính bị chặn tốn tử liên hợp tốn tử A khơng gian tuyến tính định chuẩn tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân phép chiếu mêtric lên Ω1 phép chiếu mêtric lên Ω2 tập nghiệm SFP tập số thực không gian Euclid thực N chiều dãy {xk } hội tụ mạnh x∗ dãy {xki } hội tụ yếu đến x ¯ d oi lm ul nf va an lu H, H1 , H2 C, Q F F1 F2 A A∗ X, Y Ω1 , Ω2 PΩ PΩ Γ R RN xk → x∗ xki * x¯ z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữ viết tắt VIP(F, C) lu an Sol(F, C) n va ie gh tn to SFP SVIP p BVIP d oa nl w BSVIP toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F tập ràng buộc C tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, C) toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (Bilevel Variational Inequality Problem) toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split Variational Inequality Problem) oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian lu Hilbert thực H1 H2 Giả sử A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị an chặn ánh xạ F1 : H1 −→ H1 F2 : H2 −→ H2 Bài toán bất đẳng thức va biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) tốn tìm nghiệm n tn to x∗ toán bất đẳng thức biến phân không gian H1 cho ảnh gh y ∗ = Ax∗ , qua tốn tử tuyến tính bị chặn A, nghiệm toán bất p ie đẳng thức biến phân khác không gian H2 Cụ thể, hF1 (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ C (1) d oa nl w cho Tìm x∗ ∈ C : hF2 (y ∗ ), y − y ∗ i ≥ ∀y ∈ Q (2) va an lu y ∗ = Ax∗ ∈ Q : ul nf Ký hiệu tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1) (2) lần oi lm lượt Ω1 Ω2 toán bất đẳng thức biến phân tách toán Tìm x∗ ∈ Ω1 cho Ax∗ ∈ Ω2 z at nh (3) Bài toán (3) dạng toán chấp nhận tách (Split Feasibility Prob- z @ lem) Bài toán chấp nhận tách xuất mơ hình thực tế, chẳng gm hạn mơ hình IMRT (Intensity–Modulated Radiation Therapy) xạ trị m co l liệu yêu cầu tìm nghiệm tốn khơng gian cho ảnh qua tốn tử tuyến tính bị chặn nghiệm tốn an Lu khơng gian khác Bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert hữu hạn chiều giới thiệu lần Yair Censor Tommy Elfving [6] va Luận văn xét toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split n ac th si Variational Inequality Problem) Tìm x∗ ∈ Ω : hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ ∀x ∈ Ω, (4) F : H1 → H1 ánh xạ, Ω = {x∗ ∈ Ω1 : Ax∗ ∈ Ω2 } tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách (3) Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương Chương "Bài tốn bất đẳng thức biến phân tách" trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực tốn tử khơng gian (tốn tử chiếu, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ liên tục Lipschitz ); giới thiệu toán bất đẳng lu an thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất đẳng n va thức biến phân tách số kết liên quan tn to Chương "Phương pháp chiếu giải lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp" trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân gh p ie tách hai cấp, chứng minh hội tụ phương pháp đưa ví dụ số minh d oa nl w họa cho hội tụ phương pháp oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân lu tách an n va gh tn to Chương trình bày khái quát không gian Hilbert thực toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert Nội dung ie p chương viết thành hai mục Mục 1.1 trình bày số kiến thức nl w không gian Hilbert thực khái niệm toán tử chiếu, ánh xạ đơn điệu, oa liên tục Lipschitz không gian Hilbert Mục 1.2 giới thiệu toán bất d đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán bất lu va an đẳng thức biến phân tách số kết liên quan đến toán oi lm Một số tốn tử khơng gian Hilbert z at nh 1.1 ul [5] [7] nf Nội dung chương viết sở tổng hợp kiến thức [1], [2], z Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng chuẩn ký Một số tính chất khơng gian Hilbert m co 1.1.1 l gm @ hiệu tương ứng h., i k.k an Lu Định lý 1.1.1 (xem [1]) Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, (i) |hx, yi| ≤ kxk · kyk với x, y ∈ H (bất đẳng thức Cauchy–Schwartz); va n (ii) kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) (đẳng thức hình bình hành); ac th si 19 Bước 1: Các dãy {xk }, {y k } {z k } thỏa mãn bất đẳng thức kz k − x∗ k ≤ ky k − x∗ k ≤ kxk − x∗ k ∀k ∈ N, x∗ nghiệm BSVIP Vì F ánh xạ β -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz H1 Ω tập lồi đóng khác rỗng nên theo Định lý 1.2.2, BSVIP có nghiệm x∗ Do x∗ ∈ Ω hay x∗ ∈ Ω1 ⊂ C , Ax∗ ∈ Ω2 ⊂ Q Theo Bổ đề 2.1.4, ta có với k ∈ N lu kz k − x∗ k2 ≤ ky k − x∗ k2 − (1 − λk L1 )ky k − tk k2 − (1 − λk L1 )ktk − z k k2 , (2.5) an n va p ie gh tn to kwk −Ax∗ k2 ≤ kuk −Ax∗ k2 −(1−µk L2 )kuk −v k k2 −(1−µk L2 )kv k −wk k2 (2.6)  1  1 {µk } ⊂ [e, f ] ⊂ 0, nên từ (2.5) (2.6), Vì {λk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, L1 L2 ta có (2.7) kwk − Ax∗ k ≤ kuk − Ax∗ k (2.8) oa nl w kz k − x∗ k ≤ ky k − x∗ k d Vì uk = Axk kA∗ k = kAk nên từ (2.8) ta có lu va an ky k − x∗ k2 = kxk + δk A∗ (wk − uk ) − x∗ k2 ul nf = kxk − x∗ k2 + kδk kA∗ (wk − uk )k2 + 2δk hxk − x∗ , A∗ (wk − uk )i oi lm ≤ kxk − x∗ k2 + δk kkA∗ k2 kwk − uk k2 + 2δk hA(xk − x∗ ), wk − uk i z at nh ≤ kxk − x∗ k2 + δk kkA∗ k2 kwk − uk k2 + 2δk [hwk − Ax∗ , wk − uk i − kwk − uk k2 ] z ≤ kxk − x∗ k2 + δk kkA∗ k2 kwk − uk k2 @ gm + δk [(kwk − Ax∗ k2 − kuk − Ax∗ k2 ) − kwk − uk k2 ] m co l ≤ kxk − x∗ k2 + δk kkA∗ k2 kwk − uk k2 − δk kwk − uk k2 (2.9) an Lu = kxk − x∗ k2 − δk (1 − δk kAk2 )kwk − uk k2  Kết hợp (2.7) với (2.9) ý {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0,  , ta kAk2 + n va kz k − x∗ k ≤ ky k − x∗ k ≤ kxk − x∗ k ac th si 20 Bước 2: Các dãy {xk }, {y k }, {z k } {F (xk )} bị chặn Từ Bổ đề 2.1.3 Bước 1, ta kxk+1 − x∗ k = k(1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk (xk − x∗ ) − αk µF (x∗ )k ≤ k(1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )]k + ηk k(xk − x∗ )k − αk µkF (x∗ )k ≤ (1 − ηk − αk τ )kz k − x∗ k + ηk k(xk − x∗ )k − αk µkF (x∗ )k (2.10) lu an ≤ (1 − ηk − αk τ )kxk − x∗ k + ηk k(xk − x∗ )k + αk µkF (x∗ )k va n = (1 − αk τ )kxk − x∗ k + αk µkF (x∗ )k µkF (x∗ )k k ∗ , = (1 − αk τ )kx − x k + αk τ τ gh tn to p ie − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1] w τ =1− q oa nl Bằng quy nạp, ta µkF (x∗ )k } ∀k ∈ N τ Do dãy {xk } bị chặn theo Bước dãy {y k } {z k } d kxk − x∗ k ≤ max{kx0 − x∗ k, va an lu ul nf bị chặn Mặt khác, F L-liên tục Lipschitz H1 nên oi lm kF (xk )k ≤ kF (xk ) − F (x0 )k + kF (x0 )k z at nh ≤ Lkxk − x0 k + kF (x0 )k ≤ L(kxk k + kx0 k) + kF (x0 )k (2.11) z Từ tính bị chặn dãy {xk } (2.11), ta suy dãy {F (xk )} bị chặn l gm @ Bước 3: Với k ∈ N, ta có Sử dụng bất đẳng thức an Lu x∗ nghiệm BSVIP m co kxk+1 − x∗ k ≤ (1 − αk τ )kxk − x∗ k2 − 2αk µhF (x∗ ), xk+1 − x∗ i, n va kx − yk2 ≤ kxk2 − 2hy, x − yi ∀x, y ∈ H1 , ac th si 21 Từ Bổ đề 2.1.3 Bước 1, ta kxk+1 − x∗ k2 = k(1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk (xk − x∗ ) − αk µF (x∗ )k2 ≤ k(1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )] + ηk (xk − x∗ )k2 − 2αµhF (x∗ ), xk+1 − x∗ i  ≤ k(1 − ηk )z k − αk µF (z k ) − [(1 − ηk )x∗ − αk µF (x∗ )]k + ηk kxk − x∗ k lu − 2αµhF (x∗ ), xk+1 − x∗ i an  2 ≤ k(1 − ηk − αk τ )kz k − x∗ k + ηk kxk − x∗ k − 2αµhF (x∗ ), xk+1 − x∗ i va n ≤ k(1 − ηk − αk τ )kz k − x∗ k2 + ηk kxk − x∗ k2 − 2αµhF (x∗ ), xk+1 − x∗ i to tn (2.12) p ie gh = (1 − αk τ )kxk − x∗ k2 − 2αk µhF (x∗ ), xk+1 − x∗ i w Bước 4: Ta chứng minh {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ BSVIP oa nl Ta xét hai trường hợp: d Trường hợp Tồn k0 cho dãy {kxk − x∗ k} giảm với k ≥ k0 Khi lu k→∞ va an tồn giới hạn hữu hạn lim kxk − x∗ k Do đó, từ Bước (2.12), ta ul nf ≤ ky k − x∗ k − kz k − x∗ k2 oi lm ≤ kxk − x∗ k − kz k − x∗ k2 αk τ 2αk µ ≤− kz k − x∗ k2 − hF (x∗ ), xk+1 − x∗ i − ηk − ηk (kxk − x∗ k2 − kxk+1 − x∗ k2 ) + − ηk z at nh (2.13) z @ k→∞ k→∞ m co l {z k } hai dãy bị chặn nên từ (2.13), ta có gm Vì tồn giới hạn dãy {kxk − x∗ k}, lim αk = 0, lim ηk = η < 1, {xk } lim (ky k − x∗ k − kz k − x∗ k2 ) = 0, lim (kxk − x∗ k2 − kz k − x∗ k2 ) = (2.14) k→∞ Vì (2.14), ta suy n k→∞ va lim (kxk − x∗ k − ky k − x∗ k2 ) = an Lu k→∞ (2.15) ac th si 22 1 Kết hợp (2.5) với giả thiết {λk } ⊂ [c, d] ⊂ 0, , ta L1 (1 − dL1 )ky k − tk k2 ≤ ky k − x∗ k2 − kz k − x∗ k2  (2.16) Do vậy, từ (2.14) (2.16), ta lim ky k − tk k = k→∞   , ta suy Từ (2.9) {δk } ⊂ [a, b] ⊂ 0, kAk2 + (2.17) a(1 − bkAk2 )kwk − uk k2 ≤ kxk − x∗ k2 − ky k − x∗ k2 lu an Kết hợp bất đẳng thức với (2.15), ta nhận va lim kwk − uk k = n k→∞ to tn Chú ý với k ie gh ky k − xk k = kδk A∗ (wk − uk )k p ≤ δk kA∗ kkwk − uk k nl w ≤ bkAkkwk − uk k oa Do đó, lim kwk − uk k = nên d k→∞ lu an lim ky k − xk k = (2.18) k→∞ va ul nf Từ (2.17), (2.18) bất đẳng thức tam giác, ta có lim kxk − tk k = oi lm (2.19) k→∞ z at nh Ta chứng minh lim inf hF (x∗ ), xk+1 − x∗ i ≥ k→∞ k Chọn dãy {x } {x } cho z ki @ i→∞ l k→∞ gm lim inf hF (x∗ ), xk+1 − x∗ i = lim hF (x∗ ), xki − x∗ i m co Vì dãy {xki } bị chặn nên ta giả sử {xki } hội tụ yếu đến x ¯ ∈ H1 Do an Lu lim inf hF (x∗ ), xk+1 − x∗ i = lim hF (x∗ ), xki − x∗ i k→∞ i→∞ n va = hF (x∗ ), x¯ − x∗ i (2.20) ac th si 23 Từ (2.18), (2.19) xki * x ¯, ta suy y ki tki hội tụ yếu đến x¯ Kết hợp với {tki } ⊂ C C đóng yếu, ta x¯ ∈ C Từ (2.19), ta suy dãy {xk − tk } bị chặn Vì {xk } bị chặn nên {tk } bị chặn Ta chứng minh x ¯ ∈ Sol(C, F1 ) Lấy x ∈ C bất kỳ, từ định nghĩa tki , ta có hy ki − λki F1 (y ki ) − tki , x − tki ≤ ∀i Vì λki > với i nên từ bất đẳng thức trên, ta hF1 (y ki ), x − tki i ≥ lu hy ki − tki , x − tki i λki (2.21) an n va Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ý λki ≥ c > với i, to ta có gh tn hy ki − tki , x − tki i ky ki − tki kkx − tki k ≤ λki c (2.22) p ie Vì ky ki − tki k → dãy {tki } bị chặn nên oa nl w ky ki − tki kkx − tki k = lim i→∞ c d Từ (2.22), ta suy va an lu hy ki − tki , x − tki i lim = i→∞ λki oi lm ul nf Do đó, sử dụng (2.21), điệu kiện (A3 ) hội tụ yếu hai dãy {y ki }, {tki } đến x ¯, ta i→∞ z at nh ≤ lim suphF1 (y ki ), x − tki i ≤ hF1 (¯ x), x − x¯i z Do hF1 (¯ x), x − x¯i ≥ Vì x ∈ C x¯ ∈ C nên x¯ ∈ Sol(C, F1 ) @ gm Vì {xk } bị chặn A tốn tử tuyến tính bị chặn nên {uk = Axk } bị k→∞ m co l chặn Kết hợp với lim kwk − uk k = 0, ta suy dãy {wk } bị chặn Từ (2.17) bất đẳng thức tam giác, ta với k an Lu ≤ kuk − Ax∗ k2 − kwk − Ax∗ k2 n va ≤ (kuk − Ax∗ k + kwk − Ax∗ k)kuk − wk k ac th si 24 Sử dụng bất đẳng thức trên, lim kwk − uk k = tính bị chặn hai dãy k→∞ k k {u } {w }, ta thu lim (kuk − Ax∗ k2 − kwk − Ax∗ k2 ) = (2.23) k→∞ 1 , ta có Từ (2.6) {µk } ∈ [e, f ] ⊂ 0, L2  (1 − f L2 )kuk − v k k2 ≤ kuk − Ax∗ k2 − kwk − Ax∗ k2 Do đó, kết hợp với (2.23), ta lu lim kuk − v k k = an (2.24) k→∞ n va Từ (2.24) tính bị chặn dãy {uk }, ta suy dãy {v k } bị chặn Vì xki * x ¯ tn to A tốn tử tuyến tính bị chặn nên uki → Axki * A¯ x Kết hợp với (2.24), gh ta có v ki * A¯ x Ngồi ra, {v ki } ⊂ Q Q lồi đóng (do đóng yếu) nên p ie từ v ki * A¯ x, ta có A¯ x∈Q w Tiếp theo ta chứng minh A¯ x ∈ Sol (Q, F2 ) Lấy y ∈ Q bất kỳ, từ d oa nl v ki = PQ (uki − µki F2 (uki )), ta có an lu huki − µki F2 (uki ) − v ki , y − v ki i ≤ nf va Vì µki > với i, từ bất đẳng thức ta có oi lm ul hF2 (uki ), y − v ki i ≥ huki − v ki , y − v ki i µki (2.25) z at nh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ý µki ≥ e > với i, ta huki − v ki , y − v ki i kuki − v ki kky − v ki k