(Luận văn) phương pháp lặp hiện cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ lu an n va tn to PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG gh p ie THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KIM ĐỖ lu an n va PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG p ie gh tn to THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH w Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG d oa nl Mã số: 60 46 01 12 nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z gm @ m co l Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si Mục lục lu Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii an va n mở đầu tn to ie gh Một số khái niệm p 1.1 Không gian Banach nl w 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc an Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn nf va 1.2 Ánh xạ j -đơn điệu lu 1.1.3 d oa 1.1.2 lm ul 14 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 14 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 16 z at nh oi 1.2.1 z Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến @ 18 l gm phân không gian Banach Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 2.2 Một số mệnh đề bổ đề bổ trợ 19 co 2.1 m 21 an Lu n va i ac th si 2.3 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn 22 2.3.1 Mô tả phương pháp 22 2.3.2 Định lý hội tụ 23 Tài liệu tham khảo 31 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt lu an n va không gian Banach E∗ không gian liên hợp E D(A) miền xác định toán tử A p ie gh tn to E khơng gian Hilbert d H miền giá trị tốn tử A oa nl w R(A) lu tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu mêtric H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x nf va an C z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va iii ac th si Mở đầu Bất đẳng thức biến phân Stampacchia cộng đưa lu an nghiên cứu vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng Từ phương pháp bất va n đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu rộng rãi trở thành ie gh tn to công cụ hữu hiệu việc xây dựng kỹ thuật để giải số tốn cân kinh tế tài chính, tốn vận tải, lý thuyết trị p chơi nhiều toán thuộc lĩnh vực vật lý kỹ thuật Nhiều toán toán học phát triển dạng bất đẳng thức biến phân w d oa nl toán bù phi tuyến, toán cân bằng, toán tối ưu, toán điểm bất động Do việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân phương lu nf va an pháp giải toán đề tài thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu lm ul Một phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa z at nh oi cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung phương pháp đưa bất đẳng thức biến phân toán tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm thích hợp Phương pháp chiếu gradient kết z theo hướng tiếp cận cách sử dụng phép chiếu mêtric PC để xây dựng dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm bất đẳng thức gm @ co l biến phân Phương pháp có ưu điểm dễ lập trình tốc độ hội tụ nhanh Tuy nhiên với phương pháp việc tính tốn ánh xạ chiếu m mêtric PC khơng đơn giản phức tạp tập lồi đóng C Để khắc phục khó khăn này, Yamada đề xuất phương pháp lai đường an Lu n va ac th si dốc vào năm 2001 để giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn khơng gian Hilbert Từ đến có nhiều cơng trình nhằm mở rộng hướng nghiên cứu Yamada để giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu kết [4] phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux lu Nội dung luận văn gồm hai chương: an n va Chương 1: Một số khái niệm Chương đề cập tới gh tn to số khái niệm không gian Banach, ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn, ánh xạ co rút không giãn theo tia, p ie toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert tốn bất đẳng thức biến phân không gian Banach d oa nl w Chương 2: Phương pháp lặp cho lớp bất đẳng thức biến phân không gian Banach Chương trình bày hai an lu phương pháp lặp nf va Thơng qua việc hồn thành luận văn, tác giả nhận thấy vấn đề đề cập luận văn rộng lớn mà khuôn khổ lm ul z at nh oi luận văn thể phần Tuy nhiên vấn đề trình bày luận văn kiến thức khởi đầu định hướng cho tác giả tiếp cận vấn đề sau Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại z l gm @ học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường Qua đây, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn m co sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn an Lu Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo n va ac th si sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Công nghệ Thông tin, thầy cô trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn lu an Thái Nguyên, tháng năm 2015 Học viên n va to p ie gh tn Nguyễn Thị Kim Đỗ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương lu Một số khái niệm an n va p ie gh tn to oa nl w Trong chương này, trình bày số khái niệm kết ánh xạ j -đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ khơng giãn tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ d nf va an lu vô hạn ánh xạ không giãn Nội dung chương viết dựa tài liệu [1]-[2] số tài liệu trích dẫn Khơng gian Banach z at nh oi 1.1.1 lm ul 1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn z @ l gm Định nghĩa 1.1 Nếu khơng gian tuyến tính định chuẩn E không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d (x, y) = kx − yk) E gọi m co không gian Banach hay không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ an Lu E không gian Banach với không gian đối ngẫu E ∗ , tức n va ac th si khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Để đơn giản việc trình bày, chuẩn E E ∗ kí hiệu k.k Chúng tơi viết hx, x∗ i thay viết x∗ (x) với x∗ ∈ E ∗ x ∈ E Ký hiệu 2E họ tập khác rỗng E Cho T ánh xạ với miền xác định D (T ) miền giá trị R (T ) F ix (T ) tập điểm bất động ánh xạ T , nghĩa F ix (T ) = {x ∈ D (T ) : T (x) = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị E SE , SE = {x ∈ E : kxk = 1} lu an Trước hết ta nhắc lại không gian Banach E gọi n va tn to không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E , tồn phần tử x ∈ E cho p ie gh x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) , với x∗ ∈ E ∗ d oa nl w Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < nf va an lu z at nh oi lm ul Định nghĩa 1.2 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa kx + yk = suy x = y với x, y ∈ SE x 6= y ta có mãn ktx + (1 − t) yk < với t ∈ (0, 1) z Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ (ε) > cho với x, y ∈ E , kxk = 1, kyk = 1, gm @ an Lu n va m x + y ≤ − δ (ε) co l kx − yk ≥ ε ta có ac th si co rút khơng giãn theo tia từ E vào C , cho α > A ánh xạ j -đơn điệu với α−đồng C với S (C, A) 6= ∅ Giả sử x1 = x ∈ C dãy (xn ) xác định xn+1 = αn xn + (1 − αn ) QC (xn − λn Axn ) , với n = 1, 2, · · · , (λn ) dãy số thực dương (αn )    dãy [0, 1] Nếu (λn ) (αn ) chọn cho λn ∈ a, α k với số a > αn ∈ [b, c] cho số b, c với < b < c < Khi {xn } hội tụ yếu đến phần tử z S (C, A), k số trơn lu cấp E an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 17 ac th si Chương lu Phương pháp lặp an n va gh tn to cho lớp bất đẳng p ie thức biến phân nl w d oa không gian Banach nf va an lu z at nh oi lm ul Chương nghiên cứu số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Banach Các kiến thức chương viết từ báo [3]-[4] số tài liệu trích dẫn z m co l gm @ an Lu n va 18 ac th si 2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Chúng ta nhắc lại toán bất đẳng thức biến phân đề cập Chương 1: tìm điểm p∗ ∈ C cho: hF (p∗ ) , j (p∗ − p)i ≤ ∀p ∈ C, (2.1) với j (p∗ − p) ∈ J (p∗ − p) lu Trong trường hợp F ánh xạ η -j -đơn điệu mạnh γ -giả co chặt an n va với η +γ > {Ti }∞ i=1 họ vô hạn đếm ánh xạ không tn to giãn không gian Banach E lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương p ie gh pháp lặp ẩn để giải (2.1) với (2.2) nl w C = ∩∞ i=1 F ix (Ti ) d oa Trong phương pháp này, ta xét ánh xạ Vk xác định sau an lu nf va Vk = Vk1 , Vki = T i T i+1 · · · T k , T i = (1 − αi ) I + αi Ti , lm ul với i ≤ k , {αi }∞ i=1 thỏa mãn điều kiện: z at nh oi αi ∈ (0, 1) ∞ X αi < ∞ i=1 z @ gm Khi E ≡ H không gian Hilbert, C = ∩N i=1 F ix (Ti ) họ m co l hữu hạn ánh xạ không giãn Ti H , Bường Dương đề xuất thuật toán hội tụ mạnh sau: an Lu
fk xk , x1 ∈ E, V fk = T k T k · · · T k , (2.3) xk+1 = − βk0 xk + βk0 T0k V N N −1 n va 19 ac th si T0k = I − µλk F, số µ cố định λk ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau đây: (L1) lim λk = 0; k→∞ X∞ (L2) k=1 λk = ∞;
Tik = − βki I+βki Ti , với i = 1, 2, · · · , N ; βki ∈ (α, β) α, β ∈ i (0, 1) , k ≥ 0; i = 0, 1, · · · , N βk+1 − βki → k → ∞ với i = 1, 2, · · · , N lu Trong trường hợp C = ∩N i=1 F ix (Ti ), sử dụng ánh xạ Wk Takahashi, xây dựng Tk , Tk−1 , · · · , T1 số thực α1 , α2 , , αk an n va với < αi ≤ b < 1, i ≥ sau: to gh tn Uk,k+1 = I, p ie Uk,k = αk Tk Uk,k+1 + (1 − αk ) I, Uk,k−1 = αk−1 Tk−1 Uk,k + (1 − αk−1 ) I, Uk,2 = α2 T2 Uk,3 + (1 − α2 ) I, d oa nl w ······ ··· ·················· nf va an lu Wk = Uk,1 = α1 T1 Uk,2 + (1 − α1 ) I, Yao cộng nhận kết sau: lm ul z at nh oi Định lý 2.1 Cho H không gian Hilbert thực F : H → H ánh xạ L-liên tục Lipschitz η -đơn điệu mạnh với số z L, η > Cho {Ti }∞ i=1 dãy vô hạn ánh xạ không giãn H Giả sử λk ∈ (0, 1), thỏa mãn điều kiện (L1) , (L2), γk ∈ [γ, 1/2] với số γ dương Khi đó, dãy {xk }∞ k=1 xác định gm @ xk+1 = (1 − γk ) Fk (xk ) + γk Wk Fk (xk ) , co l (2.4) m hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ toán (2.1)-(2.2) với điều kiện C 6= ∅ an Lu Fk = I − λk F n va 20 ac th si Cùng thời gian đó, Wang nhận kết tương tự, điều kiện (L1) thay < λk ≤ η/L2 − ε ε số dương đủ nhỏ , với k ≥ k0 > dãy λk F (xk ) → k → ∞ 2.2 Một số mệnh đề bổ đề bổ trợ Để thuận tiện cho việc trình bày kết mục sau, mục chúng tơi trình bày số mệnh đề bổ đề sau: lu Mệnh đề 2.1 Cho E không gian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux Giả sử F ánh xạ γ -giả co chặt an n va ie gh tn to η -j -đơn điệu mạnh với η + γ > Cho T ánh xạ giả co liên tục E C = F ix (T ) 6= ∅, Với t ∈ (0, 1), chọn số µt ∈ (0, 1) {zt } xác định sau p zt = t (I − µt F ) zt + (1 − t) T zt (2.5) w d oa nl Khi đó, {zt } hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ toán (2.1)-(2.2) t → lu an Mệnh đề 2.2 Cho E , F T Mệnh đề 2.1 Nếu tồn dãy nf va giới nội {xk } ⊂ E cho limk→∞ kxk − T xk k = p∗ = limt→0 zt lm ul tồn tại, zt xác định (2.5) Khi lim sup hF (p∗ ) , j (p∗ − xk )i ≤ (2.6) z at nh oi k→∞ z Bổ đề 2.1 Cho E không gian Banach trơn, thực F : E → E ánh xạ γ -giả co chặt η -j -đơn điệu mạnh với η + γ > Khi @ co l gm đó, với λ ∈ (0, 1) , I − λF ánh xạ co với số − λτ , p τ = − (1 − η) /γ m Bổ đề 2.2 Cho {ak } dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện ak+1 ≤ (1 − bk ) ak + bk ck , {bk } {ck } dãy số thực an Lu cho n va 21 ac th si (i) bk ∈ [0, 1] P∞ k=1 bk = ∞; (ii) lim supk→∞ ck ≤ Khi đó, limk→∞ ak = Bổ đề 2.3 Cho {xk } {zk } dãy bị chặn không gian Banach E cho xk+1 = (1 − γk ) xk + γk zk với k ≥ 1, {γk }∞ k=1 thỏa mãn < lim inf γk ≤ lim sup γk < Giả thiết có k k lim sup (kzk+1 − zk k − kxk+1 − xk k) ≤ lu k→∞ an n va Khi đó, limk→∞ kxk − zk k = tn to Phương pháp lặp giải bất đẳng p ie gh 2.3 nl w thức biến phân tập điểm bất động d oa họ vô hạn ánh xạ không nf va an lm ul 2.3.1 lu giãn Mô tả phương pháp z at nh oi Dễ dàng nhận thấy (2.3) (2.4) thuật tốn song song Vì tốn nhiều thời gian tính tốn N số đủ lớn z Đồng thời, việc tìm giá trị tốn tử Vk Wk điểm không gian E H phức tạp Để khắc phục hạn chế đó, gm @ co l [4], Nguyễn Bường học trò sử dụng ánh xạ Sk , thay cho Vk Wk để xây dựng hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến m phân sau: với x1 ∈ E , dãy lặp {xk }∞ k=1 xác định (2.7) n va 22 an Lu xk+1 = (1 − γk ) xk + γk Sk Fk (xk ) , ac th si xk+1 = (1 − γk ) Sk xk + γk Fk (xk ) , (2.8) < lim inf γk ≤ lim sup γk < 1, (2.9) với k ≥ 1, k Sk = k X k si Ti /sek , si > 0, sek = i=1 k X ∞ X si , i=1 si = se < ∞, (2.10) i=1 Fk = I − λk F với λk ∈ (0, 1), có tính chất (L1) (L2) lu an Định lý hội tụ n va 2.3.2 tn to Sự hội tụ hai phương pháp (2.7) (2.8) trình bày p ie gh định lý sau nl w Định lý 2.2 Cho E không gian Banach lồi chặt, phản xạ, thực với chuẩn khả vi Gâteaux Giả sử F ánh xạ γ -giả co chặt d oa η -j -đơn điệu mạnh với η + γ > Cho {Ti }∞ i=1 dãy vô hạn ánh xạ không giãn E cho ∩∞ i=1 F ix (Ti ) 6= ∅ Giả thiết λk ∈ (0, 1) , γk si thỏa mãn điều kiện (L1)-(L2), (2.9) (2.10) Khi đó, cho k → ∞, dãy {xk }∞ k=1 , xác định (2.7), hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ toán (2.1)-(2.2) nf va an lu z at nh oi lm ul Chứng minh Rõ ràng từ (2.10) suy Sk ánh xạ không k giãn E Sk p = p với p ∈ ∩∞ i=1 F ix (Ti ) ⊆ ∩i=1 F ix (Ti ) với z k ≥ Vì vậy, sử dụng Bổ đề 2.1, từ (2.7) (2.10) ta có đánh giá sau: gm @ n va 23 an Lu ≤ (1 − γk ) kxk − pk + γk kSk Fk (xk ) − Sk pk m = k(1 − γk ) xk + γk Sk Fk (xk ) − pk co l kxk+1 − pk ac th si ≤ (1 − γk ) kxk − pk + γk kFk (xk ) − pk ≤ (1 − γk ) kxk − pk + γk [(1 − λk τ ) kxk − pk + λk kF (p)k] kF (p)k = (1 − γk λk τ ) kxk − pk + γk λk τ τ   kF (p)k ≤ max kx1 − pk , τ ∞ Vì vậy, {xk }∞ k=1 giới nội Do đó, dãy sau giới nội {F (xk )}k=1 , ∞ ∞ {Sk Fk+1 xk }∞ k=1 {Fk (xk )}k=1 Dẫn đến dãy {Fk+1 (xk ) − p}k=1 lu giới nội Không làm tính tổng qt, ta giả thiết dãy bị chặn số dương M1 an n va tn to Đặt zk = Sk Fk (xk ) Từ (2.7) (2.10), ta có nl w p ie gh xk+1 = (1 − γk ) xk + γk zk , d oa kS F (x ) − Sk Fk+1 (xk )k k+1 k+1 k k+1 k X X si Ti (Fk+1 (xk )) − si Ti (Fk+1 (xk )) sek+1 sek i=1 i=1   k X 1 − ks T (F (x ))k si Ti (Fk+1 (xk )) + sek+1 k+1 k+1 k+1 k sek sek+1 i=1 sk+1 (M1 + kTk+1 (Fk+1 (xk )) − Tk+1 pk + kpk) sek+1 sk+1 (2M1 + kpk) sek+1 ≤ z at nh oi ≤ lm ul = nf va an lu = z @ m co l gm Do đó, an Lu n va 24 ac th si kzk+1 − zk k = kSk+1 Fk+1 (xk+1 ) − Sk Fk (xk )k ≤ kSk+1 Fk+1 (xk+1 ) − Sk+1 Fk+1 (xk )k + kSk+1 Fk+1 (xk ) − Sk Fk+1 (xk )k + kSk Fk+1 (xk ) − Sk Fk (xk )k ≤ kFk+1 (xk+1 ) − Fk+1 (xk )k + + kFk+1 (xk ) − Fk (xk )k ≤ kxk+1 − xk k + 2λk+1 M1 + sk+1 (2M1 + kpk) sek+1 sk+1 (2M1 + kpk) + |λk+1 − λk | M1 s1 lu Điều với điều kiện (L1) sk+1 → với k → ∞ kéo theo an n va lim sup (kzk+1 − zk k − kxk+1 − xk k) ≤ k→∞ tn to Theo Bổ đề 2.3, ta nhận ie gh p lim kxk − zk k = (2.11) nl w k→∞ oa Mặt khác, kzk − Sk xk k = kSk Fk (xk ) − Sk xk k ≤ kFk (xk ) − xk k ≤ d λk M1 λk → k → ∞, ta có kzk − Sk xk k → 0, kết luận với (2.11) dẫn đến nf va an lu lim kxk − Sk xk k = (2.12) Bây giờ, ta z at nh oi lm ul k→∞ ∞ 1X si Ti lim kxk − Sxk k = với S = k→∞ se i=1 (2.13) z gm @ m co l Thật vậy, với x ∈ D, tập hợp giới nội E , chúng an Lu n va 25 ac th si ta đánh giá đại lượng k X si Ti x − kSk x − Sxk = sek i=1 k X si Ti x − ≤ sek i=1 si Ti x se i=1 k ∞ X X si Ti x si Ti x + se se i=1 ∞ 1X i=k+1 ∞ k (se − sek ) X X ≤ si kTi xk si kTi xk + sek se i=1 se i=k+1 lu ∞ ∞ M X M (se − sek ) M X si = si , + ≤ se se i=k+1 se i=k+1 an n va Vì vậy, gh tn to M = kxk + kpk ≥ kTi x − Ti pk + kpk ≥ kTi xk , với điểm p ∈ ∩∞ i=1 F ix (Ti ) i ≥ p ie lim sup kSxk − Sxk = 0, k→∞ x∈D d oa nl w với tập giới nội D E Lấy D = {xk }∞ k=1 , ta có kSk xk − Sxk k → k → ∞ an lu nf va Điều với (2.12) dẫn đến đẳng thức thứ (2.13) Tiếp lm ul theo, S ánh xạ khơng giãn, liên tục giả co E Bằng cách sử dụng Mệnh đề 2.1 2.2 với T thay z at nh oi S , ta nhận (2.6) Bây giờ, ta đánh giá đại lượng kxk+1 − p∗ k2 sau z kxk+1 − p∗ k2 ≤ (1 − γk ) kxk − p∗ k2 + γk kSk Fk (xk ) − p∗ k2 = (1 − γk ) kxk − p∗ k2 + γk kSk Fk (xk ) − Sk p∗ k2 ≤ (1 − γk ) kxk − p∗ k2 + γk kFk (xk ) − p∗ k2 = (1 − γk ) kxk − p∗ k2 + γk kFk (xk ) − Fk (p∗ ) − λk F (p∗ )k2 m co l gm @ an Lu n va 26 ac th si ≤ (1 − γk ) kxk − p∗ k2 + γk [(1 − λk τ ) kxk − p∗ k2 −2λk hF (p∗ ), j (xk − p∗ − λk F (xk ))i] = (1 − γk λk τ ) kxk − p∗ k2 + 2γk λk [hF (p∗ ), j (p∗ − xk )i + hF (p∗ ), j (p∗ − xk + λk F (xk )) − j (p∗ − xk )i] ≤ (1 − γk λk τ ) kxk − p∗ k2 + γk λk τ [hF (p∗ ), j (p∗ − xk )i +hF (p∗ ), j (p∗ − xk + λk F (xk )) − j (p∗ − xk )i]/τ ≤ (1 − bk ) kxk − p∗ k2 + bk ck , bk = γk λk τ, lu ck = [hF (p∗ ) , j (p∗ − xk )i an n va +hF (p∗ ) , j (p∗ − xk + λk F (xk )) − j (p∗ − xk )i]/τ ie gh tn to P∞ P∞ Vì λ = ∞ nên k k=0 k=0 bk = ∞ Chính từ Bổ đề 2.2, bất đẳng thức (2.6) tính liên tục chuẩn - yếu ánh xạ j suy p limk→∞ kxk − p∗ k2 = Định lý chứng minh w oa nl Định lý 2.3 Với điều kiện Định lý 2.2, dãy {xk }∞ k=1 , xác d định (2.8), hội tụ tới nghiệm p∗ an lu ta có nf va Chứng minh Với điểm cố định p ∈ ∩∞ i=1 F ix (Ti ) , theo Bổ đề 2.1, lm ul z at nh oi kxk+1 − pk = kγk (I − λk F ) xk + (1 − γk ) Sk xk − pk ≤ γk k(I − λk F ) xk − pk + (1 − λk ) kSk xk − Sk pk z ≤ γk [(1 − λk τ ) kxk − pk + λk kF (p)k] + (1 − λk ) kxk − pk kF (p)k = (1 − γk λk τ ) kxk − pk + γk λk τ τ   kF (p)k ≤ max kx1 − pk , τ co l gm @ m ∞ Suy ra, {xk }∞ k=1 giới nội Do đó, dãy sau giới nội {F (xk )}k=1 , ∞ ∞ {Sk xk }∞ k=1 , {Fk (xk )}k=1 {xk − p}k=1 Khơng làm tính tổng an Lu n va 27 ac th si