(Luận văn) xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– lu TRẦN HỌC TOÀN an n va p ie gh tn to d oa nl w XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH oi lm ul nf va an lu z at nh z LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN, 10/2018 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HỌC TOÀN lu an n va p ie gh tn to XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH d oa nl w ul nf va an lu Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 oi lm LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN z m co l gm @ an Lu PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY n va THÁI NGUYÊN, 10/2018 ac th si iii Mục lục Mở đầu Bất đẳng thức biến phân số toán liên quan lu Bảng ký hiệu an n va p ie gh tn to 1.1 Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều 1.1.1 w Điểm bất động phép chiếu mêtric Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian RN 10 d oa nl 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 15 an lu 1.2 Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert 15 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 16 1.2.3 Một số tốn mơ tả dạng tốn bất oi lm ul nf va 1.2.1 đẳng thức biến phân 17 1.3 z at nh 1.2.4 Nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 18 Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach 20 z Ánh xạ j-đơn điệu 20 1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 23 l gm @ 1.3.1 m co Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập 2.1 25 an Lu điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Nửa nhóm khơng giãn 25 Định nghĩa Ví dụ 25 2.1.2 Một số tính chất 27 n va 2.1.1 ac th si iv 2.2 Xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 29 2.2.1 Nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 30 2.2.2 Phương pháp lặp hội tụ 31 2.2.3 Ví dụ minh họa 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu an n va E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E SE mặt cầu đơn vị E R tập số thực R+ tập số thực không âm ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A ie gh tn to không gian Hilbert thực p lu H w miền ảnh toán tử A toán tử ngược toán tử A d A−1 oa nl R(A) tốn tử đồng khơng gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] oi lm d(x, C) không gian dãy số khả tổng bậc p ul Lp [a, b], ≤ p < ∞ nf lp , ≤ p < ∞ không gian hàm liên tục đoạn [a, b] va C[a, b] an lu I khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C z at nh giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T z lim supn→∞ xn m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân khơng gian vơ hạn chiều lu nhà tốn học người Italia G Stampacchia đồng đưa lần đầu an tiên vào năm đầu thập niên 60 kỉ XX nghiên cứu va n toán biên tự (xem [7], [9], [10] [11]) Bài toán bất đẳng thức toán tối ưu, toán điều khiển, toán cân bằng, toán bù, ie gh tn to biến phân có vai trị quan trọng nghiên cứu toán học lý thuyết p toán giá trị biên v.v Bên cạnh đó, tốn bất đẳng thức biến phân cịn w có nhiều ứng dụng tốn thực tế mơ hình cân oa nl kinh tế, giao thơng, tốn khơi phục tín hiệu, tốn cơng nghệ lọc d khơng gian, tốn phân phối băng thơng v.v Do đó, việc nghiên cứu an lu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân va đề tài thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ul nf nước nhiều kết sâu sắc thiết lập oi lm Đề tài luận văn giới thiệu trình bày lại hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh z at nh xạ khơng giãn trong không gian Banach báo [6] công bố năm 2017 z gm @ Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều, l không gian Hilbert khơng gian Banach, trình bày mối liên hệ m co toán bất đẳng thức biến phân với số toán liên quan Chương an Lu trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn khơng va n gian Banach, trình bày hội tụ mạnh phương pháp đưa ví ac th si dụ minh họa Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy khoa Tốn–Tin thầy cô trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cơ lu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trung tâm GDNN – GDTX an va Đan Phượng anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho n tác giả thời gian học Cao học nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập ie gh tn to Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K10 bạn bè đồng p làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên nl w Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 d oa Tác giả luận văn nf va an lu oi lm ul Trần Học Toàn z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bất đẳng thức biến phân số lu an toán liên quan n va gh tn to Chương giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không p ie gian hữu hạn chiều vô hạn chiều số toán liên quan đến w bất đẳng thức biến phân Nội dung chương tổng hợp từ tài Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian an lu 1.1 d oa nl liệu [1], [2], [3], [5] [8] Điểm bất động phép chiếu mêtric oi lm 1.1.1 ul nf va hữu hạn chiều z at nh Ký hiệu RN khơng gian Euclid N chiều có tích vơ hướng chuẩn tương ứng ký hiệu h., i k.k z Định nghĩa 1.1.1 Cho C tập hợp khác rỗng, F ánh xạ từ @ m co l F (x) = x gm C vào C Một điểm x ∈ C gọi điểm bất động ánh xạ F an Lu Tập tất điểm bất động F ký hiệu Fix(F ), nghĩa  Fix(F ) = x ∈ C : F (x) = x ac th toán tử F (x) − x = n va Nhận xét 1.1.2 Điểm bất động ánh xạ F nghiệm phương trình si Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian mêtric với khoảng cách d Ánh xạ F : X → X gọi ánh xạ co d(F (x), F (y)) ≤ θd(x, y) x, y ∈ X, (1.1) θ số thỏa mãn ≤ θ < Nếu θ = 1, F gọi ánh xạ không giãn x (hoặc F (x) = cos x) ánh xạ co (tương ứng, ánh xạ khơng giãn) Ví dụ 1.1.4 (a) Ánh xạ F : R → R xác định F (x) = lu an n va p ie gh tn to 1 (b) Ánh xạ F : R2 → R2 xác định F (x) = Ax (hoặc F (x) = √ Ax) ! ! 1 x1 với A = x = ánh xạ co (tương ứng, ánh xạ −1 x2 không giãn) Định lý 1.1.5 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) (xem [2]) Nếu X không nl w gian mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ co, tồn d oa điểm bất động ánh xạ F lu an Nhận xét 1.1.6 (a) Định lý 1.1.5 nói chung khơng F ánh xạ va không giãn Chẳng hạn F : RN → RN xác định F (x) = x, ánh oi lm ul nf xạ không giãn Fix(F ) = RN (b) Điều kiện ánh xạ co điều kiện cần, chẳng hạn F : R → R xác bất động Fix(F ) = {0} z at nh định F (x) = sin x ánh xạ không giãn F có điểm z @ Định lý 1.1.7 (Định lý điểm bất động Brouwer) (xem [3]) Nếu F điểm bất động m co l gm ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B ⊂ RN vào F có an Lu Chú ý 1.1.8 (a) Nếu F không liên tục F có điểm bất động Chẳng hạn F : [0, 1] → [0, 1] xác định F (x) = −1 ≤ x < ac th {0, 1} n va F (x) = x = ánh xạ không liên tục [0, 1] Fix(F ) = si (b) Trong Định lý 1.1.7 ta thay hình cầu đóng B tập lồi compact RN Sau ta nhắc lại số khái niệm tập lồi hàm lồi Cho hai điểm a, b ∈ RN Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1.9 Tập C ⊆ RN gọi tập hợp lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] ta có lu λx + (1 − λ)y ∈ C an n va Nói cách khác, tập C ⊆ RN tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai Ví dụ 1.1.10 Trong khơng gian RN , tập hợp sau tập lồi: ie gh tn to điểm thuộc p (a) hình cầu đóng tâm x0 bán kính r: B(x0 , r) = {x = (x1 , x2 , , xN ) ∈ nl w RN : kx − x0 k ≤ r}; d oa (b) nửa không gian đóng Hα = {x = (x1 , x2 , , xN ) ∈ RN : ha, xi ≤ α}; va an lu (c) hình đa diện ∆ = {x = (x1 , x2 , , xN ) ∈ RN : hA, xi ≤ b}, oi lm ul cỡ M × N , b ∈ RM nf x0 ∈ RN , r số thực dương, a ∈ RN , α ∈ R, A ma trận thực [−∞, +∞] hàm tùy ý z at nh Định nghĩa 1.1.11 Cho C tập không gian RN , f : C → z (a) Miền hữu hiệu hàm f , ký hiệu định nghĩa bởi:  domf = x ∈ C : f (x) < +∞ @ l gm (1.2) m co (b) Tập đồ thị hàm f ký hiệu định nghĩa bởi:  epif := (x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α an Lu (1.3) ac th hàm f thường n va (c) Nếu domf khác rỗng f (x) > −∞ với x ∈ C ta nói si 31 {γn } ⊂ (0, 1) cho < lim inf n→∞ γn ≤ lim supn→∞ γn < Nếu   lim sup kzn+1 − zn k − kxn+1 − xn k ≤ 0, n→∞ limn→∞ kxn − zn k = Bổ đề 2.2.3 (xem [13]) Cho {an }, {bn } {cn } ba dãy số không âm thỏa mãn an+1 ≤ (1 − bn )an + bn cn , lu bn ∈ (0, 1), P∞ n=1 bn = ∞, lim bn = lim sup cn ≤ Khi đó, n→∞ an n→∞ lim an = n va n→∞ Phương pháp lặp hội tụ gh tn to 2.2.2 Mục trình bày hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến ie p phân (2.1) trình bày chứng minh định lý hội tụ mạnh phương oa nl w pháp tương ứng (xem [6]) d Mô tả phương pháp an lu Ta xét hai phương pháp lặp hội tụ mạnh đến nghiệm toán va ul nf bất đẳng thức biến phân (2.1) không cần giả thiết tính liên tục yếu theo oi lm dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian Banach E Hai phương pháp mô tả sau: z at nh Phương pháp 2.1: n ≥ 1, x1 ∈ E, z xn+1 = (1 − γn )xn + γn Sn An xn , (2.8) n ≥ 1, x1 ∈ E, (2.9) m co xn+1 = (1 − γn )Sn xn + γn An xn , l gm @ Phương pháp 2.2: an Lu n va An Sn ánh xạ định nghĩa sau: Z tn T (s)xds, x ∈ E, An x = (I − λn A)x Sn x = tn ac th si 32 {γn }, {λn }, {tn } dãy số thỏa mãn điều kiện: λn ∈ (0, 1), ∞ X λn → 0, λn = ∞; (2.10) n=1 lim tn = ∞, n→∞ {|tn+1 − tn |} dãy bị chặn; (2.11) γn ∈ (0, 1) thỏa mãn < lim inf γn ≤ lim sup γn < n→∞ (2.12) n→∞ lu Sự hội tụ an va Định lý 2.2.4 (xem [6]) Cho E khơng gian Banach thực lồi có n chuẩn khả vi Gâteaux A : E → E ánh xạ η-j-đơn điệu gh tn to γ-giả co chặt với η + γ > Cho {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ ie không giãn E cho F = ∩t≥0 Fix(T (t)) 6= ∅ Khi dãy lặp {xn } p xác định (2.8) hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ toán bất nl w đẳng thức biến phân (2.1) d oa Chứng minh an lu Bước Ta tồn số dương C1 cho kxn k, kSn xn k, nf va kAn xn k, kAn+1 xn − pk, kAxn k ≤ C1 với n ≥ 1và p ∈ F đề 1.3.9, oi lm ul Giả sử n ≥ Với phần tử cố định p ∈ F, ta có Sn p = p, từ Bổ z at nh kxn+1 − pk = k(1 − γn )xn + γn Sn An xn − pk ≤ (1 − γn )kxn − pk + γn kSn An xn − Sn pk z l = (1 − γn )kxn − pk gm @ ≤ (1 − γn )kxn − pk + γn kAn xn − pk m co + γn k(I − λn A)xn − (I − λn A)p − λn Apk an Lu n va ac th si 33 Hay   kxn+1 − pk ≤ (1 − γn )kxn − pk + γn (1 − λn τ )kxn − pk + λn kApk kApk = (1 − γn λn τ )kxn − pk + γn λn τ τ   ≤ max kxn − pk, kApk τ   ≤ · · · ≤ max kx1 − pk, kApk τ lu Do dãy {xn } bị chặn Vì Sn ánh xạ không giãn I − λn A ánh xạ an co nên  kSn xn − Sn pk ≤ kxn − pk ≤ max kx1 − pk, kApk τ n va  ie gh tn to p kAn xn − An pk = k(I − λn A)xn − (I − λn A)pk ≤ (1 − λn τ )kxn − pk   ≤ (1 − λn τ ) max kx1 − pk, kApk τ oa nl w d Suy dãy {Sn xn } {An xn } dãy bị chặn, đồng thời dãy lu va an {An+1 xn − p} bị chặn Vì A ánh xạ γ-giả co chặt nên dãy ul nf {Axn } bị chặn Do tồn số dương C1 cần oi lm Bước Ta limn→∞ kT (t)xn − xn k = 0, với t ≥ Lấy n ≥ 1, định nghĩa zn = Sn An xn Từ (2.8) suy z at nh xn+1 = (1 − γn )xn + γn zn , z (2.13) gm @ kzn+1 − zn k = kSn+1 An+1 xn+1 − Sn An xn k l m co ≤ kSn+1 An+1 xn+1 − Sn+1 An+1 xn k + kSn+1 An+1 xn − Sn An+1 xn k an Lu + kSn An+1 xn − Sn An xn k n va ac th si 34 Vì lu Z tn+1   kSn+1 An+1 xn − Sn An+1 xn k = T (s)A x − T (s)p ds n+1 n tn+1 Z  tn  T (s)An+1 xn − T (s)p ds − tn  Z t n   = − T (s)A x − T (s)p ds n+1 n tn+1 tn Z tn+1   + T (s)An+1 xn − T (s)p ds tn+1 tn 1 |tn+1 − tn | − tn C1 + C1 ≤ tn+1 tn tn+1 |tn+1 − tn | C1 , =2 tn+1 an n va p ie gh tn to ta nhận d oa nl w kzn+1 − zn k ≤ kAn+1 xn+1 − An+1 xn k |tn+1 − tn | +2 C1 + kAn+1 xn − An xn k tn+1 |tn+1 − tn | C1 ≤ kxn+1 − xn k + 2λn+1 C1 + tn+1 lu va an + |λn+1 − λn |C1 n→∞ oi lm ul nf Điều kết hợp với (2.10) (2.11) suy   lim sup kzn+1 − zn k − kxn+1 − xn k ≤ z at nh Do từ (2.12) Bổ đề 2.2.2 suy lim kxn − zn k = n→∞ (2.14) z gm @ Vì kAn xn − xn k ≤ λn C1 and λn → n → ∞, ta nhận lim kAn xn − xn k = m co Mặt khác từ (2.14), (2.15), (2.15) l n→∞ an Lu kSn xn − xn k ≤ kSn xn − zn k + kzn − xn k = kSn xn − Sn An xn k + kzn − xn k n va ≤ kxn − An xn k + kzn − xn k, ac th si 35 ta lim kSn xn − xn k = (2.16) n→∞ Bây với t > 0, kT (t)xn − xn k ≤ kT (t)xn − T (t)Sn xn k + kT (t)Sn xn − Sn xn k + kSn xn − xn k ≤ 2kSn xn − xn k + kT (t)Sn xn − Sn xn k Kết hợp với (2.16) Bổ đề 2.1.3 suy lu an lim kT (t)xn − xn k = (2.17) n→∞ n va Bước Ta limn→∞ kxn − p∗ k = 0, p∗ nghiệm Thật vậy, từ giả thiết định lý, p∗ tồn Hơn dãy ie gh tn to bất đẳng thức biến phân (2.1) p {yk } xác định (2.2) hội tụ tới p∗ Do đó, theo Mệnh đề 2.1.4, ta nhận w oa nl lim sup hAp∗ , j(p∗ − xn )i ≤ (2.18) n→∞ d lu Bây ta sử dụng tính lồi k · k2 , Bổ đề 1.3.10, Bổ đề 1.3.9, tính va an chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị j(−x) = −j(x) với x ∈ E, ul nf ta đánh giá giá trị kxn+1 − p∗ k2 sau: oi lm kxn+1 − p∗ k2 ≤ (1 − γn )kxn − p∗ k2 + γn kSn An xn − p∗ k2 z at nh = (1 − γn )kxn − p∗ k2 + γn kSn An xn − Sn p∗ k2 ≤ (1 − γn )kxn − p∗ k2 + γn kAn xn − p∗ k2 z = (1 − γn )kxn − p∗ k2 + γn kAn xn − An p∗ − λn Ap∗ k2  ≤ (1 − γn )kxn − p∗ k2 + γn (1 − λn τ )kxn − p∗ k2  − 2λn hAp∗ , j(xn − p∗ − λn Axn )i  = (1 − γn λn τ )kxn − p∗ k2 + 2γn λn hAp∗ , j(p∗ − xn )i  + hAp∗ , j(p∗ − xn + λn Axn ) − j(p∗ − xn )i  ≤ (1 − γn λn τ )kxn − p∗ k2 + γn λn τ hAp∗ , j(p∗ − xn )i  + hAp∗ , j(p∗ − xn + λn Axn ) − j(p∗ − xn )i /τ, m co l gm @ an Lu n va ac th si 36 hay kxn+1 − p∗ k2 ≤ (1 − bn )kxn − p∗ k2 + bn cn , (2.19) bn = γn λn τ,   cn = hAp∗ , j(p∗ − xn )i + hAp∗ , j(p∗ − xn + λn Axn ) − j(p∗ − xn )i /τ Vì {λn } {γn } thỏa mãn điều kiện (2.10) (2.12), nên bn → ∞ X bn = ∞ lu n=1 an n va Sử dụng (2.18) kết hợp với λn → n → ∞, ta nhận n→∞ Do từ Bổ đề 2.2.3 (2.19) ta suy limn→∞ kxn − p∗ k2 = Ta nhận ie gh tn to lim sup cn ≤ p điều cần chứng minh oa nl w  Định lý 2.2.5 (xem [6]) Giả sử điều kiện Định lý 2.2.4 thỏa d an lu mãn Khi dãy lặp {xn } xác định (2.9) hội tụ mạnh tới nghiệm nf va p∗ toán bất đẳng thức biến phân (2.1) oi lm ul Chứng minh Ta chứng minh theo bước Bước Ta dãy {xn } bị chặn z at nh Với p ∈ F cố định ta có Sn p = p theo Bổ đề 1.3.9, kxn+1 − pk = kγn (I − λn A)xn + (1 − γn )Sn xn − pk z gm @ ≤ γn k(I − λn A)xn − pk + (1 − γn )kSn xn − Sn pk m co l ≤ γn [(1 − λn τ )kxn − pk + λn kApk] + (1 − γn )kxn − pk kApk = (1 − γn λn τ )kxn − pk + γn λn τ τ ≤ max{kx1 − pk, kApk/τ } an Lu va Suy dãy {xn } bị chặn dãy {Sn xn }, {An xn }, {Axn } n {xn − p} bị chặn Giả sử dãy bị chặn số dương C2 ac th si 37 Bước Ta chứng minh limn→∞ kT (t)xn − xn k = với t ≥ Đặt zn = Sn xn − γn λn Axn /(1 − γn ) Từ (2.9) suy xn+1 = γn xn + (1 − γn )zn , kzn+1 − zn k ≤ kSn+1 xn+1 − Sn xn k + kγn λn Axn /(1 − γn ) − γn+1 λn+1 Axn+1 /(1 − γn+1 )k ≤ kSn+1 xn+1 − Sn+1 xn k + kSn+1 xn − Sn xn k lu an + kγn λn Axn /(1 − γn ) − γn+1 λn+1 Axn+1 /(1 − γn+1 )k |tn+1 − tn | M2 ≤ kxn+1 − xn k + tn+1 n va to gh tn + (λn + λn+1 )βC2 /(1 − β), p ie β số dương khoảng (0, 1) thỏa mãn γn ≤ β Kết hợp oa nl w với λn → |tn+1 − tn |/tn+1 → n → ∞ suy   lim sup kzn+1 − zn k − kxn+1 − xn k ≤ n→∞ d an lu Do đó, từ (2.12) Bổ đề 2.2.2 suy oi lm Mặt khác từ ul nf va lim kxn − zn k = n→∞ z at nh kzn − Sn xn k = kγn λn Axn /(1 − γn )k ≤ λn βC2 /(1 − β) λn → n → ∞ ta suy kzn − Sn xn k → z Cuối cùng, với cách làm chứng minh Định lý 2.2.4 ta nhận @ gm kxn − Sn xn k → kT (t)xn − xn k → với t ≥ n → ∞ bất đẳng thức biến phân (2.1) m co l Bước Ta limn→∞ kxn − p∗ k = 0, p∗ nghiệm an Lu Với giả thiết định lý, p∗ tồn Hơn nữa, dãy {yk } với k (2.2) hội tụ tới p∗ Do theo Mệnh đề 2.1.4 ta có n (2.20) ac th n→∞ va lim sup hAp∗ , j(p∗ − xn i ≤ si