THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU lu XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN an n va PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG to ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN p ie gh tn CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC d oa nl w va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ THÁI NGUYÊN-2015 an Lu Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU XẤP XỈ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG lu an CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ĐẾM ĐƯỢC va n ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN p ie gh tn to Chuyên ngành: Toán ứng dụng d oa nl w Mã số: 60 46 01 12 lu ll u nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh TS TRƯƠNG MINH TUYÊN z m co l gm @ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN an Lu THÁI NGUYÊN-2015 http://www.lrc.tnu.edu.vn n va ac th si i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo khoa Toán - Tin, trường lu an Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung thầy mơn va Tốn ứng dụng nói riêng giảng dạy dìu dắt tác giả suốt thời gian n tn to qua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS ie gh Trương Minh Tuyên, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả p suốt trình làm luận văn nl w Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp d oa tận tình giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn oi lm ul nf va an lu Học viên Nguyễn Thị Thu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Mục lục lu an n va Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu Kiến thức chuẩn bị gh tn to 1.1 Không gian Hilbert số đặc trưng p ie 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển w 1.3 Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ oa nl điển 11 d 1.3.1 Phương pháp gradient 13 lu va an 1.3.2 Phương pháp gradient tăng cường 13 oi lm ul nf 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ 17 z at nh gần không giãn 2.1 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung z gm @ họ hữu hạn ánh xạ không giãn 17 2.2 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung l m co họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn 25 an Lu Tài liệu tham khảo 34 n va ac th si Một số ký hiệu viết tắt lu an n va p ie gh tn to H khơng gian Hilbert h., i tích vô hướng không gian Hilbert H k.k chuẩn khơng gian Hilbert H I tốn tử đồng H PC phép chiếu mêtric tập hợp số thực tập số thực không âm d R+ oa nl w R lu không gian số thực n chiều va an Rn phép giao ∅ ul nf ∩ ∀ với x oi lm tập rỗng n→∞ z at nh lim sup xn giới hạn dãy số {xn } z dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T 5f gradient phiếm hàm khả vi f m co l gm @ xn −→ x0 an Lu n va ac th si Mở đầu Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" nảy sinh q trình nghiên cứu giải tốn thực tế toán cân kinh tế, tài chính, lu an tốn mạng giao thơng, lý thuyết trị chơi, phương trình vật lý tốn Bài va toán giới thiệu lần Hartman Stampacchia vào năm n tn to 1966 tài liệu [8] Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu ie gh hạn chiều, vơ hạn chiều với ứng dụng giới thiệu p chi tiết sách "An Introduction to Variational Inequalities and d oa [10] nl w Their Applications" Kinderlehrer D Stampacchia G xuất năm 1980 an lu Từ đó, tốn bất đẳng thức biên phân nghiên cứu phát triển mạnh nf va mẽ, thu hút sự quan tâm nhiều người làm tốn ngồi nước oi lm ul Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải bất động z at nh đề xuất phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm z gm @ Một trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân tốn có dạng: Tìm phần tử x∗ ∈ C = ∩N i=1 Ci , cho m co l hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C, an Lu F ánh xạ liên tục từ không gian Hilbert H vào nó, Ci , va i = 1, 2, , N tập lồi đóng H Bài tốn có ý nghĩa quan n trọng việc giải tốn tối ưu lồi có ràng buộc trường hợp đặc biệt ac th si toán chấp nhận lồi tiếng Ta xem tập Ci tập điểm bất động phép chiếu mêtric PCi từ H lên Ci , tốn xem toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ngồi ra, nghiên cứu mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm hay không đếm ánh xạ không giãn Mục đích luận văn giới thiệu số kết tốn tìm nghiệm lu bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn an ánh xạ không giãn hay vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn không va n gian Hilbert H gh tn to Luận văn bao gồm chương: Chương nhắc lại số tính chất đặc trưng p ie khơng gian Hilbert, tốn bất đẳng thức biến phân cổ điển, với w số toán liên quan số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến oa nl phân Chương trình bày lại kết tác giả Buong N Duong L T d [4] dựa phương pháp lặp Mann phương pháp đường dốc cho toán bất lu va an đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ ul nf không giãn kết nghiên cứu Sahu D R., Kang S M Sagar V oi lm [17] cho toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert thực z at nh H Bên cạnh đó, chương số ví dụ đơn giản đề cập z nhằm minh họa thêm cho phương pháp m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an Chương bao gồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất đặc trưng va n không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu toán bất đẳng thức biến tn to phân cổ điểm không gian hữu hạn chiều, với số toán liên gh p ie quan Mục 1.3 trình bày số phương pháp cho toán bất đẳng thức w biến phân phương pháp gradient hay gradient tăng cường Mục 1.4 đề cập oa nl đến số bổ đề quan trọng thường xuyên dùng đến chứng minh kết d chương sau an lu Không gian Hilbert số đặc trưng ul nf va 1.1 oi lm Trong luận văn giả thiết H không gian Hilbert thực p với tích vơ hướng ký hiệu h., i chuẩn xác định bởi: kxk = hx, xi z at nh với x ∈ H z Trong mục đề cập đến số vấn đề hội tụ mạnh, hội l gm @ tụ yếu, tập lồi, tập đóng, tập compact, m co Định nghĩa 1.1 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } gọi hội an Lu tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, ||xn − x|| → n → ∞ va Định nghĩa 1.2 Dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu n tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, hxn , yi → hx, yi n → ∞ với ac th si y ∈ H Chú ý 1.1 a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, điều ngược lại không b) Mọi không gian Hilbert có tính chất Kadec-Klee, tức dãy {xn } không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện kxn k → kxk xn * x, xn → x n → ∞ Định nghĩa 1.3 Cho C tập không gian Hilbert H Khi C lu an gọi là: n va b) tập đóng dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x n → ∞, ta có ie gh tn to a) tập lồi λx + (1 − λ)y ∈ C với x, y ∈ C λ ∈ [0, 1]; p x ∈ C; w có x ∈ C; d oa nl c) tập đóng yếu dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn * x n → ∞, ta an lu phần tử thuộc C; oi lm ul nf va d) tập compact dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ e) tập compact tương đối dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ; z at nh f) tập compact yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu z phần tử thuộc C; gm @ g) tập compact tương đối yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội m co l tụ yếu ngược lại không an Lu Nhận xét 1.1 a) Mọi tập compact tập compact tương đối, điều va n b) Mọi tập đóng yếu tập đóng, điều ngược lại khơng ac th si Mệnh đề 1.1 [1] Trong không gian Hilbert H, tập lồi, đóng bị chặn tập compact yếu Tiếp theo, chúng tơi trình bày phép chiếu mêtric không gian Hilbert Mệnh đề 1.2 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Khi với x ∈ H, tồn PC x ∈ C cho kx − PC xk = inf kx − uk u∈C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kx − uk Khi đó, tồn {un } ⊂ C cho lu u∈C an kx − un k −→ d, n −→ ∞ Từ ta có n va to kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k tn un + um k = 2kx − un k + 2kx − um k − 4kx − 2 ie gh 2 p ≤ 2(kx − un k + kx − um k ) − 4d2 oa nl w −→ 0, d n, m −→ ∞ Do {un } dãy Cauchy H Suy tồn u = an lu lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên kx − uk = d Giả sử tồn v ∈ C va n→∞ oi lm ul nf cho kx − vk = d Ta có ku − vk = k(x − u) − (x − v)k z at nh 2 = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4kx − z ≤ u+v k gm @ Suy u = v Vậy tồn phần tử PC x ∈ C cho kx − PC xk = m co l inf u∈C kx − uk H −→ C xác định H x 7→ PC x cho va Hilbert H Ánh xạ PC : an Lu Định nghĩa 1.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian n kx − PC xk = inf u∈C kx − uk gọi phép chiếu mêtric từ H lên C ac th si 22 Do lim kxnj − pk = lim yni j − p
, i = 1, 2, , N j→∞ (2.5) j→∞ lu Theo Bổ đề 1.1 ta có: 2 i i i−1 i i−1 ynj − p = (1 − βnj )ynj + βnj Ti ynj − p i i−1 i i−1 = (1 − βnj )(ynj − p) + βnj (Ti ynj − p 2 i−1 i i i−1 = (1 − βnj )
ynj − p + βnj Ti ynj − p i−1 − T y − βni j (1 − βni j )
yni−1 i nj j 2 i−1 i i−1 i−1 i ≤ ynj − p − βnj (1 − βnj )
ynj − Ti ynj an n va tn to ≤ − βni j )
yni−1 j − i−1 T i yn j p ie gh ≤ kxnj − pk − βni j (1
2 i−1 i i−1 α(1 − β)
ynj − Ti ynj ≤ kxnj − pk − ynj − p oa nl w Do d Theo (2.5) ta có va an lu i−1 i−1 ynj − Ti ynj → j → ∞ ul nf Vì vậy, oi lm kyni−1 − Ti yni−1 k → n → ∞ với i = 1, 2, , N z at nh Sau chứng minh z kxn − Ti xn k → n → ∞ với i = 1, 2, , N gm @ Thật vậy, hiển nhiên trường hợp i = ta có m co l kxn − T1 xn k = kyn0 − T1 yn0 k → an Lu Khi i = ta có n va ac th kyn1 − T2 yn1 k → kyn1 − xn k = βn1 kyn0 − T1 yn0 k → 0, si 23 nên suy kxn − T2 xn k → Như vậy, quy nạp ta nhận kxn − Ti xn k → 0, với i = 1, 2, , N Cuối chứng minh lu an lim suphF (p∗ ), xn − p∗ i ≥ n va n→∞ tn to Gọi {xnj }j∈N dãy dãy {xn }n∈N hội tụ yếu tới p¯ cho gh lim suphF (p∗ ), xn − p∗ i = lim hF (p∗ ), xnj − p∗ i j→∞ p ie n→∞ w Vì kxn − Ti xn k → 0, với i = 1, 2, , N , nên theo Bổ đề 1.5 ta có p¯ ∈ F oa nl Từ suy d lim suphF (p∗ ), xn − p∗ i ≥ nf va Ta lại có an lu n→∞ oi lm ul kxn+1 − p∗ k2 = k(1 − βn0 )xn + βn0 (I − λn µF )ynN − p∗ k2 ≤ (1 − βn0 )kxn − p∗ k2 z at nh + βn0 k(I − λn µF )(ynN − p∗ ) − λn µF (p∗ )k2 z ≤ (1 − βn0 )kxn − p∗ k2 + βn0 (1 − λn τ )kxn − p∗ k2 @ gm − 2βn0 λn µ[hF (p∗ ), ynN − p∗ i − λn µhF (p∗ ), F (ynN )i] m co l = (1 − βn0 λn τ )kxn − p∗ k2 − 2βn0 λn µ[hF (p∗ ), ynN − p∗ i − λn µhF (p∗ ), F (ynN )i] an Lu ≤ (1 − βn0 λn τ )kxn − p∗ k2 n τ 2µ2 − p i − λn kF (p∗ )kM1 ] τ ∗ va − 2µ βn0 λn τ [ hF (p∗ ), ynN ac th si 24 ≤ (1 − βn0 λn τ )kxn − p∗ k2 + βn0 λn τ [ 2µ hF (p∗ ), p∗ − xn i τ 2µ 2µ2 kF (p∗ )kkynN − xn k + λn kF (p∗ )kM1 ] τ τ Theo Bổ đề 1.4 với an = kxn − p∗ k, bn = βn0 λn τ , + cn = 2µ 2µ 2µ2 hF (p∗ ), p∗ − xn i + kF (p∗ )kkynN − xn k + λn kF (p∗ )kM1 τ τ τ kxn − ynN k → λn → ta có lu kxn − p∗ k → an n va Từ suy điều phải chứng minh gh tn to Ví dụ 2.1 Xét tốn: Tìm cực tiểu phiếm hàm ϕ(x) = x21 +(x2 −1)2 +(x3 +1)2 ie với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , với miền ràng buộc Ci = {(x1 , x2 , x3 ) : (x1 − p 1/i)2 + x22 + (x3 + 1/i)2 ≤ 2}, i = 1, 2, , 100 oa nl w Dễ thấy ϕ hàm lồi khả vi R3 với F = 5ϕ toán tử 2-Lipschitz, 2-đơn điệu mạnh x∗ = (0, 1, −1) ∈ C nghiệm toán, tức ϕ(x∗ ) = d an lu minx∈C ϕ(x) nf va Áp dụng phương pháp lặp (2.2), với x0 = (1, 2, 3), βni = 1/2, i = 1, 2, , 100, sau: oi lm ul λn = 1/n với n ≥ µ = 1/4, sau 500 bước lặp, ta nhận hình vẽ z at nh z m co l gm @ an Lu n va Hình 2.1: x500 = (0.005118, 1.002778, −0.985826) ac th si 25 2.2 Bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn Trong mục này, đề cập đến phương pháp lặp cho tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung dãy ánh xạ gần không giãn tài liệu [17] Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert H T = {Tn } lu an dãy ánh xạ từ C vào Ta nói T dãy ánh xạ gần không giãn n va tồn dãy số không âm {an } thỏa mãn limn→∞ an = cho to ie gh tn kTn x − Tn yk ≤ kx − yk + an , p với x, y ∈ C n ≥ Ta kí hiệu F ix(T ) tập điểm bất động chung dãy ánh xạ gần không giãn d oa nl w T = {Tn } an lu Cho T1 , T2 : C −→ H hai ánh xạ xác định C Ta kí hiệu B(C) tập va tập bị chặn C Độ lệch T1 T2 B ∈ B(C) kí hiệu oi lm ul nf DB (T1 , T2 ) xác định DB (T1 , T2 ) = sup kT1 x − T2 xk z at nh Ta cần bổ đề sau: x∈B z gm @ Bổ đề 2.1 [6] Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh V : C −→ H l m co tốn tử L-Lipschitz Khi đó, ≤ γL < µη, an Lu hx − y, (µF − γV )x − (µF − γV )yi ≥ (µη − γL)kx − yk2 , (2.6) va n với x, y ∈ C, tức µF − γV toán tử đơn điệu mạnh với hệ số µη − γL ac th si 26 Định lí 2.2 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh C −→ H toán tử L-Lipschitz Cho T = {Tn } dãy V : ánh xạ gần khơng giãn từ C vào tương ứng với dãy {an } cho F ix(T ) 6= ∅ T ánh xạ từ C vào xác định T x = limn→∞ Tn x với x ∈ C Giả sử F ix(T ) = F ix(T ), < µ < 2η/k ≤ γL < τ , với p τ = − − µ(2η − µk ) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau lu xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ], ∀n ≥ 1, (2.7) an n va {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) gh tn to Nếu điều kiện sau thỏa mãn a) limn→∞ αn = P∞ n=1 αn = ∞, p ie b) P∞ c) P∞ − αn | < ∞ limn→∞ αn+1 /αn = 1, nl w n=1 |αn+1 an lu B(C), < ∞ limn→∞ DB (Tn , Tn+1 )/αn = với B ∈ d oa n=1 DB (Tn , Tn+1 ) nf va d) limn→∞ an /αn = 0, oi lm ul dãy {xn } xác định (2.7) hội tụ mạnh x∗ ∈ F ix(T ), với x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân z at nh h(µF − γV )x∗ , x∗ − yi ≤ 0, ∀y ∈ F ix(T ) z gm @ Chứng minh Với z ∈ F ix(T ), ta có (2.8) kxn+1 − zk = kPC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ] − PC (z)k m co l ≤ kαn γV xn + (I − αn µF )Tn xn − zk an Lu = kαn (γV xn − µF z) + (I − αn µF )Tn xn − (I − αn µF )zk ≤ αn γLkxn − zk + αn k(γV − µF )zk + (1 − αn τ )(kxn − zk + an ) n va ≤ (1 − αn (τ − γL))kxn − zk + αn k(γV − µF )zk + an ac th si 27 Vì limn→∞ an /αn = 0, nên tồn K > cho αn k(γV − µF )zk + an ≤ K, ∀n ≥ αn (2.9) Do đó, ta có kxn+1 − zk ≤ (1 − αn (τ − γL))kxn − zk + αn K ≤ max{kxn − zk, (2.10) K } τ − γL lu Suy dãy {xn } bị chặn dãy {Tn xn }, {V xn } bị chặn an Từ (2.7), ta có n va tn to kxn+1 − xn k = kPC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ] ie gh − PC [αn−1 γV xn−1 + (I − αn−1 µF )Tn−1 xn−1 ]k p ≤ k[αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ] nl w − [αn−1 γV xn−1 + (I − αn−1 µF )Tn−1 xn−1 ]k d oa = kαn γ(V xn − V xn−1 ) + γ(αn − αn−1 )V xn−1 lu va an + (I − αn µF )Tn xn − (I − αn µF )Tn xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 + αn−1 µF Tn−1 xn−1 − αn µF Tn xn−1 k ul nf oi lm ≤ αn γLkxn − xn−1 k + γ|αn − αn−1 |.kV xn−1 k + (1 − αn τ )kTn xn − Tn xn−1 k + kTn xn−1 − Tn−1 xn−1 k z at nh + µkαn−1 F Tn−1 xn−1 − αn F Tn xn−1 k z ≤ (1 − αn (τ − γL))kxn − xn−1 k + DB (Tn , Tn−1 ) + (1 − αn τ )an l gm @ + γ|αn − αn−1 |.kV xn−1 k m co + µkαn−1 (F Tn−1 xn−1 − F Tn xn−1 ) − (αn − αn−1 )F Tn xn−1 k an Lu ≤ (1 − αn (τ − γL))kxn − xn−1 k + DB (Tn , Tn−1 ) + |αn − αn−1 |M1 + an , n va M1 số dương Từ Bổ đề 1.4, suy kxn+1 −xn k → n → ∞ ac th si 28 Ta có kxn − Tn xn k ≤ kxn − xn+1 k + kxn+1 − Tn xn k = kxn − xn+1 k + kPC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ] − PC (Tn xn )k ≤ kxn − xn+1 k + kαn γV xn + (I − αn µF )Tn xn − Tn xn k ≤ kxn − xn+1 k + αn kγV xn − µF Tn xn k → Từ đó, kết hợp với đánh giá lu kxn − T xn k ≤ kxn − Tn xn k + kTn xn − T xn k an n va ≤ kxn − Tn xn k + DB (Tn , T ), Tiếp theo, ta lim supn→∞ hxn − x∗ , (γV − µF )x∗ i ≤ Giả sử {xnk } ie gh tn to nên ta nhận kxn − T xn k → p dãy {xn } cho w nl lim suphxn − x∗ , (γV − µF )x∗ i = lim hxnk − x∗ , (γV − µF )x∗ i (2.11) k→∞ d oa n→∞ an lu Không tổng quát giả sử xnk * z ∈ C Từ Bổ đề 1.5, suy z ∈ nf va F ix(T ) = F ix(T ) Do đó, từ (2.8), ta nhận ul lim suphxn − x∗ , (γV − µF )x∗ i = hz − x∗ , (γV − µF )x∗ i ≤ (2.12) oi lm n→∞ z at nh Để kết thúc chứng minh, ta xn → x∗ , n → ∞ Đặt yn = αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn γn = αn (τ − γL) Khi đó, từ (2.7), ta có z = αn hγV xn − µF x∗ , xn+1 − x∗ i n va − (I − αn µF )Tn x∗ , xn+1 − x∗ i (2.13) an Lu + h(I − αn µF )Tn xn m co l ≤ hyn − x∗ , xn+1 − x∗ i gm @ kxn+1 − x∗ k2 = hyn − x∗ , xn+1 − x∗ i + hPC yn − yn , PC yn − x∗ i ac th si 29 = αn γhV xn − V x∗ , xn+1 − x∗ i + αn hγV x∗ − µF x∗ , xn+1 − x∗ i + h(I − αn µF )Tn xn − (I − αn µF )Tn x∗ , xn+1 − x∗ i ≤ αn γLkxn − x∗ k.kxn+1 − x∗ k + αn h(γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ i + (1 − αn τ )(kxn − x∗ k + an )kxn+1 − x∗ k = (1 − αn (τ − γL))kxn − x∗ k.kxn+1 − x∗ k + αn h(γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ i lu + (1 − αn τ )an kxn+1 − x∗ k ≤ (1 − αn (τ − γL)) (kxn − x∗ k2 + kxn+1 − x∗ k2 ) an va + αn h(γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ i + an kxn+1 − x∗ k n Do đó, tn to − αn (τ − γL) kxn − x∗ k2 + αn (τ − γL) 2αn h(γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ i + + γn 2an + kxn+1 − x∗ k + γn p ie gh kxn+1 − x∗ k2 ≤ oa nl w ≤ (1 − γn )kxn − x∗ k2 + γn δn + M2 an , d nf va an lu (2.14) 2 h(γV − µF )x∗ , xn+1 − x∗ i, M2 = sup kxn+1 − x∗ k (1 + γn )(τ − γL) n + γn oi lm ul δn = z at nh Áp dụng Bổ đề 1.4, suy xn → x∗ , n → ∞ z Hệ 2.1 (Định lý 3.2, [6]) Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng @ gm gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu m co l mạnh V : C −→ H toán tử L-Lipschitz Cho T : C −→ C an Lu ánh xạ không giãn cho F ix(T ) 6= ∅ Giả sử < µ < 2η/k ≤ γL < τ , p với τ = − − µ(2η − µk ) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau va (2.15) n xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )T xn ], ∀n ≥ 1, ac th si 30 {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) thỏa mãn điều kiện a) b) Định lí 2.2 Khi đó, dãy {xn } xác định (2.15) hội tụ mạnh x∗ ∈ F ix(T ), với x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân h(µF − γV )x∗ , x∗ − yi ≤ 0, ∀y ∈ F ix(T ) (2.16) Hệ 2.2 (Định lí 3.2, [18]) Cho H không gian Hilbert thực, f ánh xạ α-co H F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh Cho T : C −→ C ánh xạ không giãn cho F ix(T ) 6= ∅ Giả sử lu an < µ < 2η/k ≤ γα < τ , với τ = µ(η − µk /2) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác va n định dãy {xn } sau tn to xn+1 = αn γf xn + (I − αn µF )T xn , ∀n ≥ 1, (2.17) ie gh p {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) thỏa mãn điều kiện nl w a) b) Định lí 2.2 Khi đó, dãy {xn } xác định (2.17) hội tụ mạnh d oa x∗ ∈ F ix(T ), với x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân lu h(µF − γf )x∗ , x∗ − yi ≤ 0, ∀y ∈ F ix(T ) va an (2.18) ul nf Hệ 2.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert oi lm thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh z at nh V : C −→ H toán tử L-Lipschitz Cho {Tn } dãy ánh xạ khơng giãn từ C vào tương ứng với dãy {an } cho ∩∞ n=1 F ix(Tn ) 6= ∅ z T ánh xạ từ C vào xác định T x = limn→∞ Tn x với @ m co l gm x ∈ C Giả sử F ix(T ) = F ix(T ), < µ < 2η/k ≤ γL < τ , với τ = p − − µ(2η − µk ) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )Tn xn ], ∀n ≥ 1, an Lu (2.19) va {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) thỏa mãn điều kiện n a)-c) Định lí 2.2 Khi đó, dãy {xn } xác định (2.19) hội tụ mạnh ac th si 31 ∗ x∗ ∈ ∩∞ n=1 F ix(Tn ), với x nghiệm bất đẳng thức biến phân h(µF − γV )x∗ , x∗ − yi ≤ 0, ∀y ∈ ∩∞ n=1 F ix(Tn ) (2.20) Tiếp theo, ta có hệ cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Hệ 2.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh lu V : C −→ H toán tử L-Lipschitz Cho λi > với i = 1, 2, , N PN cho i=1 λi = cho Ti : C −→ H, i = 1, 2, , N ánh xạ an n va ie gh tn to không giãn với ∩N i=1 F ix(Ti ) 6= ∅ Giả sử < µ < 2η/k ≤ γL < τ , với p τ = − − µ(2η − µk ) Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau p xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF ) N X λi Ti xn ], ∀n ≥ 1, (2.21) w i=1 d oa nl {αn } dãy số dương nằm khoảng (0, 1) thỏa mãn điều kiện P∞ a)-b) Định lí 2.2 Nếu n=1 DB (Tn , Tn+1 ) < ∞, dãy {xn } xác định lu thức biến phân ul nf va an ∗ (2.21) hội tụ mạnh x∗ ∈ ∩N i=1 F ix(Ti ), với x nghiệm bất đẳng h(µF − γV )x∗ , x∗ − yi ≤ 0, ∀y ∈ ∩N i=1 F ix(Ti ) oi lm (2.22) z at nh Ví dụ 2.2 Trong khơng gian số thực R, lấy C = [0, 1] Cho T : C −→ C ánh xạ không giãn xác định T x = − x với x ∈ C Cho F, V : C −→ R z gm @ ánh xạ xác định F x = 4x V x = 2x với x ∈ C Khi đó, F toán tử k-Lipschitz η-đơn điệu mạnh với k = η = V m co l ánh xạ L-Lipschitz với L = an Lu Chọn µ = 1/4, τ = chọn γ = 1/4 Lấy αn = 1/(n+1) an = 1/n2 1 − x, x ∈ [0, 1) với n, ta xác định ánh xạ Tn : C −→ C Tn x = an , x = n va ac th si 32 Ta T = {Tn } dãy ánh xạ gần không giãn F ix(T ) 6= ∅ Thật vậy, x, y ∈ [0, 1), ta có |Tn x − Tn y| = |x − y|, ∀n Nếu x ∈ [0, 1) y = 1, |Tn x − Tn 1| = |1 − x − an | ≤ |x − 1| + an , ∀n lu Do đó, T = {Tn } dãy ánh xạ gần khơng giãn Ngồi ra, dễ thấy F ix(T ) = an {1/2} Hiển nhiên, limn→∞ Tn x = T x với x ∈ C va n Với n, ta có gh tn to ie |Tn+1 x − Tn x| = 0, x ∈ [0, 1) p |an+1 − an |, x = w d oa nl Từ đó, suy DC (Tn+1 , Tn ) = supx∈C |Tn+1 x − Tn x| ≤ |an+1 − an |, ∀n Do đó, ∞ X lu DC (Tn+1 , Tn ) ≤ ∞ X |an+1 − an | < ∞ n=1 va an n=1 ul nf Như vậy, giả thiết Định lí 2.2 thỏa mãn oi lm Kết phương pháp lặp (2.7) thể hình đây: z at nh z m co l gm @ an Lu Hình 2.2: Phương pháp lặp (2.7) với n = 50 n va ac th si 33 Kết luận Luận văn trình bày số nội dung sau: lu • Bài tốn bất đẳng thức biến phân cổ điển không gian hữu hạn chiều an n va Rn số tốn liên quan; [4] cho tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm ie gh tn to • Phương pháp lặp Mann kết hợp với phương pháp đường dốc tài liệu p bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn; oa nl w • Kết nghiên cứu tác giả D.R Sahu, S M Kang V Sagar tài liệu [17] cho tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân d lu gần không giãn oi lm ul nf va an tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 34 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer lu an [2] Aoyama K., Iiduka I., Takahashi W (2006), "Weak convergence of an itera- va n tive sequence for accretive operators in Banach spaces", Fixed Point Theory to ie gh tn and Applications p [3] Bnouhachem A., Noor M A., Al-Said E , Khalfaoui M , Zhaohan S (2011), nl w " Extragradient method for variational inequalities", Hacettepe Journal of d oa Mathematics and Statistics, 40, pp 839-854 lu an [4] Buong Ng., Duong L T (2011), "An explicit iterative algorithm for a class nf va of variational inequalities in Hilbert spaces", Journal of Optimization The- oi lm ul ory and Applications, 151(3), pp 513-524 [5] Ceng L C., Yao J C (2006), "Strong convergence theorem by an extragra- z at nh dient method for fixed point problems and variational inequalityproblems", z Taiwanese Journal of Mathematics, 10, pp 1293-1303 gm @ [6] Ceng L C , Ansari Q H and Yao J C (2011), "Some iterative methods l m co for finding fixed points and for solving constrained convex minimization problems", Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications,74(16), an Lu pp 5286-5302 n va ac th si 35 [7] Goebel K., Kirk W A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory,Cambridge University Press, Cambridge [8] Hartman P., Stampacchia G (1966), "On some nonlinear elliptic differential functional equations", Acta Math., 115, pp 271-310 [9] Jung J S (2011), "A general iterative scheme for k-strictly pseudocontractive mappings and optimization problems", Applied Mathematics and Computation, 217, pp 5581-5588 lu an n va [10] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An introduction to variational in- tn to equalities and their applications Academic Press, New York ie gh [11] Korpelevich G M (1976), "The extragradient method for finding saddle p points and other problems", Ekonomika i Matematcheskie Metody, 12, pp oa nl w 747-756 d [12] Lions J L., Stampacchia G (1967), "Variational inequalities", Communi- lu va an cations on Pure and Applied Mathematics, 20, pp 493-512 oi lm ul nf [13] Marino G., Xu H -K (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathe- z at nh matical Analysis and Applications, 329, pp 336-346 [14] Nadezhkina N., Takahashi W (2006), "Weak convergence theorem by an ex- z gm @ tragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", m co l Journal of Optimization Theory and Applications, 128, pp 191-201 [15] Noor M A (2003), "Extragradient methods for pseudomonotone varia- an Lu tional inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications,117, n va pp 475-488 ac th si 36 [16] Noor M A (2003), "New extragradient-type methods for general variational inequalities", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 277, pp 379-394 [17] Sahu D.R., Kang S M., Sagar V (2012), "Approximation of common cixed points of a sequence of nearly nonexpansive mappings and solutions of variational inequality problems", Journal of Applied Mathematics, 2012, Article ID 902437 lu an [18] Tian M (2010), "A general iterative algorithm for nonexpansive mappings va n in Hilbert spaces", Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, to gh tn 73(3), pp 689-694 p ie [19] Xu H.-K (2006), "Strong convergence of an iterative method for nonexpan- sive and accretive operators", J Math Anal Appl., 314(2), pp 631-643 nl w d oa [20] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational an lu inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive nf va mappings", Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization oi lm ul and their Applications, 8, pp 473-504 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si
Ngày đăng: 24/07/2023, 09:51
Xem thêm: