(Luận văn) thiết lập điều kiện xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ α không giãn suy rộng trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019 lu an n va p ie gh tn to THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ α - KHÔNG GIÃN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH d oa nl w nf va an lu Mã số: SPD2018.02.58 z at nh oi lm ul Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Kim Ngoan Lớp: ĐHSTOAN15B z Giảng viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Trung Hiếu m co l gm @ an Lu n va Đồng Tháp, 6/2019 ac th si i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN lu an n va p ie gh tn to THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ α- KHÔNG GIÃN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH oa nl w Mã số: SPD2018.02.58 Chủ nhiệm đề tài d Giảng viên hướng dẫn nf va an lu lm ul ThS Nguyễn Trung Hiếu Nguyễn Kim Ngoan z at nh oi Xác nhận Chủ tịch hội đồng z m co l gm @ TS Lê Hoàng Mai an Lu n va Đồng Tháp, 6/2019 ac th si MỤC LỤC Thông tin kết nghiên cứu iv Summary vi lu an Mở đầu nước n Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài tn va to ie gh Tính cấp thiết đề tài p Mục tiêu nghiên cứu 4 Cách tiếp cận Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu oa nl w d an lu nf va z at nh oi lm ul Ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach z @ Không gian Banach lồi 1.2 Ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach l gm 1.1 m co an Lu Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Ba17 n va nach lồi ac th si ii iii 2.1 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi dãy S-lặp 2.2 17 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi dãy P-lặp Kết luận kiến nghị 28 40 Kết luận 40 Kiến nghị 41 lu an 46 n va Phụ lục p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN Thông tin chung: - Tên đề tài: Thiết lập điều kiện xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach - Mã số: SPD2018.02.58 - Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Kim Ngoan lu an - Thời gian thực hiện: 7/2018 đến 6/2019 n va Mục tiêu: gh tn to - Thiết lập số điều kiện xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi p ie - Xây dựng ví dụ minh họa cho việc xấp xỉ điểm bất động ánh xạ αkhông giãn suy rộng không gian Banach lồi nl w Tính sáng tạo: d oa - Những dãy lặp đề xuất đề tài nf va an lu - Điều kiện đủ cho hội tụ yếu hội tụ dãy lặp đến điểm bất động, điểm bất động chung ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi lm ul Kết nghiên cứu: z at nh oi - Xây dựng hai dãy lặp để xấp xỉ điểm bất động hai ba ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach z - Thiết lập chứng minh số kết tồn xấp xỉ điểm bất động hai ba ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi gm @ m co l - Thiết lập chứng minh số kết xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi an Lu - Xây dựng ba ví dụ minh họa cho việc xấp xỉ điểm bất động hai ba ánh xạ α-không giãn suy rộng n va ac th si v Sản phẩm: - Một báo khoa học đăng tạp chí khoa học Đại học Đồng Tháp thảo gửi xét đăng - Báo cáo khoa học vấn đề xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: - Báo cáo tổng kết đề tài tài liệu tham khảo cho giảng viên sinh viên Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp học tập, giảng dạy nghiên cứu khoa học lu an - Việc nghiên cứu đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập nghiên cứu khoa học sinh viên; từ đó, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo Trường Đại học Đồng Tháp nói chung Khoa Sư phạm Tốn học nói riêng n va - Kết đề tài góp phần làm phong phú thêm kết xấp xỉ điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si vi MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness SUMMARY General information Project Title: To establish some conditions for approximating of fixed points of generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces Code number: SPD2018.02.58 Coordinator: Nguyễn Kim Ngoan lu an Duration: from July, 2018 to June, 2019 n va Objectives: tn to ie gh - To establish some conditions for approximating for fixed points of the gener- p alized α-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces oa nl w - To give some examples to demonstrate the approximating fixed points of the d generalized α-nonexpansive mappings in the uniformly convex Banach spaces lu nf va an Creativeness and innovativeness: lm ul - The proposed iterations process is new z at nh oi - The sufficient condition for weak and strong convergence to fixed points and common fixed points of generalized α-nonexpansive mappings in uniformly l gm @ Research results: z convex Banach spaces m co - Two iterations process for approximating of common fixed points of two and three generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces were introduced an Lu - Some results for the existence and approximating of comon fixed points of va n two and three generalized α-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach ac th si vii spaces were established and proved - Some results for the approximating of fixed points of generalized α-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces were established and proved - Three examples were given to illustrate the approximating of common fixed points of two and three generalized α-nonexpansive mappings Products: - A paper was published on Dong Thap University Journal of Science and a manuscript was submitted lu an nonexpansive mappings in Banach spaces n va - A scientific report about approximating of fixed points of generalized α- tn to ie gh Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of p research results: oa nl w - The scientific report of the project is a reference for lecturers and students d of Faculty of Mathematics Teacher Education, Dong Thap University in studying, lu nf va an lecturing and researching - The results of the project contribute to enriching some approximate fixed lm ul point and common fixed point results for generalized α-nonexpansive mappings z at nh oi in Banach spaces - The researching of the project partially contributes to improving the quality z gm @ of students learning and scientific research; since then, it partially contributes to m co Mathematics Teacher Education in particular l improving the training quality of Dong Thap University in general and Faculty of an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước lu Nhiều vấn đề toán học lĩnh vực khoa học khác thường dẫn đến an n va việc tìm nghiệm phương trình F(x) = x Nghiệm x phương trình tn to gọi điểm bất động ánh xạ F Do đó, việc nghiên cứu công cụ hữu ie gh hiệu để khảo sát tồn tìm điểm bất động ánh xạ nhiều tác giả p quan tâm Trong hướng nghiên cứu này, Nguyên lí ánh xạ co Banach [4] oa nl w kết lí thuyết điểm bất động Lưu ý nguyên lí điểm bất động ánh xạ co giới hạn dãy lặp Picard d lu nf va an Cùng với phát triển tốn học, Ngun lí ánh xạ co Banach mở rộng cho lớp ánh xạ lớp không gian tổng quát Năm 1965, lm ul Browder [6] giới thiệu lớp ánh xạ tổng quát lớp ánh xạ co z at nh oi gọi ánh xạ không giãn, đồng thời thiết lập điều kiện đủ cho tồn điểm bất động lớp ánh xạ không gian Banach lồi Tuy nhiên, kết z Browder khẳng định tồn điểm bất động ánh xạ không giãn mà gm @ không đưa kĩ thuật tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Do đó, việc xây l m co dựng kĩ thuật để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn nhiều tác an Lu giả quan tâm nghiên cứu [7] Kĩ thuật để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn xây dựng dãy lặp nghiên cứu hội tụ dãy lặp đến điểm va n bất động điểm bất động chung ánh xạ không giãn Trong hướng ac th si nghiên cứu này, nhiều dạng dãy lặp giới thiệu dãy Mann [15], dãy Ishikawa [14], dãy lặp Noor [17], dãy S-lặp [2], dãy SP-lặp [19], dãy lặp Abbas [1], dãy P-lặp[21], dãy lặp Thakur [28, 29] nhiều kết xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn thiết lập Trong dãy lặp đó, dãy S-lặp dãy lặp hai bước, Agarwal cộng [2] giới thiệu năm 2007, đồng thời, tác giả chứng minh dãy S-lặp có tốc độ hội tụ đến điểm bất động ánh xạ co tương đương với dãy lặp Picard nhanh dãy lặp Mann; dãy P-lặp dãy lặp ba bước, Sainuan [21] giới thiệu năm 2015 từ ý lu tưởng dãy S-lặp dãy SP-lặp [19], đồng thời, tác giả chứng tỏ dãy an P-lặp hội tụ đến điểm bất động lớp ánh xạ liên tục, không giảm nhanh n va dãy S-lặp tn to ie gh Trong năm gần đây, số tác giả quan tâm nghiên cứu mở rộng khái p niệm ánh xạ không giãn nhiều cách tiếp cận khác Nhiều khái niệm suy nl w rộng ánh xạ không giãn giới thiệu ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) d oa [26], ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E) ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Cλ ) [10], ánh an lu xạ α-không giãn [3] số kết xấp xỉ điểm bất động ánh nf va xạ không giãn suy rộng thiết lập Năm 2017, Pant Shukla [18] giới lm ul thiệu mở rộng ánh xạ α-không giãn gọi ánh xạ α-không giãn z at nh oi suy rộng Sau đó, khái niệm Shukla cộng [27] nghiên cứu không gian Banach thứ tự Mebawondu cộng [16] nghiên cứu z không gian Hyperbolic Năm 2018, Piri cộng [20] giới thiệu @ gm dãy lặp ba bước nghiên cứu hội tụ dãy lặp đến điểm bất co l động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi Như m vậy, số kết bước đầu tồn xấp xỉ điểm bất động ánh xạ an Lu α-không giãn suy rộng thiết lập Tuy nhiên, nay, chưa có n va kết xấp xỉ điểm bất động chung ánh xạ α-không giãn suy rộng ac th si 32 Từ (2.35) ta có kun+1 − pk ≤ (1 − αn )kwn − pk + αn kvn − pk Điều dẫn đến kwn − pk ≤ (kwn − pk − kun+1 − pk) + kvn − pk αn Kết hợp điều với (2.31) (2.36) ta c ≤ lim inf kvn − pk Khi từ (2.31), n→∞ ta lim kvn − pk = c Do đó, n→∞ c = lim kvn − pk = lim k(1 − βn )wn + βn T2 wn − pk n→∞ n→∞ = lim k(1 − βn )(wn − p) + βn (T2 wn − p)k (2.39) n→∞ Khi đó, từ (2.32), (2.34), (2.39) Bổ đề 1.1.3, ta có lu lim kT2 wn − wn k = an (2.40) n→∞ n va Hơn nữa, kết hợp đẳng thức kwn − un k = γn kT1 un − un k với (2.38), ta tn to lim kwn − un k = (2.41) ie gh n→∞ p Mặt khác, từ Bổ đề 1.2.7, ta có w d oa nl kun − T2 un k ≤ kun − wn k + kwn − T2 un k 3+α kun − T2 wn k + kwn − un k ≤ kwn − un k + 1−α 3+α ≤ 2kwn − un k + kwn − T2 wn k 1−α an lu nf va (2.42) lm ul Do đó, từ (2.40), (2.41) (2.42), ta lim kun − T2 un k = Hơn nữa, kết hợp n→∞ z at nh oi đẳng thức kvn − wn k = βn kT2 wn − wn k với (2.40), ta lim kvn − wn k = n→∞ z (2.43) m co l lim kvn − un k = n→∞ gm @ Khi đó, kết hợp điều với (2.41) ta an Lu n va ac th si 33 Mặt khác, ta có c = lim kun+1 − pk n→∞ = lim k(1 − αn )T2 wn + αn T3 − pk n→∞ = lim k(1 − αn )(T2 wn − p) + αn (T3 − p)k n→∞ ≤ lim [(1 − αn )kT2 wn − pk + αn kT3 − pk] n→∞ ≤ lim [(1 − αn )kwn − pk + αn kun − pk] n→∞ ≤ lim [(1 − αn )kun − pk + αn kun − pk] n→∞ = lim kun − pk = c (2.44) n→∞ lu Khi đó, từ (2.44) ta lim k(1 − αn )(T2 wn − p) + αn (T3 − p)k = c Kết hợp an n→∞ điều với (2.33) sử dụng Bổ đề 1.1.3, ta va n lim kT3 − T2 wn k = (2.45) tn to n→∞ gh Khi đó, kết hợp bất đẳng thức kT3 − wn k ≤ kT3 − T2 wn k + kT2 wn − wn k với ie (2.40) (2.45), ta lim kT3 − wn k = Kết hợp điều với (2.30) bất p n→∞ nl w đẳng thức kT3 − k ≤ kT3 − wn k + kwn − k ta oa lim kT3 − k = (2.46) n→∞ d an lu Mặt khác, từ Bổ đề 1.2.7, ta có nf va kun − T3 un k ≤ kun − k + kvn − T3 un k 3+α kvn − T3 k + kvn − un k ≤ kun − k + 1−α 3+α ≤ 2kun − k + kvn − T3 k 1−α z at nh oi lm ul (2.47) Do đó, từ (2.43), (2.46) (2.47), ta lim kun − T3 un k = z n→∞ @ động chung ba ánh xạ α-không giãn suy rộng co l gm Tiếp theo, thiết lập hội tụ yếu dãy lặp (2.25) đến điểm bất m Mệnh đề 2.2.3 Cho E khơng gian Banach lồi có tính chất Opial, K an Lu tập lồi đóng khác rỗng E, T1 , T2 , T3 : K −→ K ba ánh xạ α-không giãn suy n ac th đến p ∈ F va rộng cho F 6= 0, / dãy {un } xác định (2.25) Khi đó, dãy {un } hội tụ yếu si 34 Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.2, ta có dãy {un } bị chặn lim kun − T1 un k = lim kun − T2 un k = lim kun − T3 un k = n→∞ n→∞ n→∞ Vì E không gian Banach lồi nên E khơng gian Banach phản xạ Khi đó, tồn dãy {un(i) } {un } cho {un(i) } hội tụ yếu đến p ∈ K Do lim kT1 un(i) − un(i) k = lim kT2 un(i) − un(i) k = lim kT3 un(i) − un(i) k = i→∞ i→∞ i→∞ Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.2.9 , ta có T1 p = T2 p = T3 p = p hay p ∈ F Tiếp theo, ta giả sử {un } không hội tụ yếu đến p Khi đó, tồn dãy {un(k) } {un } cho {un(k) } hội tụ đến p ∈ K với p 6= q Lập luận tương tự trên, từ lu Mệnh đề 1.2.9, ta có q ∈ F Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2.1, ta có lim kun − pk an n→∞ n→∞ n va lim kun − qk tồn Sử dụng tính chất Opial, ta có to lim kun − pk = lim inf kun(i) − pk tn n→∞ i→∞ gh < lim inf kun(i) − qk ie i→∞ p = lim kun − qk n→∞ w = lim inf kun(k) − qk nl k→∞ oa < lim inf kun(k) − pk d k→∞ lu = lim kun − pk nf va an n→∞ Điều mâu thuẫn Do p = q hay {un } hội tụ yếu đến p ∈ F lm ul z at nh oi Tiếp theo, thiết lập số kết hội tụ dãy lặp (2.25) đến điểm bất động chung ba ánh xạ α-không giãn suy rộng z Mệnh đề 2.2.4 Cho E khơng gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác gm @ rỗng E, T1 , T2 , T3 : K −→ K ba ánh xạ α-không giãn suy rộng với F 6= 0, / n→∞ m co p ∈ F l dãy {un } xác định (2.25) lim inf d(un , F ) = Khi đó, dãy {un } hội tụ đến an Lu Chứng minh Với p ∈ F , theo Mệnh đề 2.2.1, ta có lim kun − pk tồn Do đó, n→∞ n ac th n→∞ va lim d(un , F ) = lim inf{kun − pk, p ∈ F } tồn n→∞ si 35 Khi đó, lim d(un , F ) = lim inf d(un , F ) = Khi đó, tồn dãy {un(k) } n→∞ n→∞ {un } với dãy {pk } ⊂ F , ta có kun(k) − pk k < k Khi đó, theo bất đẳng thức (2.27), ta kun(k+1) − pk k ≤ kun(k) − pk k ≤ 2k Điều dẫn đến kpk+1 − pk k ≤ kpk+1 − un(k+1) k + kun(k+1) − pk k ≤ 1 + < 2k+1 2k 2k−1 Suy lu an n va p ie gh tn to kpk+m − pk k ≤ kpk+m − pk+m−1 k + kpk+m−1 − pk+m−2 k + + kpk+1 − pk k 1 ≤ k+m−2 + k+m−3 + + k−1 2
1 = k−1 m−1 + m−2 + + 2 
1 n = k−2 − 2 < k−2 oa nl w d Do {pk } dãy Cauchy F Hơn theo Bổ đề 1.2.8, ta có F tập lu nf va an đóng khơng gian Banach Do đó, dãy {pk } hội tụ đến p ∈ F Hơn nữa, từ lm ul kun(k) − pk ≤ kun(k) − pk k + kpk − pk ≤ + kpk − pk 2k z at nh oi ta suy lim kun(k) − pk = Kết hợp với giới hạn lim kun − pk tồn tại, ta suy k→∞ {un } hội tụ đến p ∈ F n→∞ z Mệnh đề 2.2.5 Cho E khơng gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng @ gm E, T1 , T2 , T3 : K −→ K ba ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F 6= 0, / l thỏa mãn điều kiện (C) dãy {un } xác định (2.25) Khi đó, dãy {un } hội tụ m co đến p ∈ F an Lu Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.2, ta có (2.48) ac th n→∞ n n→∞ va lim kT1 un − un k = lim kT2 un − un k = lim kT3 un − un k = n→∞ si 36 Vì T1 , T2 T3 thỏa mãn điều kiện (C) nên tồn hàm không giảm f : [0, ∞) → [0, ∞) cho f (0) = f (r) > với r > max{kun − T1 un k, kun − T2 un k, kun − T3 un k} ≥ f (d(un , F )) (2.49) Khi đó, từ (2.48) (2.49), ta lim f (d(un , F )) = Giả sử lim d(un , F ) > Khi đó, với ε > 0, tồn n0 ∈ n→∞ ∗ N n→∞ cho với n ≥ n0 , ta có d(un , F ) > ε Khi đó, f (d(un , F )) ≥ f (ε) Do đó, lim f (d(un , F )) ≥ f (ε) > Điều n→∞ mâu thuẫn với lim f (d(un , F )) = Do đó, lim d(un , F ) = Khi đó, theo n→∞ n→∞ Mệnh đề 2.2.4 ,ta suy {un } hội tụ đến p ∈ F lu Mệnh đề 2.2.6 Cho E không gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng an T1 T2 T3 nửa compact dãy {un } xác định (2.25) Khi đó, {un } n va E, T1 , T2 , T3 : K −→ K ba ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F 6= 0, / to gh tn hội tụ đến u∗ ∈ F p ie Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3, ta có {un } bị chặn w lim kT1 un − un k = lim kT2 un − un k = lim kT3 un − un k = n→∞ n→∞ oa nl n→∞ d Hơn nữa, T1 T2 T3 nửa compact nên tồn dãy {un(k) } {un } lu nf va an cho {un(k) } hội tụ đến p ∈ K Mặt khác từ Bổ đề 1.2.7, ta có 3+α ku − T1 un(k) k + kun(k) − pk − α n(k) lm ul kun(k) − T1 pk ≤ k→∞ z at nh oi Điều dẫn đến lim kun(k) − T1 pk = hay dãy {un(k) } hội tụ đến T1 p Sử dụng tính giới hạn T1 p = p Lập luận tương tự, ta chứng minh T2 p = T3 p = p Vì vậy, p ∈ F Do đó, theo Mệnh đề 2.2.1, lim kun − pk tồn n→∞ z gm @ Suy tồn giới hạn l lim d(un , F ) = lim inf{kun − pk, p ∈ F } n→∞ co n→∞ m Mặt khác, d(un(k) , F ) ≤ kun(k) − pk nên lim d(un(k) , F ) = an Lu k→∞ Do đó, lim d(un , F ) = Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.4, ta có dãy {un } hội tụ đến n→∞ ∈ F n va u∗ ac th si 37 Từ Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.2.6, cách chọn T1 = T2 = T3 = T , ta nhận định lí xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng dãy lặp (2.24) Định lí 2.2.7 Cho E khơng gian Banach lồi có tính chất Opial, K tập lồi đóng khác rỗng E, T : K −→ K ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F(T ) 6= 0, / dãy {un } xác định (2.24) Khi đó, dãy {un } hội tụ yếu đến p ∈ F(T ) Định lí 2.2.8 Cho E không gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng lu E, T : K −→ K ánh xạ α-không giãn suy rộng với F(T ) 6= 0, / dãy {un } xác an định (2.24) lim inf d(un , F(T )) = Khi đó, dãy {un } hội tụ đến p ∈ F(T ) Định lí 2.2.9 Cho E khơng gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng n va n→∞ to gh tn E, T : K −→ K ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F(T ) 6= 0, / thỏa p ie mãn điều kiện (I) dãy {un } xác định (2.24) Khi đó, dãy {un } hội tụ đến w p ∈ F(T ) oa nl Định lí 2.2.10 Cho E khơng gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng d E, T : K −→ K ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F(T ) 6= 0, / T nửa lu nf va an compact dãy {un } xác định (2.24) Khi đó, {un } hội tụ đến u∗ ∈ F(T ) lm ul Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho hội tụ dãy lặp (2.25) z at nh oi đến điểm bất động chung ba ánh xạ α-khơng giãn suy rộng Ví dụ 2.2.11 Cho E = R không gian Banach với chuẩn giá trị tuyệt đối, z K = [−1, 1] T1 , T2 , T3 : K −→ K xác định       3x/10 x ∈ [−1, 0] x/3       T1 x = T2 x = x = 3/10         −x −x x ∈ (0, 1]\{3/10}, l gm @ x ∈ [−1, 0] m co x = 1/3 an Lu x ∈ (0, 1]\{1/3} n va ac th si 38    x    T3 x =     −x/2 x ∈ [−1, 0] x = 1/2 x ∈ (0, 1]\{1/2} Khi đó, theo Ví dụ 1.2.3, Ví dụ 1.2.4 Ví dụ 1.2.5 , ta có T1 , T2 T3 ba ánh xạ α-không giãn suy rộng với α = 0, Ta có F = {0} Hơn nữa, giả thiết lại Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.2.6 thỏa mãn Do đó, dãy {un } xác định (2.25) hội tụ đến điểm bất động chung T1 , T2 , T3 lu an Bằng lập trình tính tốn Siclab-6.0.0, minh họa dáng điệu hội tụ n va dãy {un } xác định (2.25) đến hai trường hợp cụ thể sau: n+1 2n + n Trường hợp: n = 50, u1 = −0, 5, αn = , βn = γn = 2n + 3n + 2n + với n ∈ N∗ p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ m u1 = −0, co l Hình Dáng điệu hội tụ dãy {un } xác định (2.25) đến với an Lu n va ac th si 39 Trường hợp: n = 50, u1 = 0, 5, αn = n ∈ N∗ n+1 2n + n , βn = γn = với 2n + 3n + 2n + lu an n va tn to p ie gh Hình Dáng điệu hội tụ dãy {un } xác định (2.25) đến với u1 = 0, d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 40 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Đề tài đạt kết sau - Hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan đến ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach - Xây dựng hai dãy lặp để xấp xỉ điểm bất động chung hai ba ánh lu xạ α-không giãn suy rộng: dãy lặp (2.2) dãy lặp (2.25) an n va - Thiết lập chứng minh số kết tồn xấp xỉ điểm bất tn to động chung hai ba ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach ie gh lồi Mệnh đề 2.1.1, Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.4, Mệnh p đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh oa nl w đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5 Mệnh đề 2.2.6 d - Thiết lập chứng minh số kết xấp xỉ điểm bất động lu nf va an ánh xạ α-không giãn suy rộng khơng gian Banach lồi Định lí 2.1.7, Định lí 2.1.8, Định lí 2.1.9, Định lí 2.1.10, Định lí 2.2.7, Định lí 2.2.8, Định lí 2.2.9 z at nh oi lm ul Định lí 2.2.10 - Xây dựng ba ví dụ minh họa cho việc áp dụng kết đạt Ví dụ 2.1.11, Ví dụ 2.1.12 Ví dụ 2.2.11 z @ gm Các kết đề tài công bố báo khoa học Tạp chí m co l Khoa học Đại học Đồng Tháp thảo gửi xét đăng an Lu n va ac th si 41 Kiến nghị Đề tài phát triển theo hướng sau - Nghiên cứu xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach dãy lặp tổng quát - Nghiên cứu xấp xỉ điểm bất động dãy lặp đề xuất cho lớp ánh xạ không giãn tổng quát lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Abbas and T Nazir (2014), A new faster iteration process applied to constrained minimization and feasibility problem, Matematiqki vesnik, 66(2), 223 – 234 lu an [2] R P Agarwal , D O’Regan and D R Sahu (2007), Iterative construction of va n fixed points of nearly asymptotically nonexpansive mappings, J Nonlinear tn to Convex Anal., 8(1), 61 – 79 ie gh p [3] K Aoyama and F Kohsaka (2011), Fixed point theorem for α- nonexpansive oa nl w mapping in Banach space, Nonlinear Anal., 74, 4387 – 4391 d [4] S Banach (1922), Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur lu nf va an application aux equation integrals, Fund Math., 3, 133 – 181 North-Holland, Amsterdam z at nh oi lm ul [5] B Beauzamy (1985), Introduction to Banach spaces and their geometry, [6] F E Browder (1965), Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space, z Proc Nat Acad Sci U.S.A., 54, 1041 – 1044 gm @ l [7] A Cegielski (2012), Iterative methods for fixed point problems in Hilbert m co spaces, Lecture Notes in Mathematics 2057, Springer an Lu [8] E L Dozo (1973), Multivalued nonexpansive mappings and Opial’s n va condition, Proc Amer Math Soc., 38(2), 286 – 292 ac th si 42 43 [9] K Goebel and W A Kirk (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.28 Cambridge University Press, Cambridge [10] J Garcia-Falset, E Llorens-Fuster, and T Suzuki (2011), Fixed point theory for a class of generalized nonexpansive mappings, J Math Anal Appl., 375(1), 185 − 195 [11] D V Hieu, L D Muu, and P K Anh (2016), Parallel hybrid extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive lu an mappings, Numer Algor., 73(1), 197 – 217 n va [12] N T Hieu and N V Dung (2018), Hybrid projection algorithm for tn to gh two finite families of asymptotically quasi φ -nonexpansive mappings in p ie reflexive Banach spaces, Numer Funct Anal Optim., 39(1), 67 – 86 oa nl w [13] N T Hiếu P A Lam (2018), Sự hội tụ dãy lặp Ishikawa đến điểm bất động ánh xạ đơn điệu thỏa mãn điều kiện (E) không gian Banach d lu 15(6), 76 – 88 nf va an thứ tự, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lm ul [14] S Ishikawa (1974), Fixed points by a new iteration method, Proc Am Math z at nh oi Soc., 44(1), 147 – 150 z [15] W R Mann (1953), Mean value methods in iteration, Proc Am Math Soc., l gm @ 4(3), 506 – 510 m co [16] A A Mebawondu and C Izuchukwu (2018), Some fixed points properties, strong and δ -convergence results for generalized α-nonexpansive mappings an Lu in hyperbolic spaces, Adv Fixed Point Theory, 8(1), – 20 n va ac th si 44 [17] M A Noor (2000), New approximation schemes for general variational inequalities, J Math Anal Appl., 251(1), 217 – 229 [18] R Pant and R Shukla (2017), Approximating fixed points of generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces, Numer Funct Anal Optim., 38(2), 248 − 266 [19] W Phuengrattana and S Suantai (2011), On the rate of convergence of Mann, Ishikawa, Noor and SP iterations for countinuous functions on an arbitrary interval, J Comput Appl Math., 235(9), 3006 – 3014 lu an n va [20] H Piri, B Daraby, S Rahrovi and M Ghasemi (2018), Approximating fixed tn to points of generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces by new faster iteration process, Numer Algorithms, – 20, first online ie gh p [21] P Sainuan (2015), Rate of convergence of P-iteration and S-iteration for oa nl w continuous functions on closed intervals, Thai J Math 13 (2), 451 – 459 d [22] J Schu (1991), Weak and strong convergence to fixed points of an lu asymptotically nonexpansive mappings, Bull Aust Math Soc., 43(1), nf va 153 – 159 lm ul z at nh oi [23] H F Senter and W G Dotson (1974), Approximating fixed points of nonexpansive mappings, Proc Am Math Soc., 44(2), 375 – 380 z [24] P Sridarat, R Suparatulatorn, S Suantai, and Y J Cho (2018), Convergence gm @ analysis of SP-iteration for G-nonexpansive mappings with directed graphs, m co l Bull Malays Math Sci Soc., – 20, first online an Lu [25] N Shahzad and R Al-Dubiban (2006), Approximating common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces, Georgian Math J., 13(3), n va 529 – 537 ac th si 45 [26] T Suzuki (2011), Fixed point theorems and convergence theorems for some generalized nonexpansive mappings, J Math Anal Appl., (340), 1088 – 1095 [27] R Shukla, R Pant, and M D L Sen (2017), Generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces, Fixed Point Theory Appl., 2017:4, – 16 [28] B S Thakur, D Thakur, and M Postolache (2016), A new iteration scheme for approximating fixed points of nonexpansive mappings, Folimat, 30(10), 2711 − 2720 lu an n va [29] B S Thakur, D Thakur, and M Postolache (2016), A new iterative scheme tn to for numerical reckoning fixe points of Suzuki’s generalized nonexpansive mappings, Appl Math Comput., 275, 147 – 155 ie gh p [30] D V Thong and D V Hieu (2018), Modified subgradient extragradient oa nl w algorithms for variational inequality problems and fixed point problems, Optimization, 63(1), 83 – 102 d nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 46 PHỤ LỤC Danh mục báo khoa học công bố kết đề tài (1) N T Hieu and N K Ngoan (2019), Approximating common fixed points of lu three generalized α-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces, an n va 14 pages, submitted to gh tn (2) N K Ngoan N T Hiếu (2019), Sự hội tụ dãy lặp kiểu Agarwal đến p ie điểm bất động chung hai ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian d oa nl w Banach lồi đều, Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 37, 77 – 84 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si