(Luận văn) thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm dương của hệ phương trình đại số phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019 lu an n va p ie gh tn to THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ PHI TUYẾN nl w d oa Mã số: SPD2018.02.53 nf va an lu lm ul Chủ nhiệm đề tài: Lê Hoàng Thảo Trang z at nh oi Lớp: ĐHSTOAN15B Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Dũng z m co l gm @ an Lu Đồng Tháp, 6/2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN lu THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ PHI TUYẾN an n va gh tn to p ie Mã số: SPD2018.02.53 d oa nl w Chủ nhiệm đề tài Giảng viên hướng dẫn nf va an lu Lê Hoàng Thảo Trang TS Nguyễn Văn Dũng z at nh oi lm ul Xác nhận Chủ tịch hội đồng z gm @ TS Lê Hoàng Mai m co l an Lu Đồng Tháp, 6/2019 n va ac th si MỤC LỤC Thông tin kết nghiên cứu iv Summary vi Mở đầu 1 Tính cấp thiết đề tài 3 Mục tiêu nghiên cứu 4 Cách tiếp cận Phương pháp nghiên cứu an Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước gh lu n va tn to p ie Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu 4 d oa nl w Kiến thức chuẩn bị nf va an 1.1 Một số khái niệm 1.2 Định lí điểm bất động Guo-Krasnosekii z at nh oi lm ul lu Điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến 12 Điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến 12 2.2 Điều kiện tồn nghiệm hệ phương trình đại số phi tuyến tổng quát 21 z 2.1 m co l gm @ 32 an Lu Kết luận va Phụ lục 34 n ac th si iii iv BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN Thông tin chung: - Tên đề tài: Thiết lập điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến - Mã số: SPD2018.02.53 - Chủ nhiệm đề tài: Lê Hoàng Thảo Trang lu an - Thời gian thực hiện: 6/2018 đến 5/2019 n va Mục tiêu gh tn to - Chi tiết hóa điều kiện cho tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến tài liệu tham khảo p ie - Phát biểu số điều kiện cụ thể đảm bảo tồn nghiệm dương xây dựng ví dụ minh họa cho tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến nl w d oa Tính sáng tạo Kết nghiên cứu nf va an lu Đề tài hệ thống hoá chi tiết hoá kết từ số báo quốc tế nên tính khoa học không cao lm ul z at nh oi - Đề tài chi tiết hóa số chứng minh ví dụ tài liệu kham khảo; phát biểu chứng minh số trường hợp cụ thể liên quan đến điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến z - Kết đề tài gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học năm 2018 - 2019 Trường Đại học Đồng Tháp báo cáo sinh hoạt chun mơn Bộ mơn Giải tích - Toán ứng dụng l gm @ Sản phẩm m co - Báo cáo tổng kết thiết lập điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến an Lu n va - Bài viết gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học Trường Đại học Đồng Tháp năm học 2018-2019 ac th si v Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu Báo cáo tổng kết đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung quan tâm đến hệ phương trình đại số phi tuyến nói riêng Qua đó, đề tài góp phần nâng cao lực tư Toán học, chất lượng học tập nghiên cứu sinh viên giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si vi MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness SUMMARY General information Project Title: On the existence of positive solutions for nonlinear algebraic systems Code number: SPD2018.02.53 lu an n va Coordinator: Le Hoang Thao Trang tn to Duration: from July, 2018 to June, 2019 p ie gh Objectives: w - To provide detailed proofs certain results on the existence of positive solu- d oa nl tions for nonlinear algebraic systems in the main reference an lu - To state some conditions for the existence of positive solutions for nonlinear nf va algebraic systems, and to give some examples to illustrate the obtained results lm ul Creativeness and innovativeness: z at nh oi Using Guo-Krasnosekii fixed point theorem to prove the existence of positive solutions for nonlinear algebraic systems z gm @ Research results: l - The project provides detailed proofs for certain results on the existence of m co positive solutions for nonlinear algebraic systems in the main reference; states an Lu some conditions for the existence of positive solutions for nonlinear algebraic systems, and gives some examples to illustrate the obtained results n va ac th - The main result of the project was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scien- si vii tific Research Conference of Dong Thap University It was also presented in the Seminar of Division of Mathematical Analysis and Applied Mathematics Products: - The report on the existence of positive solutions for nonlinear algebraic systems - The article was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scientific Research Conference of Dong Thap University Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of lu an research results: n va tn to The report of the project is a reference for lecturers and students in Mathemat- ics Teacher Education of Dong Thap University in general, and for the readers gh p ie who are interested in nonlinear algebraic systems in particular Then the report partially improves the mathematical competence, the quality of learning and re- nl w d oa searching activities of the students and lecturers of Mathematics Teacher Educa- nf va an lu tion at Dong Thap University z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước Nhiều toán phát sinh từ kinh tế học, mạng phức hợp kĩ thuật học mô tả hệ phương trình Bài tốn tồn nghiệm hệ phương trình gọi tốn khơng điểm Bài toán gắn liền với hàm f : X → Rn lu với X tập hợp không gian Euclide n-chiều Rn Một điểm x ∈ X an n va gọi không điểm f f (x) = θ x gọi điểm bất động tn to f x không điểm hàm số g cho g(x) = f (x) − x, nói ie gh cách khác f (x) = x p Nói chung, khơng có phương pháp tốt cho việc giải hệ phương trình oa nl w vậy, chí trường hợp đơn giản hai phương trình dạng f1 (x1 , x2 ) = d f2 (x1 , x2 ) = 0, xem [4] Từ đó, số định lí tồn khơng điểm điểm lu nf va an bất động xác định số tác giả Một số tác giả nghiên cứu tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến đặt nhiều vấn đề lm ul mở cần tiếp tục nghiên cứu Trong tài liệu [2], tác giả nghiên cứu hệ n×n z at nh oi đại số phi tuyến dạng x = λ AF(x) với λ > 0, A ma trận vuông dương cấp z x = col(x1 , , xn ), F(x) = col( f (x1 ), f (x2 ), , f (xn )) gm @ f hàm liên tục giảm xác định [0, n) f (u) > với u > l n va col( f1 (x1 ), f2 (x2 ), , fn (xn )) an Lu λ AF(x) với λ tham số F(x) vector cột m co Trong tài liệu [6], tác giả nghiên cứu hệ đại số phi tuyến dạng x = ac th si tương ứng với fk : R −→ R, k ∈ {1, 2, , n} n số nguyên dương, A = (ai j )n×n ma trận vng n × n tồn phần tử ma trận dương Trong tài liệu [7] tác giả xem xét tồn nghiệm dương toán giá trị biên Dirichlet dạng ∆2 xi−1 + f (xi ) = 0, i ∈ {1, , n}, x0 = = xn+1 (0.1) cách sử dụng định lí điểm bất động Guo-Krasnosekii, n số nguyên dương ∆ toán tử sai phân tiến, nghĩa ∆xi−1 = xi − xi−1 lu ∆2 xi−1 = ∆(∆xi ) an n va Giả sử x = col(x1 , , xn ), F(x) = col( f (x1 ), , f (xn )), G = (gi j )n×n cho tn to p ie gh   (n − i + 1) j   n+1 gi j = (n − j + 1)i    n+1 16 j6i6n (0.2) nl w i j n d oa Khi tốn (0.1) viết lại ma trận vector có dạng lu z at nh oi n xi = lm ul hay dạng hệ phương trình (0.3) nf va an x = GF(x) ∑ gi j f (x j ) với i ∈ {1, , n} j=1 (0.4) z Trong tài liệu [1], tác giả thiết lập chứng minh điều kiện cho tồn @ l gm nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến (0.3) Bên cạnh tác an Lu x = G(x)F(x) m hệ phương trình đại số phi tuyến tổng quát có dạng co giả thiết lập chứng minh số điều kiện cho tồn nghiệm dương (0.5) n va ac th si hay dạng hệ phương trình n xj = ∑ gi j (x) f j (x) với i ∈ {1, , n} (0.6) j=1 G(x) = (gi j (x1 , x2 , , xn ))m×n (0.7) F(x) = col( f1 (x1 , , xn ), f2 (x1 , , xn ), , fn (x1 , , xn )) Gần đây, Ngọc [5] nghiên cứu áp dụng Định lí Krasnoselkii vào việc thiết lập điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình phi tuyến lu an số trường hợp cụ thể n va to Tính cấp thiết đề tài ie gh tn p - Trên sở tình hình nghiên cứu tổng quan nước nêu trên, chúng oa nl w nhận thấy vấn đề mở đặt định hướng cho nghiên d cứu áp dụng điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi lu nf va an tuyến Tuy nhiên, nhiều kĩ thuật trình bày đọng, trường hợp riêng chưa trình bày chi tiết ví dụ minh họa chưa thiết lập cụ thể Vì lm ul vậy, chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu tồn nghiệm dương cho toán minh họa z at nh oi hệ phương trình đại số phi tuyến cách cụ thể, chi tiết xây dựng ví dụ z - Việc nghiên cứu đề tài thiết lập tồn nghiệm dương hệ phương trình đại @ l gm số phi tuyến góp phần chi tiết hóa số kết điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến Đề tài tài liệu tham khảo cho co m sinh viên giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp an Lu nói chung quan tâm đến hệ phương trình đại số phi tuyến nói riêng va Qua đó, đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập, giảng dạy nghiên cứu n ac th si 20 Với x ∈ P ∩ ∂ Ωb , ta có δ |x| = bδ ≤ xi ≤ b với i ∈ {1, , n} n yi = n max f (s) ∑ ϕ j < b ∑ gi j f (x j ) ≤ s∈[δ b,b] (2.26) j=1 j=1 Do |GF(x)| < b = |x| Theo Hệ 1.2.4, GF có điểm bất động x ∈ P ∩ (Ωb \Ωa ) Khi GF(x) = x Vậy x nghiệm hệ (0.3) Vì xi ≥ δ |x| ≥ với i ∈ {1, , n} nên x nghiệm dương Vì x ∈ Ωb \ Ωa nên a < |x| < b Sau đây, trình bày ví dụ minh họa cho Định lí 2.1.1 lu an n va Ví dụ 2.1.5 [[1], Trang 4] Cho hệ phương trình đại số phi tuyến có dạng tn to p ie gh      x 1 f (x )  1 =    x2 1 f (x2 ) (2.27) w oa nl Nếu tồn < a < b cho f (a) ≤ a f (b) ≥ b f (a) ≥ a d f (b) ≤ b tốn (2.27) có nghiệm dương x ∈ P ∩ (Ωb \ Ωa ) an lu nf va Thật ta có: ϕ1 = ϕ2 = 1, δ = lm ul P = {(x1 , x2 ) : x1 , x2 ≥ max {|x1 |, |x2 |}, (x1 , x2 ) ∈ R2 } (2.28) z at nh oi Khi tốn 2.27 viết lại z x1 = f (x1 ) + f (x2 ), x2 = f (x1 ) + f (x2 ) gm @ (2.29) co l Giả sử x1 = x2 = x, ta có: x = f (x) Mặc khác [δ a, a] = a, [δ b, b] = b Do giả m thiết 2.21 trở thành f (a) ≤ a f (b) ≥ b Vậy giả thiết Định lí 2.1.1 an Lu Do hệ (2.27) có nghiệm dương x ∈ P ∩ (Ωb \ Ωa ) n va ac th si 21 2.2 Điều kiện tồn nghiệm hệ phương trình đại số phi tuyến tổng qt Sau chúng tơi trình bày kết điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyển (0.5) Định lí 2.2.1 ([1],Định lí 12) Giả sử hệ phương trình (0.5) thỏa mãn giả thiết sau lu Tồn số dương b cho gi j (x) liên tục không âm ≤ xi ≤ b i, j ∈ an n va {1, , n} to gh tn Tồn δ ∈ (0, 1] số dương {ϕ j }nj=1 cho δ ϕ j ≤ gi j (x) ≤ ϕ j với p ie ≤ xi ≤ b i, j ∈ {1, , n} oa nl w Tồn < a < b cho hàm: fi : [δ a, b]n → R+ d n lu max f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≤ a, j=1 st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≥ b j=1 z at nh oi f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≥ a, j=1 gm st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} @ n z δ f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≤ b j=1 m co max (2.31) l n st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} (2.30) n lm ul δ nf va an st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} an Lu Khi hệ (0.5) có nghiệm dương x ∈ P ∩ (Ωb \ Ωa )và nghiệm thỏa mãn điều n va kiện a ≤ |x| ≤ b ac th si 22 Chứng minh Ta chứng tỏ tồn ánh xạ GF : P ∩ (Ωb \ Ωa ) → P xác định n G(x)F(x) = y = (y1 , , yn ) = ( ∑ gi j (x) f (x j ))ni=1 j=1 với n yi = ∑ gi j (x) f (x j ), G = (gi j )n×n(x), F(x) = col( f (x1), f (x2), , f (xn)) j=1 ánh xạ hoàn toàn liên tục Thay GF GF lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.1.1 ta lu an GF ánh xạ hoàn toàn liên tục n va Ta chứng tỏ GF(x) thỏa mãn (H1 ) to gh tn Với x ∈ P ∩ ∂ Ωa , ta có δ |x| = aδ ≤ xi ≤ a với i ∈ {1, , n} ie n p yi = n ∑ gi j (x) f j (x) ≤ j=1 ∑ ϕ j f j (x) j=1 (2.32) ≤ d oa nl w n max st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≤ a j=1 an lu nf va Do |G(x)F(x)| ≤ a = |x| n yi = ∑ gi j (x) ≥ δ ∑ ϕ j f j (x) j=1 ≥δ n z at nh oi lm ul Với x ∈ P ∩ ∂ Ωb , ta có δ |x| = aδ ≤ xi ≤ a với i ∈ {1, , n} j=1 co l gm @ Do |G(x)(x)F(x)| ≥ b = |x| (2.33) n f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≥ b z st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} j m Lưu ý ta chứng tỏ GF thỏa mãn (H2 ) Thật với x ∈ P ∩ an Lu n va ac th si 23 ∂ Ωa , ta có δ |x| = aδ ≤ xi ≤ a với i ∈ {1, , n} n n yi = ∑ gi j (x) f j (x) ≥ δ ∑ ϕ j f j (x) j=1 j=1 (2.34) n ≥δ st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≥ a j=1 Do |G(x)F(x)| ≥ a = |x| Với x ∈ P ∩ ∂ Ωb , ta có δ |x| = bδ ≤ xi ≤ b với i ∈ {1, , n} n n ∑ gi j (x) ≤ ∑ ϕ j f j (x) yi = j lu j=1 (2.35) an n n va ≤δ max st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≤ b j=1 tn to p ie gh Do |G(x)F(x)| ≤ b = |x| w Theo Bổ đề 1.2.1, GF có điểm bất động x ∈ P ∩ (Ωb \Ωa ) Khi G(x)F(x) = x oa nl Vậy x nghiệm hệ (0.5) Vì xi ≥ δ |x| ≥ với i ∈ {1, , n} nên x nghiệm d dương Vì x ∈ Ωb \ Ωa nên a ≤ |x| ≤ b an lu nf va Tương tự chứng minh Định lí 2.2.1 kết hợp với Chú ý 15 [[1], Trang 6] lm ul phát biểu chứng minh Định lí sau tương ứng Hệ 1.2.2, Hệ 1.2.3, Hệ 1.2.4 z at nh oi Định lí 2.2.2 Giả sử hệ phương trình (0.5) thỏa mãn giả thiết sau z co l {1, , n} gm @ Tồn số dương b cho gi j (x) liên tục không âm ≤ xi ≤ b i, j ∈ m Tồn δ ∈ (0, 1] số dương {ϕ j }nj=1 cho δ ϕ j ≤ gi j (x) ≤ ϕ j với n va Tồn < a < b cho hàm: fi : [δ a, b]n → R+ an Lu ≤ xi ≤ b i, j ∈ {1, , n} ac th si 24 n max st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j < a, j=1 (2.36) n δ st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≥ b j=1 n δ st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j > a, j=1 (2.37) n lu max an st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≤ b j=1 n va tn to Khi hệ (0.5) có nghiệm dương x ∈ P ∩ (Ωb \ Ωa )và nghiệm thỏa mãn điều p ie gh kiện a < |x| ≤ b w Chứng minh Lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.2.1 ta có tồn ánh xạ oa nl GF : P ∩ (Ωb \ Ωa ) → P xác định d n an lu G(x)F(x) = y = (y1 , , yn ) = ( ∑ gi j (x) f (x j ))ni=1 nf va j=1 lm ul với n ∑ gi j (x) f (x j ), G = (gi j )n×n(x), F(x) = col( f (x1), f (x2), , f (xn)) z at nh oi yi = j=1 ánh xạ hoàn toàn liên tục z @ l gm Ta chứng tỏ GF(x) thỏa mãn (H11 ) Với x ∈ P ∩ ∂ Ωa , ta có δ |x| = aδ ≤ xi ≤ a với i ∈ {1, , n} n j=1 j=1 n max j=1 (2.38) n ac th st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j < a va ≤ an Lu ∑ gi j (x) f j (x) ≤ ∑ ϕ j f j (x) m yi = co n si 25 Do |G(x)F(x)| < a = |x| Với x ∈ P ∩ ∂ Ωb , ta có δ |x| = bδ ≤ xi ≤ b với i ∈ {1, , n} n yi = n ∑ gi j (x) ≥ δ ∑ ϕ j f j (x) j j=1 (2.39) n ≥δ f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≥ b st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} j=1 Do |G(x)(x)F(x)| ≥ b = |x| Lưu ý ta chứng tỏ GF thỏa mãn (H21 ) Thật với x ∈ lu P ∩ ∂ Ωa , ta có δ |x| = aδ ≤ xi ≤ a với i ∈ {1, , n} an n va to n tn gh yi = n ∑ gi j (x) f j (x) ≥ δ ∑ ϕ j f j (x) (2.40) f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j > a (2.41) j=1 p ie j=1 n st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} j=1 oa nl w ≥δ d Do |G(x)F(x)| > a = |x| lu nf va an Với x ∈ P ∩ ∂ Ωb , ta có δ |x| = bδ ≤ xi ≤ b với i ∈ {1, , n} n ∑ gi j (x) ≤ ∑ ϕ j f j (x) lm ul yi = n j=1 max st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} z at nh oi ≤ j (2.42) n f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≤ b z l gm @ Do |G(x)F(x)| ≤ b = |x| j=1 Theo Hệ 1.2.2, GF có điểm bất động x ∈ P ∩ (Ωb \Ωa ) Khi G(x)F(x) = co m x Vậy x nghiệm hệ (0.5) Vì xi ≥ δ |x| ≥ với i ∈ {1, , n} nên x nghiệm an Lu dương Vì x ∈ Ωb \ Ωa nên a < |x| ≤ b n va Định lí 2.2.3 Giả sử hệ phương trình (0.5) thỏa mãn giả thiết sau ac th si 26 Tồn số dương b cho gi j (x) liên tục không âm ≤ xi ≤ b i, j ∈ {1, , n} Tồn δ ∈ (0, 1] số dương {ϕ j }nj=1 cho δ ϕ j ≤ gi j (x) ≤ ϕ j với ≤ xi ≤ b i, j ∈ {1, , n} Tồn < a < b cho hàm: fi : [δ a, b]n → R+ n max st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≤ a, j=1 (2.43) n lu an δ n va st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j > b j=1 gh tn to ie n p δ w st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≥ a, j=1 (2.44) nl n d oa max f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j < b j=1 an lu st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} z at nh oi lm ul kiện a ≤ |x| < b nf va Khi hệ (0.5) có nghiệm dương x ∈ P ∩ (Ωb \ Ωa )và nghiệm thỏa mãn điều Chứng minh Lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.2.1 ta có tồn ánh xạ GF : P ∩ (Ωb \ Ωa ) → P xác định z @ n j=1 l gm G(x)F(x) = y = (y1 , , yn ) = ( ∑ gi j (x) f (x j ))ni=1 yi = an Lu n m co với ∑ gi j (x) f (x j ), G = (gi j )n×n(x), F(x) = col( f (x1), f (x2), , f (xn)) j=1 n va ánh xạ hoàn toàn liên tục ac th si 27 Ta chứng tỏ GF(x) thỏa mãn (H12 ) Với x ∈ P ∩ ∂ Ωa , ta có δ |x| = aδ ≤ xi ≤ a với i ∈ {1, , n} n yi = n ∑ gi j (x) f j (x) ≤ ∑ ϕ j f j (x) j=1 j=1 (2.45) n ≤ max st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≤ a j=1 Do |G(x)F(x)| ≤ a = |x| Với x ∈ P ∩ ∂ Ωb , ta có δ |x| = bδ ≤ xi ≤ b với i ∈ {1, , n} lu n an yi = n ∑ gi j (x) ≥ δ ∑ ϕ j f j (x) j va j=1 (2.46) n n f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j > b st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} j=1 ie gh tn to ≥δ p Do |G(x)(x)F(x)| > b = |x| oa nl w Lưu ý ta chứng tỏ GF thỏa mãn (H22 ) Thật với x ∈ P ∩ d ∂ Ωa , ta có δ |x| = aδ ≤ xi ≤ a với i ∈ {1, , n} an lu n ∑ gi j (x) f j (x) ≥ δ ∑ ϕ j f j (x) nf va yi = n j=1 f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j ≥ a j=1 z at nh oi st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} (2.47) n lm ul ≥δ j=1 Do |G(x)F(x)| ≥ a = |x| z n ∑ gi j (x) ≤ ∑ ϕ j f j (x) j max st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} j=1 n va Do |G(x)F(x)| < b = |x| f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j < b an Lu ≤ (2.48) m n co j=1 l yi = n gm @ Với x ∈ P ∩ ∂ Ωb , ta có δ |x| = bδ ≤ xi ≤ b với i ∈ {1, , n} ac th si 28 Theo Hệ 1.2.3, GF có điểm bất động x ∈ P ∩ (Ωb \Ωa ) Khi G(x)F(x) = x Vậy x nghiệm hệ (0.5) Vì xi ≥ δ |x| ≥ với i ∈ {1, , n} nên x nghiệm dương Vì x ∈ Ωb \ Ωa nên a ≤ |x| < b Định lí 2.2.4 Giả sử hệ phương trình (0.5) thỏa mãn giả thiết sau Tồn số dương b cho gi j (x) liên tục không âm ≤ xi ≤ b i, j ∈ {1, , n} Tồn δ ∈ (0, 1] số dương {ϕ j }nj=1 cho δ ϕ j ≤ gi j (x) ≤ ϕ j với lu ≤ xi ≤ b i, j ∈ {1, , n} an n va Tồn < a < b cho hàm: fi : [δ a, b]n → R+ to tn n gh max p ie st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j < a, j=1 (2.49) n st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j > b j=1 d oa nl w δ n f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j > a, lm ul δ nf va an lu st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} (2.50) n z at nh oi max st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} j=1 f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j < b j=1 z gm @ Khi hệ (0.5) có nghiệm dương x ∈ P ∩ (Ωb \ Ωa )và nghiệm thỏa mãn điều kiện a < |x| < b co l m Chứng minh Lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.2.1 ta có tồn ánh xạ ac th j=1 n G(x)F(x) = y = (y1 , , yn ) = ( ∑ gi j (x) f (x j ))ni=1 va n an Lu GF : P ∩ (Ωb \ Ωa ) → P xác định si 29 với n yi = ∑ gi j (x) f (x j ), G = (gi j )n×n(x), F(x) = col( f (x1), f (x2), , f (xn)) j=1 ánh xạ hoàn toàn liên tục Ta chứng tỏ GF(x) thỏa mãn (H13 ) Với x ∈ P ∩ ∂ Ωa , ta có δ |x| = aδ ≤ xi ≤ a với i ∈ {1, , n} n yi = n ∑ gi j (x) f j (x) ≤ ∑ ϕ j f j (x) j=1 j=1 (2.51) n lu ≤ max an st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j < a j=1 n va gh tn to Do |G(x)F(x)| < a = |x| p ie Với x ∈ P ∩ ∂ Ωb , ta có δ |x| = bδ ≤ xi ≤ b với i ∈ {1, , n} n yi = n w ∑ gi j (x) ≥ δ ∑ ϕ j f j (x) j nl j=1 (2.52) oa n d ≥δ f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j > b st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} nf va an lu j=1 Do |G(x)(x)F(x)| > b = |x| lm ul Lưu ý ta chứng tỏ GF thỏa mãn (H23 ) Thật với x ∈ P ∩ z at nh oi ∂ Ωa , ta có δ |x| = aδ ≤ xi ≤ a với i ∈ {1, , n} n ∑ gi j (x) f j (x) ≥ δ ∑ ϕ j f j (x) z yi = n j=1 @ j=1 (2.53) ≥δ j=1 m co an Lu Do |G(x)F(x)| > a = |x| f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j > a l st ∈[δ a,a] t, j∈{1, ,n} gm n n va ac th si 30 Với x ∈ P ∩ ∂ Ωb , ta có δ |x| = bδ ≤ xi ≤ b với i ∈ {1, , n} n n ∑ gi j (x) ≤ ∑ ϕ j f j (x) yi = j j=1 (2.54) n ≤ max st ∈[δ b,b] t, j∈{1, ,n} f j (s1 , s2 , , sn ) ∑ ϕ j < b j=1 Do |G(x)F(x)| < b = |x| Theo Hệ 1.2.4, GF có điểm bất động x ∈ P ∩ (Ωb \Ωa ) Khi G(x)F(x) = x Vậy x nghiệm hệ (0.5) Vì xi ≥ δ |x| ≥ với i ∈ {1, , n} nên x nghiệm lu an dương Vì x ∈ Ωb \ Ωa nên a < |x| < b n va Cuối chúng tơi trình bày ví dụ minh họa cho Định lí 2.2.1 tn to p ie gh Ví dụ 2.2.5 [Trang 5, [1]] Cho hệ đại số phi tuyến có dạng      p p +1 f (p , p )  1 =   1  p2 p2 + f2 (p1 , p2 ) oa nl w (2.55) d 1 p1 , p2 ∈ [0, 1] Ta có b = 1, a = , ϕ1 = ϕ2 = δ = Khi nf va an lu max f1 (s1 , s2 ) ∑ ϕ j = j=1 lm ul st ∈[δ a,a] f1 (s1 , s2 ), max f2 (s1 , s2 ), z at nh oi max f2 (s1 , s2 ) ∑ ϕ j = st ∈[δ a,a] max st ∈[1/8,1/4] j=1 st ∈[1/8,1/4] δ f1 (s1 , s2 ) ∑ ϕ j = st ∈[1/2,1] j=1 @ f2 (s1 , s2 ) st ∈[1/2,1] j=1 m co Theo Định lí 2.2.1, l gm δ f2 (s1 , s2 ) ∑ ϕ j = st ∈[δ b,b] f1 (s1 , s2 ), z st ∈[δ b,b] (2.56) f1 (s1 , s2 ), max f2 (s1 , s2 ) ≤ an Lu , 16 st ∈[1/8,1/4] st ∈[1/8,1/4] f1 (s1 , s2 ), f2 (s1 , s2 ) ≥ st ∈[1/2,1] st ∈[1/2,1] max n va (2.57) ac th si 31 Do hệ (2.55) nghiệm dương (p∗1 , p∗2 ) ∈ [1/8, 1]2 Chẳng hạn tồn f1 (x), f2 (x) thỏa mãn Ví dụ 2.2.5  1  x2 , ≤x≤ f1 (x) =   15x − , ≤ x ≤ (2.58)  1  x, ≤x≤ f2 (x) = −7x 11x   + − , ≤ x ≤ (2.59) lu an Thật vậy: , 16 st ∈[1/8,1/4] f1 (s1 , s2 ) ≥ st ∈[1/2,1] max f2 (s1 , s2 ) ≤ , 16 st ∈[1/8,1/4] f2 (s1 , s2 ) ≥ st ∈[1/2,1] f1 (s1 , s2 ) ≤ n va max p ie gh tn to (2.60) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 32 KẾT LUẬN Đề tài đạt kết sau - Chi tiết hóa số chứng minh tài liệu tham khảo liên quan đến điều kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến: Định lí 2.1.1, Định lí 2.2.1, Ví dụ 2.1.5, Ví dụ 2.2.5 lu - Phát biểu chứng minh chứng minh số trường hợp liên quan đến điều an kiện tồn nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến: Định lí 2.1.2, n va Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí 2.2.2, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.4 p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Yongqiang Du, Guang Zhang, and Wenying Feng, Existence of positive solutions for a class of nonlinear algebraic systems, Math Prob Engin 2016 (2016), 1–7 lu an n va [2] Wenying Feng and Guang Zhang, Eigenvalue and spectral intervals for a non- tn to linear algebraic system, Linear Algebra Appl 439 (2013), no 1, 1–20 ie gh [3] Dajun Guo and Vangipuram Lakshmikantham, Nonlinear problems in ab- p stract cones, vol 5, Academic press, 1988 w oa nl [4] Gerard Van der Laan, Dolf Talman, and Zaifu Yang, Solving discrete systems d of nonlinear equations, European J Oper Res 214 (2011), no 3, 493–500 an lu nf va [5] Ngơ Thị Kim Ngọc, Áp dụng định lí Krasnoselkii vào hệ phương trình lm ul đại số, Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên, Khoa Sư phạm Toán học, z at nh oi Trường Đại học Đồng Tháp, 2018 [6] Guang Zhang and Wenying Feng, On the number of positive solutions of a z gm @ nonlinear algebraic system, Linear Algebra Appl 422 (2007), no 2, 404–421 co l [7] Guang Zhang and Song Ge, Existence of positive solutions for a class of discrete Dirichlet boundary value problems, Appl Math Lett 48 (2015), 1–7 m an Lu n va ac th si 33 34 PHỤ LỤC Danh mục viết công bố kết đề tài Lê Hoàng Thảo Trang Nguyễn Văn Dũng, Thiết lập điều kiện tồn lu nghiệm dương hệ phương trình đại số phi tuyến, Hội nghị sinh viên nghiên an cứu khoa học Trường Đại học Đồng Tháp năm học 2018-1019 (bài gửi tham gia) n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si