(Luận văn) xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách trong không gian banach

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N QUANG KHU– lu X‡P XŸ NGHI›M CÕA B€I TON KHỈNG IšM CHUNG TCH TRONG KHỈNG GIAN BANACH an n va p ie gh tn to d oa nl w LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC nf va an lu Chuyản ngnh: ToĂn ựng dửng M số: 46 01 12 z at nh oi lm ul NGìI HìẻNG DN KHOA HC TS Trữỡng Minh Tuyản z m co l gm @ an Lu Th¡i Nguy¶n  2018 n va ac th si ii Líi c£m ìn Tỉi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án TS Trữỡng Minh Tuyản, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu  hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y gi¡o, cỉ gi¡o khoa ToĂn  Tin trữớng Ôi hồc Khoa hồcÔi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Trữớng lu an Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn Sð Gi¡o dưc v  o tÔo tnh H Giang, Ban GiĂm n va ốc Trung tƠm GiĂo dửc thữớng xuyản - Hữợng nghiằp tnh H Giang, cụng nhữ tn to ton th cĂc ỗng nghiằp,  quan tƠm v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi thỹc hiằn úng ká hoÔch hồc têp v nghi¶n cùu p ie gh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mưc lưc lu Líi c£m ỡn ii Mởt số kỵ hiằu v viát tưt iv M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b 3 1.2 nh xÔ ối ngău chuân tưc 10 1.3 Php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt 14 1.3.1 Php chiáu mảtric 14 1.3.2 Ph²p chi¸u têng qu¡t 16 To¡n tû ìn i»u khỉng gian Banach 19 22 n va Mởt số vĐn à và hẳnh håc c¡c khæng gian Banach w an 1.1 p ie gh tn to 1.4 lu 2.1.1 Phữỡng phĂp chiáu co hµp 2.1.2 Phữỡng phĂp lai chiáu 22 22 25 31 lm ul Ùng dưng nf va an 2.2 X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khæng iºm chung t¡ch d 2.1 oa nl Ch÷ìng X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khỉng iºm chung t¡ch B i to¡n iºm cüc tiºu t¡ch 31 2.2.2 Bi toĂn chĐp nhên t¡ch 33 36 m co l gm @ T i li»u tham khÊo 35 z Kát luên z at nh oi 2.2.1 an Lu n va ac th si iv Mët số kỵ hiằu v viát tưt lu an khổng gian Banach E khổng gian ối ngău cừa R têp hủp cĂc số thỹc R+ têp cĂc số thỹc khổng Ơm php giao inf M cên dữợi úng cừa têp hủp số M sup M cên trản úng cừa têp hủp số M max M số lợn nhĐt têp hủp số M số nhọ nhĐt têp hủp sè E n va E p ie gh tn to argminx∈X F (x) nl d vỵi måi mi·n £nh cõa to¡n tû to¡n tû ng÷đc cõa to¡n tû A A z at nh oi I toĂn tỷ ỗng nhĐt Lp () khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc lp khổng gian cĂc dÂy số khÊ tờng bêc p trản z @ giợi hÔn trản cừa dÂy số gm lim sup xn n→∞ Ω p {xn } l giỵi hÔn dữợi cừa dÂy số xn x0 dÂy {xn } hởi tử mÔnh và xn * x0 dÂy {xn } hëi tư y¸u v· {xn } x0 an Lu x0 m co lim inf xn n→∞ X A lm ul A−1 tr¶n x mi·n x¡c ành cõa to¡n tû nf va R(A) an lu D(A) F tªp réng oa ∀x M tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m w ∅ M n va ac th si v JE ¡nh xÔ ối ngău chuân tưc trản jE Ănh xÔ ối ngău chuân tưc ỡn tr trản E () mổ un lỗi cừa khổng gian Banach E ( ) mổ un trìn cõa khỉng gian Banach F ix(T ) ho°c F (T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ lu an f dữợi vi phƠn cừa hm lỗi M bao õng cừa têp hủp PC php mảtric lản C php chiáu tờng quĂt lản iC hm ch cừa têp lỗi E E E E T f M C C C n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u Cho H1 v  C H2 , v  Q l  c¡c tªp lỗi, õng v khĂc rộng cừa cĂc khổng gian Hilbert t÷ìng ùng Cho T ∗ : H2 −→ H1 T : H1 −→ H2 l  to¡n tû li¶n hđp cừa l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn v T Bi toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) cõ dÔng nhữ sau: Tẳm mởt phƯn tỷ x S = C ∩ T −1 (Q) 6= ∅ (SFP) lu Mỉ h¼nh bi toĂn (SFP) lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu v nghi¶n cùu bði Y Censor an va v  T Elfving [4] cho mổ hẳnh cĂc bi toĂn ngữủc Bi toĂn n y âng vai trá quan n trång khỉi phưc hẳnh Ênh Y hồc, iÃu khin cữớng ở xÔ trà gh tn to i·u trà b»nh ung th÷, khỉi phưc t½n hi»u (xem [2], [3]) hay câ thº Ăp dửng cho viằc giÊi cĂc bi toĂn cƠn bơng kinh tá, lỵ thuyát trỏ chỡi (xem [13]) ie p GiÊ sỷ C l mởt têp lỗi v õng cừa khổng gian Hilbert H1 Ta biát rơng oa nl w tªp iºm cüc tiºu cõa h m ch¿ d iC (x) = x∈ /C = C Do õ, ta nhên ữủc (Rockafellar [11]  ch rơng C lm ul C = (∂iC )−1 (0), ∂iC vỵi iC l dữợi l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc cơng l  tªp khỉng iºm cõa to¡n tû ìn i»u z at nh oi A = I − PC náu nf va Ôi) Ngoi ra, x C, an iC n¸u  ∞, lu l  arg minH1 iC (x) vi ph¥n cõa   0, A x¡c ành bði Do õ, ta cõ th xem bi toĂn chĐp nhên tĂch (SFP) l trữớng hủp riảng cừa bi toĂn khổng iºm chung t¡ch z B i to¡n khæng iºm chung t¡ch ữủc phĂt biu dÔng sau: Cho l cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi v cho
x S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) 6= co Tẳm mởt phƯn tỷ T : H1 H2 l mởt l toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n gm B : H2 −→ 2H2 @ v  A : H1 −→ 2H1 (SCNPP) m an Lu Cho án Bi toĂn (SCNPP)  v ang l chừ · thu hót nhi·u ng÷íi l m to¡n v  ngo i nữợc quan tƠm nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên vôn n y l  n va ac th si tr¼nh b y lÔi cĂc kát quÊ cừa Takahashi cĂc ti liằu [14] v [15] và phữỡng phĂp chiáu co hàp v phữỡng phĂp chiáu lai ghp cho Bi toĂn (SCNPP) khổng gian Banach Nởi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh: Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn à cêp án mởt số vĐn à và cĐu trúc hẳnh hồc cừa cĂc khổng gian Banach nhữ khổng gian Banach lỗi Ãu, khổng gian Banach trỡn Ãu, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc; php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt; toĂn tỷ ỡn i»u khỉng gian Banach, to¡n tû gi£i m¶tric v  toĂn tỷ giÊi tờng quĂt lu Chữỡng XĐp x nghi»m cõa b i to¡n khæng iºm chung t¡ch an Trong chữỡng ny luên vôn têp trung trẳnh by lÔi mởt c¡ch chi ti¸t c¡c k¸t va n qu£ cõa Takahashi [14], [15] và cĂc phữỡng phĂp chiáu co hàp v phữỡng phĂp tn to chiáu lai ghp cho bi toĂn khæng iºm chung t¡ch khæng gian Banach ie gh Ngoi ra, chữỡng ny luên vôn cụng à cêp án hai ựng dửng cừa phữỡng p phĂp chiáu lai ghp (nh lỵ 2.2) cho bi toĂn im cỹc tiu t¡ch v  b i to¡n d oa nl w ch§p nhªn t¡ch nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Kián thực chuân b Chữỡng ny bao bỗm mửc Mửc 1.1 trẳnh by mởt số vĐn à và mởt số tẵnh lu an chĐt cỡ bÊn cừa khổng gian phÊn xÔ, khổng gian Banach lỗi Ãu, trỡn Ãu Mửc n va 1.2 giợi thiằu và Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Mửc 1.3 trẳnh by và php chiáu mảtric v php chiáu tờng quĂt vợi mởt số tẵnh chĐt cì b£n cõa chóng Mưc gh tn to 1.4 tr¼nh b y v· to¡n tû ìn i»u khỉng gian Banach, to¡n tû gi£i têng qu¡t v  to¡n tû gi£i m¶tric Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o c¡c ie p t i li»u [1, 5, 6, 8, 9, 10] w Mởt số vĐn à và hẳnh hồc cĂc khæng gian Banach E l  mët khæng gian Banach v  E l khổng gian ối ngău cừa nõ  an lu Cho d oa nl 1.1 chuân trản E v E ∗; nf va cho ìn gi£n v  thuªn ti»n hỡn, chúng tổi thống nhĐt sỷ dửng kẵ hiằu Sỹ hởi tử mÔnh v yáu cừa dÂy lm ul lƯn lữủt ữủc kẵ hiằu l xn x v xn * x {xn } v· ph¦n tû k.k x º ch E ton bở luên vôn khổng gian Banach phÊn xÔ (xem [1] trang 41) co l Måi d¢y bà ch°n E , ·u câ mët dÂy hởi tử yáu m ii) E l khổng gian phÊn xÔ gm i) @ cĂc khng nh sau l  t÷ìng ÷ìng: Cho E l  mët khỉng gian Banach Khi â, z M»nh · 1.1 z at nh oi Trong luên vôn ny, chúng tổi thữớng xuyản sỷ dửng tẵnh chĐt dữợi Ơy cừa an Lu Mằnh à dữợi Ơy cho ta mối liản hằ giỳa têp õng v têp õng yáu khổng gian tuyán tẵnh nh chuân n va ac th si M»nh · 1.2 N¸u C l têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian khổng gian tuyán tẵnh nh chuân X , thẳ C l têp õng yáu Chựng minh xn * x, cho ng°t x v  Ta chùng minh b¬ng ph£n chựng GiÊ sỷ tỗn tÔi dÂy C, x / C tực l tỗn tÔi Theo nh lỵ tĂch cĂc têp lỗi, tỗn tÔi >0 {xn } C x ∈ X ∗ t¡ch cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vỵi måi y ∈ C °c bi»t, ta câ hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, lu an vỵi måi n Ngoi ra, vẳ n , nản hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do â, bĐt ta nhên ữủc n va ng thực trản, cho xn * x , to gh tn hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, C l  tªp âng yáu p ie iÃu ny l vổ lỵ Do õ, i·u gi£ sû l  sai, hay M»nh · ÷đc chựng minh w Chú ỵ 1.1 C l têp õng yáu, thẳ hin nhiản C l têp õng oa nl Náu d Mằnh à dữợi Ơy cho ta mởt iÃu kiằn và sỹ tỗn tÔi im cỹc tiu cừa mởt lu an phiám hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi khổng gian Banach phÊn nf va xÔ lm ul Mằnh à 1.3 Cho C l têp lỗi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian Banach z at nh oi phÊn xÔ E v f : C (, ] l mởt hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi trản C , cho f (xn ) kxn k Khi õ, tỗn tÔi x0 dom(f ) cho z f (xn ) → m {xn } n → ∞ cho N¸u {xn } kxnk k → ∞ {xn } ⊂ C khổng b chn, thẳ tỗn tÔi mởt dÂy Theo giÊ thiát, f (xnk ) , mƠu thuăn an Lu vợi cừa Khi õ, tỗn tÔi d¢y m {xnk } m = inf{f (x) : x ∈ C} co cho °t l Chùng minh gm @ f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} m 6= ∞ Do â, {xn } bà ch°n Theo Mằnh à 1.1 v Mằnh à 1.2, tỗn tÔi d¢y n va ac th si {xnj } {xn } cõa cho x nj * x C Vẳ f l nỷa liản tửc dữợi tổpổ yáu, nản ta cõ m f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m n→∞ j→∞ Do â, m = f (x0 ) Mằnh à ữủc chựng minh Tiáp theo, mửc ny chúng tổi à cêp án mởt số vĐn à cỡ bÊn và cĐu trúc hẳnh hồc cĂc khổng gian Banach, nhữ: tẵnh lỗi, tẵnh trỡn, mổ un lỗi, mổ un trỡn nh nghắa 1.1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l lỗi cht náu vợi mồi x, y ∈ lu E, x 6= y m  kxk = 1, kyk = ta câ x + y < an n va ành nghắa 1.1 cỏn cõ th phĂt biu dữợi cĂc dÔng tữỡng ữỡng tn to Chú ỵ 1.2 gh E ữủc gồi l lỗi cht náu vợi mồi x, y SE thäa m¢n kx + yk = 1, suy x = y ho°c vỵi måi x, y ∈ SE v  x 6= y ta câ ktx+(1−t)yk < vỵi måi t ∈ (0, 1), â sau: Khỉng gian Banach p ie nl w oa SE = {x ∈ E : kxk = 1} d M»nh · 1.4 Cho E an lu l  mët khæng gian Banach lỗi cht Khi õ, vợi mội GiÊ sỷ tỗn tÔi x, y ∈ E lm ul Chùng minh nf va f E \ {0}, tỗn tÔi nhĐt ph¦n tû x ∈ E cho kxk = v  hx, f i = kf k thäa m¢n kxk = kyk = v  x 6= y cho Khi â, vỵi t ∈ (0, 1), z at nh oi hx, f i = hy, f i = kf k tứ tẵnh lỗi cht cừa E, ta cõ z kf k = thx, f i + (1 − t)hy, f i @ gm = htx + (1 − t)y, f i hx, f i = kf k x ∈ E an Lu Suy mƠu thuăn Vêy tỗn tÔi nhĐt phƯn tỷ m < kf k co l ≤ ktx + (1 − t)ykkf k cho kxk = v  n va ac th si x xn * Suy kxn k → x ta câ kxn k kxk xnk x x ≤ lim inf ≤ − δ, + 1= kxk k→∞ kxnk k kxk l  khæng gian lỗi Ãu nản tỗn tÔi cho d oa nl Tứ E V¼ ta câ nf va an lu suy mƠu thuăn Vêy Cho E fx E E cho ữủc gồi l trỡn náu vợi mội hx, fx i = kxk v  kfx k = l  mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Chuân trản ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux tÔi im x SE z E cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee Khổng gian Banach tỗn tÔi nhĐt nh nghắa 1.5 E z at nh oi x ∈ SE , hay lm ul ành ngh¾a 1.4 xn x náu vợi mội y SE , tỗn tÔi giợi @ gm hÔn l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân Khi õ: an Lu E E m ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux náu nõ khÊ vi GƠteaux tÔi mồi n va x SE Cho co a) Chuân trản (1.1) l nh ngh¾a 1.6 d kx + tyk − kxk (kx + tyk)t=0 = lim t→0 dt t ac th si b) Chuân trản E ữủc gồi l khÊ vi GƠteaux Ãu náu vợi mồi (1.1) tỗn tÔi Ãu vợi mồi c) Chuân trản E d) Chuân trản vợi mồi E giợi hÔn x SE ữủc gồi l khÊ vi Frchet náu vợi mồi tỗn tÔi Ãu vợi mồi y SE x SE , giợi hÔn (1.1) y ∈ SE ÷đc gåi l  kh£ vi Frchet Ãu náu giợi hÔn (1.1) tỗn tÔi Ãu x, y SE nh lỵ 1.1 (xem [1] trang 92) Cho E l  mët khæng gian Banach Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: N¸u E ∗ l  khổng gian lỗi cht thẳ E l khổng gian trỡn b) Náu E l khổng gian trỡn thẳ E l khổng gian lỗi cht lu a) an n va ành ngh¾a 1.7 Mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach E l  h m sè x¡c ành bði to gh tn
ρE (τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk − : kxk = 1, kyk = τ } Nhªn x²t 1.2 E l  h m sè x¡c ành, li¶n p ie Mỉ un trìn cõa khỉng gian Banach tửc v tông trản khoÊng [10] Náu E (xem [1] trang 95) l  khæng gian lp ho°c Lp (), thẳ ta cõ oa nl w Vẵ dử 1.3 [0; +∞) d   (1 + τ p )1/p − < τ p , < p < 2, p ρE (τ ) = p − p−1   τ + o(τ ) < τ , p ≥ 2 nf va an lu Banach E vợi mổ un lỗi cừa E (xem [6] trang 70) v ngữủc lÔi z at nh oi nh lỵ 1.2 a) lm ul nh lẵ dữợi Ơy cho ta biát và mối liản hằ giỳa mỉ un trìn cõa khỉng gian Cho E l  mët khæng gian Banach Khi â ta câ τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > τε ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > ρE ∗ (τ ) = sup{ z Tø ành l½ 1.2, suy co ε0 (E ∗ ) v  ρ0 (E ∗ ) = m ε0 (E) , ρE (τ ) ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 τ ρ0 (E) = an Lu â l Nhªn x²t 1.3 gm @ b) n va ac th si ành nghắa 1.8 Khổng gian Banach E ữủc gồi l trỡn ·u n¸u ρE (τ ) = τ →0 τ lim Tứ Nhên xt 1.3, ta cõ nh lỵ dữợi Ơy: nh lỵ 1.3 Cho E l mởt khổng gian Banach Khi â ta (xem [6] trang 70) câ c¡c kh¯ng ành sau: a) N¸u E l  khỉng gian trìn Ãu thẳ E l khổng gian lỗi Ãu; b) Náu E l khổng gian lỗi Ãu thẳ E l  khỉng gian trìn ·u lu an V½ dư 1.4 Måi < p < +∞ ·u l  khæng gian Banach lỗi Ãu v trỡn Ãu (xem [5] trang khổng gian Hilbert, khỉng lp gian Lp (Ω) hay vỵi n va 54) tn to Ci cịng mưc n y luªn vôn giợi thiằu và giợi hÔn cừa dÂy têp hủp khỉng gian Banach theo ngh¾a cõa Mosco [9] gh {Cn } l mởt dÂy cĂc têp lỗi, õng v  kh¡c réng cõa khæng gian p ie Cho s-Lin Cn v ch tỗn tÔi dÂy nl n 1; x = C0 , thẳ E nhữ sau: x v x n Cn hởi tử mÔnh v· v  yk ∈ Cnk vỵi måi an w-Lsn Cn yk * x cho lu {yk } ⊂ E {xn } ⊂ E v  w-Lsn Cn cõa w-Lsn Cn v ch tỗn tÔi dÂy d oa vợi mồi dÂy E Ta xĂc nh cĂc têp s-Lin Cn w x Banach phÊn xÔ C0 k {Cn } ữủc gồi l giợi hÔn cừa dÂy {Cnk } cừa{Cn } v Náu s-Lin Cn = theo ngh¾a cõa Mosco nf va C0 = M- limn Cn Chú ỵ 1.3 l mởt dÂy giÊm cĂc têp lỗi, õng cừa lm ul [9] v giợi hÔn ny ữủc kỵ hiằu bi Ta biát rơng, náu Thêt vêy, ró rng náu vợi vợi mồi n1 C = ∩∞ n=1 Cn 6= ∅, v  x C0 thẳ x hởi tử mÔnh và C0 w-Lsn Cn , vẳ dÂy {xn } C0 C0 ⊂ s-Lin Cn v  Suy l  mët d¢y gi£m, nản k v vêy C0 xn+k Cn Cn , s-Lin Cn , n ≥ cho vợi mồi ta nhên ữủc n1 x Cn s-Lin Cn Tiáp theo, lĐy bĐt ký n va x C0 v tứ tẵnh õng cừa vợi mồi x an Lu n ≥ {xn } ⊂ E , xn ∈ Cn m Do â, cho {Cn } w-Lsn Cn LĐy co Vẳ C0 l n → ∞ k ≥ vỵi måi Do â, ta câ s-Lin Cn v  tø ành ngh¾a cõa s-Lin Cn , tỗn tÔi dÂy v mồi x x gm BƠy gií ta s³ ch¿ r¬ng s-Lin Cn v  C0 = M- limn→∞ Cn @ w-Lsn Cn xn → x, th¼ z xn = x E z at nh oi khổng gian Banach phÊn xÔ {Cn } ac th si 10 y∈ w-Lsn Cn , tø ành nghắa cừa w-Lsn Cn , tỗn tÔi mởt dÂy {yk } ⊂ E v  d¢y {Cn }, d¢y yk * x cho yk ∈ C n k v  vợi mồi k {Cnk } cừa Tứ tẵnh gi£m cõa ta câ yk+p ∈ Cnk vỵi måi k ≥ k≥1 p ≥ v  V¼ Cnk Do â, (1.2), cho Ck ⊇ Cnk , n¶n y ∈ Ck vỵi måi C nk p → ∞, k = ta nhên ữủc Suy y C0 v  w-Lsn Cn y ∈ C nk v  õ = C0 E l õng yáu Vêy vợi mồi C0 vợi mồi k Vẳ w-Lsn Cn C0 = M- limn Cn nh xÔ ối ngău chuân tưc lu nh nghắa 1.9 an va tr (1.2) l lỗi v õng, nản Tõm lÔi, ta thu ÷đc s-Lin Cn 1.2 {Cn } J : X −→ 2X ∗ Cho X l  mët khỉng gian tuy¸n tẵnh nh chuân, Ănh xÔ a xĂc nh bi n to gh tn J(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} X p ie ữủc gồi l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cừa a)Trong khổng gian Hilbert, Ănh xÔ ối ngău chuân tưc trũng vợi nl w Chú ỵ 1.4 oa Ănh xÔ ỗng nhĐt I d b) nh xÔ ối ngău chuân tưc J lu Trong khổng gian tuyán tẵnh nh chuân bĐt kẳ vợi mồi X, ta ln câ i·u n y suy trüc ti¸p tø h» quÊ cừa nh lỵ Hahn z at nh oi - Banach x ∈ X, l  ¡nh lm ul J(x) 6= J j nf va Nhên xt 1.4 an xÔ ỡn tr thẳ ta kỵ kiằu nõ bi nõi chung l mởt Ănh xÔ a tr Khi Mằnh à dữợi Ơy à cêp án mởt số tẵnh chĐt ỡn giÊn cừa Ănh xÔ ối ngău chuân tưc J cừa khổng gian tuyán tẵnh nh chuân z Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh gm (xem [1] trang 69) @ M»nh · 1.7 X an Lu ii) J l  mởt Ănh xÔ l, tực l J(x) = J(x), x ∈ X ; m i) co l chu©n v  J l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc cừa nõ Khi õ, J l thuƯn nhĐt dữỡng, tực l J(x) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X ; n va ac th si 11 iii) J bà ch°n, tùc l náu D l mởt têp b chn cừa X thẳ J(D) l mởt têp hủp b chn X ; iv) v) Náu X l lỗi ch°t th¼ J l  ìn trà; J l  ìn trà v liản tửc Ãu trản mội têp b chn cõa X v  ch¿ X l  khæng gian Banach trìn ·u V½ dư 1.5 gian lp X²t khỉng gian lp , vợi p > lq Vẳ khổng gian ối ngău l lỗi Ãu, nản Ănh xÔ ối ngău chuân tưc J cừa lp cừa khổng l ỡn tr v thĐy nõ ữủc xĂc nh nhữ sau: lu J(x) =   θ n¸u x=θ an  {ηn } ∈ lq va n â ηk = |k |p1 sgn(k )kxk2p náu vợi mồi x = {n } = θ, k ≥ gh tn to M»nh · 1.8 Gi£ sû X l  mët khæng gian tuyán tẵnh nh chuân Khi õ, ta p ie cõ kx + yk2 ≤ kyk2 + 2hx, j(x + y)i, vỵi måi j(x + y) ∈ J(x + y), b) kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i, vỵi måi j(x) ∈ J(x), d oa nl w a) an Trữợc hát, ta ch nf va Chựng minh lu vỵi måi x, y ∈ E kyk2 − kxk2 ≥ 2hy − x, j(x)i, lm ul x, y ∈ E z at nh oi vợi mồi (1.3) Thêt vêy, ta câ z kyk2 − kxk2 − 2hy − x, j(x)i = kxk2 + kyk2 − 2hy, j(x)i @ gm ≥ kxk2 + kyk2 − 2kxkkyk co l = (kxk − kyk)2 ≥ m Suy ra, (1.3) óng an Lu a) Trong (1.3) thay x bði x + y, ta nhên ữủc iÃu phÊi chựng minh b) Trong (1.3) thay y bi x + y, ta nhên ữủc i·u ph£i chùng minh n va ac th si 12 M»nh · 1.9 Cho E l  mët khæng gian Banach trìn Khi â, hx − y, j(x) − j(y)i ≥ vỵi måi x, y ∈ E Hìn núa, náu E l khổng gian lỗi cht v hx y, j(x) − j(y)i = 0, th¼ x = y Chùng minh Vỵi måi x, y ∈ E , ta câ hx − y, j(x) − j(y)i = kxk2 − hx, j(y)i − hy, j(x)i + kyk2 ≥ kxk2 − 2kxkkyk + kyk2 = (kxk − kyk)2 ≥ Do õ, ta nhên ữủc hx y, j(x) j(y)i ≥ lu an vỵi måi x, y ∈ E va n Gi£ sû E l  khæng gian Banach lỗi cht v hx y, j(x) j(y)i = Khi â, tn to tø c¡c ¡nh gi¡ trản, ta nhên ữủc p ie gh hx, j(y)i = hy, j(x)i = kxk2 = kyk2 x = 0, thẳ y=0 v ngữủc lÔi GiÊ sỷ kxk = kyk = d > Khi â, ta w Do â, n¸u d oa nl câ lu an Theo M»nh · 1.4, ta x y h , j(x)i = h , j(x)i = kj(x)k d d x y nhên ữủc = hay x = y d d nf va M»nh · 1.10 Cho s > v  cho E l mởt khổng gian Banach Khi õ, E l lỗi lm ul Ãu v ch tỗn tÔi mởt hm lỗi, liản tửc, tông ngt g : [0, ) −→ [0, ∞), z at nh oi g(0) = cho kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i + g(kyk) z vỵi måi x, y ∈ {z ∈ E : kzk ≤ s} v  måi j(x) ∈ J(x) Cho tÔi x0 kỵ hiằu l g(x0 ) x0 dom(g) Khi v  ÷đc x¡c ành bði m co g l mởt hm lỗi, l õ, dữợi vi phƠn cõa g : X −→ (−∞, ∞] gm @ ành nghắa 1.10 Ta nõi g l khÊ dữợi vi phƠn tÔi náu g(x0 ) 6= n va x0 an Lu ∂g(x0 ) = {f ∈ X ∗ : g(x) − g(x0 ) ≥ hx − x0 , f i} ac th si 13 V½ dư 1.6 x ∈ X mồi Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân, g(x) = kxk2 vợi Khi õ,  0, x = 0, ∂g(x) =  {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 }, x 6= Thªt vªy, f ∈ ∂g(0) v  ch¿ kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X Thay y λy bði vỵi λ > 0, ta nhên ữủc lu kyk2 hy, f i, ∀y ∈ X an n va Cho λ → 0, Gi£ sû Suy ra, x 6= 0, hy, f i ≤ hy, f i = vỵi måi y ∈ X Thay y ∈ X Do õ, f = vợi mồi y bi Vêy y ta thu ữủc g(0) = {0} dng kim tra ữủc rơng ie gh tn to hy, f i ta nhên ữủc p {f X : hx, f i = kxk2 = kf k2 } ⊂ ∂g(x) w f ∈ X∗ thäa m¢n kxk2 = kf k2 Khi â, vỵi måi y ∈ X, ta câ oa nl Thªt vªy, gi£ sû d hy − x, f i = hy, f i − kxk2 nf va an lu ≤ kyk.kxk − kxk2 ≤ (kyk2 + kxk2 ) − kxk2 = g(y) − g(x) lm ul Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f g(x) Khi â, ta câ z at nh oi hy − x, f i ≤ (kyk2 − kxk2 ) y ∈ X Thay y = x + λz vỵi λ∈R v  z vỵi måi z ∈ X, theo M»nh à 1.8 a), ta @ gm nhên ữủc l 1 λhz, f i ≤ (kx + λzk2 − kxk2 ) ≤ (λ2 kzk2 + 2|λ|kxkkzk) 2 (1.4) > 0, tứ (1.4), ta nhên ữủc an Lu n va hz, f i ≤ (λkxzk2 + 2kxkkzk) m co Khi ac th si