(Luận văn) một định lý hội tụ mạnh cho bài toán không điểm chung tách trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN VƢƠNG lu an n va p ie gh tn to MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH d oa nl w ll u nf va an lu m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM VĂN VƢƠNG lu an n va p ie gh tn to MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z @ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC m co l gm TS Trƣơng Minh Tuyên an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa lu an Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tận tình giúp n va đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo đồng nghiệp trường THPT gh tn to Tây Tiền Hải, huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè động viện, khích lệ, ie p tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv lu an n va Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 3 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 12 gh tn to 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach p ie 1.3 Phép chiếu mêtric phép chiếu tổng quát 20 1.3.1 Phép chiếu mêtric 20 nl w 1.3.2 Phép chiếu tổng quát 22 d oa 1.4 Tốn tử đơn điệu khơng gian Banach 25 lu an Chương Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách 28 nf va 2.1 Bài tốn khơng điểm chung tách tách 28 oi lm ul 2.2 Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách 29 2.3 Ứng dụng 38 2.3.1 Bài toán điểm cực tiểu tách 38 z at nh 2.3.2 Bài toán chấp nhận tách 40 2.3.3 Bất đẳng thức biến phân tách 41 z m co Tài liệu tham khảo 46 l Kết luận gm @ 2.4 Ví dụ minh họa 44 47 an Lu n va ac th si iv Một số ký hiệu viết tắt lu an n va không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M p ie gh tn to E số lớn tập hợp số M M w số nhỏ tập hợp số M oa nl max M tập điểm cực tiểu hàm F X d argminx∈X F (x) lu oi lm miền ảnh toán tử A toán tử ngược toán tử A z at nh A−1 miền xác định toán tử A ul R(A) nf D(A) với x va ∀x tập rỗng an ∅ tốn tử đồng Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp khơng gian dãy số khả tổng bậc p z I giới hạn dãy số {xn } m co n→∞ l gm @ lim sup xn giới hạn dãy số {xn } xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 n→∞ an Lu lim inf xn n va ac th si v lu an n va JE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E jE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị E δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M PC phép mêtric lên C ΠC phép chiếu tổng quát lên C iC hàm tập lồi C p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn T ∗ : H2 −→ H1 toán tử liên hợp T Bài toán chấp nhận tách (SFP) có dạng sau: lu an Tìm phần tử x∗ ∈ S = C ∩ T −1 (Q) 6= ∅ (SFP) va n Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor tn to T Elfving [4] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan ie gh trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị p điều trị bệnh ung thư, khơi phục tín hiệu (xem [2], [3]) hay áp dụng cho w việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trò chơi (xem [11]) oa nl Giả sử C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H1 Ta biết tập điểm cực tiểu hàm d ul nf va an lu  0, x ∈ C, iC (x) = ∞, x ∈ /C oi lm arg minH1 iC (x) = C Do đó, ta nhận C = (∂iC )−1 (0), với ∂iC vi phân iC (Rockafellar [9] ∂iC tốn tử đơn điệu cực z at nh đại) Ngồi ra, C tập khơng điểm tốn tử đơn điệu A xác định A = I − PC Do đó, ta xem tốn chấp nhận tách (SFP) trường hợp z riêng tốn khơng điểm chung tách @ gm Bài tốn không điểm chung tách phát biểu dạng sau: Cho A : H1 −→ 2H1 m co toán tử tuyến tính bị chặn l B : H2 −→ 2H2 toán tử đơn điệu cực đại cho T : H1 −→ H2 an Lu
Tìm phần tử x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) 6= ∅ (SCNPP) va Cho đến Bài toán (SCNPP) chủ đề thu hút nhiều người n làm tốn ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn ac th si trình bày lại kết Tuyen T.M tài liệu [12] phương pháp chiếu lai ghép cho Bài tốn (SCNPP) khơng gian Banach Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; phép chiếu mêtric phép chiếu tổng quát; tốn tử đơn điệu khơng gian Banach, tốn tử giải mêtric lu Chương Xấp xỉ nghiệm tốn khơng điểm chung tách an Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết va Tuyen T.M [12] phương pháp chiếu lai ghép cho tốn khơng điểm n tn to chung tách khơng gian Banach Ngồi ra, chương luận văn gh đề cập đến số ứng dụng phương pháp chiếu lai ghép (Định lý 2.1) cho p ie toán điểm cực tiểu tách, toán chấp nhận tách bất đẳng thức biến phân d oa nl w tách oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an n va Chương bao bồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Mục 1.3 đề cập đến khái niệm phép chiếu gh tn to không gian phản xạ, không gian Banach lồi đều, trơn Mục 1.2 giới thiệu mêtric phép chiếu tổng quát với số tính chất chúng ie p Mục 1.4 trình bày tốn tử đơn điệu khơng gian Banach tốn tử giải Một số vấn đề hình học không gian Banach d 1.1 oa nl w mêtric Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 5, 6, 7, 8] an lu Cho E không gian Banach E ∗ khơng gian đối ngẫu Để va ul nf cho đơn giản thuận tiện hơn, thống sử dụng kí hiệu k.k để oi lm chuẩn E E ∗ ; Sự hội tụ mạnh yếu dãy {xn } phần tử x E kí hiệu xn → x xn * x toàn luận văn không gian Banach phản xạ z at nh Trong luận văn này, chúng tơi thường xun sử dụng tính chất z khẳng định sau tương đương: m co l i) E không gian phản xạ gm @ Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E không gian Banach Khi đó, an Lu ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu n gian tuyến tính định chuẩn va Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu không ac th si Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn * x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có lu an hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, n va đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận gh tn to với n ≥ Ngồi ra, xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất p ie hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, nl w điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu d oa Mệnh đề chứng minh an lu Chú ý 1.1 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng va Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu oi lm xạ ul nf phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục không gian Banach phản z at nh Mệnh đề 1.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Banach phản xạ E f : C −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục z C, cho f (xn ) → ∞ kxn k → ∞ Khi đó, tồn x0 ∈ dom(f ) gm @ cho l f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} m co Chứng minh Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C an Lu cho f (xn ) → m n → ∞ Nếu {xn } khơng bị chặn, tồn dãy {xnk } {xn } cho kxnk k → ∞ Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn n va với m 6= ∞ Do đó, {xn } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.2, tồn dãy ac th si x xnk x ≤ lim inf ≤ − δ, 1= + kxk k→∞ kxnk k kxk Từ xn * x kxn k → x ta có w oa nl suy mâu thuẫn Vậy xn → x hay E có tính chất Kadec-Klee d Định nghĩa 1.4 Không gian Banach E gọi trơn với lu va an x ∈ SE , tồn fx ∈ E ∗ cho hx, fx i = kxk kfx k = ul nf Định nghĩa 1.5 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn Chuẩn oi lm E gọi khả vi Gâteaux điểm x ∈ SE với y ∈ SE , tồn giới hạn d kx + tyk − kxk (kx + tyk)t=0 = lim t→0 dt t z at nh (1.1) Định nghĩa 1.6 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó: z @ m co l x ∈ SE gm a) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux b) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE giới hạn an Lu (1.1) tồn với x ∈ SE n tồn với y ∈ SE va c) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet với x ∈ SE , giới hạn (1.1) ac th si d) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet giới hạn (1.1) tồn với x, y ∈ SE Định lý 1.1 (xem [1] trang 92) Cho E không gian Banach Khi đó, ta có khẳng định sau: a) Nếu E ∗ khơng gian lồi chặt E khơng gian trơn b) Nếu E ∗ không gian trơn E khơng gian lồi chặt lu Định nghĩa 1.7 Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định an n va
ρE (τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk − : kxk = 1, kyk = τ } tn to Nhận xét 1.2 Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng khoảng [0; +∞) (xem [1] trang 95) gh p ie Ví dụ 1.4 [8] Nếu E khơng gian lp Lp (Ω), ta có   (1 + τ p )1/p − < τ p , < p < 2, p ρE (τ ) = p − p−1   τ + o(τ ) < τ , p ≥ 2 d oa nl w lu va an Định lý cho ta biết mối liên hệ mô đun trơn không gian Banach E với mô đun lồi E ∗ ngược lại ul nf oi lm Định lý 1.2 (xem [6] trang 70) Cho E không gian Banach Khi ta có z at nh τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > τε b) ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > a) ρE ∗ (τ ) = sup{ z gm @ Chứng minh i) Theo định nghĩa mô đun trơn E ∗ ta có m co l 2ρE ∗ (τ ) = sup{kx∗ + τ y ∗ k∗ + kx∗ − τ y ∗ k∗ − : x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ } = sup{hx, x∗ i + τ hx, y ∗ i + hy, x∗ i − τ hy, y ∗ i − : x, y ∈ SE , = sup{kx + yk + τ kx − yk − : x, y ∈ SE } an Lu x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ } va n = sup{kx + yk + τ ε − : x, y ∈ SE , kx − yk = ε, ε ∈ [0, 2]} ac th si 10 = sup{τ ε − 2δE (ε) : ε ∈ [0, 2]} Do  ρE ∗ (τ ) = sup  τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2] ii) Tương tự, theo định nghĩa mơ đun trơn E ta có 2ρE (τ ) = sup{kx + τ yk + kx − τ yk − : x, y ∈ SE } = sup{hx, x∗ i + τ hx, y ∗ i + hy, x∗ i − τ hy, y ∗ i − : x, y ∈ SE , lu x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ } an = sup{kx∗ + y ∗ k + τ kx∗ − y ∗ k − : x∗ , y ∗ ∈ SE∗ } va n = sup{kx∗ + y ∗ k + τ ε − : x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ , kx∗ − y ∗ k = ε, ε ∈ [0, 2]} to gh tn = sup{τ ε − 2δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]} ie Do p  w ρE (τ ) = sup  τε − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2] oa nl Mệnh đề chứng minh d Nhận xét 1.3 Từ Định lý 1.2, suy an lu ε0 (E) ε0 (E ∗ ) ρ0 (E ∗ ) = , 2 ul nf va ρ0 (E) = oi lm ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 ρE (τ ) τ z at nh Định nghĩa 1.8 Không gian Banach E gọi trơn ρE (τ ) = τ →0 τ lim z l gm @ Từ Nhận xét 1.3, ta có định lý đây: Định lý 1.3 (xem [6] trang 70) Cho E không gian Banach Khi ta m co có khẳng định sau: an Lu a) Nếu E không gian trơn E ∗ khơng gian lồi đều; n va b) Nếu E khơng gian lồi E ∗ không gian trơn ac th si 11 Chứng minh a) Giả sử E không gian trơn Từ Định lý 1.2, ta có   τε ρE (τ ) = sup − δE ∗ (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > (1.2) Nếu E ∗ khơng khơng gian lồi ∃ε0 ∈ (0, 2] cho δE ∗ (ε0 ) = Khi đó, từ (1.2) suy τ ε0 − δE ∗ (ε0 ) ≤ ρE (τ ) Điều dẫn đến ε0 ρE (τ ) ≤ τ Mâu thuẫn với giả thiết E không gian trơn Vì thế, E ∗ khơng gian lồi 0< lu an n va (1.3) p ie gh tn to Ngược lại, giả sử E ∗ khơng gian lồi Từ Định lý 1.2, ta có   τε − δE (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > ρE ∗ (τ ) = sup w Nếu E không không gian trơn ρE (τ ) 6= τ →0 τ an lu Giả sử d oa nl ρ0E (0) = lim ρE (τ ) = ε, τ →0 τ lim ε > nf va ρE (τn ) = ε Từ (1.3) n→∞ τn oi lm ul Khi đó, tồn dãy {τn } ∈ (0, 1) cho τn → lim dẫn tới tồn dãy {εn } ∈ (0, 2] cho z at nh ε τn εn τn ≤ − δE ∗ (εn ) 2 z Hay tương đương với m co δE (ε) ≤ δE (εn ) → l gm Vì τn < nên ε < εn Mặt khác, δE ∗ @ τn (εn − ε) hàm khơng giảm nên ta có < δE ∗ (εn ) ≤ an Lu Do đó, δE (ε) = 0, điều mâu thuẫn với giả thiết E ∗ khơng gian lồi Vì b) Chứng minh tương tự i) cách thay đổi vai trò E E ∗ n va thế, E không gian trơn ac th si 12 Ví dụ 1.5 Mọi không gian Hilbert, không gian lp hay Lp (Ω) với < p < +∞ không gian Banach lồi trơn (xem [5] trang 54) 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.9 Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa ∗ trị J : X −→ 2X xác định lu J(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} an n va gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X tn to Chú ý 1.3 a)Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với gh ánh xạ đồng I p ie b) Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J nói chung ánh xạ đa trị Khi J ánh w xạ đơn trị ta ký kiệu j oa nl Nhận xét 1.4 Trong không gian tuyến tính định chuẩn X, ta ln có d J(x) 6= ∅ với x ∈ X, điều suy trực tiếp từ hệ Định lý Hahn an lu - Banach va Mệnh đề đề cập đến số tính chất đơn giản ánh xạ đối ngẫu oi lm ul nf chuẩn tắc J khơng gian tuyến tính định chuẩn X Mệnh đề 1.7 (xem [1] trang 69) Cho X khơng gian tuyến tính định z at nh chuẩn J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Khi đó, i) J ánh xạ lẻ, tức J(−x) = −J(x), ∀x ∈ X; z gm @ ii) J dương, tức J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X; an Lu iv) Nếu X ∗ lồi chặt J đơn trị; m co hợp bị chặn X ∗ ; l iii) J bị chặn, tức D tập bị chặn X J(D) tập n X không gian Banach trơn va v) J đơn trị liên tục tập bị chặn X ac th si 13 Chứng minh i) Giả sử f ∈ J(−x), ta có h−x, f i = k − xk.kf k∗ = kf k2∗ , k − xk = kf k∗ Khi hx, −f i = (−1)2 h−x, f i = k − f k2 = kxk2 Suy −f ∈ J(x) hay f ∈ −J(x) lu Do đó, ta có an J(−x) ⊆ −J(x) (1.4) va n Ngược lại, giả sử f ∈ −J(x) hay − f ∈ J(x), ta có tn to hx, −f i = (−1)2 h−x, f i gh p ie = (−1)2 k − xkkf k, k − xk = kf k d oa Khi nl w = k − f k2 = kxk2 an lu h−x, f i = h−(−x), −f i = hx, −f i = kxk2 − J(x) ⊆ J(−x) (1.5) oi lm ul nf va Suy f ∈ J(−x) Do đó, ta có Từ (1.4) (1.5), ta có J(−x) = −J(x) z at nh ii) Giả sử f ∈ J(λx), ta có z hλx, f i = kλxk.kf k = kf k2 , kλxk = kf k @ m co hx, λ−1 f i = λ−1 hλx, λ−1 f i l gm Khi = λ−2 kλxk.kf k = kλ−1 f k2 = kxk2 n va J(λx) ⊆ λJ(x) an Lu Suy λ−1 f ∈ J(x) hay f ∈ λJ(x) Do đó, ta có (1.6) ac th si 14 Giả sử f ∈ λJ(x) hay λ−1 f ∈ J(x), ta có hx, λ−1 f i = λ−1 hλx, λ−1 f i = λ−2 hλx, f i = λ−2 kλxk.kf k, kλxk = kf k = kλ−1 f k2 = kxk2 Khi hλx, f i = hλ−1 λx, λ−1 f i = hx, λ−1 f i = kxk2 lu an Suy f ∈ J(λx) Do đó, ta có va n λJ(x) ⊆ J(λx) (1.7) gh tn to Từ (1.6) (1.7), ta có J(λx) = λJ(x) iii) Ta chứng minh J ánh xạ tập bị chặn E thành tập bị chặn ie p E ∗ Thật vậy, giả sử D tập bị chặn E Khi đó, ∃M > cho w d Do đó, ta có oa nl kxk ≤ M, ∀x ∈ D an lu = kxk2 ≤ M oi lm ul nf va | hx, f i |≤ kxk.kf k, f ∈ E ∗ , kxk = kf k Vậy J(D) tập bị chặn E ∗ z at nh iv) Giả sử f1 , f2 ∈ SE ∗ , x ∈ E Ta có hx, f1 i = kxk.kf1 k, kf1 k = z @ gm hx, f2 i = kxk.kf2 k, kf2 k = hx, f1 + f2 i = 2kxk m co l Cộng vế với vế phương trình ta nhận an Lu Từ đó, suy 2kxk = hx, f1 + f2 i ≤ kxkkf1 + f2 k Từ đó, ta thu n va kf1 k + kf2 k = ≤ kf1 + f2 k (1.8) ac th si 15 Mặt khác, hiển nhiên ta có kf1 + f2 k ≤ kf1 k + kf2 k (1.9) Từ 1.8 1.9, ta có kf1 + f2 k = kf1 k + kf2 k = Suy kf1 + f2 k = Vì E ∗ khơng gian lồi chặt, nên suy f1 = f2 Vậy J ánh xạ đơn trị lu v) Lấy x, y ∈ SE λ > 0, ta có an n va p ie gh tn to d oa nl w hy, J(x)i hλy, J(x)i hx, J(x)i − kxk2 + hλy, J(x)i = = kxk λkxk λkxk kxkkx + λyk − kxk2 hx + λy, J(x)i − kxk ≤ = λkxk λkxk kx + λyk − kxk kx + λyk − kxkkx + λyk = = λ λkx + λyk hx + λy, J(x + λy)i − |hx, J(x + λy)i| ≤ λkx + λyk λhy, J(x + λy)i + hx, J(x + λy)i − |hx, J(x + λy)i| = λkx + λyk hy, J(x + λy)i ≤ kx + λyk nf va an lu oi lm ul Vì vậy, với x, y ∈ SE λ > 0, ta có hy, J(x)i kx + λyk − kxk hy, J(x + λy)i ≤ ≤ kxk λ kx + λyk z at nh Do tính liên tục J tập bị chặn E, suy z kx + λyk − kxk hy, J(x)i = λ→0 λ kxk lim l gm @ Suy E không gian trơn Ngược lại, giả sử E không gian trơn đều, J đơn trị Ta phải chứng m co minh J liên tục tập bị chặn E Theo giả thiết E không sử {xn }, {yn } dãy E, cho an Lu gian trơn nên E ∗ khơng gian lồi E ∗ khơng gian lồi chặt Giả n va kxn k ≤ K, kyn k ≤ K, K > kxn − yn k → ac th si 16 Trường hợp Nếu xn → 0, yn → Khi đó, ta có kJ(xn )k = kxn k → kJ(yn )k = kyn k → Do kJ(xn ) − J(yn )k → Trường hợp xn Khi ∃α > {xnk } ⊂ {xn } cho kxnk k ≥ α Vì α kxn − yn k → 0, nên ta giả sử kynk k ≥ Khơng tính tổng qt, ta giả sử lu an n va p ie gh tn to kxn k ≥ β, kyn k ≥ β, β > xn yn Đặt un = vu = , kun k = kvn k = Ta có kxn k kyn k xn kyn k − yn kxn k kun − k = kxn kkyn k x ky k − x kx k + x kx k − y kx k ≤ n n n n n n n n β