(Luận văn) một phương pháp chiếu co hẹp giải bài toán không điểm trung tách trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG lu MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CO HẸP GIẢI BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH an n va gh tn to p ie LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 nf va an lu NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC lm ul z at nh oi TS Trương Minh Tuyên TS Li Quanqing z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên – 2019 n va ac th si ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tun, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường lu an Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người va thân, bạn bè động viện, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi trình n học tập nghiên cứu p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv lu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị an n va 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 14 1.3 Phép chiếu mêtric 22 1.4 Tốn tử đơn điệu khơng gian Banach 24 gh tn to 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach p ie 1.4.1 Khái niệm toán tử đơn điệu cực đại toán tử giải mêtric 24 1.4.2 ε− mở rộng tốn tử đơn điệu cực đại khơng 26 oa nl w gian Banach d Chương Một phương pháp chiếu co hẹp giải tốn khơng 32 an lu điểm chung tách 32 2.2 Một số ứng dụng 39 nf va 2.1 Phương pháp chiếu co hẹp lm ul 39 2.2.2 Bài toán chấp nhận tách đa tập 41 2.2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 42 2.3 Ví dụ số minh họa 44 z at nh oi 2.2.1 Bài toán điểm cực tiểu tách z 45 l gm Tài liệu tham khảo @ Kết luận 46 m co an Lu n va ac th si iv Một số ký hiệu viết tắt không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X tập rỗng ∀x với x lu E an n va p ie gh tn to ∅ oa nl w miền xác định toán tử A d D(A) nf va toán tử ngược toán tử A lm ul I miền ảnh toán tử A an A−1 lu R(A) toán tử đồng lp khơng gian hàm khả tích bậc p Ω z at nh oi Lp (Ω) không gian dãy số khả tổng bậc p lim sup xn giới hạn dãy số {xn } z n→∞ @ giới hạn dãy số {xn } xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 JE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E jE ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị E n→∞ m co l gm lim inf xn an Lu n va ac th si v δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M PC phép mêtric lên C ΠC phép chiếu tổng quát lên C iC hàm tập lồi C lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn T ∗ : H2 −→ H1 toán tử liên hợp T Bài tốn chấp nhận tách (SFP) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ S = C ∩ T −1 (Q) 6= ∅ (SFP) lu Mô hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y an Censor T Elfving [5] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng va n vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ tn to xạ trị điều trị bệnh ung thư, khơi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay ie gh áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trò chơi p (xem [13]) w Giả sử C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H1 Ta biết d oa nl tập điểm cực tiểu hàm  0, x ∈ C, iC (x) = ∞, x ∈ /C nf va an lu arg minH1 iC (x) = C Do đó, ta nhận C = (∂iC )−1 (0), với ∂iC lm ul vi phân iC (Rockafellar [11] ∂iC toán tử đơn điệu cực z at nh oi đại) Ngoài ra, C tập khơng điểm tốn tử đơn điệu A xác định A = I − PC Do đó, ta xem tốn chấp nhận tách (SFP) trường hợp riêng tốn khơng điểm chung tách z Bài tốn khơng điểm chung tách phát biểu dạng sau: Cho A : H1 −→ @ co l toán tử tuyến tính bị chặn gm 2H1 B : H2 −→ 2H2 toán tử đơn điệu cực đại cho T : H1 −→ H2
Tìm phần tử x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) 6= ∅ m (SCNPP) an Lu Cho đến Bài toán (SCNPP) chủ đề thu hút nhiều người n va làm toán ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn ac th si trình bày lại kết T.M Tuyen, N.S Ha, N.T.T Thuy tài liệu [15] phương pháp chiếu co hẹp cho Bài tốn (SCNPP) khơng gian Banach Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học khơng gian Banach khơng gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn đều, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; phép chiếu mêtric phép chiếu tổng qt; tốn tử đơn điệu khơng gian Banach, toán tử giải mêtric toán tử giải tổng quát Chương Một phương pháp chiếu co hẹp giải tốn khơng điểm lu an chung tách n va Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết tn to T.M Tuyen, N.S Ha, N.T.T Thuy [15] phương pháp chiếu co hẹp cho tốn khơng điểm chung tách khơng gian Banach Ngồi ra, gh ie chương luận văn đề cập đến số ứng dụng định lí (Định p lí 2.1) cho số toán liên quan toán điểm cực tiểu tách, toán d oa nl w chấp nhận tách đa tập bất đẳng thức biến phân tách nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao bồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất lu an không gian phản xạ, không gian Banach lồi đều, trơn Mục 1.2 giới thiệu va ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Mục 1.3 đề cập đến khái niệm phép chiếu mêtric n số tính chất Mục 1.4 trình bày tốn tử đơn điệu khơng tn to gian Banach, tốn tử giải mêtric ε-mở rộng toán tử đơn điệu Nội p ie gh dung chương tham khảo tài liệu [1, 6, 7, 8, 9] Một số vấn đề hình học không gian Banach nl w 1.1 d oa Cho E không gian Banach E ∗ khơng gian đối ngẫu Để cho lu đơn giản thuận tiện hơn, thống sử dụng kí hiệu k.k để nf va an chuẩn E E ∗ ; Sự hội tụ mạnh yếu dãy {xn } phần tử x E kí hiệu xn → x xn * x toàn luận văn không gian Banach phản xạ z at nh oi lm ul Trong luận văn này, thường xuyên sử dụng tính chất Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: z gm @ i) E không gian phản xạ co l ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu m Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu an Lu khơng gian tuyến tính định chuẩn n va ac th si Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn * x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, lu với n ≥ Ngồi ra, xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất an n va đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận tn to hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, ie gh điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu p Mệnh đề chứng minh oa nl w Chú ý 1.1 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng d Định nghĩa 1.1 Cho D ⊂ E, f : D → R ∪ {±∞} lu nf va an i) Hàm f gọi thường dom f 6= ∅ f (x) > −∞(∀x ∈ D), lm ul dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞} z at nh oi ii) Hàm f gọi hàm lồi D epi f tập lồi E × R, epi f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r} z gm @ iii) Hàm f : D ⊂ E → R gọi nửa liên tục điểm x ∈ D với ε > có δ > cho f (x) − ε ≤ f (x) với x ∈ D, co l kx − xk < δ m Hàm f gọi nửa liên tục D f nửa liên tục n va Dưới ví dụ hàm nửa liên tục an Lu điểm x ∈ D ac th si Ví dụ 1.1 Cho f : R −→ R hàm số xác định  x2 x 6= f (x) = −1 x = Khi đó, hàm f hàm nửa liên tục điểm x = 0, không liên tục x = Thật vậy, dễ thấy f không liên tục x = Với ε > với δ > (trong trường hợp chọn δ số dương bất kỳ) ta có f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x), lu với x Do đó, f nửa liên tục an Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu va phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục khơng gian Banach phản n tn to xạ gh Mệnh đề 1.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Banach p ie phản xạ E f : C −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục oa nl cho w C, cho f (xn ) → ∞ kxn k → ∞ Khi đó, tồn x0 ∈ dom(f ) f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} d lu an Chứng minh Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C nf va cho f (xn ) → m n → ∞ Nếu {xn } khơng bị chặn, tồn dãy lm ul {xnk } {xn } cho kxnk k → ∞ Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m 6= ∞ Do đó, {xn } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.2, tồn z at nh oi dãy {xnj } {xn } cho xnj * x0 ∈ C Vì f nửa liên tục tơpơ yếu, nên ta có z m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m m co l Mệnh đề chứng minh gm Do đó, m = f (x0 ) n→∞ @ j→∞ Tiếp theo, mục đề cập đến số vấn đề cấu an Lu trúc hình học khơng gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mơ đun lồi, mơ n va đun trơn ac th si xn x * Suy kxn k kxk x xnk x ≤ lim inf ≤ − δ, 1= + kxk k→∞ kxnk k kxk Từ xn * x kxn k → x ta có suy mâu thuẫn Vậy xn → x hay E có tính chất Kadec-Klee Định nghĩa 1.5 Khơng gian Banach E gọi trơn với x ∈ SE , tồn fx ∈ E ∗ cho hx, fx i = kxk kfx k = lu an Định nghĩa 1.6 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn Chuẩn va n E gọi khả vi Gâteaux điểm x ∈ SE với y ∈ SE , tồn giới tn to hạn (1.1) p ie gh d kx + tyk − kxk (kx + tyk)t=0 = lim t→0 dt t Định nghĩa 1.7 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn Khi đó: w oa nl a) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux x ∈ SE d lu an b) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE giới nf va hạn (1.1) tồn với x ∈ SE lm ul c) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet với x ∈ SE , giới hạn z at nh oi (1.1) tồn với y ∈ SE d) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet giới hạn (1.1) tồn z với x, y ∈ SE @ co l có khẳng định sau: gm Định lí 1.1 (xem [1] trang 92) Cho E khơng gian Banach Khi đó, ta m a) Nếu E ∗ khơng gian lồi chặt E không gian trơn an Lu b) Nếu E ∗ khơng gian trơn E khơng gian lồi chặt n va ac th si 10 Định nghĩa 1.8 Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định
ρE (τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk − : kxk = 1, kyk = τ } Nhận xét 1.2 Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng khoảng [0; +∞) (xem [1] trang 95) Ví dụ 1.5 [9] Nếu E khơng gian lp Lp (Ω), ta có   (1 + τ p )1/p − < τ p , < p < 2, p ρE (τ ) = p−1 p −   τ + o(τ ) < τ , p ≥ 2 lu an Định lí cho ta biết mối liên hệ mô đun trơn không gian n va Banach E với mô đun lồi E ∗ ngược lại tn to Định lí 1.2 (xem [7] trang 70) Cho E khơng gian Banach Khi ta có gh ie τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > τε b) ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > p a) ρE ∗ (τ ) = sup{ oa nl w d Chứng minh i) Theo định nghĩa mô đun trơn E ∗ ta có lu nf va an 2ρE ∗ (τ ) = sup{kx∗ + τ y ∗ k∗ + kx∗ − τ y ∗ k∗ − : x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ } = sup{hx, x∗ i + τ hx, y ∗ i + hy, x∗ i − τ hy, y ∗ i − : x, y ∈ SE , lm ul x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ } z at nh oi = sup{kx + yk + τ kx − yk − : x, y ∈ SE } = sup{kx + yk + τ ε − : x, y ∈ SE , kx − yk = ε, ε ∈ [0, 2]} z = sup{τ ε − 2δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}   τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2] m co l ρE ∗ (τ ) = sup gm @ Do an Lu n va ac th si 11 ii) Tương tự, theo định nghĩa mơ đun trơn E ta có 2ρE (τ ) = sup{kx + τ yk + kx − τ yk − : x, y ∈ SE } = sup{hx, x∗ i + τ hx, y ∗ i + hy, x∗ i − τ hy, y ∗ i − : x, y ∈ SE , x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ } = sup{kx∗ + y ∗ k + τ kx∗ − y ∗ k − : x∗ , y ∗ ∈ SE∗ } = sup{kx∗ + y ∗ k + τ ε − : x∗ , y ∗ ∈ SE ∗ , kx∗ − y ∗ k = ε, ε ∈ [0, 2]} = sup{τ ε − 2δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]} Do  ρE (τ ) = sup  τε − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2] lu an Mệnh đề chứng minh va n Nhận xét 1.3 Từ Định lí 1.2, suy to ie gh tn ε0 (E) ε0 (E ∗ ) ρ0 (E ∗ ) = , ρ0 (E) = 2 p ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 ρE (τ ) τ nl w Định nghĩa 1.9 Không gian Banach E gọi trơn oa ρE (τ ) = τ →0 τ d lim an lu Từ Nhận xét 1.3, ta có Định lí đây: nf va Định lí 1.3 (xem [7] trang 70) Cho E không gian Banach Khi ta z at nh oi lm ul có khẳng định sau: a) Nếu E không gian trơn E ∗ khơng gian lồi đều; b) Nếu E khơng gian lồi E ∗ không gian trơn z co l gm @ Chứng minh a) Giả sử E không gian trơn Từ Định lí 1.2, ta có   τε ρE (τ ) = sup − δE ∗ (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > (1.2) m Nếu E ∗ không không gian lồi ∃ε0 ∈ (0, 2] cho δE ∗ (ε0 ) = Khi n va τ ε0 − δE ∗ (ε0 ) ≤ ρE (τ ) an Lu đó, từ (1.2) suy ac th si 12 Điều dẫn đến ε0 ρE (τ ) ≤ τ Mâu thuẫn với giả thiết E không gian trơn Vì thế, E ∗ khơng gian lồi 0< Ngược lại, giả sử E ∗ khơng gian lồi Từ Định lí 1.2, ta có   τε − δE (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > ρE ∗ (τ ) = sup (1.3) Nếu E không không gian trơn ρE (τ ) 6= τ →0 τ ρ0E (0) = lim lu an Giả sử ρE (τ ) = ε, τ →0 τ n va lim ε > tn to ρE (τn ) = ε Từ (1.3) n→∞ τn Khi đó, tồn dãy {τn } ∈ (0, 1) cho τn → lim ie gh dẫn tới tồn dãy {εn } ∈ (0, 2] cho p ε τn εn τn ≤ − δE ∗ (εn ) 2 w oa nl Hay tương đương với τn (εn − ε) hàm khơng giảm nên ta có d < δE ∗ (εn ) ≤ lu nf va an Vì τn < nên ε < εn Mặt khác, δE ∗ δE (ε) ≤ δE (εn ) → lm ul Do đó, δE (ε) = 0, điều mâu thuẫn với giả thiết E ∗ không gian lồi z at nh oi Vì thế, E không gian trơn b) Chứng minh tương tự i) cách thay đổi vai trò E E ∗ z Ví dụ 1.6 Mọi khơng gian Hilbert, không gian lp hay Lp (Ω) với @ l 54) gm < p < +∞ không gian Banach lồi trơn (xem [6] trang không gian Banach theo nghĩa Mosco [10] m co Cuối mục luận văn giới thiệu giới hạn dãy tập hợp an Lu Cho {Cn } dãy tập lồi, đóng khác rỗng không gian n va Banach phản xạ E Ta xác định tập s-Lin Cn w-Lsn Cn E ac th si 13 sau: x ∈ s-Lin Cn tồn dãy {xn } ⊂ E hội tụ mạnh x xn ∈ Cn với n ≥ 1; x ∈ w-Lsn Cn tồn dãy {Cnk } của{Cn } dãy {yk } ⊂ E cho yk * x yk ∈ Cnk với k ≥ Nếu s-Lin Cn = w-Lsn Cn = C0 , C0 gọi giới hạn dãy {Cn } theo nghĩa Mosco [10] giới hạn ký hiệu C0 = M- limn→∞ Cn Mệnh đề 1.7 Nếu {Cn } dãy giảm tập lồi, đóng không gian Banach phản xạ E C0 = ∩∞ n=1 Cn 6= ∅, C0 = M- limn→∞ Cn Chứng minh Thật vậy, rõ ràng x ∈ C0 x ∈ s-Lin Cn x ∈ w-Lsn Cn , dãy {xn } với xn = x với n ≥ hội tụ mạnh x Do đó, ta có C0 ⊂ s-Lin Cn C0 ⊂ w-Lsn Cn lu an Bây ta C0 ⊇ s-Lin Cn C0 ⊇ w-Lsn Cn Lấy x ∈ s-Lin Cn , n va từ định nghĩa s-Lin Cn , tồn dãy {xn } ⊂ E, xn ∈ Cn với n ≥ cho k ≥ Do đó, cho k → ∞ từ tính đóng Cn , ta nhận x ∈ Cn gh tn to xn → x, n → ∞ Vì {Cn } dãy giảm, nên xn+k ∈ Cn với n ≥ ie với n ≥ Suy x ∈ C0 C0 ⊇ s-Lin Cn Tiếp theo, lấy p y ∈ w-Lsn Cn , từ định nghĩa w-Lsn Cn , tồn dãy {Cnk } {Cn } nl w dãy {yk } ⊂ E cho yk * x yk ∈ Cnk với k ≥ Từ tính giảm oa dãy {Cn }, ta có d yk+p ∈ Cnk (1.4) lu nf va an với k ≥ p ≥ Vì Cnk lồi đóng, nên Cnk đóng yếu E với k ≥ Do đó, (1.4), cho p → ∞, ta nhận y ∈ Cnk với k ≥ Vì lm ul Ck ⊇ Cnk , nên y ∈ Ck với k ≥ Suy y ∈ C0 C0 ⊇ w-Lsn Cn z at nh oi Tóm lại, ta thu s-Lin Cn = w-Lsn Cn = C0 Vậy C0 = M- limn→∞ Cn Cuối cùng, mục ta đề cập đến tính chất quan trọng z @ Mệnh đề 1.8 [14] Cho E không gian Banach phản xạ, trơn lồi chặt, gm l có tính chất Kadec-Klee Cho {Cn } dãy tập lồi, đóng khác m tụ mạnh PΩ0 x với x ∈ E co rỗng E Nếu tồn Ω0 = M- limn→∞ Cn khác rỗng, dãy {PCn x} hội an Lu n va ac th si 14 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.10 Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ ∗ đa trị J : X −→ 2X xác định J(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X Chú ý 1.3 a)Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh xạ đồng I b) Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J nói chung ánh xạ đa trị Khi J ánh lu xạ đơn trị ta ký kiệu j an Nhận xét 1.4 Trong khơng gian tuyến tính định chuẩn X, ta ln có va n J(x) 6= ∅ với x ∈ X, điều suy trực tiếp từ hệ Định lí Hahn tn to - Banach gh Mệnh đề đề cập đến số tính chất đơn giản ánh xạ đối ngẫu p ie chuẩn tắc J không gian tuyến tính định chuẩn X Mệnh đề 1.9 (xem [1] trang 69) Cho X không gian tuyến tính định w oa nl chuẩn J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Khi đó, d i) J ánh xạ lẻ, tức J(−x) = −J(x), ∀x ∈ X; an lu nf va ii) J dương, tức J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X; lm ul iii) J bị chặn, tức D tập bị chặn X J(D) tập hợp bị chặn X ∗ ; z at nh oi iv) Nếu X ∗ lồi chặt J đơn trị; v) J đơn trị liên tục tập bị chặn X l gm @ Chứng minh i) Giả sử f ∈ J(−x), ta có z X không gian Banach trơn m co h−x, f i = k − xk.kf k∗ = kf k2∗ , k − xk = kf k∗ an Lu Khi n va hx, −f i = (−1)2 h−x, f i = k − f k2 = kxk2 ac th si 15 Suy −f ∈ J(x) hay f ∈ −J(x) Do đó, ta có J(−x) ⊆ −J(x) (1.5) Ngược lại, giả sử f ∈ −J(x) hay − f ∈ J(x), ta có hx, −f i = (−1)2 h−x, f i = (−1)2 k − xkkf k, k − xk = kf k = k − f k2 = kxk2 lu Khi an n va h−x, f i = h−(−x), −f i = hx, −f i = kxk2 gh tn to Suy f ∈ J(−x) Do đó, ta có −J(x) ⊆ J(−x) (1.6) p ie w Từ (1.5) (1.6), ta có J(−x) = −J(x) hλx, f i = kλxk.kf k = kf k2 , kλxk = kf k d oa nl ii) Giả sử f ∈ J(λx), ta có nf va an lu Khi lm ul hx, λ−1 f i = λ−1 hλx, λ−1 f i z at nh oi = λ−2 kλxk.kf k = kλ−1 f k2 = kxk2 Suy λ−1 f ∈ J(x) hay f ∈ λJ(x) Do đó, ta có J(λx) ⊆ λJ(x) z (1.7) m co l hx, λ−1 f i = λ−1 hλx, λ−1 f i gm @ Giả sử f ∈ λJ(x) hay λ−1 f ∈ J(x), ta có = kλ−1 f k2 = kxk2 an Lu = λ−2 hλx, f i = λ−2 kλxk.kf k, kλxk = kf k n va ac th si