Thông tin tài liệu
Trng THCS Ngày dạy: / Giỏo viờn : / 2022 Lớp 9A Ngày dạy: / / 2022 Lớp 9B Ôn tập Căn bậc hai - Điều kiện tồn đẳng thức A2 A A- Mục tiêu - Học sinh đ-ợc ôn tập củng cố kiến thức khái niệm bậc hai số không âm, ĐKXĐ biểu thức chứa dấu căn, đẳng thức A2 A - Rèn kỹ tìm bậc hai, bậc hai số học số không âm, tìm ĐKXĐ biểu thức chứa dấu căn, áp dụng đẳng thức A2 A rót gän biĨu thøc - RÌn tÝnh cÈn thận, xác, lòng yêu thích môn học B- Kiến thức cần nhớ: 1- Định nghĩa: Căn bậc hai số không âm a a - a x Căn bậc hai số học số không âm a a (x= a x a 2- Điều kiện tồn : 3- Hằng đẳng thức : ( Với a ) A cã nghÜa A A A2 A = A C- Các dạng tËp: Bµi 1- TÝnh CBH vµ CBHSH cđa 16 ; 0,81 ; 25 Giải: CBH 16 16 =4 - 16 =-4 ; Còn CBHSH 16 lµ 16 =4 CBHcđa 0,81 lµ 0,9 ; CBHSH cđa 0,81lµ 0,9 CBH cđa 4 lµ ; CBHSH cđa lµ 25 25 5 Bµi 2- Tìm x để biểu thức sau có nghĩa : a; x c; 2 x b; e; x2 x2 d; x Bµi 3- TÝnh (Rót gän ): a; (1 2) c; b; ( 2) ( 3) d; e; x x x2 2x x 1 HD a; (1 2) = 2 b; ( 2) ( 3) = 2 c; = ( 2) ( 1) x 1 ( x 1) 1 d; x 1 x 1 Giáo án: DẠY THÊM TOÁN Năm học 2022 - 2023 Trường THCS Giáo viên : e; x x = ( x 1) x Bài 4- Giải PT: a; 3+2 x b; x 10 x 25 x HD: a; 3+2 x (§iỊu kiƯn x 0) x 53 x=1(tho¶ m·n ) x 1 b; x 10 x 25 x x x (1) §iỊu kiƯn : x -3 c; x x x x x tho¶ m·n x x (1) c; x x §K: x-5 5-x Nên x=5 Với x=5 VT=0 nên PT vô nghiệm Bài 5- Rút gọn : a; a (a 1) víi a >0 16a 4b6 128a 6b6 (Víia0 = a a a(a 1) v× a>0 HD: b; b; 16a 4b6 128a 6b6 (Víia ; a 4 a) Rót gän P b) Tính giá trị P với a = 2) Cho ph-ơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + = ( m lµ tham số ) a) Xác định m để ph-ơng trình có nghiệm Tìm nghiệm lại b) Xác định m để ph-ơng trình có hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n x13 x23 Câu ( điểm ) Khoảng cách hai thµnh A vµ B lµ 180 km Một ô tô từ A đến B , nghỉ 90 ë B , råi l¹i tõ B vỊ A Thêi gian lóc ®i ®Õn lóc trë vỊ A lµ 10 giê BiÕt vËn tèc lóc vỊ vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc ô tô Câu ( điểm ) Tứ giác ABCD nội tiếp đ-ờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E AD F Đ-ờng thẳng CF cắt đ-ờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh : a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD C©u ( điểm ) Tìm m để giá trị lớn biểu thức Ngày dạy: / 2x m b»ng x2 / 2023 Líp 9A Ngày dạy: / / 2023 Lớp 9B Chuyên đề: ph-ơng trình bậc hai ẩn Ph-ơng trình nghiệm nghuyên 1.Ph-ơng trình bậc hai ẩn Ph-ơng trình bậc hai ẩn ph-ơn trình có dạng: ax + by = c (1) Trong (a2 + b2 0) (Đọc a, b khụng ng thi bng 0) Ph-ơng trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là: x tïy ý c ax y b hc y tïy ý c by (2) x a TËp hỵp điểm M(x;y) x, y thỏa mÃn (2) đ-ờng thẳng +Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số đà biÕt( a hc b 0) + Mét nghiệm ph-ơng trình cặp số x0; y0 thỏa mÃn : ax0 + by0 = c + Ph-ơng trình bËc nhÊt hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiƯm Giáo án: DẠY THÊM TỐN 123 Năm học 2022 - 2023 Trường THCS Giỏo viờn : + Tập nghiệm đ-ợc biểu diễn đ-ờng thẳng (d): ax + by = c NÕu a 0; b th× a b c b đ-ờng thẳng (d) đồ thị hµm sè bËc nhÊt: y x (Dạng đồ thị cách vẽ đà biết) + Nếu a= b ph-ơng trình trở thµnh ax = c hay x = = c hay x = c song song hỈc trïng víi trơc tung a + NÕu a vµ b = ph-ơng trình trở thành by = c hay y = = c hay y = c , đ-ờng thẳng (d): ax a c , đ-ờng thẳng (d): by b c song song hặc trùng với trục hoành b Vớ d 1:Tìm nghiệm tổng quát ph-ơng trình x 2y = Tõ x- 2y =1 → y = 2x – x R y 2x Vậy nghiêm tổng quát ph-ơng trình Ví dụ 2: Viết nghiệm tổng quát vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình sau : a) x y b) x y c) x y d) x y e) 0.x y 10 f) x y 12 HD x R a) x y y x y2 VÏ ®-êng biĨu diƠn tËp nghiƯm x R y e) 0.x y 10 Vẽ đ-ờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: Bài tập Tìm nghiệm tổng quát vẽ đ-ờng biểu diễn tập nghiệm ph-ơng trình sau: a 5x + 4y = 23 b 2x + 0y = c 7x - 4y = 13 d - 5x + 13y = 17 e 0x + 4y = g 0x - 2y = h - 7x – 0y = 14 i – x - 5y = -10 Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên : 2.1 Ph-ơng Tách phần nguyên: Tìm nghiệm tổng quát (ph-ơng pháp chủ yếu áp dụng cho ph-ơng trình bậc ẩn) Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: 43x + 47y = 50 (1) Ph-ơng trình (1) 43x = 50 - 47y => x = - y + Đặt t = 4y , t 43 Giáo án: DẠY THÊM TOÁN 4y 43 => x = - y + t Vµ - 4y = 43t 124 Năm học 2022 - 2023 Trường THCS Giáo viên : t 1 t Đặt = => y = - 11t + vµ t=4 +1 => y 4 = - 11 (4 + 1) + = - 43 - 20 => x = - ( - 43 - 20) + + = 22 + 47 Vậy x 22 47t ph-ơng trình (1) có nghiệm tổng quát là: Với t y 20 43t => y = - 11t + * Chó ý: Khi dïng ph-¬ng pháp nên tách cho hệ số ẩn phần đặt ẩn phụ nhỏ Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: 7x + 4y = 100 (*) 100 7x 3x 3x => y = 25 - x Đặt = t, 4 4t t = > y = 25-x-t vµ 3x=4t => x = t 3 C¸ch 1: 4y = 100 - 7x => y = t Đặt t , x t , t 3 => x = + = => y =25-4 -3 = 25 - Vậy ph-ơng trình có nghiệm tổng quát là: x 4t y 25 7t, t C¸ch 2: (*) 4y = 100 7x y 100 7x x 25 2x 4 x t x 4t y 25 2x t y 25 2(4t) t 25 7t x 4t Vậy ph-ơng trình có nghiệm tổng quát lµ: y 25 7t, t Đặt Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên sau: a) 73x - 41y = (1) b) 38x + 117y = (2) Gi¶i a) Tõ 73x - 41y = 41y = 73x - y = 73x 41 9x 9x Đặt =t với t suy y = 2x - t 41 41 41t 4t 4t Tõ (1) => x= = 5t Đặt = z (2) z x = 5t-z 9 9z z 1 (2) => 4t = 9z - => t = = 2z + 4 z Đặt = u (3) u => t = 2z + u; tõ (3) => y = 2x - z= 4u + => t = (4u + 1) + = 9u + => x = 5(9u + 2) - (4u + 1) = 41u + y = 2( 41u + 9) - (9u + 2) = 73 u + 16 x 41u y 16 73u u Vậy ph-ơng trình có nghiệm tổng quát là: b) 38x + 117y = Tõ 38x + 117y = 38x = - 117y x = x = -3y + 3y 3y Đặt =u 38 38 Giáo án: DẠY THÊM TOÁN 125 117y 38 Năm học 2022 - 2023 Trường THCS Giáo viên : x = -3y + u vµ - 3y = 38u 3y = - 38u 38u 1 u 1 u y= y = -13u + Đặt = v u = 3v - 3 y = -13u + v y = -13 (3v - 1) + v = -38v + 13 x = -3y + u x = -3(13 - 38v) + 3v - = -40 + 117v x 40 117t VËy ph-¬ng trình có nghiệm là: Với t y 13 38t Bài tập áp dụng Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình sau: a 5x + 4y = 23 b 2x + 7y = 35 c 7x - 4y = 13 d - 5x + 13y = 17 e 12x + 4y = 57 g 27x - 13y = Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình sau: a, 7x + 4y = 23 b, 2x + 3y = c, 1 x y d, x y 2.2 Ph-ơng pháp Đ-a dạng tích - Biến đổi để đ-a dạng f(x,y).g(x,y) = a (a Z ) Với f(x,y) g(x,y) ®a thøc víi hƯ sè nguyªn f ( x , y )m Từ ta giải hệ: a (víi m ¦(a)) g ( x , y ) m - Trong ph-ơng pháp vế chứa biến ph-ơng trình nghiệm nguyên đ-ợc phân tích thành nhân tử Do nghiệm nguyên nên xét tr-ờng hợp xảy giải tìm nghiệm Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình x2 +6 = xy - y (1) Gi¶i: (1) x2 - + = y(x - 1) (x - 1)(x + 1) + = y(x - 1) (x - 1)(y - x - 1) = V× x, y Z nên có tr-ờng hợp sau x x y x y 10 TH2: x x y x y 10 x 1 x y x 7 y 6 TH4: TH1: x 7 x 6 y x 1 y TH3: Vậy ph-ơng trình đà cho cã nghiƯm lµ (2;10), (8;10), (0;-6) vµ (-6;-6) *) Chú ý: Ta phải xét hết tr-ờng hợp xẩy Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên sau: 2x3 + xy – = Gi¶i: 2x3 + xy – = x(2x2 + y) = = 7.1 = 1.7 = -7.(-1) = -1.(-7) Giáo án: DẠY THÊM TOÁN 126 Năm học 2022 - 2023 Trường THCS Giáo viên : V× x, y Z => 2x2 + y Z, có tr-ờng hợp xẩy Giải tr-ờng hợp ta đ-ợc nghiệm ph-ơng trình là: (1;5); (-1;-9); (7;-97); (-7;-99) Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên sau: xy = x + y Giải: xy = x + y xy – x – y = 0 xy – x – y + = (x – 1)(y – 1) = = 1.1 = -1.(-1) V× x, y Z => x y Z Giải hai khả xảy tr-ờng hợp ta đ-ợc nghiệm ph-ơng trình là: (2;2); (0;0) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình sau: 3xy = 5x + 2y (1) Gi¶i: 3xy – = 5x + 2y 3xy – 5x – 2y – = 9xy – 15x – 6y – = (nhân hai vế ph-ơng trình với 3) 3x(3y – 5) – 2(3y – 5) = 19 (3y – 5)(3x – 2) = 19 = 1.19 =19.1 =-19.(-1) = -1.(-19) Có khả xẩy nh-ng giải tr-ờng hợp xẩy ta đ-ợc nghiƯm lµ: (1;8) vµ (7;2) *) NhËn xÐt: NÕu ph-ơng trình có dạng axy + bx + cy + d = víi a, b, c, d Z, a Thì để đ-a ph-ơng trình dạng tích th-ờng ta nhân hai vế ph-ơng trình với a Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình sau: x2(x + 2y) y2(y + 2x) = 1991 Gi¶i: x2(x + 2y) – y2(y + 2x) = 1991 (x3 – y3) + (2x2y – 2xy2) = 1991 (x – y)(x2 + 3xy + y2) = 1991 (1) V× x, y Z+ => x2 + 3xy + y2 > vµ x2 + 3xy + y2 > x – y Tõ (1) => x – y > Mµ 1991 = 1.1991 = 11.181 (nên có hai tr-ờng hợp) Giải tr-ờng hợp xảy với nghiệm nguyên d-ơng ta đ-ợc (x = 12; y = 1) VËy (x = 12; y = 1) nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình: x2 + x + = xy – y Gi¶i: x2 + x + = xy – y (x2 – x) + (2x – 2) + = y(x – 1) (x – 1)(x – y + 2) = -3 (x – 1)(y – x – 2) = = 1.3 = 3.1 V× x, y Z nên ta có tr-ờng hai hợp sau: Giải hệ ph-ơng trình ta đ-ợc: (x = 4; y = 7) vµ (x = 2; y = 7) * Chú ý: Có thể giải cách sau y x2 x 1 Råi sư dơng tÝnh chÊt x2 x 1 x 1 chia hÕt VÝ dụ 7: Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình sau: 1) x + y = xy 2) 2x + 7y = + 3xy Gi¶i: 1) x + y = xy (1) Ph-ơng pháp 1: (1) xy - x - y = (x-1) (y-1) = V× x, y Z nên ta có tr-ờng hợp sau: Giáo án: DẠY THÊM TOÁN 127 Năm học 2022 - 2023 Trường THCS Giáo viên : x x y y x 1 x y 1 y TH1: TH2: Vậy ph-ơng trình có nghiệm (0;0) (2;2) Ph-ơng pháp 2: Từ x + y = xy x = y (x-1) y = x x 1 1 §Ĩ y th× x 1 x 1 x x y x - 1/1 x 1 x y y=1+ Vậy ph-ơng trình đà cho có nghiệm (0;0) vµ (2;2) 2) 2x + 7y = + 3xy (2) Nh©n vÕ cđa (2) víi ta ®-ỵc:6x + 21y = 15 = 9xy 9xy - 6x - 21y = 15 (9x - 21) (9y - 6) = 111 Ta xét tr-ờng hợp ( HS tự trình bày) Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình sau: a) xy – 2x + 3y = 27 b) 3xy + x + y = 17 c) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 d) x3 – y3 = 91 Bµi 2: Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên d-ơng số đo diện tích số đo chu vi H-ớng dẫn: Gọi hai cạnh góc vuông x, y cạnh huyền z Theo bµi ta cã: xy = 2x + 2y + 2z 2z = xy – 2x – 2y 4z2 = x2y2 + 4x2 + 4y2 – 4x2y – 4xy2 + 8xy (*) Theo Pitago ta cã: z2 = x2 + y2 4z2 = 4x2 + 4y2 (**) 2 2 Tõ (*) vµ (**) => x y – 4x y – 4xy + 8xy = => xy(xy – 4x – 4y + 8) =0 => xy -4x – 4y + = (V× xy > 0) => (x – 4)(y – 4) = = 1.8 = 2.4 V× x, y cã vai trò nh- nên: +) +) x 1 y 8 x 4 y 4 x 5 y 12 x 6 y 8 z 13 (Tho¶ m·n) z 10 (Tho¶ m·n) VËy cã hai tam giác vuông có cạnh số nguyên d-ơng số đo diện tích số đo chu vi *Chú ý Ph-ơng trình nghiệm nguyên ax + by = c (1) Có nghiệm nguyên tổng quát là: Giáo án: DẠY THÊM TOÁN 128 Năm học 2022 - 2023 Trường THCS Giáo viên : x = xo + mt y = yo + nt, t Thì ph-ơng trình (1) có nghiệm riêng lµ (xo; yo) Giáo án: DẠY THÊM TỐN 129 Năm học 2022 - 2023
Ngày đăng: 21/07/2023, 20:31
Xem thêm:
