thuvienhoclieu com CHỦ ĐỀ 9 ĐA GIÁC , ĐA GIÁC ĐỀU A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó 2/ Đa giác đề[.]
CHỦ ĐỀ ĐA GIÁC , ĐA GIÁC ĐỀU A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Đa giác lồi đa giác ln nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác 2/ Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc VD1: Tam giác có cạnh ba góc 60o VD2: Tứ giác (Hình vng) có cạnh bốn góc 90 o 3/ Bổ sung + Tổng góc đa giác n cạnh (n > 2) + Số đường chéo đa giác n cạnh (n > 2) + Tổng góc ngồi đa giác n cạnh (n > 2) (tại đỉnh chọn góc ngồi) + Trong đa giác đều, giao điểm O hai đường phân giác hai góc kề cạnh tâm đa giác Tâm O cách đỉnh, cách cạnh đa giác Có đường trịn tâm O qua đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD có góc ∠A = 60o Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh đa giác EBFGDH lục giác Giải ABCD hình thoi có ∠A = 60o => ∠B = ∠D = 120o ∆AEH tam giác (Vì tam giác cân có góc 60o) => ∠E = ∠H = 120o Tương tự: ∠F = ∠G = 120o Vậy EBFGDH có tất góc nhau, mặt khác EBFGDH có tất cạnh (bằng nửa cạnh hình thoi) Vậy EBFGDH lục giác Ví dụ Tìm số cạnh đa giác biết số đường chéo số cạnh Giải Tìm cách giải thuvienhoclieu.com Trang Bài biết mối liên hệ số đường chéo số cạnh nên hiển nhiên đặt số cạnh đa giác n biểu thị số đường chéo từ ta tìm số cạnh Trình bày lời giải Đặt số cạnh đa giác n (n ≥ 3) số đường chéo theo đề ta có: Vì n ≥ nên n – = 0 n = Vậy số cạnh đa giác Ví dụ Tổng tất góc góc ngồi đa giác có số đo Hỏi đa giác có cạnh? Giải Tìm cách giải Nếu ta đặt n số cạnh , α số đo góc ngồi đa giác số ngun Do suy (n - 2).1800 , từ ta có α số dư 47058,5 chia cho 1800 Bằng cách suy luận vậy, có lời giải sau: Trình bày lời giải Gọi n số cạnh đa giác (n N, n ≥ 3) Tổng số đo góc đa giác Vì tổng góc góc ngồi đa giác có số đo nên ta có ( α số đo góc ngồi đa giác với ) Vậy số cạnh đa giác 263 Ví dụ Tổng số đo góc đa giác n - cạnh trừ góc A 5700 Tính số cạnh đa giác Giải Tìm cách giải thuvienhoclieu.com Trang Theo cơng thức tính tổng góc ta có (n - 2) 1800 – nhận thấy có thêm điều kiện n N, n ≥ 00 < = 5700 Quan sát nhìn nhận, ta < 1800 Từ ta có lời giải sau: Trình bày lời giải Ta có (n - 2) 1800 – Vì 00 < < 1800 = 5700 = (n - 2).1800 – 5700 < (n - 2) 1800 – 5700 < 1800 5700 < (n - 2) 1800 < 7500 Vì n N nên n = Đa giác có cạnh = (6 - 2) 1800 – 5700 = 1500 Ví dụ Một lục giác ngũ giác chung cạnh AD (như hình vẽ) Tính góc tam giác ABC Giải Tìm cách giải Vì AD cạnh lục giác ngũ giác đều, nên dễ dàng nhận ∆ABD, ∆ACD, ∆BCD tam giác cân đỉnh D tính số đo góc đỉnh Do ∆ABC tính số đo góc Trình bày lời giải Theo cơng thức tính góc đa giác đều, ta có: A D Suy C B Ta có ∆BDC (DB = DC) cân D Do Suy Ví dụ Cho lục giác ABCDEF Gọi M, L, K trung điểm EF, DE, CD Gọi giao điểm AK với BL CM P, Q Gọi giao điểm CM BL R Chứng minh tam giác PQR tam giác thuvienhoclieu.com Trang Giải Các tứ giác ABCK, BCDL, CDEM có cạnh góc đơi B Các góc lục giác 120 Đặt ; A Q P C K R Trong tam giác CKQ có D F L M Trong tam giác PBA có E Từ suy Vậy ∆PQR Ví dụ Cho bát giác ABCDEFGH có tất góc nhau, độ dài cạnh số nguyên Chứng minh cạnh đối diện bát giác Giải Các góc bát giác nhau, suy số đo góc Kéo dài cạnh AH BC cắt M Ta có: suy tam giác MAB tam giác vuông cân A Tương tự tam giác CND, EBF, GQH tam giác H vng cân, suy MNPQ hình chữ nhật Đặt AB = a; BC = b; CD = c; DE = d; EF = e; FG = f; GH = g; Q N C B M b a c h d g f G e F D E P HA = h Từ tam giác vuông cân, theo định lí Py-ta-go, ta có: nên Tương tự Do MN = PQ nên Do f b số nguyên nên vế phải đẳng thức số nguyên, vế trái số nguyên Vế trái 0, tức f = b, hay BC = FG Tương tự có AB = EF, CD = GH, DE = HA thuvienhoclieu.com Trang Nhận xét Dựa vào tính chất số hữu tỷ, số vơ tỷ giải tốn Cũng với kỹ thuật đó, giải thi hay khó sau: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Hưng Yên, năm học 2009 - 2010) C BÀI TẬP VẬN DỤNG 10.1 Số đường chéo đa giác lớn 14, nhỏ 27 Hỏi đa giác cạnh? 10.2 Tổng số đo góc đa giác n - cạnh trừ góc A 2570 Tính số cạnh đa giác 10.3 Cho ∆ABC có ba góc nhọn M điểm nằm tam giác Gọi điểm đối xứng với M qua trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh đoạn qua điểm b)Xác định vị trí điểm M để lục giác AB1CA1BC1 có cạnh 10.4 Một ngũ giác có đường chéo nhóm đường chéo có loại độ dài (ta gọi loại độ dài nhóm đường chéo nhau) Một lục giác có đường chéo nhóm đường chéo có loại độ dài khác (hình vẽ) Xét đa giác có 20 cạnh Hỏi nhóm đường chéo có loại độ dài khác nhau? 10.5 Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cạnh 10.6 Cho ngũ giác ABCDE có cạnh Hãy tính a) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF ngũ giác 10.7 Cho ngũ giác ABCDE, gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, EA I, J trung điểm MP, NQ Chứng minh IJ song song với ED thuvienhoclieu.com Trang 10.8 Cho lục giác ABCDEF Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ trung điểm cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA Chứng minh A’B’C’D’E’F’ lục giác 10.9 Cho lục giác lồi ABCDEF có cặp cạnh đối AB DE; BC EF; CD AE vừa song song vừa Lục giác ABCDEF có thiết lục giác hay không? 10.10 Chứng minh ngũ giác lồi ln tìm ba đường chéo có độ dài ba cạnh tam giác 10.11 Chứng minh tổng độ dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài đường chéo 10.12 Muốn phủ kín mặt phẳng đa giác cho hai đa giác kề có chung cạnh Hỏi đa giác nhiều cạnh? 10.13 Cho lục giác ABCDEF có tất góc nhau, cạnh đối khơng Chứng minh Ngược lại có đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện ba hiệu khác chúng lập lục giác có góc 10.14 Chứng minh lục giác bất kì, ln tìm đỉnh cho ba đường chéo xuất phát từ đỉnh lấy làm ba cạnh tam giác 10.15 Cho lục giác ABCDEG có tất cạnh Chứng minh cặp cạnh đối lục giác song song với thuvienhoclieu.com Trang ... lời giải Ta có (n - 2) 180 0 – Vì 00 < < 180 0 = 5700 = (n - 2). 180 0 – 5700 < (n - 2) 180 0 – 5700 < 180 0 5700 < (n - 2) 180 0 < 7500 Vì n N nên n = Đa giác có cạnh = (6 - 2) 180 0 – 5700 = 1500 Ví... song với ED thuvienhoclieu. com Trang 10 .8 Cho lục giác ABCDEF Gọi A’, B’,C’,D’,E’,F’ trung điểm cạnh AB,BC,CD, DE, EF, FA Chứng minh A’B’C’D’E’F’ lục giác 10 .9 Cho lục giác lồi ABCDEF có cặp... giác ABCDEF Gọi M, L, K trung điểm EF, DE, CD Gọi giao điểm AK với BL CM P, Q Gọi giao điểm CM BL R Chứng minh tam giác PQR tam giác thuvienhoclieu. com Trang Giải Các tứ giác ABCK, BCDL, CDEM có