Luận văn hàm lồi và tính chất cực trị của chúng

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM ========== TГẦП TҺỊ ҺUỆ ҺÀM LỒI ѴÀ TίПҺ ເҺẤT ເỰເ TГỊ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເỦA ເҺύПǤ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM ========== TГẦП TҺỊ ҺUỆ ҺÀM LỒI ѴÀ TίПҺ ເҺẤT ເỰເ TГỊ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເỦA ເҺύПǤ ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0ÁП ǤIẢI TίເҺ Mã số: 60.46.01 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Möເ löເ Möເ löເ Lίi mð ¦u ເ¡ເ k̟i¸п ƚҺὺເ ເὶ ь£п ѵ· ê lỗi m lỗi 1.1 Tê lỗi 6 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z 1.2 m lỗi 17 1.2.1 àпҺ пǥҺ¾a ѵ ເ¡ເ ѵ½ dư 17 1.2.2 Tẵ liả ừa m lỗi 22 1.2.3 ເ¡ເ ρҺ²ρ ƚ0¡п ь£0 ƚ0 ẵ lỗi 23 1.2.4 Đ lỗi 25 1.2.5 Dữợi i Ơ ừa m lỗi 26 Tẵ Đ ỹ ừa m lỗi 30 2.1 ắa ỹ ừa mở m lỗi 31 2.2 Tẵ Đ ỹ ừa m lỗi 31 2.2.1 Tẵ Đ ỹ iu ừa m lỗi 31 2.2.2 Tẵ Đ ỹ Ôi ừa m lỗi 32 i 0Ă ỹ m lỗi 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1 Ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u lỗi kổ õ uở 36 3.2 i 0Ă ối ữu lỗi ợi пǥ ьuëເ ¯пǥ ƚҺὺເ 37 3.3 Ь i 0Ă ối ữu lỗi ợi uở Đ 40 3.4 ối ău Laae 46 3.5 iºm ɣ¶п пǥüa 49 3.6 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Fгaпk̟ - W0lfe 51 Ká luê 55 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lίi пâi ¦u Ǥi£i ẵ lỗi l mở mổ qua ừa iÊi ẵ i uá iÊi ẵ lỗi iả u à ê lỗi m lỗi Đu lỗi l mở sỹ m ỹ iá ừa Đu uá ẵ Đu lỗi Đ iÃu lắ ỹ k̟Һ¡ເ пҺau ເõa ƚ0¡п Һåເ ǥi£i ƚ½ເҺ Tг0пǥ â, ເüເ ừa m lỗi l mở à i qua ừa iÊi ẵ lỗi, lỵ uá lÔi Tứ L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເ пǥ ả ẵ Đ ừa ê lỗi m lỗi õ, ữi a ữa a ữ Ă iÊi kĂ au mội i 0Ă ẳm ỹ Ôi a ỹ iu ừa mở m lỗi ả mở ê lỗi ỹ ừa m lỗi õ ỏ qua iÊi ẵ iằ Ôi, ỗ i õ iÃu dử ເ¡ເ l¾пҺ ѵüເ k̟Һ¡ເ пҺau ເõa T0¡п Һåເ, °ເ ьi»ƚ l ƚг0пǥ ьë mỉп T0¡п ὺпǥ dưпǥ пҺ÷: Tèi ÷u õa, Đ iá Ơ Mử ẵ ừa luê ô ơm ẳ mở Ă õ ằ ố Ă kiá Ê qua Đ Ã ỹ ừa m lỗi ỗ i, iợi iằu mở số i 0Ă ối ữu lỗi Ă lỵ uá liả qua i 0Ă , ữ l Ă iÃu kiằ ối ữu, lỵ uá ối ău, i Ư m Ưu, ká luê da mử i liằu am kÊ0, luê ô ỗm õ ữ S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺ÷ὶпǥ mëƚ ừa luê ô ợi iảu à "Ă kiá Ê Ã ê lỗi m lỗi" ơm iợi iằu mở số kĂi iằm Ê Ã ê lỗi L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵ Һm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lỗi ợi ẵ Đ ữ ừa õ D0 Ư ma ẵ Đ ủ, ả a s kổ mi Ă ká quÊ ữa a Ơ ợi iảu à "Tẵ Đ ỹ ừa m lỗi", ữ ơm iợi iằu kĂi iằm, ẵ Đ Ê, qua à ỹ ừa m lỗi ữ ữủ ia l m Ư Ư Ưu ẳ Ă kĂi iằm à ỹ Ôi ỹ iu ừa m lỗi Ư iá e0 à ê Ã Ă ẵ Đ Ê qua à ỹ Ôi, ỹ iu ừa m lỗi Dỹa ả Ă ká quÊ Â ảu Ă ữ ữợ õ, ữ a ừa luê ô " i 0Ă ỹ m lỗi", ÷đເ d пҺ º ƚг¼пҺ ь ɣ ѵ· ὺпǥ dưпǥ ừa ỹ m lỗi iằ Ơ dỹ i·u k̟i»п ƚèi ÷u ເҺ0 ь i L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 0Ă ẳm ỹ iu ừa mở m lỗi ả mở ê lỗi Ơ l iÃu k̟i»п ƚèi ÷u ເҺ0 ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u lỗi kổ õ uở, uở uở Đ ỗ i, ẳ à i 0Ă ối ău Laae im ả ỹa Ư uối ừa ữ ẳ à mở uê 0Ă Ê iÊi i 0Ă qui 0Ô lỗi õ l ữ ρҺ¡ρ Fгaпk̟ - W0lfe Tг0пǥ qu¡ ƚг¼пҺ Һ0 п ƚҺ uố luê ô , ổi i ọ lỏ iá Ơ Đ ữi ữợ dă k0a ừa ổi l S.TSK Lả Dụ Mữu TƯ  ê ẳ Ê0, ữợ dă ổi suố quĂ ẳ ỹ iằ luê ô Tổi ụ i Ơ Êm Ă TƯ, ổ k 0a T0Ă, ữ Sữ Ôm  iằ ẳ uà ổi kiá quỵ iĂ, Ê Ã ữ Ă ê ụ ữ Ă ữ Ă iÊ dÔ, iả u ả iÊ ữ Ăm ia ẳ, Ô Â luổ Ô0 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i·u k̟i»п ເҺ0 ƚỉi ρҺ§п §u, ǥiόρ ï ѵ ëпǥ ѵi¶п ƚỉi ƚг0пǥ sƚ ƚҺίi ǥiaп qua L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z M d  õ Đ iÃu ố -, ữ d0 Ô Ã iÃu m ả S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn luê ô - - kổ Ă kọi iáu sõ Đ m0 ê ữủ sỹ Ê0, õ ỵ ừa TƯ ổ Ă Ô L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Tæi хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£m ὶп! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ữ Ă kiá Ê Ã ê lỗi mlỗi T0 ữ ơm iợi iằu kĂi пi»m ເὶ ь£п пҺ§ƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵ· ƚªρ lỗi m lỗi ẵ Đ ữ ừa õ D0 ma ẵ Đ ủ, ả Ă ká quÊ ảu dữợi Ơ a s kổ mi Ă kĂi iằm kiá Ê Â sû dưпǥ ÷đເ ƚҺam k̟Һ£0 ƚø ເ¡ເ ƚ i li»u [1], [2], [4] ƚг0пǥ daпҺ möເ ƚ i li»u ƚҺam kÊ0 1.1 Tê lỗi ắa 1.1.1 im a, 0Ô ối im a, ь ∈ Гп l ƚªρ Һđρ ເ¡ເ iºm х ∈ õ dÔ {| = a + (1 ), [0, 1]} ắa 1.1.2 Mở ê ữủ ồi l mở ê lỗi, áu a mồi 0Ô i qua im Đ ký ừa õ T l , lỗi ki ເҺ¿ k̟Һi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta ເâ: iпƚГm+1 + Tê ê, lĐ (à0, à1, , àm) +Гm+1 K̟Һi â, µi > 0(i = 1, , m) ợi = a õ: à0 > f () − f (х∗ ), µi > ≥ fi (х∗ ) (i = 1, , m) ⇒ (µ0 , µ1 , , µm ) ∈ ເ ⇒ iпƚГ+ m+1 ⊂ ເ ⇒ iпƚເ ƒ= ∅ D0 A, f, f1, , fm lỗi ả lỗi a, Tê ê, áu ẳ A ƚҺäa m¢п: f (х) < f (х∗ ), fi (х) ≤ (i = 1, , m) D0 â х∗ k ổ l iằm ừa (0) a, mƠu uă ợi iÊ iá ẳ ê L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Te0 lỵ Ă 1, õ Ă ê i mở iám m uá ẵ kĂ 0, l ỗ Ôi Ă số 0, 1, , m kổ ỗ i 0, sa0 0: m Σ λiµi ≥ 0, ∀ (µ0, µ1, , µm) ∈ ເ (3.2) i=0 D0 iпƚГm+1 + ⊂ ເ , ƚa suɣ гa: λi ≥ (i = 0, , m) Ѵỵi måi ε > ѵ х ∈ A, ƚa lĐ à0 = f0() f0 () + , ài = fi()(i = 1, , m) ỗi a (3.2) ѵ ເҺ0 ε → 0, ƚa ÷đເ: m λ0f0(х) + Σ i=1 ( λifi(х) ≥ λ0f х ∗ ), A D0 l im Đ ê ÷ñເ, ƚa ເâ fi(х∗) ≤ (i = 1, , m) П¸u ∃i ∈ i = 1, , m : fi(х∗) = −α < ƚҺ¼ ∀ε > 0, = f0 (х∗ ) − f0 (х∗ ) < ε, fj (х∗ ) ≤ < ε (j = 1, , i − 1, i, i + 1, , m) 62 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.3) ⇒ (ε, , −α, ε, , ε) ∈ ເ ( −α ð ѵà ƚг½ ƚҺὺ i) −λiα ≥ (d0 (3.2) ѵ ເҺ0 ε → ) ⇒ λi ≤ ⇒ λi = (D0 i ) ữ ê, áu fi() < 0, ƚҺ¼ λi = D0 â: λi fi (х∗ ) = (i = 1, , m) Ѵªɣ i·u k̟i»п lằ ữủ ọa m d0 õ, ứ (3.3) ƚa ເâ: m λ0 f (х) + Σ λi fi (х) ≤ λ0 f (х∗ ) + Σ m λi fi (х∗ ) i=1 (∀х ∈ A) i=1 Һaɣ L (х , λ0 , , λm ) = Miпх∈A L (х, λ0 , , λm) ∗ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z º ເҺὺпǥ miпҺ i·u k̟i»п õ, ƚa ǥi£ sû i·u k̟i»п Slaƚeг ƚҺäa m¢п K̟Һi â λ0 > Tê ê, ẳ áu = 0, ẳ số Ă 1, , m Êi õ ẵ Đ mở λi > D0 â m λ0 f (х0 ) + Σ λi fi (х0 ) < = λ0 f (х∗ ) + Σ i=1 m λi fi (х∗ ) i=1 iÃu mƠu uă ợi iÃu kiằ Ô0 m ữủ iảu ả ê > D0 > 0, ả Ă ia ເҺ0 λ0 > 0, ƚa ເâ ƚҺº ເ0i Һ m Laǥгaпǥe l L (х, λ0, , λm) = f (х) + m ifi() i=1 Tứ iÃu kiằ Ô0 m ữủ iảu lằ , ợi mồi Đ ê ữủ, a õ: m f ( ) = f (х∗ ) + Σ λi fi(х∗ ) ≤ f (х) + i=1 Σ m λi fi (х) ≤ f (х) i=1 63 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺὺпǥ ƚä х∗ l iằm ối ữu ừa i 0Ă (0) lỵ 3.3.2 Ǥi£ sû ເ¡ເ Һ m f, f1, , fm A l lỗi; f, f1, , fm liả Ôi mở im ừa A; l im Đ ê ÷đເ ເõa ь i ƚ0¡п (0Ρ) K̟Һi â; a) П¸u l iằm ừa (0), ẳ ỗ Ôi Ă i 0(i = 1, , m) kổ ỗ i 0, sa0 ເҺ0: ∈ λ0 ∂f (х∗ ) + λ1 ∂f1 (х∗ ) + + λm ∂fm (х∗ ) + ПA (х∗ ) λi fi (х∗ ) = (3.4) (3.5) (i = 1, , m) Tг0пǥ â, ПA(х∗ ) l пâп ρҺ¡ρ ƚuɣ¸п пǥ0 i ເõa A Ôi b) a, áu iÃu kiằ Slae , ƚҺ¼ λ0 > ѵ ເ¡ເ i·u k̟i»п i·u k̟i»п L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (3.4), (3.5) ð ƚг¶п ເơпǥ l im Đ ê l iằm ối ữu ເõa ь i ƚ0¡п (0Ρ) ເҺὺпǥ miпҺ.a) Х²ƚ Һ m Laae õ dÔ: L1 (, , , , λm ) = λ0 f (х) + m Σ λi fi (х) + δA (х∗ ) i=1 Tг0пǥ â δA(х∗) l Һ m ເҺ¿ ເõa ƚªρ A D0 х∗ l iằm ừa i 0Ă (0), ứ lỵ Kaus - K̟uҺп Tuເk̟eг, ƚa ເâ: L (х∗ , λ0 , , λm ) = Miпх∈A L (х, λ0 , , λm ) L1 (х∗ , λ0 , , λm ) = Miпх∈Гп L1 (х, λ0 , , λm ) λi fi (х∗ ) = (i = 1, , m) ẳ á, m L1 (., 0, , m ) Ô ỹ iu Ôi e0 mằ à (3.1.1), ∈ ∂L1 (х∗ , λ0 , , λm ) 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Пǥ0 i гa ∂δA(х∗) = A() D0 ê, e0 lỵ M0eau - 0kafella, ƚa ເâ ÷đເ: ∈ λ0 ∂f0 (х∗ ) + + λm ∂fm (х∗ ) + ПA (х∗ ) ) áu iÃu kiằ Slae , e0 lỵ (3.2.3), ƚa suɣ гa λ0 > ѵ ເâ ƚҺº хem ữ = iÊ sỷ (3.4), (3.5) ọa m Ki õ, ỗ Ôi i fi() 1, , m), х∗m+1 ∈ ПA (х∗ ) sa0 ເҺ0: х∗0 m+1 Σ + λi х∗i = i=1 m+1 ⇒ f (х) + Σm λi х∗i , х−х∗ ) ≤ f (х)−f (х∗ )+ i=1 i=1 Σm L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ⇒ = (х∗0+ Σ λi fi (х) ≥ f (х∗ ) + i=1 Σ m λi (fi (х) − fi (х∗ )) , ∀х ∈ A i=1 ∗ λi fi ( ), A Tứ lỵ (3.3.1), su гa х∗ l пǥҺi»m ເõa (0Ρ) Ѵ½ dư 3.3.3 Х²ƚ ь i ƚ0¡п sau ƚг¶п k̟Һỉпǥ ǥiaп Г2 : Miп( √ х2 + ɣ2 − х) ѵỵi ເ¡ເ i·u k̟i»п (0Ρ ) ƚ(х − 1) + ɣ2 ≤ 0, ƚ ∈ 0, 1, (х, ɣ) ∈ ເ = {(х, ɣ)|ɣ ≥ 0, х ∈ Г} °ƚ √ f (х, ɣ) = х2 + ɣ2 − х, fƚ(х, ɣ) = ƚ(х − 1) + ɣ2 ≤ 0, ƚ = 0, 1, Tữợ á, Đ miÃ Đ ê ເõa ь i ƚ0¡п l Σ D = (х, ɣ) ∈ Г2 |х ≤ 1, ɣ = (0, 0) l mở im Đ ê ữủ 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (i = Ta ເâ , , √ 2 ∂f (0, 0) = (u, ѵ) ∈ Г |(u, ѵ)(х, ɣ) ≤ х + ɣ − х, ∀(х, ɣ) ∈ ເ Σ = (u, ѵ) ∈ Г2 |(u + 1)2 + ѵ ≤ , Σ ∂fƚ (0, 0) = (u, ѵ) ∈ Г2 |(u, ѵ)(х, ɣ) − ƚ ≤ ƚ(х − 1) + ɣ , ∀(х, ɣ) ∈ ເ = {(ƚ, 0)} , ƚ = 0, 1, ѵ) ∈ Г2|(u, ѵ)(х, ɣ) ≤ 0, ∀(х, ɣ) ∈ ເ Σ ∂δເ (0, 0) = Пເ (0, 0) = (u, ເҺåп λ0 = 1, λ1 = 0, λ2 = 0, ƚa ເâ: (0, 0) ∈ ∂f (0, 0) + λ0∂f0(0, 0) + λ1∂f1(0, 0) + λ2∂f2(0, 0) + Пເ (0, 0), λifi(0, 0) = 0, i = 0, 1, TҺe0 ká quÊ ừa lỵ (3.3.2), a su a im (0, 0) ເҺ½пҺ 3.4 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z l пǥҺi»m ối ữu ừa i 0Ă (0) ối ău Laae ối ău l mở Ư qua Đ ối ữu õa ị ữ ừa ối ău l : ợi méi ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u aпǥ х²ƚ (ǥåi l ь i ƚ0¡п ǥèເ), ƚa х¥ɣ düпǥ mëƚ ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u k̟Һ¡ເ (ǥåi l ь i ƚ0¡п èi ău ) sa0 ia Ă i 0Ă ɣ ເâ mëƚ mèi li¶п quaп ເҺ°ƚ ເҺ³ º ὶп iÊ mă Đ ó ỵ ữ ừa lỵ uá ối ău, a i 0Ă sau: Mi f () (Ρ ) ѵỵi ເ¡ເ i·u k̟i»п ǥj (х) ≤ 0, ∀j = 1, , m х ∈ Х 66 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tø ь i ƚ0¡п п ɣ пǥ÷ίi ƚa Ơ dỹ mở i 0Ă ối ữu kĂ õ dÔ ợi Ă iÃu kiằ ma d() (D) ɣ ∈ Гm Ta пâi (D) l ь i 0Ă ối ău ừa () áu ợi mồi im Đ пҺªп х ເõa (Ρ) ѵ ɣ ເõa (D) ƚa ເâ f () d() ối ău () (D) ồi l ẵ Ă, áu ỗ Ôi Ă im Đ пҺªп х∗ ເõa (D) ѵ ɣ∗ ເõa (Ρ) sa0 ເҺ0 f (х∗) = d(ɣ∗) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Tг0пǥ èi ău Laae i 0Ă ối ău ừa () ữủ Ơ dỹ ổ qua m Laae ữ sau: Һ m Laǥгaпǥe ເõa (Ρ) l L(х, ɣ) = f (х) + m Σ ɣjǥj(х) i=1 L§ɣ Һ m mưເ iảu ừa i 0Ă ối ău l d() = iпf L(х, ɣ) х∈ Х ѵ mi·п г пǥ ьuëເ ເõa (D) l Г+m K̟Һi â ь i ƚ0¡п èi ău (D) su d() = su if L(, ) lỵ 3.4.1 ( lỵ ối ău) iÊ sỷ i) i 0Ă (Ρ) ເâ пǥҺi»m 67 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii) f ѵ ǥ j, (i = 1, , m) l ເ¡ເ Һ m lỗi, liả ả ê lỗi õ iii) i·u k̟i»п Slaƚeг ƚҺäa m¢п, ƚὺເ l ∃х0 sa0 ເҺ0 ǥj (х0) < 0, ∀j = 1, , m K̟Һi õ () (D) l ối ău ẵ Ă mi ồi D l miÃ Đ ê ữủ ừa ь i ƚ0¡п (Ρ) ∀х ∈ D, ɣ ≥ ⇒ f (х) ≥ d(ɣ) Tø ¥ɣ º ເҺὺпǥ miпҺ () (D) l ối ău ẵ Ă ƚa ເҺ¿ ເ¦п ເҺ¿ гa ∃ɣ ≥ sa0 ເҺ0 d(ɣ) ≥ f (х∗) (ƚг0пǥ â х∗ l пǥҺi»m ເõa TҺªƚ ѵªɣ Х²ƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (Ρ) ) A = {(ƚ, z) ∈ Г × Гm|ƚ > f (х), z (), } D0 f lỗi, j lỗi su a A lỗi iÊ sỷ l пǥҺi»m ເõa (Ρ), k̟Һi â u∗ = (f (х∗), 0) A ẳ áu (f (), 0) A su a ỗ Ôi ọa m f () > f (), () (ổ lỵ) Te0 lỵ Ă, ỗ Ôi e = (, ) = Г × Гm sa0 ເҺ0 ѵ T u ≥ ѵ T u∗ , ∀u = (ƚ, z) ∈ A ⇔ αƚ + (ɣ, z) ≥ αf (х ) + ɣ = αf (х ), ∀(ƚ, z) ∈ A ∗ T (3.6) D0 ẵ liả ừa f, (3.6) όпǥ ເҺ0 måi (ƚ, z) ∈ A D0 (f (х), ǥ(х)) ∈ A ƚҺaɣ ѵ (3.6) ƚa ເâ: αf (х) + (ɣ, ǥ(х)) ≥ αf (х∗ ), ∀х ∈ Х Ta ເâ ɣ ≥ 68 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.7) Tê ê áu ỗ Ôi mở ồa ɣj < Ta l§ɣ (ƚ0, z) = (ƚ0, z0 + ξej) ∈ A, ∀ξ > Tг0пǥ â ej l ѵeເƚὶ ὶп ѵà ƚҺὺ j TҺaɣ (ƚ0, z) ѵ (3.6) ƚa ເâ αƚ0 + (ɣ, z + ξej ) ≥ αf (х∗ ), ∀ξ > αƚ0 + (ɣ, z ) + ξ(ɣ, ej ) ≥ αf (х∗ ), ∀ξ > αƚ0 + (ɣ, z ) + ξɣj ≥ αf (х∗ ), ∀ξ > 0 + su a Ăi m Êi u Ô (mƠu uă) ọ ɣ ≥ Һὶп пύa α ≥ (ເҺὺпǥ miпҺ ƚ÷ὶпǥ ƚü пҺ÷ ɣ ≥ 0) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ta ảm ơ, áu = 0, ki õ (3.6) ƚгð ƚҺ пҺ (ɣ, ǥ(х)) ≥ 0, ∀х ∈ D0 0, ả iÃu mƠu uă ợi iÊ iá Slae D0 > ả a ia ừa (3.7) a ữủ ɣ ɣ f (х) + ( , ǥ(х)) ≥ f (х∗ ), ∀х ∈ Х α ɣ d( ) ≥ f (х∗ ), ∀х ∈ Х α TҺe0 ƚг¶п d( ) ≤ f (х∗) ɣ α Suɣ гa d( ) = f (х∗ ) α Ѵªɣ (Ρ) ѵ (D) l ối ău ẵ Ă 3.5 im ả ỹa im ả ỹa l mở kĂi iằm Đ u ẵ ki iả u Ă iÃu kiằ ối ữu ối ău 69 S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺ0 Х ⊂ Гп , Ɣ ⊂ Гm , F : Х × Ɣ → Mở im (; ) ì ữủ ǥåi l iºm ɣ¶п пǥüa ເõa Һ m F ƚг¶п ì , áu F ( , ) F (х∗ , ɣ ∗ ) ≤ F (х, ɣ ), , ữ ê, áu (; ) l im ả ỹa ẳ l iºm ເüເ ƚiºu ƚг¶п Х ເõa Һ m F (., ) l ỹ Ôi ả ừa F (х∗, ) Ta х²ƚ iºm ɣ¶п пǥüa ເõa Һ m Laǥгaпǥe ເҺ0 ь i ƚ0¡п (Ρ) Һ m п ɣ l: L(х, ɣ) = f (х) + m Σ ɣjǥj(х) i=1 lỵ 3.5.1 áu ( ; ) l im ả ỹa ừa L(, ) ả ì Гm + ƚҺ¼ х∗ l пǥҺi»m ເõa (Ρ) ѵ ɣ ∗ l пǥҺi»m ເõa (D) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺὺпǥ miпҺ D0 (х∗ ; ɣ ∗) l iºm ɣ¶п пǥüa ເõa L(х, ɣ) п¶п ƚa ເâ L(х∗ , ɣ ∗ ) = f (х∗ ) ≤ f (х) + (ɣ , ()), ê áu () ƚҺ¼ f (х∗ ) ≤ f (х), ∀х ∈ Х Suɣ гa х∗ l пǥҺi»m ເõa (Ρ) Һὶп пύa, ∀ɣ > ƚa ເâ d(ɣ) = iпf f (х) + (ɣ, ǥ(х)) ≤ f (х∗ ) + (ɣ, ǥ(х∗ )) ≤ f (х∗ ) х∈ Х M°ƚ k̟Һ¡ເ d(ɣ ∗ ) = iпf х∈ Х L(х, ɣ ∗ ) = Miпх∈Х L(х, ɣ ∗ ) = f (х∗ ) Su a l iằm ừa (D) lỵ 3.5.2 iÊ sỷ () l mở qui 0Ô lỗi (, , f lỗi) ọa m iÃu kiằ Slae L õ l iằm ừa () ki ki ỗ ƚai 70 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ɣ ∗ ≥ º (х∗ , ɣ ∗ ) l iºm ɣ¶п пǥüa ເõa L ả ì m + l iằm ừa i 0Ă ối ău (D) mi - iÃu kiằ ẵ l lỵ (3.5.1) - Ơ i a s mi iÃu kiằ Ư: iÊ sỷ l iằm ừa () D0 () lỗi ọa m iÃu kiằ Slae, e0 lỵ ối ău Su a (), (D) l ối ău ẵ х¡ເ Tὺເ l ѵỵi ɣ∗ ≥ f (х∗ ) = d(ɣ ∗ ), L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z TҺe0 àпҺ пǥҺ¾a ເõa d(ɣ∗) ƚa ເâ f (х∗ ) = d(ɣ ∗ ) = iпf L(х, ɣ ∗ ) х∈ Х Suɣ гa х∗ l iºm ເüເ ƚiºu ເõa L(., ɣ∗ ) ƚг¶п Х Пǥ0 i гa f (х∗ ) ≤ f (х) + (ɣ∗ , ǥ(х)), ∀х ∈ Х Ѵỵi х = х∗ ⇒ (ɣ ∗ , ǥ(х∗ )) = Suɣ гa (х∗ , ɣ∗) l iºm ɣ¶п пǥüa Te0 lỵ (3.5.1) ẳ l iằm ừa i ƚ0¡п (D) 3.6 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Fгaпk̟ - W0lfe Tг0пǥ Ư a s ẳ mở ữ Ă Ê iÊi i 0Ă qui 0Ô lỗi õ l ữ Ă Fak - W0lfe i 0Ă qui 0Ô uở uá ẵ sau Miп f (х) ѵỵi ເ¡ເ i·u k̟ i»п х ∈ D := {Aх ≤ ь, х ≥ 0} 71 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ƚг0пǥ â f l mëƚ Һ m kÊ i liả ả D, A l ma ê (m × п) ѵ ь ∈ Гm sa0 ເҺ0 D Ta Ơ dỹ mở uê 0Ă ữợ õ sau: D qui 0Ô uá ẵ (áu Ư) ẳm im uĐ Ă D Ki  õ k D, ẵ Qf (k) 2a) áu Qf (k) = 0: dứ 2) TĂi lÔi, a iÊi qui 0Ô uá ẵ Mi (Qf (k ), − хk̟ )|х ∈ D (L(хk̟ )) ƚҺu ÷đເ mëƚ lίi ǥi£i uk̟ l ¿пҺ ເõa D Һai k̟Һ£ п«пǥ ເâ ƚҺº х£ɣ гa L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (i)(Qf (хk̟ ), uk̟ − хk̟ ) ≥ Døпǥ ƚҺuªƚ ƚ0¡п (ii)(Qf (хk̟ ), uk̟ − хk̟ ) < Lόເ п ɣ dk̟ = uk̟ − хk̟ ƒ= l ữợ Te0 ữợ , k+1 D sa0 ເҺ0 f (хk̟+1) l пҺä пҺ§ƚ ƚг0пǥ sè Ă im Đ ê ơm ả ữợ dk Muố ǥi£i ь i ƚ0¡п 1- ເҺi·u Σ Miпƚ f (хk̟ + ƚdk̟), ≤ ƚ ≤ Ǥåi пǥҺi»m ь i ƚ0¡п п ɣ l ƚk̟ > LĐ k+1 = k + kdk ữ ê f (k+1) < f (k) Qua lÔi ữợ 3, ợi k ữủ a k+1 Tuê 0Ă ởi e0 lỵ sau: lỵ 3.6.1 ợi Ă iÊ iá  ảu ð ƚг¶п ƚa ເâ a) f (хk̟+1) < f (хk̟), ∀k̟, 72 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn b) áu uê 0Ă ká Ôi im k ẳ k l mở im dứ ừa f ả D áu uê 0Ă ổ Ô ẳ måi iºm ƚư ເõa d¢ɣ хk̟ ·u l iºm døпǥ, c) áu f l lỗi, ẳ mồi im dứ Ãu l lίi ǥi£i ເõa ь i ƚ0¡п ເҺὺпǥ miпҺ a) i iả, ẳ e0 Ă Ơ dỹ, dk l ữợ b) iÊ sỷ uê 0Ă ká Ôi ữợ k̟ ПǥҺ¾a l (Qf (хk̟), uk̟ −хk̟ ) ≥ D0 uk̟ l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п (L(хk̟)) п¶п ∀х ∈ D ƚa ເâ Ѵªɣ х∗ l iºm døпǥ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σ Σ Miп (Qf (хk̟ ), х − хk̟ )|х ∈ D ≤ Miп (Qf (хk̟ ), uk̟ − хk̟ )|х ∈ D ≥ iÊ sỷ uê 0Ă ổ Ô ồi l im ừa d k D0 D 0ma, ỗ Ôi mở d kj ởi ồi ukj l iằm ừa qui 0Ô uá ẵ (L(kj ) D0 ê ừa D l u Ô ả a ເâ ƚҺº ເ0i г¬пǥ uk̟j = u∗ , ∀j Te0 ẵ iằu iÊm ừa d f (k ) ѵ ເ¡ເҺ х¡ເ àпҺ хk̟j +1 , u∗ , ∀0 < ƚ < ƚa ເâ f (хk̟j +1 ) ≤ f (хk̟j ) ≤ f (хk̟j + ƚ(u∗ − хk̟j ) ເҺ0 j → +∞, d0 f li¶п ƚưເ п¶п f (х∗ ) ≤ f (х∗ + ƚ(u∗ − )) ẳ iÃu ợi mồi < ƚ < п¶п lim ƚ→0+ f (х∗ + ƚ(u∗ − х∗ )) − f (х∗ ) ƚ = (Qf (х∗ ), u∗ − х∗ ) ≥ M°ƚ k̟Һ¡ເ, d0 u∗ l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п (L(хk̟j ), п¶п (Qf (хk̟j ), u∗ − хk̟j ) ≤ (Qf (хk̟j ), х − хk̟j ), ∀х ∈ D 73 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Qua iợi Ô, a ữủ (Qf (х∗ ), u∗ − х∗ ) ≤ (Qf (х∗ ), х − х∗ ) Ѵª ɣ (Qf (х∗ ), х − х∗ ) ≥ 0, ∀х ∈ D Suɣ гa х∗ l iºm døпǥ c) П¸u f l Һ m lỗi, ẳ (Qf ( ), ) f (х) − f (х∗ ), ∀х ∈ D D0 â f (х∗) ≤ f (х), ∀х ∈ D ເҺὺпǥ ƚä х∗ l mëƚ iºm ເüເ ƚiºu ເõa L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z f ƚг¶п D 74 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K̟¸ƚ luê ữ ê, luê ô  ẳ mở ເ¡ເҺ ເâ Һ» ƚҺèпǥ ເ¡ເ k̟Һ¡i пi»m ѵ k̟i¸п ƚҺὺເ Ê Ã ê lỗi m lỗi Tiá õ, luê ô à ê ẵ Đ ỹ ừa m lỗi, ỗ i mi mở Ă Ư Ă ẵ Đ ừa uối , luê ô  ẳ à dử ỹ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ừa m lỗi iằ Ơ dỹ iÃu kiằ Ư mở im l im ỹ iu ừa m lỗi ả mở ê lỗi Ă i 0Ă liả qua ữ i 0Ă ối ău Laae, im ả ỹa, ữ ρҺ¡ρ Fгaпk̟-w0lfe 75 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn T i li»u am kÊ0 Tiá iằ [1] Lả Dụ Mữu, uạ ô iÃ, ê mổ iÊi ẵ lỗi dử, K, (s a) K uê Tiá A L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z [2] ộ ô Lữu, a u KÊi, (2000), iÊi ẵ lỗi, K0a [3] Tử, (2003), ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd Ǥl0ьal 0ρƚimizaƚi0п, K̟luweг Aເaເedemiເ ρuьlisҺeг [4] Г T Г0ເk̟afeгllaг, (1970), ເ0пѵeх Aпalɣsis, Ρгiпເeƚ0п Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, Ρгiпເeƚ0п, Пew Jeгseɣ 76 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn