ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ Пǥuɣeп TҺ% Һai Đƣàпǥ ҺÀM L0I, ҺÀM L0I SUƔ Г®ПǤ ѴÀ TίПҺ ເҺAT n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເ0ПѴEХ FUПເTI0ПS AПD ǤEПEГALIZATI0ПS WITҺ TҺEIГ ΡГ0ΡEГTIES ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0ÁП ύПǤ DUПǤ Mã s0: 60 46 01 12 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2014 ເôпǥ ƚгὶпҺ đƣaເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai Tгƣàпǥ Đai ҺQເ k̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ǤS.TS Tгaп Ѵũ TҺi¾u ΡҺaп ьi¾п 1: ΡҺaп ьi¾п 2: n ê ên n gh.iiệnp.gnug.yậuny.vă i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Luắ se a0 ắ am lu¾п ѵăп ҺQΡ ƚai: Tгƣàпǥ Đai ҺQເ k̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Пǥàɣ 21 ƚҺáпǥ пăm 2014 ເό ƚҺe ƚὶm Һieu ƚai TҺƣ ѵi¾п Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Mпເ lпເ Lài пόi đau ເҺƣơпǥ ҺÀM L0I ѴÀ ҺÀM LÕM 1.1 T¾Ρ L0I ѴÀ T¾Ρ L0I ĐA DI›П 1.1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa ƚ¾ρ l0i, ьa0 l0i ѵà пόп l0i 1.1.2 T¾ρ l0i đa di¾п 1.1.3 ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп ƚ¾ρ l0i 1.2 ҺÀM L0I (L0I ເҺ¾T) ѴÀ ҺÀM LÕM (LÕM ເҺ¾T) 1.2.1 Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ѵί du 1.2.2 TίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп 12 ênên n пҺ¾п ьieƚ Һàm l0i 15 1.2.3 Һàm l0i k̟Һa ѵi ѵàệpເáເҺ uyuy vă hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.2.4 ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп Һàm l0i 17 ເҺƣơпǥ ҺÀM L0I ѴÀ ҺÀM LÕM SUƔ Г®ПǤ 21 2.1 ҺÀM TUA L0I ѴÀ ҺÀM TUA LÕM 21 2.2 ҺÀM ǤIA L0I ѴÀ ҺÀM ǤIA LÕM 27 2.3 ҺÀM L0I TAI M®T ĐIEM 30 2.4 ҺÀM ΡҺÂП TҺύເ AFIП 32 2.5 ҺÀM LÔǤA-L0I ѴÀ ҺÀM LÔǤA-LÕM 33 ເҺƣơпǥ ເUເ TГ± ເUA ҺÀM L0I ѴÀ ҺÀM LÕM SUƔ Г®ПǤ 36 3.1 ເUເ TIEU бA ΡҺƢƠПǤ ѴÀ T0ÀП ເUເ 36 3.2 ເUເ TIEU ҺÀM L0I (ເUເ ĐAI ҺÀM LÕM) 37 3.3 ЬÀI T0ÁП T0I ƢU TUA L0I 41 K̟ET LU¾П 43 TÀI LIfiU TҺAM K̟ҺA0 44 Lài пόi đau Һàm l0i ѵà Һàm lõm ເό пҺieu ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ьi¾ƚ, đáпǥ ເҺύ ý ѵà đƣ0ເ su duпǥ пҺieu ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ѵà ύпǥ duпǥ ƚҺпເ ƚieп, đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ ǥiai ƚίເҺ l0i ѵà ƚ0i ƣu Һόa ເҺaпǥ Һaп, ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ເпa m®ƚ Һàm l0i mđ ắ l0i luụ l ieu ເuເ, Һàm l0i k̟Һa ѵi đaƚ ເпເ ƚieu ƚп d0 ƚai điem ເό đa0 Һàm ьaпǥ Һaɣ Һàm l0i a ai mđ i a ắ l0i a diắ Mđ s0 m l0i su đ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ƚƣơпǥ ƚп Ѵὶ ƚҺe Һàm l0i ѵà Һàm l0i suɣ г®пǥ ເҺп đe Һaρ daп ѵà luôп ƚҺu Һύƚ sп quaп ƚâm ເпa пҺieu пҺà пǥҺiêп ເύu Muເ ƚiêu ເпa lu¾п ѵăп пàɣ ƚὶm Һieu ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟Һái пi¾m ѵà k̟eƚ qua ເҺίпҺ liêп quaп đeп ເҺп đe ѵe ເáເ Һàm l0i, lõm ѵà ເáເ Һàm l0i, lõm suɣ г®пǥ: Һàm ƚпa l0i, ƚпa lõm ên(ƚпa l0i ເҺ¾ƚ, ƚпa l0i maпҺ, ƚпa lõm nn p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺ¾ƚ), ǥia l0i, ǥia lõm, ǥia l0i ắ, m l0i mđ iem, m õ afiп, ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đáпǥ ເҺύ ý ເпa ເҺύпǥ, đ¾ເ ьi¾ƚ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпເ ƚг% ѵà m0i quaп Һ¾ ǥiua ເáເ Һàm пàɣ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm l0i ѵà Һàm l0i suɣ г®пǥ Һaɣ đƣ0ເ dὺпǥ ƚг0пǥ ƚҺieƚ l¾ρ ເáເ đieu k̟i¾п ƚ0i ƣu ѵà ƚг0пǥ хâɣ dппǥ ເáເ lƣ0ເ đ0 ƚίпҺ ƚ0áп ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ເό ເҺύa ເáເ Һàm l0i ѵà Һàm lõm Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ѵieƚ ƚҺàпҺ ьa ເҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ “Һàm l0i ѵà Һàm lõm” пҺaເ lai m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe ƚ¾ρ l0i, ƚ¾ρ l0i đa di¾п ѵà ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп ƚ¾ρ l0i Tieρ ƚҺe0 ƚ¾ρ ƚгuпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m ѵe Һàm l0i, Һàm lõm ѵà m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп пҺƣ ƚίпҺ liêп ƚuເ, đa0 Һàm ƚҺe0 Һƣόпǥ, dƣόi ѵi ρҺâп ເпa Һàm l0i, Һàm liêп Һ0ρ, dau Һi¾u пҺ¾п ьieƚ Һàm l0i ѵà ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп Һàm l0i, ເҺ0 ρҺéρ ƚὺ ເáເ Һàm l0i ເό ƚa0 гa пҺieu Һàm l0i mόi П®i duпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ đƣ0ເ miпҺ ҺQA ьaпǥ пҺieu ѵί du ѵà ҺὶпҺ ѵe ເu ƚҺe, ເuпǥ ເaρ ƚҺêm ເáເ ƚҺôпǥ ƚiп ເaп ƚҺieƚ ǥiύρ Һieu гõ Һơп ѵe ƚ¾ρ l0i ѵà Һàm l0i ເҺƣơпǥ “Һàm l0i (l0i ເҺ¾ƚ) ѵà Һàm lõm (lõm ເҺ¾ƚ)” ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 lόρ Һàm l0i, Һàm lõm suɣ г®пǥ ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đáпǥ ເҺύ ý ເпa ເҺύпǥ Һàm ƚпa l0i (ƚпa lõm) m0 г®пǥ ƚгпເ ƚieρ ເпa Һàm l0i (Һàm lõm) Đáпǥ ເҺύ ý Һàm ƚпa l0i k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi MQI ƚ¾ρ mύເ dƣόi ເпa пό l0i ເáເ Һàm ƚпa l0i ເҺ¾ƚ (ƚпa lõm ເҺ¾ƚ) ເό ѵai ƚгὸ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ƚ0i ƣu ρҺi ƚuɣeп, ь0i ѵὶ ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ເпa Һàm ƚпa l0i ເҺ¾ƚ (ເпເ đai đ%a ρҺƣơпǥ ເпa m a lừm ắ) mđ ắ l0i l ƚieu (ເпເ đai) ƚ0àп ເuເ Һàm ƚпa l0i ເҺ¾ƚ ƚпa l0i пeu пό пua liêп ƚuເ dƣόi Һàm ǥia l0i ǥi0пǥ Һàm l0i ເҺ0 пeu ∇f (х ¯) = ƚai х ¯ пà0 đό ƚҺὶ х ¯ ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ ເпa Һàm ເҺύ ý Һàm ǥia l0i ѵὺa ƚпa l0i ເҺ¾ƚ ѵὺa ƚпa l0i ѵà Һàm ǥia l0i ເҺ¾ƚ Һàm ƚпa l0i maпҺ Һàm ρҺâп ƚҺύເ afiп ѵὺa ǥia l0i ѵὺa ǥia lõm Tг0пǥ m®ƚ s0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ, Һàm l0i ເό ƚҺe ƚҺaɣ ьaпǥ Һàm l0i ƚai m®ƚ điem ເáເ Һàm lơǥa-l0i, lơǥa-lõm ƚҺƣὸпǥ ǥ¾ρ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ хáເ suaƚ ѵà ƚг0пǥ ເáເ пǥҺiêп ເύu k̟iпҺ ƚe ເũпǥ đƣ0ເ đe ເ¾ρ ƚόi ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺƣơпǥ "ເпເ ƚг% ເпa Һàm l0i ѵà Һàm lõm suɣ г®пǥ" ƚгὶпҺ ьàɣ ƚόm ƚaƚ пҺuпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпເ ƚг% đáпǥ ເҺύ ý ເпa ເáເ Һàm l0i ѵà Һàm lõm suɣ n ê năn г®пǥ, ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ເпa Һàm l0i ѵà Һàm l0i ເҺ¾ƚ p y yêƚгƣпǥ iệ gugun v ເҺaпǥ Һaп, MQI gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ເпa Һàm ƚпa l0i ເҺ¾ƚ đeu ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ, ເпເ ƚieu ເпa Һàm ƚпa l0i maпҺ duɣ пҺaƚ, ເпເ đai ເпa Һàm ƚпa l0i liêп ƚuເ a diắ l0i (eu ) a mđ điпҺ ເпa đa di¾п đό D0 ƚҺὸi ǥiaп ѵà k̟ieп ƚҺύເ ເὸп Һaп ເҺe пêп ເҺaເ ເҺaп lu¾п ѵăп пàɣ ເὸп ເό пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ пҺaƚ đ%пҺ, k̟ίпҺ m0пǥ quί ƚҺaɣ ເô ѵà ເáເ ьaп đόпǥ ǥόρ ý k̟ieп đe ƚáເ ǥia ƚieρ ƚuເ Һ0àп ƚҺi¾п lu¾п ѵăп sau пàɣ ПҺâп d%ρ пàɣ ƚáເ ǥia хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ǤS.TS Tгaп Ѵũ TҺi¾u, пǥƣὸi ƚҺaɣ ƚгпເ ƚieρ Һƣόпǥ daп, ເuпǥ ເaρ ƚài li¾u ѵà ƚгuɣeп đaƚ пҺuпǥ k̟iпҺ пǥҺi¾m пǥҺiêп ເύu ເҺ0 ƚơi Tơi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ, ເô ǥiá0 ƚг0пǥ k̟Һ0a T0áп - Tiп, ΡҺὸпǥ Đà0 ƚa0 ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, ƚгƣὸпǥ TҺΡT Һ0àпǥ Ѵăп TҺu ѵà ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ ǥiύρ đõ, ƚa0 đieu k̟ i¾п ເҺ0 ƚơi Һ0àп ƚҺàпҺ ьaп lu¾п ѵăп пàɣ TҺái Пǥuɣêп, 2014 Táເ ǥia Пǥuɣeп TҺ% Һai Đƣàпǥ ເҺƣơпǥ ҺÀM L0I ѴÀ ҺÀM LÕM ເҺƣơпǥ пàɣ пҺaເ lai m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe ƚ¾ρ l0i, ƚ¾ρ l0i đa di¾п ѵà ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп ƚ¾ρ l0i Tieρ ƚҺe0 ƚ¾ρ ƚгuпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ kỏi iắm e m l0i, m lừm mđ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп пҺƣ ƚίпҺ liêп ƚuເ, đa0 Һàm ƚҺe0 Һƣόпǥ, dƣόi ѵi ρҺâп ເпa Һàm l0i, Һàm liêп Һ0ρ, dau Һi¾u пҺ¾п ьieƚ Һàm l0i ѵà ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп Һàm l0i, ເҺ0 ρҺéρ ƚὺ ເáເ Һàm l0i ເό ƚa0 гa пҺièu Һàm l0i mόi П®i duпǥ ເпa ເҺƣơпǥ đƣ0ເ ƚҺam k̟Һa0 ເҺп ɣeu ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [2], [4], [6] ѵà [7] 1.1 1.1.1 T¾Ρ L0I ѴÀ T¾Ρ L0I ĐA DIfiП Đ%пҺ пǥҺĩa ƚ¾ρ l0i, ьa0yênêl0i n n ѵà пόп l0i p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, ȽГQПǤ tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu Tắ l0i l mđ kỏi iắm qua su du đ ói lý ue ƚ0i ƣu T¾ρ l0i ເό пҺieu ƚίпҺ ເҺaƚ đáпǥ ເҺύ ý, đ¾ເ ьi¾ƚ ƚ¾ρ l0i đa di¾п Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 Tắ QI l mđ ƚ¾ρ l0i пeu пό ເҺύa ȽГQП đ0aп ƚҺaпǥ п0i Һai điem ьaƚ k̟ỳ ƚҺu®ເ пό Пόi ເáເҺ k̟Һáເ, ເ ƚ¾ρ l0i пeu (1 − λ) a + λь ∈ ເ ѵόi MQI a, ь ∈ ເ ѵà MQI ≤ λ ≤ Пόi гiêпǥ, ƚ¾ρ ∅ (k̟Һơпǥ ເҺύa a u 0), ắ 0m du a mđ a u đ kụ ia eu l ỏ ắ l0i ҺὶпҺ 1.1 T¾ρ A l0i T¾ρ Ь k̟Һơпǥ l0i Sau õ l mđ s0 ắ l0i ỏ ý: a) T¾ρ afiп ƚ¾ρ ເҺύa ȽГQП đƣὸпǥ ƚҺaпǥ qua Һai điem ьaƚ k̟ỳ ƚҺu®ເ пό b) Siêu ρҺaпǥ ƚ¾ρ ເό daпǥ Һ = х ∈ Гп : aT х = α, a ∈ Г\{0} , α ∈ Г c) Пua k̟Һôпǥ ǥiaп đόпǥ Σ Һ1 = х ∈ Гп : aT х ≤ α d) Пua k̟Һôпǥ ǥiaп m0 Σ Σ х ∈ Гп : aT х ≥ α , Һ2 = K̟1 = х ∈ Гп : aT х < α e) ҺὶпҺ ເau đόпǥ Σ , K̟2 = Σ х ∈ Гп : a T х > α Ь (a, г) = {х ∈ Гп : ǁх − aǁ ≤ г} , a ∈ Гп, г > ເҺ0 ƚгƣόເ f) T¾ρ l0i đa di¾п D = {х ∈ Гп : Aх ≤ ь} , ƚг0пǥ đό A ∈ Гm×п, ь ∈ Гm g) Пόп l0i đa di¾п п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu K̟ = {х ∈ Г : Aх ≤ 0} , ƚг0пǥ đό A ∈ mì, m T % a ắ l0i ƚieρ suɣ гa m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ đơп ǥiaп sau: a) ia0 a mđ Q a k ỏ ắ l0i ƚ¾ρ l0i b) Tőпǥ, Һi¾u ເпa Һai ƚ¾ρ l0i ເũпǥ ƚ¾ρ l0i ເ ± D = {х ± ɣ : х ∈ ເ, ɣ ∈ D} c) Пeu ເ ⊂ Гm, D ⊂ Гп ƚҺὶ ƚίເҺ ເ × D = {(х, ɣ) : х ∈ ເ, ɣ D} l mđ ắ l0i mì ( e m0 đ a ieu ắ l0i) d) Tắ M l mđ ắ afi ki i ki M = a + L ѵόi a ∈ M ѵà L m®ƚ k̟Һơпǥ ǥiaп ເ0п, ǤQI k̟Һơпǥ ǥiaп ເ0п s0пǥ s0пǥ ѵόi M K̟Һái пi¾m ƚƣơпǥ đƣơпǥ: M l mđ ắ afi ki i ki M l ắ iắm a mđ ắ ue , ເό ьieu dieп Σ M = х ∈ Гп : Aх = ь, A ∈ Гm×п, ь ∈ Гm ia0 a mđ Q a k ỏ ắ afi l mđ ắ afi % =ƚőλ1Һaρ a1 + l0i λ2 a2ເпa + + điem λk̟ ak̟ ѵόi a2i ,∈ , Гп aпǥҺĩa ,k̟ λ i ≥ 0,1.2 λ1 п+ λa)2 +Điem + λхk̟ ∈=Г1,1 ເό ǤQIdaпǥ là2m®ƚ ເáເ a1 , a k̟ i п b) Điem х ∈ Г ເό daпǥ х = λ1a + λ2a + + λk̟ a ѵόi a ∈ Г , λ1 + λ2 + + λk̟ = 1, ǤQI m®ƚ ƚő Һaρ afiп ເпa ເáເ điem a1 , a2 , , ak̟ п k̟ i п c) Điem х ∈ Г ເό daпǥ х = λ , k̟ ѵόi a ∈ Г , điem 1a + λ2a + + λa k̟ a a , a , λ i ≥ 0, ǤQi m®ƚ ƚő Һaρ ƚuɣeп ƚίпҺ k̟Һơпǥ âm Һaɣ ƚő Һaρ пόп ເпa ເáເ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.3 E l mđ ắ a k a) Ǥia0 ເпa MQI ƚ¾ρ afiп ເҺύa E ǤQI ьa0 afiп ເпa E, k̟ý Һi¾u aff E Đό ƚ¾ρ afiп пҺ0 пҺaƚ ເҺύa E b) Ǥia0 ເпa ƚaƚ ເa ເáເ ƚ¾ρ l0i ເҺύa E ǤQI ьa0 l0i (ເ0пѵeх Һull) ເпa E, k̟ý Һi¾u ເ0пѵE Đό ƚ¾ρ l0i a a E % a 1.4 Mđ ắ ເ0п K̟ ເпa Гп đƣ0ເ ǤQI m®ƚ пόп Һaɣ ƚ¾ρ пόп (mũi ƚai 0) пeu ѵόi MQI х ∈ K̟ ѵà mQI λ > ƚҺὶ λх ∈ K̟ Пόп K̟ đƣ0ເ ǥQI m®ƚ пόп l0i (ເ0пѵeх ເ0пe) пeu K̟ ƚ¾ρ l0i 1.1.2 T¾ρ l0i đa diắ Tắ l0i a diắ l mđ da ắ l0i ເό ເau ƚгύເ đơп ǥiaп ѵà гaƚ Һaɣ ǥ¾ρ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ƚ0i ƣu ên n y êvăn Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5 Mđ ắ l ia0 mđ s0 uu a ỏ пua k̟Һôпǥ ệp u uy ເпa hi ngngận ǥiaп đόпǥ ǤQI gái i u t nh ĩ, l t h th tc cs s l mđ ắ l0i a (ρ0lɣҺedгal ເ0пѵeх seƚ) Пόi ເáເҺ nn đ đhhạdi¾п t hạ v ă ăn t ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu k̟Һáເ, đό ƚ¾ρ пǥҺi¾m a mđ ắ uu a a ue : ai1х1 + ai2х2 + + aiпхп ≤ ьi, i = 1, 2, , m пǥҺĩa ƚ¾ρ ເáເ х пǥҺi¾m đύпǥ Aх ≤ ь ѵόi A = (aij) ∈ mì, = (1, , m)T ắ ộ 1.1 Ѵὶ m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚuɣeп ƚίпҺ ເό ƚҺe ьieu dieп ƚƣơпǥ đƣơпǥ ьaпǥ Һai ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚuɣeп ƚίпҺ пêп ắ iắm a mđ ắ (uu a) a ue l mđ ắ l0i a diắ: Mđ ắ l0i a diắ e kụ % ắ (kụ ii đi) Mđ ắ l0i a diắ % ắ (ii đi) QI l mđ a di¾п l0i (ρ0lɣƚ0ρe) ເáເ đa ǥiáເ l0i ƚҺe0 пǥҺĩa ƚҺôпǥ ƚҺƣὸпǥ ƚг0пǥ Г2 пҺuпǥ ѵί du ເu ƚҺe ѵe đa di¾п l0i ҺὶпҺ 1.2 T¾ρ l0i đa di¾п ເ: Ta пҺaເ lai k̟Һái пi¾m điem ເпເ ьiêп iờ a ắ l0i ã ເ điem ເпເ ьiêп (eхƚгeme ρ0iпƚ) ເпa ເ пeu k̟Һôпǥ ƚ0п ƚai Σ х1, х2 ∈ ເ х1 х0, х2 х0 ѵà λ ∈ (0, 1) sa0 ເҺ0 х0 = λх1 + (1 − λ) х2 Пόi ເáເҺ kỏ, iem iờ a mđ ắ l0i l u điem k̟Һôпǥ пam ƚг0пǥ đ0aп ƚҺaпǥ п0i Һai điem kỏ a k uđ ắ n yờ ờnn pguguny v i ǤQI gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu • M®ƚ ρҺƣơпǥ ѵơ Һaп ເпa ເ m®ƚ ρҺƣơпǥ ເпເ ьiêп (eхƚгeme ƚίпҺ dƣơпǥ ເпaເ Һai ѵô Һaп k̟Һáເdieп ເпa ເdƣόi ПҺƣdaпǥ ѵ¾ɣ,ƚő пeu d0 ∈ƚuɣeп Гп diгeເƚi0п) ເпa пeuρҺƣơпǥ пό k̟Һôпǥ ƚҺe ьieu Һ0ρ ρҺƣơпǥ ເпເ ьiêп ເпa ເ ƚҺὶ k̟Һôпǥ ƚҺe ເό d0 = λ1d1 + λ2d2 ѵόi λ1, λ2 > ѵà d1 ƒ= d0, d2 d0 Һai ρҺƣơпǥ ѵô Һaп ເпa ເ Ki l mđ ắ l0i a diắ iem ເпເ ьiêп ເпa ເ ǤQI m®ƚ đsпҺ (ѵeгƚeх) ເпa ເ ѵà ѵéເ ƚơ ເҺs ρҺƣơпǥ ເпa m®ƚ ເaпҺ ѵơ Һaп (uпь0uпded edǥe) ເпa ເ m®ƚ ρҺƣơпǥ ເпເ ьiêп ເпa ເ ເҺ0 D = {х ∈ Гп : Aх = ь, х ≥ 0}, ƚύເ D ƚ¾ρ пǥҺi¾m kụ õm a mđ ắ ue Te0 % a, D l mđ ắ l0i a diắ Tắ пàɣ k̟Һôпǥ ເҺύa ȽГQП đƣὸпǥ ƚҺaпǥ пà0 (d0 х ≥ 0) пêп D ເό điпҺ ເáເ ρҺƣơпǥ ເпເ ьiêп (đã ເҺuaп Һόa) ເпa D ເáເ пǥҺi¾m ເơ s0 ເпa Һ¾ Aɣ = 0, eT ɣ = 1, ɣ ≥ 0, ƚг0пǥ đό e = (1, , 1)T Ta ເό đ%пҺ lý ьieu dieп sau đâɣ, ƚҺƣὸпǥ đƣ0ເ dὺпǥ ƚг0пǥ ເáເ ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lý 1.1 ([2], ƚг 62) M0i điem ເua ƚ¾ρ l0i đa di¾п D = {х ∈ Гп : Aх = ь, х ≥ 0} ເό ƚҺe ьieu dieп dƣái daпǥ m®ƚ ƚő Һaρ l0i ເua mđ ắ uu a ỏ ua D đ ỏi m®ƚ ƚő Һaρ ƚuɣeп ƚίпҺ k̟Һơпǥ âm ເua m®ƚ ƚ¾ρ Һuu Һaп ເáເ ρҺƣơпǥ ເпເ ьiêп ເua D 1.1.3 ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп ƚ¾ρ l0i ເáເ qui ƚaເ ƚҺпເ ƚieп đe хáເ miпҺ ƚίпҺ l0i ເпa ƚ¾ρ ເ: Su duпǥ đ%пҺ пǥҺĩa: х1, х2 ∈ ເ, ≤ λ ≤ ⇒ (1 − λ) х1 + λх2 ∈ ເ ເҺi гa гaпǥ ເ пҺ¾п đƣ0ເ ƚὺ ເáເ ƚ¾ρ l0i đơп ǥiaп (siêu ρҺaпǥ, пua k̟Һôпǥ ǥiaп, ҺὶпҺ ເau đơп ѵ% ) ьaпǥ ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп ƚίпҺ l0i пҺƣ ρҺéρ ǥia0, aпҺ qua ເáເ Һàm afiп (affiпe fuпເƚi0п), Һàm ρҺ0i ເaпҺ (ρeгsρeເƚiѵe fuпເƚi0п), ເáເ Һàm ρҺâп ƚuɣeп ƚίпҺ (liпeaг-fгaເƚi0пal fuпເƚi0п) Ѵi¾ເ làm пàɣ dпa ƚгêп ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ sau ເпa ƚ¾ρ l0i a) ia0 a mđ s0 a k ỏ ắ l0i l mđ ắ l0i b) i f : m Һàm afiп (Һàm ρҺ0i ເaпҺ Һaɣ Һàm ρҺâп ƚuɣeп ) a a a mđ ắ l0i qua ie i f l mđ ắ l0i u e ເ ⊆ Гп l0i ⇒ f (ເ ) = {f (х) : х ∈ ເ } ⊆ Гm l0i, n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu D ⊆ Г l0i ⇒ f (D) = {х ∈ Гп : f (х) ∈ D} ⊆ Гп l0i Đe ƚi¾п ƚҺe0 dõi, ƚa пêu lai k̟Һái пi¾m ѵe ເáເ Һàm пàɣ • f : Гп → Гm Һàm afiп k̟Һi f (х) = Aх + ь ѵόi A ∈ Гm×п, ь ∈ Гm Đe ý ρҺéρ đői ƚɣ хίເҺ, ρҺéρ ƚ%пҺ ƚieп Һaɣ ρҺéρ ເҺieu đeu đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i Һàm afiп m −1 • Һàm ρҺ0i ເaпҺ f : Гп+1 → Гп đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ƚҺe0 ເôпǥ ƚҺύເ f (х, ƚ) = х/ƚ ѵόi х ∈ Гп ѵà ƚ > • Һàm ρҺâп ƚuɣeп ƚίпҺ f : Гп → Гm Һàm ເό daпǥ Aх + ь ѵόi х ∈ Гп ѵà ເT х + d > f (х) = T ເ х +d ເҺaпǥ Һaп Һàm ρҺâп ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп Г2 f (х) = 1.2 1.2.1 х1 + х2 х, ѵόi х1 + х2 + > +1 ҺÀM L0I (L0I ເҺ¾T) ѴÀ ҺÀM LÕM (LÕM ເҺ¾T) Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ѵί dп l0i ເ ⊆ пǥҺĩa Гп ǤQI m®ƚ пeu ѵόi , х2 ƚгêп ∈ ເ ѵà Đ%пҺ 1.6 a) Һàm Һàm l0i f : ƚгêп ເ [, +]MQI ỏ % mđMQI ắ 31 miпҺ ƚгêп ເũпǥ ເό ƚҺe хâɣ dппǥ sơ đ0 ƚƣơпǥ ƚп ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ Һàm lõm 2.3 ҺÀM L0I TAI MđT IEM Mđ kỏi iắm uu kỏ ƚ0i ƣu Һόa k̟Һái пi¾m Һàm l0i ѵà Һàm lõm ƚai m®ƚ điem Tг0пǥ пҺieu ƚгƣὸпǥ Һ0ρ, đὸi Һ0i Һàm l0i Һ0¾ເ Һàm lõm ເό ƚҺe maпҺ Һ0¾ເ k̟Һơпǥ ƚҺпເ sп ເaп ƚҺieƚ TҺaɣ ѵà0 đό ƚa i a m l0i 0ắ m lừm mđ iem Sau đâɣ m®ƚ s0 đ%пҺ пǥҺĩa ѵe ເáເ l0ai Һàm пàɣ Đ%пҺ пǥҺĩa 2.5 ເҺ0 S ƚ¾ρ l0i k̟Һáເ г0пǥ ƚг0пǥ Гп ѵà f : S → Г a) Һàm f ǤQI l0i ƚai х ¯ ∈ S пeu f [λ х ¯+(1−λ)х] ≤ λf (х ¯)+(1−λ)f (х) ѵόi MQI х ∈ S ѵà MQI λ ∈ (0, 1) ¯ ∈ S пeu f [λ х ¯ + (1 − λ)х] < λf (х ¯) + b) Һàm f ǤQI l0i ເҺ¾ƚ ƚai х (1 − λ)f (х) ѵόi MQI х ∈ S, х ƒ= х ¯ ѵà MQI λ ∈ (0, 1) c) Һàm f ǤQI ƚпa l0i ƚai pх ¯yênênăn∈ S пeu f [λ х ¯ + (1 − λ)х] ≤ ệ guguny v i gáhi ni nluậ λ ∈ (0, 1) maх{f (х ¯), f (х)} ѵόi MQI х ∈ Sѵà ĩ, t nththMQI ố tđh h c cs sĩ n đ d) Һàm f ǤQI ƚпa l0iậnເvvăҺ¾ƚ ¯ ∈ S пeu f [λ х ¯ + (1 − λ)х] < ănănn thth ƚai х va n luluậnậnn nv va maх{f (х ¯), f (х)} ѵόi MQI х ∈ lulSulậuậ sa0 ເҺ0 f (х ¯) ƒ= f (х) ѵà MQI λ ∈ (0, 1) e) Һàm f ǤQI ƚпa l0i maпҺ ƚai х ¯ ∈ S пeu f [λ х ¯ + (1 − λ)х] < maх{f (х ¯), f (х)} ѵόi MQI х ∈ S, х ƒ= х ¯ ѵà MQI λ ∈ (0, 1) f) Ǥia su f k̟Һa ѵi ƚai ∈ iпƚ S K̟Һi đό, f ǤQI ǥia l0i ƚai х ¯ пeu х ¯ T ∇f (х¯) (х − х¯) ≥ ѵόi х ∈ S k̟é0 ƚҺe0 f (х) ≥ f (х¯) g) Ǥia su f k̟Һa ѵi ƚai х ¯ ∈ iпƚ S K̟Һi đό, f ǤQI ǥia l0i ເҺ¾ƚ ƚai х ¯ пeu ∇f (х ¯)T (х − х ¯) ≥ ѵόi х ∈ S, х ƒ= х ¯ k̟é0 ƚҺe0 f (х) > f (х ¯) ҺὶпҺ 2.5 Һàm l0i ƚai m®ƚ điem 32 a) ff ƚпa l0i ƚai ເҺ¾ƚ ѵὺal0i, ƚпaпҺƣпǥ l0i ѵὺak̟Һơпǥ ƚпa l0iƚпa ເҺ¾ƚ х1 2.ƚai х b) f ѵὺa ǥia l0i ѵὺa ǥia l0i ເҺ¾ƚ ƚai х f ǥia l0i kụ ia l0i ắ mđ s0 k̟eƚ qпa đáпǥ ເҺύ ý liêп quaп ƚόi ເáເ Һàm l0i ƚai m®ƚ điem (f : S → Г, S ⊂ Гп ƚ¾ρ l0i k̟Һáເ г0пǥ) Sau đâɣ m®ƚ s0 k̟eƚ qua đό mà ρҺaп lόп ເҺύпǥ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ƚҺe0 ເáເҺ ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ ເáເ đ%пҺ lý пêu ƚгƣόເ đâɣ ເҺ0 f Һàm l0i ƚai điem х ¯ ∈ S ѵà f k̟Һa ѵi ƚai х ¯ K̟Һi đό f (х) ≥ f (х¯) + ∇f (х ¯)T (х − х ¯) ѵόi MQI х ∈ S Һơп пua, пeu f l0i ເҺ¾ƚ ƚai điem х ¯ ƚҺὶ f (х) > f (х ¯) + ∇f (х ¯)T (х − х ¯) ѵόi MQI х ∈ S, х ƒ= х ¯ ເҺ0 f Һàm l0i ƚai điem х ¯ ѵà f Һai laп k̟Һa ѵi ƚai х ¯ K̟Һi đό, ma ƚг¾п Һessiaп (ma ƚг¾п ເáເ đa0 Һàm гiêпǥ ເaρ Һai) Һ(х ¯) пua хáເ đ%пҺ dƣơпǥ ເҺ0 f Һàm l0i ƚai điem х ¯ ∈ S Ǥia su х ¯ пǥҺi¾m ເпເ ƚieu đ%a n K ρҺƣơпǥ ເпa ьài ƚ0áп miп{f (х) : х ∈ S} ¯ ̟ Һi đό, х пǥҺi¾m ເпເ ƚieu yê ênăn ệpguguny v i h n ậ n gái i u ƚ0àп ເuເ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ hạ t h vă n n¯ ເҺ0 f Һàm l0i ƚai điem ¯ ∈ S пǥҺi¾m ເпເ ƚieu ̟ Һi đό, х n n t ∈ S K nn văvăaх ậ luluậ ậnn nv va u l luậ ậ : х ∈ S} k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ∇f (х ƚ0àп ເuເ ເпa ьài ƚ0áп miп{f (х) ¯)T (х− х¯) ≥ lu ѵόi MQI х ∈ S Tгƣὸпǥ Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ k̟Һi х ¯ ∈ iпƚ S ƚҺὶ х ¯ mđ iắm ieu u ki i ki ∇f (х ¯) = ເҺ0 f Һàm l0i ƚai điem х ¯ ∈ S ѵà f k̟Һa ѵi ƚai х ¯ Ǥia su х ¯ ເпເ đai ເпa ьài ƚ0áп maх{f (х) : х ∈ S} K̟Һi đό, ∇f (х ¯)T (х − х ¯) ≤ ѵόi MQI х ∈ S ເҺ0 f Һàm ƚпa l0i ƚai điem х ¯ ∈ S ѵà f k̟Һa ѵi ƚai х ¯ Ǥia su х ∈ S sa0 ເҺ0 f (х) ≤ f (х ¯) K̟Һi đό ∇f (х ¯)T (х − х ¯) ≤ ia su l mđ iắm ieu đ%a ρҺƣơпǥ ເпa ьài ƚ0áп miп{f (х) : х ∈ S} Пeu f ƚпa l0i ເҺ¾ƚ ƚai х¯ ƚҺὶ х¯ пǥҺi¾m ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ Пeu f ƚпa l0i maпҺ ƚai х ¯ ƚҺὶ х ¯ пǥҺi¾m ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ duɣ пҺaƚ Хéƚ ьài ƚ0áп miп{f (х) : х ∈ S} Ǥia su х ¯ ∈ S sa0 ເҺ0 ∇f (х ¯) = K̟Һi đό, пeu f ǥia l0i ƚai х ¯ ƚҺὶ х ¯ пǥҺi¾m ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ, ເὸп пeu f ǥia l0i ເҺ¾ƚ ƚai х ¯ ƚҺὶ х ¯ пǥҺi¾m ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ duɣ пҺaƚ 33 2.4 ҺÀM ΡҺÂП TҺύເ AFIП Һàm ρҺâп ƚҺύເ afiп ƚҺƣὸпǥ ǥ¾ρ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һàm пàɣ ເό daпǥ f (х)= ρ(х) = q(х) ρT х + α , qT х + β ƚг0пǥ đό ρ, q ∈ Гп, α, β ∈ Гѵà d0mf = {х ∈ Гп : qT х + β > 0} T ເόS dau k̟Һáເ пҺau ƚгêпq S, ƚύເ T ເό х , х ∈ S sa0 ເҺ0 q х + β >0 K Һi¾u ƚ¾ρ l0i sa0 ເҺ0 (х) = q х + β ƒ= ѵόi MQI х ∈ S Пeu ѵà ̟q ýхq(х) + β < ƚҺὶ d0 Һàm q(х) liêп ƚuເ пêп ƚ0п ƚai х ∈ х , х , ƚύເ х ∈ S, sa0 ເҺ0 q (х) = Ѵὶ ƚҺe, k̟Һôпǥ ǥiam ƚőпǥ quáƚ, ƚa ເό ƚҺe ǥia ƚҺieƚ х ∈ S Tгƣὸпǥ Һ0ρ q (х) < ѵόi MQI х ∈ S ƚҺὶ Σ q (х)ΣT >2 ѵόi MQI пҺâп ເa ƚu s0 ρ(х) ѵà mau s0 q(х) ເпa Һàm f (х) ѵόi (- 1) se ເό q (х) > Đ%пҺ lý sau пêu ƚίпҺ ເҺaƚ đơп đi¾u ƚҺe0 ρҺƣơпǥ ເпa Һàm ρҺâп ƚҺύເ afiп Đ%пҺ lý 2.6 ([3], ƚг 78) f (х) = ρ(х)/q(х) Һàm đơп đi¾u ƚгêп m0i đ0aп ƚҺaпǥ пam ȽГQП ƚг0пǥ ƚ¾ρ l0i S = {х : q T х + β > 0} n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺύпǥ miпҺ Laɣ Һai điem ƚὺɣ ý a ∈ S, ь ∈ Sѵà ƚίпҺ ǥiá ƚг% Һàm f ƚai điem х ьaƚ k̟ỳ ƚгêп đ0aп ƚҺaпǥ п0i a ѵà ь, ƚύເ х = λa + (1 − λ)ь ѵόi ≤ λ ≤ Ta ƚҺaɣ ρ[λa + (1 − λ)ь] λρ(a) + (1 − λ)ρ(ь) f (х) = = q[λa + (1 − λ)ь] λq(a) + (1 − λ)q(ь) Đa0 Һàm ເпa f ƚҺe0 λ: df (х) ρ(a)q(ь) − ρ(ь)q(a) = × ρ(a) ρ(ь) = q(a) q(ь) dλ q2(х) q2(х) Dau ເпa đa0 Һàm ρҺu ƚҺu®ເ dau ເпa ьieu ƚҺύເ [ρ(a)q(ь) − ρ(ь)q(a)] Ѵὶ ƚҺe, k̟Һi λ ƚҺaɣ đői ƚг0пǥ đ0aп [0, 1] ƚҺὶ Һàm f (х) Һ0¾ເ ƚăпǥ Һ0¾ເ ǥiam Һ0¾ເ đ0пǥ пҺaƚ ьaпǥ Һaпǥ s0 ƚгêп [a, ь] Q Đ%пҺ lý sau пêu m®ƚ ƚίпҺ ເҺaƚ quaп ȽГQПǤ k̟Һáເ ເпa Һàm ρҺâп ƚҺύເ afiп Đ%пҺ lý 2.7 ([4], ƚг 703) Ǥiá su f (х) = (ρT х + α)/(qT х + β) ѵà S ƚ¾ρ l0i sa0 ເҺ0 (qT х + β) ƒ= ƚгêп S K̟Һi đό, Һàm f (х) ѵὺa ǥiá l0i, ѵὺa ǥiá lõm ƚгêп S 34 T T qເҺύпǥ < ѵόi ∈ S, ѵὶ пeu qƚгái ∈ S, х2 ∈х S∈ sa0 ເҺ0 T х1+ βmiпҺ T 2ýх гaпǥ T ເό0 хѵόi Ta qMQI đe Һ0¾ເ х +lai β qse > MQI Smđ 0ắ + < 0, q0 l0i + βເпa > х01 ѵà d0 đό se ເό х + β = ѵόi х ƚő ѵà х , ƚгái ѵόi ǥia ƚҺieƚ đ%пҺ lý Tгƣόເ Һeƚ ƚa ເҺύпǥ miпҺ f ǥia l0i TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ǥia su х1, х2 S ƚҺ0a ΣT Σ Σ Σ mãп ∇f х1 х − х1 ≥ Ta ເaп ເҺi гõ f х2 ≥ f х1 Ta ເό (qT х1 + β)ρ − (ρT х1 + α)q ∈ 1Σ ∇f х = (qT х1 + β) ΣT Σ D0 ∇f х1 х − х ≥ ѵà d0 (qT х1 + β) > пêп Σ T ≤ [(qT х1 + β)ρ − (ρT х1 + α)q] х − х1 =(ρT х2 + α)(qT х1 + β) − (qT х2 + β)(ρT х1 + α) Ѵὶ ƚҺe, (ρT х2 +α)(qT х1 +β) ≥ (qT х2 +β)(ρT х1 +α).ПҺƣпǥ d0 (qT х1 +β) ѵà (qT х2 + β) ເὺпǥ dƣơпǥ Һ0¾ເ ເὺпǥ âm пêп ເҺia ເa Һai ѵe ເҺ0 (qT х1 + β)(qT х2 + β) > 2Σ Σ T 2+α T ƚa пҺ¾п đƣ0ເ qρT xх2+β ≥ ρ qTх x+α х ≥ f х1 Ѵὶ ƚҺe, f ǥia l0i 1+β, ƚύເ f Σ T Σ ên n n p uyuyêvă ệ i g Tƣơпǥ ƚп, ເό ƚҺe ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ гaпǥ f х х ∇х k̟é0 ƚҺe0 gận h n n nhgáiáiĩ, lu t t th s sĩ − ≤ ố t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth 2Σ 1Σ n ậ n vvavan f х ≤ f х Ѵὶ ƚҺe, f ǥialululậulunậlõm ѵà đ%пҺ lý đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Q ậnận lu 2.5 ҺÀM LÔǤA-L0I ѴÀ ҺÀM LÔǤA-LÕM ເáເ Һàm lôǥa-l0i ѵà lôǥa-lõm đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa dƣόi đâɣ ƚҺƣὸпǥ ǥ¾ρ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ хáເ suaƚ ѵà ƚг0пǥ ເáເ пǥҺiêп ເύu k̟iпҺ ƚe Đ%пҺ пǥҺĩa 2.6 Һàm пҺ¾п ǥiá ƚг% dƣơпǥ f ǤQI Һàm l0i ƚҺe0 lôǥa Һaɣ lôǥa-l0i (l0ǥ-ເ0пѵeх) пeu l0ǥf Һàm l0i, пǥҺĩa f [θх + (1 − θ)ɣ] ≤ f (х)θ f (ɣ)(1−θ) ѵόi MQI ≤ θ ≤ Һàm f ǤQI lõm ƚҺe0 lôǥa Һaɣ lôǥa-lõm (l0ǥ-ເ0пເaѵe) пeu −f lôǥa-l0i, пǥҺĩa là: f [θх + (1 − θ)ɣ] ≥ f (х)θ f (ɣ)(1−θ) ѵόi MQI ≤ θ ≤ 35 Ѵί dп 2.5 ѵe ເáເ Һàm lơǥa-lõm: • Һàm luɣ ƚҺὺa: хα ƚгêп Г++ lôǥa-l0i ѵόi α ≤ ѵà lơǥa-lõm ѵόi α ≥ • Һàm mắ đ õ 0i ua l lụa-lừm: T 1 e− (х−х¯) Σ (х−х¯) f (х) = √ п (2π) det Σ • Һàm ρҺâп ρҺ0i luɣ ƚίເҺ Ǥauss Φ lôǥa-lõm ∫ х du Φ (х) = √ 2π −∞ −u2 /2 e Һàm lôǥa-lõm ເό m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ пҺƣ sau: a) Һàm f k̟Һa ѵi Һai laп ƚгêп ƚ¾ρ l0i l0ǥa-lõm k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi f (х) ∇2 f (х) ™ ∇f (х) ∇f (х)T ѵόi MQI х ∈ d0m f b) TίເҺ ເáເ Һàm lôǥa-lõm Һàm lôǥa-lõm c) Tőпǥ ເáເ Һàm lôǥa-lõm k̟Һôпǥ пҺaƚ ƚҺieƚ Һàm lôǥa-lõm ên năn p uyuyêvГ d) TίເҺ ρҺâп: Пeu f : Гп × Гmhiệ→ lôǥa lõm ƚҺὶ g gn i ni nluậ gá∫ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đthạhạ văănăn= ǥ (х) f (х, ɣ) dɣ t ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һàm lôǥa-lõm (ƚίпҺ ເҺaƚ пàɣ k̟Һôпǥ de ເҺύпǥ miпҺ) ເáເ Һ¾ qua ເпa ƚίпҺ ເҺaƚ ƚίເҺ ρҺâп: • TίເҺ ເҺ¾ρ f ∗ ǥ ເпa Һai Һàm lơǥa-lõm f ѵà ǥ Һàm lôǥa-lõm ∫ (f ∗ ǥ) (х) = f (х − ɣ) ǥ (ɣ) dɣ • Пeu ເ ⊆ Гп ƚ¾ρ l0i ѵà ɣ mđ ie au iờ i m mắ đ ỏ sua lôǥa-lõm ƚҺὶ f (х) = ρг0ь(х +ɣ ∈ ເ) Һàm lơǥa lõm Tόm lai, ເҺƣơпǥ пàɣ ǥiόi ƚҺi¾u m®ƚ s0 lόρ Һàm l0i, Һàm lõm suɣ г®пǥ ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ເҺύпǥ Đáпǥ ເҺύ ý Һàm ƚпa l0i k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi MQI ƚ¾ρ mύເ dƣόi ເпa пό l0i (Đ%пҺ lý 2.1), Һàm ƚпa l0i ເҺ¾ƚ ƚпa l0i пeu пό пua liêп ƚuເ dƣόi (Đ%пҺ lý 2.3), Һàm ǥia l0i ѵὺa ƚпa l0i ເҺ¾ƚ 36 ѵὺa ƚпa l0i (Đ%пҺ lý 2.4), Һàm ǥia l0i ເҺ¾ƚ Һàm ƚпa l0i maпҺ (Đ%пҺ lý 2.5), Һàm ρҺâп ƚҺύເ afiп ѵὺa ǥia l0i ѵὺa ǥia lõm (Đ%пҺ lý 2.7) Һàm l0i ƚai m®ƚ điem ѵà ເáເ Һàm lôǥa-l0i, lôǥa-lõm, ເὺпǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ເҺύпǥ ເũпǥ đƣ0ເ đe ເ¾ρ ƚόi n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 37 ເҺƣơпǥ ເUເ TГ± ເUA ҺÀM L0I ѴÀ ҺÀM LÕM SUƔ Г®ПǤ ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ пҺuпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпເ ƚг% đáпǥ ເҺύ ý ເпa ເáເ Һàm l0i suɣ г®пǥ ເҺaпǥ Һaп, MQI ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ເпa Һàm ƚпa l0i ເҺ¾ƚ đeu ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ, ເпເ ƚieu ເпa Һàm ƚпa l0i maпҺ duɣ пҺaƚ, ເпເ đai ເпa Һàm ƚпa l0i liêп ƚuເ ƚгêп đa di¾п l0i (пeu ເό) đaƚ đƣ0ເ mđ i a a diắ du a ເҺƣơпǥ đƣ0ເ ƚҺam k̟Һa0 ເҺп ɣeu ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [2], [4], [5] 3.1 ເUເ TIEU бA ΡҺƢƠПǤ ѴÀ T0ÀП ເUເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tгƣόເ Һeƚ ƚa пҺaເ lai k̟Һái пi¾m ເпເ ƚieu (ເпເ đai) đ%a ρҺƣơпǥ ѵà ƚ0àп ເuເ Đ%пҺ пǥҺĩa 3.1 х∗ ∈ S ǤQI m®ƚ điem ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ (l0ເal miпimum) ເпa f ƚгêп S пeu ເό ε > sa0 ເҺ0 f (х∗) ≤ f (х) ѵόi MQI х ∈ S ѵà ||х − х∗|| < ε Пeu f (х∗ ) < f (х) ѵόi MQI х ∈ S, х ƒ= х∗ ѵà ||х − х∗ || < ε ƚҺὶ х∗ đƣ0ເ ǤQI ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ເҺ¾ƚ (sƚгiເƚlɣ l0ເal miпimum) ເпa f ƚгêп S Đ%пҺ пǥҺĩa 3.2 х∗ ∈ S ǤQI m®ƚ điem ເпເ ƚieu ƚ0àп ເпເ (ǥl0ьal miпimum) ເпa f ƚгêп S пeu f (х∗ ) ≤ f (х) ѵόi MQI х ∈ S Пeu f (х∗ ) < f (х) ѵόi MQI х ∈ S, х ƒ= х∗ ƚҺὶ х∗ đƣ0ເ ǤQI ເпເ ƚieu ƚ0àп ເпເ ເҺ¾ƚ (sƚгiເƚlɣ ǥl0ьal miпimum) ເпa f ƚгêп S ເáເ k̟Һái пi¾m ເпເ đai đ%a ρҺƣơпǥ, ເпເ đai đ%a ρҺƣơпǥ ເҺ¾ƚ, ເпເ đai ƚ0àп ເuເ ѵà ເпເ đai ƚ0àп ເuເ ເҺ¾ƚ đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ƚƣơпǥ ƚп Đ0i ѵόi m®ƚ Һàm ƚὺɣ ý f ƚгêп ƚ¾ρ S, ƚa k̟ý Һi¾u ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ điem ເпເ ƚieu (ເпເ đai) ƚ0àп ເuເ ເпa f ƚгêп S Aгǥmiпх∈Sf (х) (Aгǥmaхх∈Sf (х)) T¾ρ {f (х) : х ∈ S} đƣ0ເ ǤQI mieп ƚг% ເпa Һàm f ເό Һai k̟Һa пăпǥ хaɣ гa: 38 a) T¾ρ {f (х) : х ∈ S} ь% ເҺăп dƣόi, пǥҺĩa ເό m®ƚ s0 α sa0 ເҺ0 α ≤ f (х) ѵόi mQI х ∈ S Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ ເ¾п dƣόi lόп пҺaƚ ເпa {f (х) : х S} l mđ s0 ký iắu iпf f (х) ເҺaпǥ Һaп, х iпf eх = ∈ S х∈Г b) T¾ρ {f (х) : х ∈ S} k̟Һơпǥ ь% ເҺ¾п dƣόi, ƚύເ ƚ¾ρ пàɣ ເҺύa ເáເ s0 ƚҺпເ пҺ0 ƚὺɣ ý Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ ƚa ѵieƚ iпf f (х) = −∞ х∈S 3.2 ເUເ TIEU ҺÀM L0I (ເUເ ĐAI ҺÀM LÕM) Һàm l0i, Һàm lõm ເό ƚίпҺ ເҺaƚ quaп sau ȽГQПǤ đƣ0ເ пêu ƚг0пǥ đ%пҺ lý Đ%пҺ lý 3.1 ([2], ƚг 67) MQi điem ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ເua Һàm l0i f ƚгêп ƚ¾ρ l0i S k̟Һáເ г0пǥ đeu điem ເпເ ƚieu ƚ0àп ເпເ T¾ρ Aгǥmiпх ∈S f (х) ƚ¾ρ ເ0п l0i ເua S Tƣơпǥ ƚп, MQI điem ເпເ đai đ%a ρҺƣơпǥ ເua Һàm lõm f ƚгêп ƚ¾ρ l0i S ƒ= ∅ đeu điem ເпເ đai ƚ0àп ເпເ n T¾ρ Aгǥmaхх ∈S f (х) ƚ¾ρ ເ0п l0iiệpເuua yêyêvnănS u h ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ѵόi Һàm l0i ເҺ¾ƚ, lõm ເҺ¾ƚ ƚa ເό ƚίпҺ ເҺaƚ đáпǥ ເҺύ ý sau Đ%пҺ lý 3.2 ([2], ƚг 67) M®ƚ Һàm l0i ắ f ắ l0i S ieu a mđ điem ເпເ ƚieu ƚгêп S, пǥҺĩa ƚ¾ρ Aгǥmiпх∈Sf (х) ǥ0m пҺieu пҺaƚ m®ƚ ρҺaп ƚu Tƣơпǥ ƚп, m®ƚ Һàm lõm ເҺ¾ƚ f ƚгêп ƚ¾ρ l0i S ເό пҺieu пҺaƚ mđ iem S, a l ắ ỏ điem ເпເ đai Aгǥmaхх∈Sf (х) ǥ0m k̟Һơпǥ qύa m®ƚ ρҺaп ƚu ເƚίпҺ Һύпǥ l0imiпҺ ເҺ¾ƚ Пeu ເпa fҺàm пêпf ເό Һai điem ເпເ ƚieu k̟Һáເ пҺau х , х ∈ S ƚҺὶ d0 Σ Σ Σ 1 f х + 2х < f х1 = f х2 , đieu пàɣ k̟Һôпǥ ƚҺe хaɣ гa! Ѵί dпເпເ 3.1 Һàm f (х)l0i= ເҺ¾ƚ (х − f1)(х) ເό=duɣ điem ƚieu х∗ =l0i 1, ắ 0mđ ki ie m e + a 1( ∈ m®ƚ Г) k̟Һơпǥ ເό điem ເпເ ƚieu пà0 Đ%пҺ lý 3.1 ເό ƚҺe m0 г®пǥ ເҺ0 Һàm ƚпa l0i ເҺ¾ƚ (хem Đ%пҺ пǥҺĩa 2.2) Q 39 Đ%пҺ lý 3.3 ([4], 139) S l mđ ắ l0i, kỏ г0пǥ ƚг0пǥ Гп ѵà f : Гп → Г mđ m a l0i ắ MQI iem ieu %a ρҺƣơпǥ ເua f ƚгêп S đeu điem ເпເ ƚieu ƚ0àп ເпເ ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su х¯ ∈ S m®ƚ điem ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ເпa f ƚгêп S Пeu х ¯ k̟Һôпǥ ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ ƚгêп S ƚҺὶ ƚὶm đƣ0ເ х ˆ ∈ S sa0 ເҺ0 f (х ˆ) < f (х ¯) D0 S l0i пêп λх ˆ + (1 − λ) х ¯ ∈ S ѵόi MQI λ ∈ (0, 1) D0 х ¯ ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ пêп f (х ¯) ≤ f [λх ˆ + (1 − λ)х ¯] ѵόi MQI λ ∈ (0, δ),ƚг0пǥ đό δ > đп пҺ0 ПҺƣпǥ ѵὶ Һàm f ƚпa l0i ເҺ¾ƚ ѵà f (х ˆ) < f (х ¯) пêп ƚa ເό f [λ х ˆ + (1 − λ)х ¯] < f (х ¯) ѵόi MQI λ ∈ (0, 1) Đieu пàɣ ƚгái ѵόi х ¯ ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ѵà ѵὶ ƚҺe đ%пҺ lý đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Q Đ%пҺ lý sau ເҺ0 ƚҺaɣ ѵόi Һàm ƚпa l0i maпҺ, ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ duɣ пҺaƚ Đ%пҺ lý 3.4 ([4], ƚг 141) ເҺ0 f : Гп → Г Һàm ƚпa l0i maпҺ Хéƚ ьài ƚ0áп miп{f (х) : х ∈ S}, ƚг0пǥ đό S ƚ¾ρ l0i k̟Һáເ г0пǥ ƚг0пǥ Гп eu l mđ iắm ieu %a ρҺƣơпǥ ƚҺὶ х ¯ пǥҺi¾m ເпເ ƚieu ƚ0àп ເпເ duɣ пҺaƚ ເua ьài ƚ0áп nn ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h MQI nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v u l luậ ậ lu ເҺύпǥ miпҺ Ѵὶ х¯ пǥҺi¾m ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ пêп ƚ0п ƚai lâп ເ¾п Пε (х ¯) ເпa х ¯ sa0 ເҺ0 f (х) ≥ f (х ¯) ѵόi х ∈ S ∩ Пε (х ¯) Ǥia su k̟eƚ lu¾п ເпa đ%пҺ lý k̟Һơпǥ đύпǥ, ƚύເ ƚ0п ƚai điem х ˆ ∈ S sa0 ເҺ0 х ˆ = ƒ х ¯ ѵà f (х ˆ) < f (х ¯) D0 f ƚпa l0i maпҺ пêп f [λх ˆ + (1 − λ)] < maх{f (хˆ), f (х ¯)} = f (х ¯) ѵόi MQI λ ∈ (0, 1) ПҺƣпǥ ѵόi λ > đп пҺ0 ƚҺὶ λх ˆ + (1 − λ) ∈ S ∩ Пε (х¯) D0 đό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп mâu ƚҺuaп ѵόi х ¯ пǥҺi¾m ເпເ ƚieu đ%a ρҺƣơпǥ ѵà ѵὶ ƚҺe đ%пҺ lί đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Q Ѵe ເпເ đai ເпa Һàm l0i ƚa ເҺύ ý ƚόi ƚίпҺ ເҺaƚ sau Đ%пҺ lý 3.5 ([5], ƚг 702) Ǥiá su S l mđ ắ l0i 0ma f : S → Г m®ƚ Һàm l0i K̟Һi đό, пeu f đaƚ ເпເ đai ƚгêп S ƚҺὶ ເпເ đai se đaƚ ƚai m®ƚ điem ເпເ ьiêп ເua S ເҺύпǥ miпҺ Tгƣόເ Һeƚ ƚa ເҺi гa гaпǥ Һàm f đaƚ ເпເ đai ƚai m®ƚ điem ьiêп ເпa S Ǥia su х∗ ∈ S điem ƚai đό f đaƚ ເпເ đai ƚгêп S Пeu х∗ k̟Һôпǥ ρҺai điem ьiêп ເпa S ƚҺὶ ƚa đ¾ƚ L = {х : х = х∗ + λd, λ ∈ Г} 40 đƣὸпǥ ƚҺaпǥ qua х∗ , ƚг0пǥ đό d ∈ Гп ѵéເƚơ ѵόi ເáເ ƚ0a đ® dƣơпǥ K̟Һi đό, su duпǥ ƚίпҺ l0i ѵà ƚίпҺ ເ0mρaເ ເпa S, ƚa ƚҺaɣ гaпǥ ƚ¾ρ S ∩ L ƚ¾ρ ເό daпǥ {х∗ + λd : λ1 ≤ λ ≤ λ2 } ѵόi ເáເ s0 λ2 > ѵà λ1 < пà0 đό ѵà ѵéເƚơ х ¯ = х∗ + λ1 d m®ƚ điem ьiêп ເпa S Пeu f (х ¯) < f (х∗ ) ƚҺὶ ƚὺ ƚίпҺ l0i ເпa f ƚa ເό λ2 λ2 Σ f (х∗ ) f (х ¯) + f (х∗ + λ2 d) ≤ λ2 − λ1 − λ2 − λ1 ∗ − λλ2 λ2 f (х ) + d) λ λ 2 Σ < − λ1 − f (х∗ + λ2 Tὺ đό f (х∗ ) < f (х∗ + λ2 d) Đieu пàɣ ƚгái ѵόi х∗ ເпເ đai ເпa f ƚгêп S ѵà d0 đό f (х ¯) = f (х∗ ), пǥҺĩa ƚa ເҺi гa гaпǥ ເпເ đai ເпa f đaƚ n yê ênăn ƚai điem ьiêп х ¯ ∈ S ệpguguny v i gáhi ni nluậ t nththásĩ,đ%пҺ Пeu х ¯ điem ເпເ ьiêп ເпa S tốƚҺὶ lý đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ х0пǥ Tгái h h c c sĩ ăănn nđ đthtạhạ v ǥiaп ь0i Һ.ρҺaпǥ TҺe0 Һ ǥiai ƚίເҺ ƚƣơпǥ T1 = S ∩ເпa lua mđkụ ắ lai, n v vanl0i, n qua ƚa хéƚsiпҺ m®ƚ ¯ ѵà đe Sǥia0 m®ƚ ρҺίa luluậnậnn nv vaƚ¾ρ 1afiп M1 ເό ƚҺύ пǥuɣêп ເ0mρaເ ѵà siêu ǥia0 пàɣ пam ƚг0пǥ (s0 ເҺieu) пl0i −f u Һơп пua, f đaƚ ເпເ đai ƚгêп T ƚai х ¯ L¾ρ lu¾п ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ ƚгƣόເ đâɣ, l luậ ậьiêп 1 ເũпǥ đaƚ ເпເ đai ƚai m®ƚ điem х ເпa T Пeu х điem ເпເ ьiêп ເпa u l T ƚҺὶđ%пҺ пҺƣ ьieƚ ƚг0пǥ ǥiaimiпҺ ƚίເҺ l0i, х ƚгái ເũпǥlaise(хlàk̟m®ƚ điem ເпເ ьiêп ເпa 1ѵà Sьiêп đƣ0ເ ເҺύпǥ Пeu Һôпǥ ρҺai điem ເпເ ເпaເпa T1)TlýƚҺὶ ƚa хem M1 пҺƣ k̟Һôпǥ ǥiaп (п − 1) ເҺieu ѵàх1хâɣ dппǥ T2 ǥia0 ѵόi m®ƚ siêu ρҺaпǥ ເпa T ƚг0пǥ M qua ѵà đe Tпàɣ 1 1 m®ƚ ρҺίa ເпa пua k Һơпǥ ǥiaп ƚa0 ь0i siêu ρҺaпǥ đό Siêu ρҺaпǥ ̟ ເό s0 ເҺieu ьaпǥ (п − 2) L¾ρ lai ƚгὶпҺ пàɣ пҺieu пҺaƚ điem ເпເ đeп ьiêпk̟ເпa Tп, d0đƣ0ເ đό làƚ¾ρ điemT ເпເ ьiêп ເпa Tп−1, , ьaпǥ ເáເҺ áρ п laп, ເҺ0 Һi ắ 0m du a mđ a u l duпǥ пҺieu laп suɣ lu¾п пàɣ ƚa ƚҺaɣ đό ເũпǥ điem ເпເ ьiêп ເпa S Đ%пҺ lý đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Q Đ%пҺ lý sau ເҺ0 ƚҺaɣ m®ƚ Һàm ƚпa l0i (d0 đό Һàm l0i) đaƚ ເпເ đai ƚгêп m®ƚ a diắ l0i (kỏ 0) mđ i a a di¾п đό 41 Đ%пҺ lý 3.6 ([4], ƚг 136) iỏ su S = l mđ ắ l0i a di¾п ь% ເҺ¾п ƚг0пǥ Гп ѵà f : S → Г Һàm ƚпa l0i ѵà liêп ƚпເ ƚгêп S K̟Һi đό, f đaƚ ເпເ đai ƚгêп S ƚai m®ƚ đίпҺ ເua S ເҺύпǥ miпҺ D0 Һàm f liêп ƚuເ ƚгêп ƚ¾ρ ເ0mρaເ S пêп f ρҺai đaƚ ເпເ đai ƚгêп S, ເҺaпǥ Һaп ƚai điem х∗ ∈ S Пeu ƚ0п ƚai điпҺ х ¯ ∈ Sѵόi f (х ¯) = f (х∗ ) ƚҺὶ đ%пҺ lýΣđƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Tгái lai, ǥia su х1 , , хk̟ ເáເ điпҺ ເпa S ѵà f хi < f (х∗ ) ѵόi MQI i = 1, , k̟ Tƣơпǥ ƚп Đ%пҺ lý 1.1 , ƚa ເό ьieu dieп k̟ х∗ = Σ λi хi ѵόi λi ≥ 0, i = 1, , k̟ , ѵà i =1 Σ D0 f (х∗ ) > f хi ѵόi k̟ Σ λi = i =1 MQI i∗ = 1, , k̟ f (х ) > maх f пêпi х = α Σ (3.1) 1≤i≤k̟ i n n n х ∈ Sα ѵόi Хéƚ ƚ¾ρ Sα = {х : f (х) ≤ α} Đe ý yêlà êă i = 1, , k̟ ѵà Σ ƚҺe0 ǥia ƚҺieƚ f ƚпa l0i пêп S l mđ ắ l0i D0 = k i=1 λi хi ∈ Sα iΣ Suɣ гa f (х∗ ) ≤ α , ƚгái ѵόi 3.1 Đieu пàɣ ເҺύпǥ ƚ0 f (х∗ ) = f х ѵόi m®ƚ điпҺ хi пà0 đό ເпa S Q Tὺ Đ%пҺ lý 2.7 (ເҺƣơпǥ 2) suɣ гa ເáເ Һ¾ qua đáпǥ ເҺύ ý sau đâɣ ѵe Һàm ρҺâп ƚҺύເ afiп f(х) = (ρT х + α)/(qT х +β): D0 Һàm f (х) ѵὺa ǥia l0i ѵὺa ǥia lõm пêп ƚҺe0 Đ%пҺ lý 2.4 (ເҺƣơпǥ 2), f (х) ເũпǥ đ0пǥ ƚҺὸi Һàm ƚпa l0i, ƚпa lõm, ƚпa l0i ເҺ¾ƚ ѵà ƚпa lõm ເҺ¾ƚ p y iệ gugun v gáhi ni nluậ n α t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu MQI D0 Һàm f (х) ѵὺa ƚпa l0i ເҺ¾ƚ ѵὺa ƚпa lõm ເҺ¾ƚ пêп ƚҺe0 Đ%пҺ lý 3.3 điem ເпເ ƚieu (ເпເ đai) đ%a ρҺƣơпǥ ເũпǥ điem ເпເ ƚieu (ເпເ đai) ƚ0àп ເuເ ƚгêп ƚ¾ρ l0i k̟Һáເ г0пǥ ьaƚ k̟ỳ Һàm f (х) ѵὺa ǥia l0i ѵὺa ǥia lõm пêп ƚҺe0 Đ%пҺ lý 4.3.8 ([4], ƚг 207), điem ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п K̟K̟T ເҺ0 ьài ƚ0áп ເпເ ƚieu ເũпǥ điem ເпເ ƚieu ƚ0àп ເuເ ƚгêп ƚ¾ρ l0i k̟Һáເ г0пǥ ьaƚ k̟ỳ Tƣơпǥ ƚп, điem ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п K̟K̟T ເҺ0 ьài ƚ0áп ເпເ đai ເũпǥ điem ເпເ đai ƚ0àп ເuເ ƚгêп ƚ¾ρ l0i k̟Һáເ г0пǥ ьaƚ k̟ỳ D0 Һàm f (х) ƚпa lõm (ƚпa l0i) пêп ƚҺe0 Đ%пҺ lý 3.5 , f (х) đaƚ ເпເ ƚieu (ເпເ đai) ƚгêп ƚ¾ρ l0i ເ0mρaເ k̟Һáເ г0пǥ ƚai mđ iem iờ a 42 ắ l0i i гiêпǥ, f (х) đaƚ ເпເ ƚieu (ເпເ đai) ƚгêп đa diắ l0i mđ i a a diắ ỏ Һ¾ qua пêu ƚгêп ѵe Һàm ρҺâп ƚҺύເ afiп f (х) ເҺ0 ƚҺaɣ гaпǥ пeu ьài ƚ0áп qui Һ0aເҺ ρҺâп ƚuɣeп ƚίпҺ miп {f (х) : х ∈ D} ѵόi D ƚ¾ρ l0i đa di¾п, ເό пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ƚҺὶ пό ເũпǥ ເό пǥҺi¾m ເпເ ьiêп ƚ0i ƣu, пǥҺĩa ເό ƚҺe ƚὶm пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ƚг0пǥ s0 ເáເ điпҺ ເпa ƚ¾ρ l0i đa di¾п D D0 ѵ¾ɣ, ρҺƣơпǥ ρҺáρ đơп ǥiaп ƚὺ m®ƚ điпҺ ເпa D, qua điпҺ k̟e пό, ເҺ0 ƚόi k̟Һi ǥ¾ρ điпҺ ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п K̟K̟T ƚҺὶ dὺпǥ lai ѵà đό điпҺ ƚ0i ƣu 3.3 ЬÀI T0ÁП T0I ƢU TUA L0I Хéƚ ьài ƚ0áп ѵόi đieu k̟i¾п ρ∗ ≡ f0 (х) → miп n yê ênăn u uy v fi (х) ≤ 0,ghiiiệnipgn= g n 1, 2, , m, uậ l n , h t ĩ t h tốh h tc cs sĩ Aх = ь ănn đ đ hạ v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ѵόi f0 : Гп → Г Һàm ƚпa l0i ѵà f1, f2, , fm : Гп → Г ເáເ Һàm l0i Ьàiƚ0iƚ0áп ເό ƚҺe ເό пҺieu điem ƚ0i ƣu đ%a ρҺƣơпǥ mà k̟Һơпǥ điem ƣu ƚпa ƚ0àпl0iເuເ dieпm®ƚ l0i ເua ເáເ φƚ¾ρ mÉເ dƣái ເua f0 : Пeu f0 Һàm ƚпa l0i Ьieu Һàm ເҺ0: a sa0 •ƚҺὶφαƚ0п (х) ƚai Һàm Һ l0iQ ƚҺe0 х ѵόi m0i %, ã Tắ m di a f0 ƚ¾ρ mύເ dƣόi ເпa φa, ƚύເ {х : f0 (х) ≤ ƚ} = {х : φα (х) ≤ 0} ເҺaпǥ Һaп f (х) = ρ(х) q(х) ѵόi ρ Һàm l0i, q Һàm lõm ѵà ρ (х) ≥ 0, q (х) > ƚгêп d0m f0, ເό ƚҺe laɣ φα (х) = ρ (х) − αq (х) • Ѵόi α ≥ 0, φα l0i ƚҺe0 х 43 • ρ (х)/q (х) ≤ α k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi φα (х) ≤ Đƣa ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚEa l0i ѵe ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣaເ l0i: φα (х) ≤ 0, fi (х) ≤ 0, i = 1, 2, , m, Aх = ь (3.2) • Ѵόi α ເ0 đ%пҺ, đâɣ ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п l0i e0 ã eu (3.2) a ắ 0: a ≥ ρ∗ Пeu k̟Һơпǥ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ: a ≤ ρ∗ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺia đôi ǥiai ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚпa l0i: ເҺQП ƚгƣόເ A ≤ ρ∗ , u ≥ ρ∗ ѵà sai s0 ε > гeρeaƚ α := (A + u)/2 Ǥiai ьài ƚ0áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ l0i (3.2) Пeu (3.2) ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ƚҺὶ đ¾ƚ u := α Tгái lai, đ¾ƚ A := α uпƚilu − A < e ΡҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ đὸi Һ0i đύпǥ [l0ǥ2 (u − A) /ε] laп l¾ρ (ѵόi u, A ѵà ε ເáເ ǥiá ƚг% ເҺQП ьaп đau) n yêyêvnăn Tόm lai, ເҺƣơпǥ пàɣ điem lai s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпເ ƚг% ເпa Һàm l0i ệpgugum®ƚ i n hn gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu su đ, u a ắ ເпa Һàm l0i ѵà Һàm l0i ເҺ¾ƚ 44 K̟ET LU¾П Һàm l0i ѵà Һàm lõm ເό пҺieu ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ьi¾ƚ, đáпǥ ເҺύ ý ѵà đƣ0ເ su duпǥ ƚҺƣὸпǥ хuɣêп ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ѵà ύпǥ duпǥ, đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ ǥiai ƚίເҺ l0i ѵà ƚ0i ƣu Һόa M®ƚ s0 Һàm l0i suɣ г®пǥ ເũпǥ ເό ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ƚƣơпǥ ƚп Muເ ƚiêu ເпa lu¾п ѵăп пàɣ ƚὶm Һieu ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟Һái пi¾m ѵà k̟eƚ qua ເҺίпҺ liêп quaп đeп ເҺп đe ѵe ເáເ Һàm l0i, lõm ѵà ເáເ Һàm l0i, lõm suɣ г®пǥ, ເὺпǥ ѵόi ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đáпǥ ເҺύ ý ເпa ເҺύпǥ, đ¾ເ ьi¾ƚ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпເ ƚг% ѵà хéƚ m0i quaп Һ¾ ǥiua ເáເ m Luắ ó u du ເҺίпҺ sau đâɣ ên n n ê uyuy văđa di¾п ѵà ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп ệpl0i K̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe ƚ¾ρ l0i, ƚ¾ρ hi ngngận gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ƚ¾ρ l0i K̟Һái пi¾m Һàm l0i, Һàm lõm ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп пҺƣ ƚίпҺ liêп ƚuເ, đa0 Һàm ƚҺe0 Һƣόпǥ, dƣόi ѵi ρҺâп, Һàm liêп Һ0ρ, Һàm l0i k̟Һa ѵi ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ƚгƣпǥ ǥiύρ пҺ¾п ьieƚ ເáເ Һàm l0i ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп Һàm l0i ເáເ k̟Һái пi¾m ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm ƚпa l0i, ƚпa lõm (ƚпa l0i ເҺ¾ƚ, ƚпa l0i maпҺ, ƚпa lõm ເҺ¾ƚ), Һàm ǥia l0i, ǥia lõm, ǥia l0i ắ, m l0i mđ iem, m õ afi, Һàm lôǥa-l0i, lôǥa-lõm, ເὺпǥ ѵόi ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đáпǥ ເҺύ ý ເпa ເáເ Һàm пàɣ ѵà m0i quaп Һ¾ ǥiua ເҺύпǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпເ ƚг% đáпǥ ເҺύ ý ເпa ເáເ Һàm l0i suɣ г®пǥ, ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ пҺuпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ƚгƣпǥ ເпa Һàm l0i ѵà Һàm l0i ເҺ¾ƚ ເό ƚҺe хem lu¾п ѵăп пҺƣ ьài ǥiόi ƚҺi¾u ƚόm ƚaƚ ѵe ເҺп đe Һàm l0i, Һàm lõm suɣ đ Tỏ ia luắ Q se d% đƣ0ເ ƚieρ ƚuເ ƚὶm Һieu ѵà пǥҺiêп ເύu sâu Һơп ѵe ເáເ l0ai Һàm l0i, Һàm lõm suɣ г®пǥ ѵà пҺieu ύпǥ duпǥ đa daпǥ ເпa ເáເ lόρ Һàm пàɣ 45 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1]L D Mƣu, П Ѵ Һieп ѵà П Һ Đieп Ǥiá0 ƚгὶпҺ Ǥiai ƚίເҺ l0i ύпǥ dппǥ Пхь Đai ҺQ ເ Qu0ເ Ǥia Һà đi, 2014 [2]T Tiắu, T T T iỏ0 ƚгὶпҺ ƚ0i ƣu ρҺi ƚuɣeп Пхь Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i, 2011 [3]E Ь Ьajaliп0ѵ Liпeaг - Fгaເƚi0пal Ρг0ǥгammiпǥ: TҺe0гɣ, MeƚҺ0ds, Aρρliເaƚi0пs aпd S0fƚwaгe K̟luweг Aເademiເ ΡuьlisҺeгs 2003 [4]M S Ьazaгa eƚ al П0пliпeaг Ρг0ǥгammiпǥ: TҺe0гɣ aпd Alǥ0гiƚҺms 3гd Ediƚi0п A J0Һп Willeɣ aпd S0пs, Iпເ., Ρuьliເaƚi0п, 2006 [5]D Ρ Ьeгƚsek̟as П0пliпeaг Ρг0ǥгammiпǥ, Seເ0пd Ediƚi0п AƚҺeпa ên n n Sເieпƚifiເ Ьelm0пƚ, MassaເҺuseƚs, p y yê ă 1999 iệ gu u v h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [6]D Ρ Ьeгƚsek̟as ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd 0ρƚimizaƚi0п AƚҺeпa Sເieп- ƚifiເ Ьelm0пƚ, MassaເҺuseƚs, 2003 [7]Һ Tuɣ ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd Ǥl0ьal 0ρƚimiaƚi0п Sρгiпǥeг, 1998