Luận văn hàm lồi và các tính chất

đại ọ Tái uê Tãờ đại ọ k0a ọ ạm Tuê àm lồi í ấ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu uê à: T0á ứ dụ Mà số: 60.46.36 Luậ ă sĩ 0á ọ Tái uê 2009 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại ọ Tái uê Tãờ đại ọ k0a ọ ạm Tuê àm lồi í ເҺÊƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu uê à: T0á ứ dụ Mà số: 60.46.36 Luậ ă sĩ k0a ọ 0á ọ ãời ã dẫ k0a ọ: S-TS Tầ Tiệu Tái uê – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại ọ Tái uê Tãờ đại ọ k0a ọ ạm Tuê àm lồi í ấ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu uê à: T0á ứ dụ Mà số: 60.46.36 Tóm ắ Luậ ă sĩ 0á ọ ãời ã dẫ k0a ọ: S-TS Tầ Tiệu Tái uê 9/2009 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môເ lôເ Lời ói đầu -ơ àm lồi mộ ьiÕп 1.1 Һµm låi ƚҺὺເ 1.2 TÝпҺ låi ƚ¹i ®iόm ǥi÷a 10 1.3 1.4 àm liê ợ 13 àm lồi iá ƚгÞ ƚг0пǥ ¯Г 14 ເҺ-¬пǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һµm lồi 19 2.1 Đị ĩa í ấ ả 19 2.2 àm lồi kả i 23 2.3 é 0á àm låi 26 2.4 Tí liê ụ àm lồi 29 2.5 àm liê ợ 33 2.6 D-i i â àm lồi 34 -ơ ị àm lồi 40 3.1 iu địa -ơ iu ƚ0µп ເơເ 40 3.2 ເὺເ ƚiόu àm lồi ( đại àm lõm) 40 3.3 iu àm lồi mạ 47 3.4 ເὺເ đại àm lồi ( iu àm lõm) 49 K̟Õƚ lп 53 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 55 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời ói đầu àm lồi iế ó (lồi ặ, lồi m¹пҺ, ƚὺa låi ) ເã пҺiὸu ƚÝпҺ ເҺÊƚ đẹ đá ý đ-ợ sử dụ ộ Ãi iu lý uế ứ dụ iễ, đặ iệ iải í lồi ối -u 0á àm lồi mở ộ mộ ủ đ ấ dẫ i iu kế luô u s qua âm iu iê ứu Đ ài luậ ă đ ậ i àm lồi mộ iế iu iế, ù i í ấ ả àm lồi ó ò qua ọ iu lĩ iê ứu: qui 0ạ 0á ọ, lý uế điu ki ối -u, lý uế ò ơi, ki ế 0á iả iế í lồi ờnờn n àm kô iếu iup đị lý ại iệm ối -u, uyuy vă hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu ại iá â ằ a ì ế â ằ mô ì ki ế 0á ì ế, ìm iu àm lồi í ấ s ầ iế ữu í, i iu sâu iu ấ đ iải í lồi lý uế ối -u Mụ iêu luậ ă ìm iu ì ữ kế ả đà iế liê qua đế àm lồi mộ iế iu iế, đặ iệ l-u ý í ấ ổi ậ - í liê ụ, í kả i í ấ ị ội du đ ậ luậ ă đ-ợ ì mộ ặ ẽ mặ 0á ọ, kái iệm kế a ó km e0 í dụ ì ẽ đ mi 0ạ ội du luậ ă đ-ợ ia a -ơ: -ơ 1: àm lồi mộ iế đ ậ i àm lồi mộ iế, đị ậ iá ị ữu a ô ê mộ k0ả liê ụ (ữu S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn a ô ạ) đ-ờ ẳ số àm lồi mộ iế ó iu í ấ đá ý - í Lisiz, í liê ụ kả i ầu kă ê mi đị é mộ số àm ó liê qua: àm lồi ặ, àm a lồi, a lồi ặ, àm liê ợ -ơ 2: àm lồi ii iệu àm lồi iu iế í ấ ả: àm п ьiÕп lµ Һµm låi k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi Һµm ƚҺu ҺĐρ ເđa пã n ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ê đ-ờ ẳ àm lồi mộ iế àm lồi ó mối qua ệ ặ ẽ i ậ lồi: f àm lồi ki ỉ k̟Һi eρi f lµ ƚËρ låi ѵµ пÕu f lµ àm lồi ì ậ mứ d-i ó ậ lồi àm lồi ê ậ lồi mở ì liê ụ Tiế e0 ậ iế àm lồi qua é 0á àm kả i lồi qua mộ số dấu iệu T0 -ơ ò ii iệu kái iệm d-i i â àm lồi mối qua ệ iữa d-i i â i đạ0 àm e0 - i àm liê ợ -ơ 3: ị àm lồi ì í ấ ị àm lồi, àm lồi ặ àm lồi mạ: iu địa -ơ àm lồi luô iu 0à ụ; àm lồi ặ ó iu ấ mộ đim iu àm lồi mạ luô đạ iu ê ậ ká ỗ, iu duɣ пҺÊƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu ếu ậ lồi ká ỗ; đại àm lồi ( iu àm lõm) ếu ó đạ ại đim iê (ói iê, ại đỉ) ậ đ-ợ é 0ài a, -ơ ò ì điu kiệ ối -u ầ đủ đối i àm lồi kả i D0 ời ia ó ê luậ ă mi ỉ dừ lại iệ ìm iu, ậ ợ ài liệu, sắ ế ì kế iê ứu đà ó e0 ủ đ đặ a T0 ì iế luậ ă - lý ă ả ắ ắ kô kỏi ó ữ sai só ấ đị Tá iả luậ ă ấ m0 ậ đ-ợ s ó ý ầ ô đồ iệ đ luậ ă đ-ợ 0à iệ â dị à, iả i ỏ lò iế sâu sắ đế ầ - dẫ S-TS Tầ Tiệu đà ậ ì i đ suố ì làm luậ ă Tá iả i â ảm ầ, ô iệ T0á ọ, iệ ô ệ ô i ội, K0a ô ệ ô i, K0a T0á Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ò Đà0 ạ0 sau đại ọ -ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê đà ậ ì iả ạ0 điu kiệ uậ lợi iả ì ọ ậ ƚ¹i ƚг-êпǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tá iả i â ảm a iám iệu, ò, a ứ ă ộ mô T0á T-ờ ấ II-III Tâ Qua đồ iệ ù ia đì đà qua âm i đ, độ iê đ iả 0à ố luậ ă Tái uê, 09 ăm 2009 Tá iả ạm Tuê n yờ ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn -ơ àm lồi mộ iế àm lồi ó ò qua ọ iải í lồi, đặ iệ ối -u 0á Ta ắ đầu làm que i àm lồi mộ iế í ấ đá ý ó 1.1 àm lồi 1.1.1 Đị ĩa í ấ Ký iệu I mộ k0ả (đó, n mở a ửa mở, ữu Һaɣ ѵ« yê ên n p y ă iệ gugun v ghi ni nu ạ) đ-ờ ẳ .t ntẳ ạ, k0ả mở ữu htỏhỏs, l s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu I = (ρ, q) ѵίi − ∞ < ρ < q < +∞ Đị ĩa 1.1 àm mộ iế số f : I → Г, a) f ǥäi lµ låi (Һaɣ Һµm låi) пÕu: f (λa + (1 − λ)ь) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (ь) (1.1) ѵίi mäi a, ь ∈ I, ѵµ mäi λ ∈ Г, ѵίi < λ < Һ×пҺ 1.1 ເҺ0 ƚҺÊɣ ý пǥҺÜa ì ọ í lồi: dâ u i đầu m (a, f (a)) (, f ()) luô ằm ía ê đồ ị àm f b) f ọi lồi ặ ếu f lồi (1.1) ó ấ đẳ ứ ặ ki a = Ta á iu -ơ đ-ơ ká í låi ເđa Һµm f : I → Г ь х х a a) f (х) ≤ − f (a) + − f (ь) ь−a ь −a ѵίi mäi a, ь, х ∈ I ѵµ a < х < ь ເҺό ý ằ ế ải ấ đẳ ứ ê ó ƚҺό ѵiÕƚ ƚҺµпҺ: f (a) + f (ь) − f (a) (х ь−a − a) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MÖпҺ đ 3.3 iả sử ậ lồi ѵµ f : Гп → Г lµ Һµm låi Muèп 0 đim iu f ê điu kiệ ầ đủ ∂f (х0) − Пເ(х0) (3.1) ѵίi Пເ(х0) = {ρ : } ó ƚuɣÕп ƚг0пǥ ເđa ເ ƚ¹i х0 ເҺøпǥ miпҺ ПÕu ເã (3.1) ì ại f (0) (0) Ѵίi mäi х ∈ ເ d0 ρ ∈ ∂f (х0) пªп ≤ f (х) − f (х0), пǥҺÜa lµ f (х0) ≤ f (х)− Mặ ká, d0 (0) ê a ເã ≥ 0∀х ∈ ເ , ѵ× ƚҺÕ f (х0) ≤ f (х) ∀х ∈ ເ , ĩa là đim iu f ê -ợ lại, ếu Ami f () ì ệ ấ đẳ ứ sau ô iệm (, ) ເ × Гп, х − ɣ = 0, f (ɣ) − f (х0) < n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc п vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu Đặ D = ì A(, ) = D0 A(D) = i ì ầu ấ k âm 0, + Г , ѵ× ƚҺÕ Ь = х0 − (х0 + Ь) ⊂ A(D), d0 ®ã ∈ iпƚA(D) TҺe0 méƚ đị lý đà iế ệ ấ đẳ ứ lồi (em[4], Đị lý 2.4, .59), ại éơ Гп sa0 ເҺ0 +f (ɣ) − f (х0) ≥ ∀(х, ɣ) ∈ ເ × Гп = a ậ đ-ợ ≥ ∀х ∈ ເ , пǥҺÜa lµ ρ ∈ (0) Tiế đó, = a đ-ợ f (ɣ) − f (х0) ≥ ∀ɣ ∈ Гп, пǥҺÜa lµ ρ ∈ ∂f (х0) ѴËɣ, ρ ∈ Пເ(х0) ∩ ∂f (х0) Tõ ®ã ∈ ∂f (х0) (0) Q ệ 3.2 i iả iế пҺ- ƚг0пǥ MƯпҺ ®ὸ 3.3, ®iόm ƚг0пǥ х0 ∈ ເ đim iu ki ỉ ki ∂f (х0) ເҺøпǥ miпҺ ҺƯ qu¶ suɣ ƚõ пҺËп хÐƚ Пເ(х0) = пÕu х0 ∈ iпƚ ເ Q MÖпҺ đ 3.4 iả sử ậ 0ma ƒ= ∅, f : ເ → Г lµ méƚ Һµm liê ụ ấ k f àm a0 lồi f ê Ki đó, đim iu 0à ụ f ê mộ đim iu f () ê 54 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ເҺøпǥ miпҺ Ǥi¶ sư х0 ∈ ເ đim iu 0à ụ f () ê D0 f kô l f ê ƚa ເã f ເ(х0) ≤ f (х0) ПÕu f ເ(х0) < f (0) ì àm lồi () = ma{f (0 ), f ()} kô l f , - lại l f , điu kô ƚҺό хÈɣ гa ПҺ- ѵËɣ, f ເ(х0) = f (х0) f () = () Từ đó, f ເ(х0) = f (х0) ≤ f ເ(х) ∀х ∈ 0, ĩa đim iu 0à ụ f () ê Q Đ é êm mộ iêu uẩ ối -u ữa, a ầ đế đị ĩa sau Đị ĩa 3.2 ậ lồi đim Ta ọi ì iếu ê đim sa0 ເҺ0 ||х0 − ɣ|| = iпfх∈ເ||х − ɣ|| = δເ(ɣ) K̟ý ҺiƯu х0 = ρ(ɣ) ѵµ ǥäi δເ(ɣ) lµ k0ả i Dĩ iê = ρ(ɣ) ѵµ δເ(ɣ) = пÕu ɣ ∈ ເ (ເã ƚҺό ເҺøпǥ miпҺ ∃ρ(ɣ) пÕu ເ lµ ƚËρ låi ®ãпǥ) Ьỉ n ê ênăn y v Һ×пҺ ເҺiÕu ເđa ®iόm ɣ ƚгªп ƚËρ låi ®ὸ 3.1 Muèп ເҺ0 ®iόm х0 h∈iệnpgເugyulµ n gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va 0lululậuậ ®ãпǥ ເ, điu kiệ ầ đủ < , ɣ − х >≤ ∀х ∈ ເ (3.2) ເҺøпǥ mi iả sử ì iếu ê Lấ mộ đim u ý хÐƚ ®iόm z = λх + (1 − λ)х0 D0 lồi ê [0, 1] ì z ເ Ѵ× ||z − ɣ||2 = λ2||х − х0||2 + 2λ +||х0 − ɣ||2 D0 ||z ||2 ||0 ||2 (e0 đị ĩa ì iếu) ê 2|| 0||2 + < 0, > D0 ấ đẳ ứ đ i [0, 1] ê ≥ Tõ ®ã suɣ a (3.2) -ợ lại, iả sử ó (3.2) Ki ѵίi mäi х ∈ ເ sÏ ເã ||х − ɣ||2 = ||(х − х0) + (х0 − ɣ)||2 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn = ||х − х0||2 + +||х0 − ɣ||2 ≥ ||х0 − ||2 Điu ứ ỏ ì iếu ê Q Mệ đ 3.5 Muố ®iόm х∗ ເđa ƚËρ låi ®ãпǥ ເ lµ ®iόm ເὺເ iu àm lồi kả i f () ê , điu k iệ ầ đủ = ( ∗ ), ƚг0пǥ ®ã n yêyêvnăn ɣ ∗ = х∗ − α Qf (х∗ ) ѵµ α > lµ méƚ sè k̟ύ un ệpgugьÊƚ i h nn ậ ເҺøпǥ miпҺ gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ∗ậnn nv v luluậ lu Đủ iả sử = ( ) D0 ( ) ì iếu đim ê ê (3.2) a ó ấ đẳ ứ ≤ ∀х ∈ ເ Ѵ× ɣ ∗ = х∗ − Qf ( ) > ê ≥ ∀х ∈ ເ , ĩa e0 Mệ đ 3.2, đim iu àm f () ê ầ iả sử đim iu f ê K̟Һi ®ã ѵίi mäi х ∈ ເ ƚa ເã ≥ Һaɣ − α ≤ (α> 0) ПҺ-пǥ −α Qf (х∗ ) = ɣ ∗ − х∗ , d0 ®ã Te0 ổ đ 3.1, ì iếu đim ê , ĩa х∗ = ρ(ɣ ∗ ) Q 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3.3 iu àm lồi mạ Sau đâ a é mộ l àm luô ó iu ê ậ = ữa, iố - đối i àm lồi ặ, iu du ấ ếu ậ lồi Đị ĩa 3.3 àm f () đị ê ậ lồi đ-ợ ọi lồi mạ, ếu ại ằ số > đủ ỏ (ằ số lồi mạ) sa0 i mäi х, ɣ ∈ ເ ѵµ mäi λ ∈ [0, 1] a ó ấ đẳ ứ: f [ + (1 − λ)ɣ] ≤ λf (х) + (1 − λ)f (ɣ) − λ(1 − λ)ρ||х − ɣ||2 (3.3) ເã ƚҺό ເҺøпǥ mi ằ àm f () lồi mạ ki ỉ k̟Һi Һµm f (х)−ρ.||х||2 lµ låi Гâ гµпǥ méƚ Һµm lồi mạ yì lồi ặ, - điu -ợ lại ờnờn n p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ х n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu kô ắ đ (ẳ ạ, àm e , , lồi ặ - kô lồi mạ) àm lồi mạ ó ò đặ iệ qua ọ iê ứu ài 0á ị (ẳ ạ, f () ≡ f (х1, х2) = х2 + 2х2, х ∈ 2, àm lồi mạ) í dụ 3.2 é àm 0à -ơ f () = + , Q ma ậ đối ứ, đị d-ơ Tí lồi mạ f đ-ợ su a ệ ứ (sau ki iệ mộ số í 0á iả): f [ + (1 − λ)ɣ] ≤ λf (х) + (1 − λ)f (ɣ) − λ(1 − λ) ≤ λf (х) + (1 − λ)f (ɣ) − λ(1 − λ)ρ||х − ɣ||2, ®ό ý г»пǥ ѵίi ≤ λ ≤ ƚҺ× λ2 ≤ λ, (1 − )2 (1 ) ì ằ < ɣ, Q(х − ɣ)>≥ ρ||х − ɣ||2 57 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn iá ị iê ỏ ấ (d-ơ) ma ậ Q Q Mệ đ 3.6 ếu f () àm lồi mạ kả i ê ậ lồi ì a) ≥ ρ||х − ɣ||2 ѵίi mäi х, ɣ ∈ ເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 58 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn b) Ѵίi ьÊƚ k̟ύ х0 ∈ ເ ƚËρ møເ d-ίi ເ0 = {х : f () f (0)} ị ặ c) Tồ ại du ấ đim sa0 ເҺ0 f (х∗) = miп{f (х) : х ∈ ເ } ເҺøпǥ miпҺ a) D0 f låi пªп ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 2.4, ∀х, ɣ ∈ ເ ƚҺ× f (х) − f (ɣ) ≤ Һ¬п ữa, d0 f lồi mạ ê i a ເã: = 1 1 1 ρ||х − ɣ||2 ≤ [f (х) − f ( х + ɣ)] + [f (ɣ) − f ( х + ɣ)] ≤ 2 2 2 1 + = 4 b) D0 f (х) − f (ɣ) = ∫ dλ = ∫1 dλ = + nn ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ê kế ợ i ấ đẳ ứ ầ a) a đ-ợ f () f () + ρ||х − ɣ||2 ⇒ (ເҺ0 ɣ = х0 ) ≥ f (х) − f (х0 ) ≥ + ρ||х − х0 ||2 ⇒ 20 2 0 ), х ||х − х || ≤ ≤ || Qf (х )|| × ||х − х ||, ρ ρ Tõ ®ã suɣ гa ||х − х0 || ≤ || Q f (х0)|| ѵίi mäi х ∈ ເ0, пǥҺÜa lµ ເ0 ị ặ c) D0 àm f () liê ụ ê ậ lồi ị ặ , ê ại sa0 f ( ) = miп{f (х) : х ∈ ເ0 } = mi{f () : } ì àm lồi mạ àm lồi ặ, ê e0 Mệ đ 3.1 đim iu du ấ Q 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mệ đ 3.7 iả sử f () lồi mạ ê ậ lồi ®iόm ເὺເ ƚiόu ເđa f ƚгªп ເ K̟Һi ®ã, ѵίi mäi х ∈ ເ ƚa ເã 0 ||х − х || ≤ [f (х) − f ( )] (3.4) ữa, ếu f kả i ƚҺ× ||х − х || ≤ ρ (3.5) || Qf (х)|| ѵµ ≤ f (х) − f (х0) ≤ || Q f (х)|| ρ ứ mi Từ đị ĩa àm lồi mạ (ệ ƚҺøເ (3.3)) suɣ гa (ѵίi λ= ): 1 1 f ( х + х0) ≤ f (х) + f (х0) − ρ||х − х0||2 2 ên2n n p uyuyêvă 1 ệ i g n h n ng Từ f (х0) ≤ f ( х + х0 ) suɣ tгa Tại đim iu f ê lu nhgỏiỏi(3.4) t th s ,sĩ ố 2 ănntđhđthhạhcạc v ănn t nn văvх n ເ , ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 3.2, Qf (xlu0uậậ), ∀х ∈ ເ n vava − х > ≥ l luậậnận u l lu < Mặ ká, e0 Mệ đ 3.6 a) a ó: || − х0 ||2 ≤ ≤ ≤ ≤ || Qf (х)||.||х − х || пǥҺÜa ó ấ đẳ ứ (3.5) uối ù, Mệ ®ὸ 2.4 ѵµ ҺƯ ƚҺøເ (3.5) suɣ гa ≤ f (х) −f (х0 ) ≤≤ || Qf (х)|| × ||х− х0 || ≤ || Qf ()|| 3.4 đại àm lồi ( iu àm lõm) Ká i iu, đim đại địa -ơ àm lồi kô ấ iế đim đại 0à ụ ói u, ô i địa -ơ kô đủ đ đị đim đại 0à ụ ເđa méƚ Һµm låi 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn MƯпҺ ®ὸ 3.8 iả sử ậ lồi f : ເ → Г lµ Һµm låi ПÕu f () đạ đại ê ại đim -ơ ®èi х0 ເđa ເ (х0 ∈ гiເ) ƚҺ× f (х) ằ ằ số ê Tậ Ama f () ợ mộ số diệ ứ mi iả sử f đạ đại ê ại đim i iả sử đim u ý uộ D0 i ê ìm đ-ợ ∈ ເ sa0 ເҺ0 х0 = λх + (1 − ) i à0 (0, 1) Ki đó, f (х0) ≤ λf (х) + (1 − λ)f (ɣ) Ѵ× ƚҺÕ λf (х) ≥ f (х0) − (1 − λ)f (ɣ) ≥ f (х0) − (1 − λ)f (х0) = λf (х0) ПҺѵËɣ, f (х) ≥ f (х0) Tõ f () = f (0) ầ đầu Mệ đ đ-ợ ứ mi Đ ứ mi ầ ứ Mệ đ, a đ ý ằ i ®iόm ເὺເ ®¹i х0 ∈ ເ ®ὸu ∃ diƯп F ເđa ເ sa0 ເҺ0 х0 ∈ гiF Ѵ× ƚҺÕ e0 lậ luậ ê đâ, đim uộ diệ đu đim đại 0à ụ f ê ເ.Q n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu Mệ đ 3.9 iả sử ậ lồi, f : àm lồi ếu kô ứa đ-ờ ẳ à0 f () ị ặ ê ê ửa đ-ờ ẳ ƚг0пǥ ເ ƚҺ× suρ{f (х) : х ∈ ເ } = suρ{f (х) : х ∈ Ѵ (ເ )}, ƚг0пǥ () ậ đim iê , ĩa ếu đại f () đạ đ-ợ ê ì đại đạ đ-ợ ê () ứ mi Te0 đị lý iải í låi, ເ = ເ0пѵѴ (ເ) + K̟, ƚг0пǥ ®ã K̟ ó lồi si ởi -ơ iê ເ Méƚ ®iόm ьÊƚ 61 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn k̟ύ ƚҺuéເ mà ó kô ải đim iê, uộ ửa đ-ờ ẳ uấ mộ đim à0 () e0 -ơ mộ ia K D0 f () ữu ị ặ ê ê ửa đ-ờ ẳ à, ê đại ó ê đ-ờ ẳ đạ đ-ợ ại (Đị lý 3.2) ПҺ- ѵËɣ, suρгemum ເđa f (х) ƚгªп ເ qui ѵὸ suρгemum ເđa f ƚгªп ເ0пѵѴ (ເ) K̟Һi Σ iIdạ = đó, ởi ì ấ k (ເ) ®ὸu ເã λiѵi ѵίi ѵi Ѵ (ເ) Σ Σ i 0, iI i = 1, ê f (х) ≤ i∈I λi f (ѵ i ) ≤ maiI f ( i ) Q ệ 3.3 àm lồi f () ê ậ lồi đa diệ D, kô ứa đ-ờ ẳ à0, 0ặ k ô ị ặ ê ê mộ ô à0 D, 0ặ đạ đại ại mộ đỉ D Q ệ 3.4 àm lồi f () ê ậ lồi 0ma đạ đại ại mộ đim iê ເña ເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Q ПҺËп хÐƚ 3.1 TҺὺເ гa, í ấ ệ 3.4 đ l àm ộ ụ àm a lồi, ĩa àm f : [, +∞] sa0 ເҺ0 ເ¸ເ ƚËρ møເ d-ίi Iα = {х ∈ Гп : f (х) ≤ α} lµ låi ѵίi (Đị ĩa 2.3, -ơ 2) Tậ ậ, d0 ậ lồi 0ma ằ a0 lồi đim ເὺເ ьiªп ເđa пã, пªп ьÊƚ k̟ύ х ∈ ເ ເã Σ Σ ьiόu diÔп х = i∈I λiѵi , i đim iê, i 0, iI i = I ậ ữu ỉ số ếu f () àm a lồi ữu ê = maiI f (ѵ i) ƚҺ× ѵ i ∈ ເ ∩ Iα , ∀i ∈ I D0 ເ ∩ Iα låi, пªп х ∈ ເ ∩ Iα ПҺ- ѵËɣ, f (х) ≤ = maiI f ( i), ĩa đại f ê đạ đ-ợ ại mộ đim iê Q ó ứ mi đ-ợ ằ ậ ê mộ ọ àm a lồi Һµm ƚὺa låi, пҺ-пǥ ƚỉпǥ ເđa Һai Һµm ƚὺa låi kô ắ àm a lồi Tóm lại, -ơ đà ì ữ í ấ ị ả liê qua i àm lồi, àm lồi ặ àm lồi mạ Đá ý iu 62 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn địa -ơ mộ àm lồi luô iu 0à ụ, đim iu àm lồi ặ ếu ó du ấ àm lồi mạ luô đạ iu ê ậ n yờ ờnn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 63 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ká ỗ, iu du ấ ếu ậ lồi ká ỗ đại àm lồi ếu ó đạ ại đim iê (ói iê, ại đỉ) ậ đ-ợ é n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Kế luậ àm uế í afi ữ àm iả đ-ợ dïпǥ ρҺỉ ьiÕп пҺÊƚ Һµm låi ƚҺເ lίρ Һµm ρҺi uế a đ-ợ dù lý uế ứ dụ ế, ì àm lồi ù i iế ó (lồi ặ, lồi mạ, a lồi ) ó iu í ấ đẹ ấ đá đ-ợ ý Luậ ă ủ ếu ậ u à0 ìm iu àm lồi mộ iế iu iế, ù í ấ ả , đă iệ í liê ụ, í kả i í ấ ị nn n p uyuyờvmộ iế, ậ iá ị ữu -ơ đ ậ i àmhilồi ng gận gái i nu t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һaɣ ѵ« àm lồi mộ iế đị ê k0ả I Lisis ê [a, ] i(I), liê ụ ê i(I) kả i ầu kắ ê I ếu àm f lầ kả i ê k0ả mở I ì àm f lồi ki ỉ ki f (х) ≥ ѵίi mäi х ∈ I JJ -ơ ii iệu àm lồi iu iế í ấ ả -: f àm lồi ki ỉ ki ậ ê đồ ị ó lồi, àm f lồi ì ậ mứ d-i ó ậ lồi, ậ iê àm kả i àm lồi, é 0á ả0 0à í lồi àm, ii iệu kái iệm d-i i â àm lồi mối qua ệ iữa d-ói i â i đạ0 àm e0 - i àm liê ợ -ơ ì í ấ ị àm lồi, àm lồi ặ àm lồi mạ, điu kiệ ối -u ầ đủ đối i àm lồi kả i mộ số kế í iu ( đại) àm lồi Đá ý iu địa -ơ mộ àm lồi luô iu 0à ụ, đim 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn iu àm lồi ặ ếu ó du ấ àm lồi mạ luô đạ iu ê ậ ká ỗ, iu du ấ ếu ậ lồi ká ỗ đại àm lồi ếu ó đạ ại đim iê (ói iê, ại đỉ) ậ lồi đ-ợ хÐƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 66 Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tá iả đà ố ắ sắ ế ì ấ đ e0 iu õ à qua ấ ó , đ-a a iu í dụ ì ẽ ụ đ mi 0ạ kái iệm s kiệ đ-ợ đ ậ i luậ ă ọ iả luậ ă ó dị làm que i ữ l àm lồi ká iu ứ dụ ເđa ເҺόпǥ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣÕƚ ѵµ ƚҺὺເ ƚiƠп n ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 67 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 Tiế iệ [1] T Tiệu (2003), sở iải í lồi, ài iả l a0 ọ, iệ T0á ọ ội [2] T Tiệu (2004), iá0 ì ối -u uế í, Đại ọ Quố ia ội Tiế A [3] J Tiel (1984), ເ0пѵeх Aпalɣsis - Aп Iпƚг0duເƚ0гɣ Teхƚ, J0Һп Wileɣ aпd S0пs, T0г0пƚ0 - Siпǥaρ0гe nn yê ê ăn [4] Һ Tuɣ (1998), ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd Ǥl0ьal 0ρƚimizaƚi0п, K̟luweг ệp u uy v hi ngngận gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Aເademiເ ΡuьlisҺeгs, Ь0sƚ0п/ L0пd0п/ D0гdгeເҺƚ TiÕпǥ Пǥa 68 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn