(Luận văn) bài toán giá trị riêng bậc hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ NHO lu an va n BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI p ie gh tn to nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ Thái Nguyên - 2017 an Lu n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ NHO lu BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI an n va tn to ie gh Chuyên ngành: Toán ứng dụng p Mã số: 60 46 01 12 w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu Người hướng dẫn khoa học: lm ul z at nh oi TS NGUYỄN THANH SƠN z m co l gm @ Thái Nguyên - 2017 an Lu n va ac th si Mục lục Danh sách ký hiệu Bài toán giá trị riêng bậc hai 1.1 Bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Một số thuật tốn tìm giá trị riêng 1.1.3 Bài toán giá trị riêng suy rộng Bài toán giá trị riêng bậc hai 13 1.2.1 Khái niệm 13 Tuyến tính hóa toán giá trị riêng bậc hai lu 15 1.2.3 Bộ ba Jordan Q(λ ) 18 1.2.4 Một số tính chất tốn giá trị riêng bậc hai 19 Một số ứng dụng khác toán giá trị riêng bậc hai 21 lu Mở đầu an n va p ie gh tn to z at nh oi Biểu diễn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 21 1.3.2 Bài tốn hạn chế bình phương nhỏ 22 1.3.3 Một vài ví dụ 23 z m Phương pháp số cho toán đặc 26 2.1.1 26 an Lu 2.1 26 co Giải số toán giá trị riêng bậc hai l gm @ lm ul 1.3.1 nf va 1.3 an 1.2.2 d oa nl w 1.2 Phương pháp Newton n va ac th si 2.1.2 Phân tích Schur thực suy rộng 28 2.2 Phương pháp số cho toán thưa 29 2.3 Ví dụ số 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Trong chương trình đại học sinh viên giới thiệu toán giá trị riêng bậc tiêu chuẩn Trong đó, có nhiều toán, đặc biệt lĩnh vực học, qui toán giá trị riêng bậc hai, ta đưa lu tốn giá trị riêng suy rộng bậc một, mặt khác nghiên cứu độc an n va lập Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu trình bày "Bài toán giá trị Chương 1: Bài toán giá trị riêng bậc hai Chương chúng tơi trình bày gh tn to riêng bậc hai" Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm hai chương p ie khái niệm toán giá trị riêng bậc hai, tính chất ứng dụng tốn w giá trị riêng bậc hai oa nl Chương 2: Giải số toán giá trị riêng bậc hai Chương trình bày d vài phương pháp giải tốn giá trị riêng bậc hai Chúng tơi chia tốn lu an hai loại dựa kích thước tốn dạng liệu Bài tốn đặc (thơng nf va thường) cỡ tốn nhỏ Cịn tốn thưa tốn có kích cỡ lớn lm ul liệu dạng thưa Căn vào đặc điểm toán, phương z at nh oi pháp giải có nhiều khác biệt Chúng tơi trình bày phương pháp Newton phương pháp phân tích Schur cho toán đặc phương pháp dựa khơng gian Krylov cho tốn thưa Ngồi có thêm vài ví dụ số z gm @ để minh họa cho phương pháp Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái l co Nguyên Em muốn gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn m Thanh Sơn giúp đỡ, hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để em hồn an Lu thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy n va giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, gia đình ac th si tơi bạn lớp cao học toán K9Y tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học cao học thực luận văn Trong q trình viết luận văn khơng tránh khỏi sai sót mong nhận góp ý chân thành độc giả Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn lu an n va Phí Thị Nho p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: lu an n va ma trận A AT chuyển vị ma trận thực A A∗ = (A)T liên hợp phức ma trận A A liên hợp số phức ma trận A ker(A) nhân ma trận A ie gh tn to A không gian sinh cột ma trận A p span(A) bậc đa thức P định thức ma trận A lu det(A) d oa deg(P) nl w A > (A ≥ 0) ma trận A xác định dương (nửa xác định dương) hạng ma trận B QEP toán giá trị riêng bậc hai ||x|| chuẩn Ơclit ∇P gradien P K j (x, A) không gian Krylov nf va an rank(B) z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Bài tốn giá trị riêng bậc hai Nội dung chương định nghĩa, tính chất số ứng lu dụng toán giá trị riêng bậc hai Tuy nhiên, dành an va thời lượng đáng kể cho việc trình bày tốn giá trị riêng tiêu chuẩn n toán giá trị riêng suy rộng Lí ta chuyển toán giá gh tn to trị riêng bậc hai toán giá trị riêng bậc để giải Thêm vào đó, nhiều ie phương pháp giải số toán bậc hai xuất phát từ ý tưởng tương p tự cho toán bậc Khi viết chương tham khảo tài Bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn d Khái niệm nf va an lu 1.1.1 oa 1.1 nl w liệu [1–3] lm ul Định nghĩa 1.1.1 Cho ma trận vng A ∈ Rn×n Tìm đại lượng vô hướng z at nh oi λ ∈ R véc tơ x ∈ Rn , x 6= 0, cho: (1.1) Ax = λ x z (1.2) co l (A − λ I)x = gm @ hay m có nghiệm khơng tầm thường Cho cặp (λ , x) nghiệm (1.1) n va (1) λ gọi giá trị riêng A; an Lu (1.2) tương ứng ac th si (2) x gọi véc tơ riêng A; (3) (λ , x) gọi cặp riêng A; (4) Đặt σ (A) tất giá trị riêng A gọi phổ A; (5) Tất véc tơ riêng có giá trị riêng λ với véc tơ tạo thành khơng gian tuyến tính R gọi không gian riêng λ ; (6) Một nghiệm không tầm thường y y∗ A = λ y∗ gọi véc tơ riêng trái tương ứng với λ Một véc tơ riêng trái A véc tơ riêng phải lu AT tương ứng với giá trị riêng λ , ta viết : AT y = λ y an n va Một số thuật tốn tìm giá trị riêng tn to 1.1.2 ie gh • Cơ sở trực giao cho khơng gian Krylov p Cho không gian Krylov K j (x) = K j (x, A) ta lấy w d oa nl {x, Ax, , A( j−1) x}, an lu làm hệ sinh Tuy nhiên vectơ Ak x hội tụ đến vectơ riêng tương ứng với giá nf va trị riêng có modul lớn A nên chúng sớm có xu hướng phụ thuộc lm ul tuyến tính Do q trình trực giao hoá Gram-Schmidt áp dụng cho vectơ sở để tìm sở trực chuẩn không gian Krylov z at nh oi Giả sử {q1 , q2 , , qi } sở trực chuẩn cho K i (x), i ≤ j Chúng ta xây dựng vectơ q j+1 cách trực chuẩn hóa A j x với q1 , q2 , , q j z @ j m co sau chuẩn hóa vectơ kết l i=1 gm y j := A x − ∑ qi q∗i A j x, j an Lu q j+1 = y j /||y j || n va ac th si Ta {q1 , q2 , , q j+1 } sở trực chuẩn K j+1 (x), gọi chung sở Arnoldi Các vectơ gọi vectơ Arnoldi tương ứng Các vectơ qi tính sau K j+1 (x, A) = ℜ([x, Ax, , A j x]), (q1 = x/||x||), = ℜ([q1 , Aq1 , , A j q1 ]) (Aq1 = αq1 + β q2 , β 6= 0), = ℜ([q1 , αq1 + β q2 , A(αq1 + β q2 ), , A j−1 (αq1 + β q2 )]), = ℜ([q1 , q2 , Aq2 , , A j−1 q2 ]), lu an = ℜ([q1 , q2 , , q j−1 , Aq j ]) va n Vì vậy, thay trực chuẩn hố A j q1 với q1 , q2 , , q j , trực gh tn to chuẩn hoá Aq j với q1 , q2 , , q j để có q j+1 Điều có lợi mặt tính ie tốn giúp giảm số phép tính cần thực Các thành phần r j Aq j p trực chuẩn với q1 , q2 , , q j cho w nl j oa r j = Aq j − ∑ qi (q∗i Aqi ) (1.3) d i=1 lu nf va an Nếu r j = thủ tục dừng lại Điều có nghĩa tìm thấy khơng gian bất biến, cụ thể span{q1 , q2 , , q j } Nếu ||r j || > ta có lm ul q j+1 rj ||r j || z at nh oi q j+1 = Do q j+1 r j phương, ta có z q∗j+1 r j = ||r j || = q∗j+1 Aq j gm @ (1.4) co l Phương trình cuối suy từ việc q j+1 trực chuẩn với tất m vectơ Arnoldi trước Đặt hij = q∗i Aq j (1.3) - (1.4) viết Aq j = i=1 (1.5) n va ∑ qihij an Lu j+1 ac th si 22 với a ∈ R2n véc tơ nghiệm tổng quát phương trình tương ứng với (1.24) Thật (1.26) q(t) ˙ = XJeJt a, q(t) ă = XJ eJt a Thay (1.25), (1.26) vào (1.24) với f (t) ≡ 0, M q(t) ¨ +Cq(t) ˙ + Kq(t) = (MXJ +CXJ + KX)eJt a = Tiếp theo, ta Jt Z t lu q p (t) = Xe an e−JsY f (s)ds va n nghiệm riêng (1.24) Thật tn to Jt Z t ie gh q p (t) = XJe p qă p (t) = XJ eJt e−JsY f (s)ds Z0 t e−JsY f (s)ds + XJY f (t) w d oa nl Vì thế, kết hợp (1.25) (1.26), ta thu Jt e−JsY f (s)ds + MXJY f (t) nf va an lu M qă p (t) +Cq(t) + Kq p (t) = (MXJ +CXJ + KX)e Z t = f (t) lm ul Do vậy, nghiệm tổng quát (1.24) z at nh oi Jt Z t q(t) = Xe (a + e−JsY f (s)ds) z Bài tốn hạn chế bình phương nhỏ gm @ 1.3.2 m thiểu có ràng buộc co l Cho A ∈ Rn×n ma trận đối xứng, b ∈ Rn Xét tốn bình phương tối an Lu min{xT Ax − 2bT x : xT x = α } (1.27) n va ac th si 23 Bài tốn đưa toán giá trị riêng bậc hai cách áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange Cho φ (x, λ ) = xT Ax − 2bT x − λ (xT x − α ) Đạo hàm ϕ theo x, λ sinh phương trình Ax − λ x = b, α = xT x (1.28) Ta cần tìm nghiệm λ nhỏ phương trình để giải tốn (1.27) Giả sử λ khơng giá trị riêng A Ta đặt lu an n va y = (A − λ I)−2 b = (A − λ I)−1 x bT y − α = 0, (1.29) (A − λ I)2 y = b (1.30) p ie gh tn to Khi (1.28) tương đương với: nl w oa Từ ( 1.29) ta có : d bT y = α2 Bằng cách khai triển (1.30) ta thu toán giá trị riêng bậc hai đối xứng   2 −2 T (λ I − 2λ A + A − α bb )y = (1.31) nf va an lu z at nh oi lm ul Nghiệm (1.27) x = (A − λ I)−1 b, z (1.32) @ Một vài ví dụ n va Q1 (λ ) = Mλ + Dλ + K, an Lu Ví dụ 1.3.1 Cho λ ma trận bậc hai m co 1.3.3 l gm λ giá trị riêng nhỏ (1.32) ac th si 24 với  0.5  M= 1.5       1.75 1 0.2      ,D =  ,K =   7.5      2.5 5.0 0.2 1 Dễ thấy ba ma trận hệ số M, D, K ma trận đối xứng, xác định dương Ngoài ra, ta kiểm tra thỏa mãn điều kiện tắt dần Do vậy, hệ học miêu tả Q1 λ hệ tắt dần Sử dụng phần mềm MATLAB, câu lệnh lu [X, λ ] = polyeig(K, D, M), an va n ta tính giá trị riêng, lấy xấp xỉ chữ số thập phân sau dấu phẩy to ie gh tn λ1 = −4.7586, λ2 = −2.6614, λ3 = −1.6266, p λ4 = −1.1556, λ5 = −0.2713, λ6 = −0.0264 d oa nl w ma  trận véc tơ riêng 0.2415 −0.9901 −0.6870  −0.9700 −0.1268 −0.2213  0.0273 0.0601 −0.6921 Như vậy, điều minh họa 0.9141 −0.5228 0.6933  nf va an lu  0.6165   0.3092 −0.6740 −0.5887 cho mệnh đề 1.2.14 giá trị riêng 0.2623 −0.2549 lm ul hệ tắt dần Ngồi ra, kiểm tra thấy véc tơ riêng độc lập z at nh oi tuyến tính Các véc tơ riêng khác biểu thị tuyến tính qua véc tơ Ta xét tuyến tính hóa bảo tồn tính đối xứng Q(λ ) nói z định nghĩa sau K , E1 = " K # −M co l K D # gm A1 = @ " m tuyến tính hóa khác khơng bảo tồn tính đối xứng " # " # K K A2 = , E2 = −K −D M an Lu n va ac th si 25 Bằng cách sử dụng lệnh eig(A1 , E1 ), eig(A2 , E2 ), ta thu tập giá trị riêng λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 , λ6 , đề cập Ví dụ 1.3.2 Xét λ -ma trận bậc hai lu Q2 (λ ) = Mλ + Dλ + K,   −1.5    với M, D giống ví dụ K cho    −1 Dễ thấy ma trận đối xứng ta kiểm tra Q2 (λ ) thỏa mãn an điều kiện hyperbolic Tuy nhiên, K không nửa xác định dương nên Q2 (λ ) n va hệ hyperbolic hệ tắt dần Bằng cách tương tự ví tn to dụ 1.3.1, ta tính giá trị riêng Q2 (λ ) tuyến tuyến tính hóa p ie gh chúng sau: λ4 = −0.5652, λ5 = 0.2132, λ6 = −2.1540 d oa nl w λ1 = −4.6886, λ2 = −4.0610, λ3 = 0.7556, nf va an lu Điều minh họa cho mệnh đề 1.2.10 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 26 Chương Giải số toán giá trị riêng bậc hai Trong chương này, chúng tơi trình bày số phương pháp số giải lu toán giá trị riêng bậc hai Chúng tơi chia tốn hai loại dựa theo dạng an va liệu Nếu tốn có cỡ nhỏ đến vừa dạng đặc, tức số phần tử n ma trận không đáng kể, chúng tơi trình bày phương pháp dựa theo phân gh tn to tích Schur ma trận phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến ie Để viết chương này, ngồi tài liệu [5], chúng tơi cịn tham khảo tài p liệu [2–4] nl w Phương pháp số cho toán đặc d oa 2.1 lu Phương pháp Newton nf va an 2.1.1 Để áp dụng phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến cho tốn lm ul z at nh oi QEP, ta đưa tốn khơng gian n + chiều sau " # " # x Q(λ )x P := = λ vT x − (2.1) z @ l gm Đạo hàm Fre’chet P tính " # Q(λ ) Q0 (λ )x ∇P = vT m co an Lu (2.2) n va ac th si 27 Nhắc lại phần phương pháp Newton cho phương trình phi tuyến P " # x = 0, λ dãy lặp " xs+1 # = " # xs λs+1 − (∇P)−1 P " # xs λs (2.3) λs Sử dụng (2.1) (2.2) kí hiệu Qs = Q(λs ) Q0s = Q0 (λs ), (2.3) đưa dạng lu an " #" # Qs Qs xs xs+1 − xs n va vTs λs+1 − λs " =− Qs xs # (2.4) vTs xs − gh tn to Giả sử xs chuẩn tắc hóa vs , tức vTs xs = Khi (2.4) trở thành p ie Qs xs+1 = −(λs+1 − λs )Q0s xs , (2.5) = nl w vTs xs+1 xs+1 , ta viết lại (2.5) dạng thuật toán sau (−λs+1 + λs ) d oa Đặt us+1 = an lu nf va Algorithm Thuật toán Newton cho QEP Require: M,C, K, x0 , λ0 , ε, N z at nh oi lm ul Ensure: (X, λ ) 6: k = k + 1; 4: 8: X = Xk ; λ = λk ; n va end while an Lu 7: m 5: Giải Qs uk+1 = Qs Xk tìm uk+1 ; VkT Xk ; Tính λk+1 = λk − T (Vk uk+1 ) Tính Xk+1 = Cuk+1 ; co 3: l while (k < N; ||Xk+1 − Xk || > ε) gm 2: @ k = 0; z 1: ac th si 28 Trong thuật toán C ma trận chuẩn tắc hóa Để kết thúc mục này, chúng tơi trình bày số cách chọn dãy vs Cách đơn giản chọn vs véc tơ đơn vị ei Nó có nghĩa giữ thành phần i véc tơ xs số Trong trường hợp ta cần tính i cặp riêng, ta nên chọn vs cho trực giao với véc tơ tính trước đó; điều giúp thuật tốn khơng hội tụ tới véc tơ tính 2.1.2 Phân tích Schur thực suy rộng Phân tích Schur biết đến cách hữu hiệu để tìm giá trị lu an riêng ma trận Trường hợp đơn giản phân tích Schur phức n va ma trận đơn A Khi đó, giá trị riêng ma trận đơn A hiển tn to thị đường chéo dạng Schur T A Với T ma trận phức, gh tam giác thỏa mãn T = QH AQ, Q ma trận phức, QH liên p ie hợp phức Q nl w Trong trường hợp A- ma trận thực bậc một, ta có kết sau d oa Mệnh đề 2.1.1 Giả sử A, B ∈ Rn×n Khi đó, ln tồn ma trận trực nf va giác an lu giao Q, Z cho QT AZ = φ tựa tam giác QT BZ = ψ tam lm ul Trong trường hợp det(B) 6= 0, phần tử đường chéo ψ z at nh oi khác khơng Khi đó, giá trị riêng λ - ma trận A − λ B tính sau Ta xem xét đường chéo ma trận tựa chéo φ dạng khối, φi , i = 1, , k, φi phần tử (hay ma trận cỡ × 1) φi z gm @ ma trận cỡ × có phần tử phía đường chéo khác khơng Ta m co l gọi ψi ma trận khối ψ có vị trí với φi φ Theo đó, φi ma trận cỡ × hai giá trị giá trị riêng A − λ B ψi riêng λ -ma trận cỡ × φi − λ ψi Kĩ thuật có tên phân tích QZ an Lu Để áp dụng kĩ thuật cho toán QEP, ta cần áp dụng cho n va dạng tuyến tính hóa A − λ B ac th si 29 2.2 Phương pháp số cho toán thưa Khi cỡ tốn QEP lớn phương pháp trình bày mục 2.1 trở nên đắt đỏ Trong mục này, trình bày phương pháp dựa không gian Krylov, phù hợp cho toán cỡ lớn Mục viết dựa việc tham kháo tài liệu [6] Trước tiên, để bắt đầu nhắc lại sơ lược phương pháp Arnoldi cho toán giá trị riêng suy rộng (λ A + B)x = Bởi phần phương pháp xây dựng sở trực chuẩn {q1 , , qk } cho không gian lu Krylov an n va Kk (A−1 B, q1 ) = span{q1 , A−1 Bq, , (A−1 B)k−1 qk } ma trận Hk = QTk (A−1 B)Qk = [hi j ] Đây ma trận Hessenberg, tức gh tn to Kí hiệu Qk = [q1 , , qk ], hình chiếu A−1 B lên Kk (A−1 B, q1 ) p ie hi j = ∀i, j cho i − j ≥ Khi đó, ta có mối quan hệ oa nl w (A−1 B)Qk = Qk Hk + hk+1,k qk+1 eTk , d ek ∈ Rk véc tơ đơn vị thứ k Nếu (θ0 , u) với ||u|| = cặp an lu riêng −Hk (θ0 , x) với x = Qk u coi xấp xỉ nf va cặp riêng ma trận A−1 B Cặp (θ0 , x) gọi cặp Ritz bao gồm giá trị lm ul Ritz véc tơ Ritz Thặng dư việc xấp xỉ z at nh oi (θ0 A + B)x = hk+1,k uk Aqk+1 Do hk+1,k giảm k tăng uk giảm nên thặng dư z dần Điều dẫn đến hội tụ phương pháp @ gm Ta áp dụng phương pháp với toán QEP Do toán liên quan co l đến số hạng chứa ma trận K, nên ta áp dụng thuật toán Arnoldi để xây m dựng ma trận Hessenberg Hk M −1C Sau ta tiếp tục tính hình chiếu n va Gk = QTk M −1 KQk an Lu M −1 K lên không gian Krylov này: ac th si 30 Khi đó, ta xét toán QEP chiếu Lk (λ ) = Iλ + Hk λ + Gk Nếu θ0 , u cặp riêng Lk (λ ), tức (Iθ + Hk θ + Gk )u = 0, ta sử dụng (θ0 , x = Qk u) cặp riêng xấp xỉ L(λ ) Ta gọi chúng cặp Ritz Xét thặng dư tương ứng rk = (Mθ0 +Cθ0 + K)x lu an = A(Qk θ + Qk Hk θ0 + Qk Gk )u + n va + θ0 hk+1, k Aq+1 eTk u + ∆k u to gh tn = θ0 hk+1, k uk Aqk+1 + ∆k u, p ie uk thành phần thứ k u nl w ∆k = KQk − MQk Gk d oa Trong số hạng thứ ∆k nhỏ dần k tăng, số hạng thứ hai nf va an lu không thiết nhỏ Do ta viết ||rk || ≈ ||∆k u|| ≤ ||∆k || ≤ ||M||||M −1 K|| lm ul Do đó, áp dụng trực tiếp phương pháp Arnoldi đạt thặng dư z at nh oi mức ||∆k u|| Lí khơng gian Krylov không chứa thông tin ma trận M −1 K hình chiếu Gk khơng chứa đủ thông tin Để khắc phục điều z này, ta sử dụng chiến lược trượt nghịch đảo để giảm bớt ảnh hưởng @ gm ∆k co l Xét giá trị riêng Q(λ ) gần với giá trị σ Ta chọn m ln λ0 = σ xấp xỉ ban đầu giá trị riêng cần tìm x0 véc tơ riêng n 1 = , λ λ − λ0 va µ = an Lu tương ứng Sử dụng phép biến đổi trượt nghịch đảo ac th si 31 dẫn đến Q(λ ) = M(λ + λ0 )2 +C(λ +0 ) + K = Mλ + (2λ0 M +C)λ + Q(λ0 ) Tiếp theo, ta tìm giá trị lớn theo mơ đun tốn trượt nghịch đảo b b + K, b + Cµ b Q(µ) = µ Q(λ ) = Mµ với b = Q(λ0 ), Cb = 2λ0 M +C, K b = M M lu Giả sử λ0 6= 0, ta viết an n va b b = C −C K 2λ0 tn to p ie gh b Cuối cùng, áp dụng thuật toán Arnoldi trình bày phần trước vào Q(µ) b bk (µ) = Iµ + Hk µ + Gk với Hk hình chiếu M b −1Cb xấp xỉ Q(µ) Q nl w b tức b −1 K, sinh thuật toán Arnoldi Gk hình chiếu M d oa b −1 KQ b k Gk = QTk M lu nf va an Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra thấy ck ) (H − G bk = QT M b −1CQk Gk = k , với G k 2λ Ta có kết sau thặng dư phép xấp xỉ z at nh oi lm ul bk (µ) với Mệnh đề 2.2.1 Giả sử µ0 giá trị riêng có mơ đun lớn Q u = (u1 , , uk )T véc tơ riêng có độ dài đơn vị tương ứng Đặt x1 = Qk u z gm @ λ1 = λ0 + µ0−1 Khi m co l λ12 − λ02 hk+1,k uk ||Q(λ0 )qk+1 || 2|λ0 | λ12 − λ02 + ||∆k u||, (2.6) 2|λ0 | ||(Mλ12 +Cλ1 + K)x1 || ≤ an Lu n va ck ∆k = CQk − Q(λ0 )Qk G ac th si 32 Chứng minh mệnh đề trình bày chi tiết [6] Cũng giống phần trước, số hạng thứ vế phải (2.6) giảm k tăng khơng có đảm bảo số hạng thứ hai giảm khơng có chiến lược đặc biệt Ở ta cập nhật biên độ phép tịnh tiến giá trị riêng tìm thỏa mãn |λ − σ | ≤ η với η > cho trước Điều dẫn đến thuật toán sau Algorithm Lặp trượt nghịch đảo Arnoldi Require: σ , η, dự đoán x, số bước lặp tối đa m, đặt λ0 = σ ; Ensure: Một cặp riêng (µ, u) lớn theo modul lu an 1: n va 2: 4: gh tn to 3: p ie 5: for l = 1, 2, · · · , đến hội tụ b = Q(λ0 ), Cb = 2λ0 M +C, K b = M, M x q1 = ||x||2 for j = 1, 2, · · · , m b b −1Cq; qb = M d oa i an end for i lu 9: hi j = qTi qb; qb1 = qb − qi hi j ; b −1 Kq b j ); g ji = qT (M b −1 Kq b i ); gi j = qT (M nl 8: w 7: for i = 1, · · · , j do 6: h j+1, j = ||b q||2 ; 11: if h j+1, j > 0, then qb ; q j+1 = h j+1, j else 14: z break z at nh oi 13: lm ul 12: nf va 10: end if 16: Tính cặp riêng lớn (µ0 , u) Iµ + H j µ + G j = m co l gm @ 15: an Lu n va ac th si 33 λ1 = λ0 + µ0−1 ; |λ12 − λ02 | b j+1 ||; h j+1, j |u j |||Mq γ1 = 2|λ0 | |λ12 − λ02 | b j (H j − 2λ0 G j ))|u|; γ2 = (CQ j − MQ 2|λ0 | if γ1 ≤ 0.1γ2 then 17: 18: 19: 20: break 21: end if 22: lu an 23: end for 24: x = Qk u; 25: if |λ1 − σ | < η then λ0 = λ1 ; va 26: end if n 27: Ví dụ số w 2.3 p ie gh tn to end for 28: oa nl Trong mục này, sử dụng phương pháp Newton để tính cặp d riêng toán giá trị riêng bậc hai Để thực hiện, sử dụng phần nf va an lu mềm MATLAB Để tiện so sánh, sử dụng lại tốn ví dụ 1.3.1, tiểu mục lm ul 1.3.3 sử dụng tiêu chuẩn dừng z at nh oi Chúng chọn x0 = [1 − 1]T , λ0 = −10, vs = [1 0]T với s Chúng z |λs+1 − λs | < tol = 10−6 gm @ Sau bước lặp, thu giá trị riêng m co l Và cuối ma trận C chọn ma trận đơn vị an Lu λ = −4.758617077184492 n va ac th si 34 So với giá trị riêng tính trực tiếp phần mềm MATLAP λ1 = −4.758617077184495 kết xác Cũng với chương trình này, ta thu véc tơ riêng tương ứng có giá trị lớn (khoảng 1021 ) Tuy nhiên, MATLAB, kiểm tra véc tơ véc tơ cột thứ X ví dụ 1.3.1 tiểu mục 1.3.3 phụ thuộc tuyến tính Điều tức chương trình xác định không gian riêng tương ứng Để giảm giá trị véc tơ, ta sử dụng ma trận C với chuẩn khoảng 10−3 Khi đó, sau lu an bước lặp, chuẩn véc tơ thu giảm 10−24 lần làm cho n va giá trị thành phần véc tơ thuận mắt Cũng cần nói thêm thuật tn to tốn hội tụ đến giá trị riêng có trị tuyệt đối lớn gần giá trị khởi gh động λ0 = −10 Khi chọn λ0 = −10−3 , thuật toán hội tụ đến d oa nl w lặp p ie −0.026425971910232 xấp xỉ λ6 = −0.026425971912474 sau bước nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 35 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi tập trung vào trình bày khía cạnh lý thuyết gồm khái niệm tính chất khía cạnh tính tốn bao gồm số phương pháp số giải toán giá trị riêng bậc hai Lý thuyết toán giá trị lu riêng bậc hệ thống hóa cách cẩn thận an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Tần (2015), Về số thuật tốn tính giá trị riêng ma lu trận cỡ lớn, Luận văn thạc sĩ Toán học, trường Đại học Khoa học - Đại học an Thái Nguyên, Thái Nguyên n va ie gh tn to Tiếng Anh p [2] J.W Demmel (1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, oa nl w Philadelphia d [3] G.H Golub and C.F Van Loan (1996), Matrix Computations, The Johns lu nf va an Hopkins Universsity Press, Baltimore, Maryland lm ul [4] A Ruhe (1973), “Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem”, SIAM Journal on Numerical Analysis, 10(4), pp 674-689 z at nh oi [5] F Tiseur and K Meerbergen (2001), “The quadratic eigenvalue problem", SIAM Review, 43(2), pp 235- 286 z @ gm [6] Q Ye (2006), “An iterated shift-and-invert Arnoldi algorithm for m co putations 172, pp 818- 827 l quadratic matrix eigenvalue problems", Applied Mathathematics and Com- an Lu n va ac th si