(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa

(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa(Luận văn thạc sĩ) Giải bài toán giá trị riêng thông qua tối ưu hóa

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✖✖✖✖✖ ♦✵♦ ✖✖✖✖✖ ✣■◆❍ ❚❍➚ ❑■▼ ❖❆◆❍ ●■❷■ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ●■⑩ ❚❘➚ ❘■➊◆● ❚❍➷◆● ◗❯❆ ❚➮■ ×❯ ❍➶❆ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✶✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❈⑩◆ ❇❐ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✶✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤❛♥❤ ❙ì♥ ✷✳ ❚❙✳ ❍♦➔♥❣ ❚❤➳ ❚✉➜♥ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✷✶ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ữợ sỹ ữợ t t t t t ữợ ❙ì♥ ✈➔ ❚❙✳ ❍♦➔♥❣ ❚❤➳ ❚✉➜♥✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t tợ ỳ ữớ ổ t st ữợ ❞➝♥✱ ❝❤➾ ❜↔♦ ♥❤✐➺t t➻♥❤ ✈➔ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ tø ❦❤✐ ❧ü❛ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ❝❤♦ ✤➳♥ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ◗✉❛ ✤➙②✱ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ tỵ✐ ❝→❝ qỵ ổ tở rữớ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ tỵ✐ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉✱ t➟♣ t❤➸ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❣✐→♦ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣ ❚❍P❚ ▲÷ì♥❣ ❚❤➳ ❱✐♥❤ ♥ì✐ tỉ✐ ✤❛♥❣ ❝ỉ♥❣ t→❝✱ ✤➣ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✷✶ ❚→❝ ❣✐↔ ✣✐♥❤ ❚❤à ❑✐♠ ❖❛♥❤ ✐ ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ö❝ ❧ö❝ ✐✐ ỵ ỳ t tt ✤➛✉ ✶ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✸ ✶✳✶ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✷ ❙ì ❧÷đ❝ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷✳✶ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❆r♥♦❧❞✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ▲❛♥❝③♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ◆❤➢❝ ❧↕✐ ❧÷đ❝ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✸✳✶ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✸✳✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✸✳✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✶✳✸ ✷ ●✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ tè✐ ÷✉ ❤â❛ ✶✹ ✷✳✶ ✣à♥❤ ỵ rtsr ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✷✳✷ ❚➻♠ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t❤æ♥❣ q✉❛ tè✐ ÷✉ ❤â❛ ❤➔♠ ✈➳t ♠❛ tr➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✸ ❳➜♣ ①➾ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❜➡♥❣ t➾ sè ❘❛②❧❡✐❣❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✹ ❙û ❞ö♥❣ ❤➔♠ ❝❤✐ ♣❤➼ ❇r♦❝❦❡tt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✹✳✶ ❍➔♠ ❝❤✐ ữợ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✹✳✷ ✣✐➸♠ tỵ✐ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✺ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❦❤æ♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✐✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✐✐✐ ✷✳✻ ❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✴♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝❤➼♥❤ t➢❝✿ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ỳ ✈✐➳t t➢t H ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H Rn ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t❤ü❝ n ❝❤✐➲✉ C2n ❚➼❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s ❝õ❛ C ❤❛② ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤ù❝ ✈➨❝ tì 2n ❝❤✐➲✉ Rn×n ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ t❤ü❝ ❝ï n × n P(2n) ❚➟♣ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ t❤ü❝ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ❝ï 2n × 2n Sp(2n) ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❝ï 2n × 2n Sp(2k, 2n) ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❝ï 2n × 2k ∇f ●r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ f ∇2 f ❍❡ss✐❛♥ ❝õ❛ ❤➔♠ f x, y ổ ữợ tỡ x y x ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ✈➨❝ tì x ✐✈ ▼ð ✤➛✉ ❱➜♥ ✤➲ t➼♥❤ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ r✐➯♥❣ ✈➔ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❧➔ r➜t ♣❤ê ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ❦ÿ tt t ỵ õ q ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ✤❛ ❞↕♥❣ ♥❤÷ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ❤å❝ ❝➜✉ tró❝ ✈➔ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❞ú ❧✐➺✉ ✈➔ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❦ÿ t❤✉➟t✳ ❱➻ t❤➳✱ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ❣➻ ♥❣↕❝ ♥❤✐➯♥ ❦❤✐ ♥â ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ❧➔ ♠ët ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ r➜t t➼❝❤ ❝ü❝✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✤➣ trð t❤➔♥❤ ❦✐♥❤ ✤✐➸♥ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ t♦→♥ ❤å❝ t➼♥❤ t♦→♥✳ ❚r♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥✱ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥✳ ❈→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ ❣✐ó♣ ➼❝❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ t➼♥❤ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❝ï tr ợ ữỡ số t ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❤✐➺♥ ♥❛② ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ▲❛♥❝③♦s✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❆r♥♦❧❞✐ sû ❞ö♥❣ ❝❤õ ②➳✉ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ sè✳ Ð ♠ët ❞✐➵♥ ❜✐➳♥ ❦❤→❝✱ tố ữ tr t ởt ợ t õ t tr ỵ tt ❣✐↔✐ sè✳ ❈➙✉ ❤ä✐ ✤➦t r❛ ❧➔ t❛ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣❄ ◆➳✉ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ♥➔②✱ t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ♥❤ú♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈è♥ r➜t ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ✤➸ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✳ t ỵ tt õ ữ ởt t ố t ủ ỳ ữợ ự tữ ❝❤ø♥❣ ➼t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥❤❛✉✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ tè✐ ÷✉ ❤â❛ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tê♥❣ ❦➳t ❧↕✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣✱ ❧÷đ❝ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sè ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✈➔ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➲ tè✐ ÷✉ õ t t ữỡ ỗ ❝â ❬✸✱ ✺✱ ✻❪✳ ✶ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ●✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ tè✐ ÷✉ ❤â❛ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❝❤♦ ♠❛ tr➟♥ ✈➔ ❝❤♦ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ (A, B) ợ B ố ự ữỡ t trữợ t ú tổ tr ỵ rt sr ❦✐♥❤ ✤✐➸♥ ✈➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ t❤æ♥❣ q✉❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♠✐♥✐♠❛①✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ♠➺♥❤ ✤➲ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ✈è♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✈➔ ❝→❝ ✈➨❝ tì r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ t✐➳♣ tử s t ữợ tr ữợ t t ữ ởt t tố ữ tr t ũ ợ sỷ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ❇r♦❝❦❡tt✳ ❍❛✐ ♠ư❝ ❝✉è✐ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷đ❝ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❦❤✐ B ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ B ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ❑❤✐ ✈✐➳t ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷✱ ✹✱ ✺✱ ✽❪✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✶✳✶ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❈❤♦ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ A ∈ Rn×n ✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ t ởt ữủ ổ ữợ s õ ✈➨❝ tì x✱ x = 0✱ ❝â t❤➸ ❧➔ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ♣❤ù❝✱ s❛♦ ❝❤♦ Ax = λx ✭✶✳✶✮ (A − λI)x = ✭✶✳✷✮ ❤♦➦❝ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ t➛♠ tữớ ổ ợ ✈➔ q✉❛♥ ❤➺ ð ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✮✱ ✰ λ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A✳ ✰ x ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈➨❝ tì r✐➯♥❣ ❝õ❛ A t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈ỵ✐ λ✳ ✰ ❚➜t ❝↔ ❝→❝ ✈➨❝ tì r✐➯♥❣ ❝â ❝ị♥❣ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ λ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✈➨❝ tì ❦❤æ♥❣ t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ Rn ✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ r✐➯♥❣ ❝õ❛ λ✳ ✰ ❈➦♣ (λ, x) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝➦♣ r✐➯♥❣✳ ✰ ❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤ê ❝õ❛ A✳ ✰ ❈→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ A✱ PA (z) := ❞❡t(A − zI) ✸ ✹ ✰ ❇ë✐ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜ë✐ ✤↕✐ sè ❝õ❛ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ✰ ❇ë✐ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ trà r✐➯♥❣ ❧➔ sè ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ ổ r tữỡ ự ợ tr r õ ✰ ◆➳✉ T ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✈➔ (λ, x) ❧➔ ♠ët ❝➦♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ A✱ t❤➻ ❝➦♣ (λ, T x) ❧➔ ♠ët ❝➦♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ (T AT −1 )✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ A → T AT −1 ữủ ỗ A ú ỵ A tr ố ự ❝➜♣ n t❤➻ ♥â ❝â n ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t❤ü❝✱ n ✈➨❝ tì r✐➯♥❣ trü❝ ❝❤✉➞♥ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝ơ♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❦❤→❝✿ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ t❤ü❝ ❧✉ỉ♥ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❝❤➨♦ ❤â❛ ❜ð✐ ♠ët ♠❛ tr➟♥ trü❝ ❣✐❛♦ q✉❛ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ❈ư t❤➸✱ ♥➳✉ A = AT t❤➻ ❧✉ỉ♥ tỗ t V trỹ V T AV = D, tr♦♥❣ ✤â D ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝❤➨♦ ♠➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A✳ ❍➺ t❤ù❝ ✭✶✳✸✮ ❝á♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ ❤➺ ✈➨❝ tì S = {v1, v2, , vm} tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì V ✳ ❚➟♣ ❤đ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ S ❣å✐ ❧➔ ❜❛♦ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❤➺ S ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ span(S) ❤♦➦❝ span(v1 , v2 , , vm ) ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ❱➳t ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✈✉æ♥❣ A ❝➜♣ n✱ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ tr(A)✱ ❧➔ tê♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ✭✤÷í♥❣ ♥è✐ tø ❣â❝ tr tr ố õ ữợ A ❈ö t❤➸✱ ♥➳✉ A = (aij ), i, j = 1, , n t❤➻ n tr(A) = a11 + a22 + + ann = aii i=1 ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ❚➾ sè x∗ Ax ρ(x) := ∗ , x = xx ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ t➾ sè ❘❡②❧❡✐❣❤ ❝õ❛ A t↕✐ x✳ ❉➜✉ ∗ ✤÷đ❝ ❤✐➸✉ ❧➔ ❝❤✉②➸♥ ✈à ♥➳✉ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ t❤ü❝ ✈➔ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ♣❤ù❝ ♥➳✉ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ♣❤ù❝✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ ▼ët ♠❛ tr➟♥ P ✺ t❤ä❛ ♠➣♥ P = P ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳ ▼ët ♠❛ tr➟♥ P ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ trü❝ ❣✐❛♦ ♥➳✉ ✐✮ P = P P T = P ỵ ◆➳✉ A ∈ Rn×n t❤➻ ❝â ♠ët ♠❛ tr➟♥ trü❝ ❣✐❛♦ Q ∈ Rn×n s❛♦ ❝❤♦     T Q AQ =     R11 R12 R1m R22 R2m ✳✳✳ ✳✳✳ Rmm         ❧➔ tü❛ t❛♠ ❣✐→❝ tr➯♥✳ ❈→❝ ❦❤è✐ ❝❤➨♦ Rii ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ × ❤♦➦❝ × 2✳ ởt ố ì tữỡ ự ợ ởt tr r tỹ ởt ố ì tữỡ ự ✈ỵ✐ ♠ët ❝➦♣ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❧✐➯♥ ❤đ♣✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✾✳ ❚❛ ❝â t❤➸ s✉② r❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝❤➨♦ ❤â❛ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ❜ð✐ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ trỹ tứ ỵ t r ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❞♦ t➼♥❤ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝õ❛ A ♥➯♥ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝♦♥ ❦❤è✐ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ✤➲✉ ❜➡♥❣ ❦❤ỉ♥❣✳ ❚❤➯♠ ✈➔♦ ✤â✱ ❞♦ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝❤➾ ❝â ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t❤ü❝ ♥➯♥ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝♦♥ ❦❤è✐ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝❤➼♥❤ ✤➲✉ ❝â ❝ï × ✈➔ ❞♦ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣✳ ✶✳✷ ❙ì ❧÷đ❝ ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ♣❤ê ❜✐➳♥ ✤➸ t➼♥❤ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❝ï ❧ỵ♥✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ sû ❞ư♥❣ ♣❤➛♥ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ❱ô ❱➠♥ ❚➛♥ ❬✶❪✱ ♠➔ t➔✐ ❧✐➺✉ ❣è❝ ❧➔ ❬✸❪✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤ê ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤➸ t➼♥❤ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ù n ì n ữỡ r ữỡ ♣❤→♣ ▲❛♥❝③♦s✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤ù ❤❛✐ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤♦ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤ù ♥❤➜t →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ♠❛ tr➟♥ ❜➜t ❦ý✳ ✷✺ ✷✳✺ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❦❤æ♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ♠➔ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ tè✐ ÷✉✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ♠ö❝ ♥➔② ❧➔ ❞✐➵♥ ❣✐↔✐ ♠ët sè ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✽❪✳ ❈ư t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①❡♠ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❧♦↕✐ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ♠➔ ♣❤➨♣ ❝❤➨♦ ❤â❛ A → F T AF, B → F T BF ❝â t❤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝✳ ✣â ❧➔ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✺✳✶✳ ▼ët ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ (A, B) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✭♥û❛✮ ữỡ tỗ t ởt số s ❝❤♦ ♠❛ tr➟♥ A − λB ❧➔ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ❙è λ s❛♦ ❝❤♦ ♠❛ tr➟♥ A − λB ①→❝ ✤à♥❤ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉②➸♥ ❞à❝❤ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ①→❝ ✤à♥❤ t↕♦ t❤➔♥❤ ❝→❝ ❦❤♦↔♥❣ ♠ð ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ♥❣÷í✐ t❛ ❤❛② ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝❤♦ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ (A, B) ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ t❤➯♠ ❝❤♦ B ✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ t tr trữợ tở ❉➵ t❤➜②✱ ✤➙② ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ð tr➯♥✳ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ♠ët ❧ỵ♣ ❝→❝ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ ✤â✱ B ❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ♣❤↔✐ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ t❛ ❝➛♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ B ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ ❈ö t❤➸✱ t❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà s❛✉ ❝❤♦ ♠ët ❝➦♣ ✤è✐ ①ù♥❣ tê♥❣ q✉→t (A, B)✿ trX T AX = min, X T BX = J1 , ✭✷✳✶✸✮ tr♦♥❣ ✤â B ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✱ J1 = diag(Ip1 , −Iq1 )✱ ✈➔ p1 ≤ p, q1 ≤ q ✱ ✈ỵ✐ (p, q) q t B rữợ t ú tổ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ❝❤♦ ✤à♥❤ ỵ ự t ❜✐➸✉ ♥➔② ❝â t❤➸ t➻♠ t❤➜② tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t ỵ A, J ❧➔ ♠ët ❝➦♣ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ tr♦♥❣ ✤â J = diag( , , n ), ✈ỵ✐ i ∈ {1, −1} ✷✻ ●✐↔ sû ❝❤ó♥❣ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤  H K A= K  T , U  J = J1   J2 tr♦♥❣ ✤â H, J1 ❝â ❜➟❝ m ✈➔ p = π(J), q = ν(J), p+q =n p1 = π(J1 ), q1 = ν(J1 ), p1 + q1 = m ỵ q 1+ ≤ ≤ αp+ , θq−1 ≤ ≤ θ1− ≤ θ1+ ≤ ≤ θp+1 ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝➦♣ A, J ✈➔ H, J1 t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❑❤✐ ✤â + αi+ ≤ θi+ ≤ αi+n−m , i = 1, , p1 , − αj+n−m ≤ θj− ≤ αj− , j = 1, , q1 , tr♦♥❣ ✤â αk+ = ∞ ♥➳✉ k > p, αk− = −∞ ♥➳✉ k > q✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✺✳✸✳ ❈❤♦ A − λ0B ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✿ ✐✮ ỗ t ởt tr C C T AC =  A 0 A  ,  C T BC =  J 0 J  , tr♦♥❣ ✤â ❜➟❝ ❝õ❛ A ❜➡♥❣ ❜➟❝ ❝õ❛ J ✱ ✈➔ J = diag( 1, , n), i ∈ {−1, 1} Ð ✤➙② A ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝❤➨♦ ✈➔ λ0 ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝➦♣ (A , J )✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ❝➦♣ (A , J ) ❝❤➾ ❝â ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✭❜ë✐✮ λ0 ✳ ❇➜t ❦ý tr♦♥❣ sè ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ A ✈➔ A ✤➲✉ ❝â t❤➸ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ré♥❣✳ ◆➳✉ ❝➦♣ (A, B) ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱ A ❝ơ♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❝❤å♥ ✤÷đ❝ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝❤➨♦✳ ✐✐✮ ❈→❝ ❣✐→ tr r (A, B) ỗ số ú ũ ợ õ t ữủ s➢♣ ①➳♣ ❧➔ αq− ≤ ≤ α1− ≤ λ0 ≤ ≤ αp+ , tr♦♥❣ ✤â ✭♣✱q✮ ❧➔ q✉→♥ t➼♥❤ ❝õ❛ B ✈➔ p + q = n✳ ✷✼ ✐✐✐✮ ❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ λ0 ♠➔ A − λ0B ❧➔ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✤â♥❣ [α1−, α1+] ✐✈✮ ❈➦♣ (A, B) ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ α1− < α1+✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤â✱ t➟♣ t➜t ❝↔ λ0 ❧➔♠ ❝❤♦ A−λ0B ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ❜➡♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ♠ð (α1−, α1+) ✈✮ ❈❤♦ λ1 = (α1− + α1+)/2 ✈➔ λ = λ1✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ λ > λ1✱ ỵ n() số tr r tr ❬λ1, λ), tr♦♥❣ ✤â λ1✱ ♥➳✉ ❧➔ ♠ët ❣✐→ trà r✐➯♥❣✱ ✤÷đ❝ ✤➳♠ π(J ) ❧➛♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ n(λ) = ν(A − λB), ✈➔ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ λ < λ1 ỵ (A, B) ởt ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ q✉→♥ t➼♥❤ ❝õ❛ B ❜➡♥❣ (p, q)✳ ❑❤✐ ✤â ❤➔♠ X → trX T AX ✭✷✳✶✹✮ X T BX = J1 ✭✷✳✶✺✮ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ t➟♣ X ♠➔ J1 = diag(Ip1 , −Iq1 ), q1 q, ữợ p1 p + q1 = m q1 αj− , αi+ − t0 = i=1 ✭✷✳✶✻✮ j=1 tr♦♥❣ ✤â αq− ≤ ≤ α1− ≤ α1+ ≤ ≤ αp+ ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝➦♣ (A, B)✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ sỷ tỗ t tr X0 tọ ỗ tỡ r tữỡ ự ợ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ α1+ , , αp+1 , αq−1 , , õ ữợ t0 t ✤÷đ❝ t↕✐ X0✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❑❤ỉ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû B ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤✉➞♥ ❤â❛✳ ❚ù❝ ❧➔ B = J = diag(J1 , J2 ) = diag( , , n ) ✭✷✳✶✼✮ ✷✽ ❚r➯♥ tỹ t B ổ s tỗ t G ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ s❛♦ ❝❤♦ B = GJGT ❑❤✐ ✤â sü t❤❛② t❤➳ Y = GT X ❞➝♥ ✤➳♥ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤ì♥ ♥❤÷♥❣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ A = G−1 AG−T Y → trY T AY, ❜à ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ t➟♣ ✭✷✳✶✽✮ S = Y : Y T JY = J1 rữợ t ú t ự ỵ trữớ ủ p = p1 , q = q1 ✱ tù❝ ❧➔✱ ♠❛ tr➟♥ X ✈✉æ♥❣✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✶✺✮ trð t❤➔♥❤ ✭✷✳✶✾✮ X T JX = J ✈➔ J1 = J ✳ ❇➜t ❦ý X ♥➔♦ tø ✭✷✳✶✾✮ ✤➲✉ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ J ✲ trü❝ ❣✐❛♦✱ ✈➔ rã r➔♥❣ ❧➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ J ✲ trü❝ ❣✐❛♦ t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ♥❤â♠ ♥❤➙♥✳ ❈❤♦ ❝➦♣ (A, J) ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ õ t tỗ t ởt tr X0 s❛♦ ❝❤♦ X0T AX0 = JΛ, X0T JX0 = J, Λ = diag(Λ+ , Λ− ), tr♦♥❣ ✤â Λ+ = diag(α1+ , , αp+ ), Λ− = diag(α1− , , αq− ) ✣➦t p t0 = trX0T AX0 q αj− αi+ − = i=1 j=1 ❑❤✐ ✤â X T AX = Y T JΛY, Y = X0−1 X ❉♦ Y ❧➔ J ✲ trü❝ ❣✐❛♦ ♥➯♥ ♥â ❝â sü ♣❤➙♥ t➼❝❤    √ T I + WW W U1  , Y = H(W )  H(W ) =  √ T T W I + WW U2 ✷✾ tr♦♥❣ ✤â W ❧➔ ♠❛ tr➟♥ p × q ✈➔ U1 , U2 ❧➔ ❝→❝ ❦❤è✐ trü❝ ❣✐❛♦✳ ❉♦ ✤â✱ trX T AX = trY T JΛY = trH(W )JΛH(W ) I + W W T − W Λ− W T ) = tr( I + W W T Λ+ + tr(W T Λ+ W − I + W T W Λ− I + WTW) = t0 + 2(trW W T Λ+ − trW T W Λ− ) = t0 + 2[trW W T (Λ+ − µI) + trW T W (µI − Λ− )], tr♦♥❣ ✤â µ ❧➔ ♠ët ❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❱➻ Λ+ − µI ✈➔ µI − Λ− ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ữỡ trW W T (+ àI) 0, trW T W (µI − Λ− ) ≥ ❉♦ ✤â trX T AX ≥ t0 ✣è✐ ✈ỵ✐ ❝➦♣ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ (A, J) ❝❤ó♥❣ t❛ ❧➜② > ✈➔ ①➨t ❝➦♣ (A+ I, J)✱ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ✈➔ ❝❤♦ ❞➛♥ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣✳ ❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ trX T ≥ t0 ✤÷đ❝ s✉② r❛ tø t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ ❝❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ✭✷✳✷✵✮ trA ≥ t0 ❘ã r➔♥❣ ❧➔ trX T = t0 ♥➳✉ X ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ J ✲ trü❝ ❣✐❛♦ ❝❤➨♦ ❤â❛ A✳ ❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ X T AX ✈ỵ✐ X ❦❤ỉ♥❣ ✈✉ỉ♥❣✳ ❈❤♦ C = (X X) ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❜ò ❝õ❛ ❜➜t ❦ý X ∈ S ♥➔♦ ♠➔ CJC = J ❑❤✐ ✤â   T T X AX X AX  A1 = C T AT =  T T X AX X AX ❑➼ ❤✐➺✉ θq−1 ≤ ≤ θ1− ≤ θ1+ ≤ ≤ θp+1 ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝➦♣ (X T AX, J1 ) ❚ø ✭✷✳✷✵✮✱ t❛ ❝â p1 T q1 θi+ trX AX ≥ θj− − i=1 j=1 ❱➻ ❝→❝ ❝➦♣ (A, J) ✈➔ (A1 , J) ❝â ũ tr r t ỵ ố ợ ❝➦♣ (A1 , J) ✈➔ ❝→❝ ❝➦♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ♥â (X T AX, J1 ) ♥➯♥ p1 T q1 αi+ trX AX ≥ i=1 αj− = t0 − j=1 ✸✵ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ♥➳✉ ❝â ♠ët X0 ✈ỵ✐ AX0 = JX0 Λ, X0T JX0 = J1 , ✈➔ Λ = diag(α1+ , , αp+1 , αq−1 , , α1− ), t❤➻ trX0T AX0 = t0 ●✐↔ t❤✐➳t ✈➲ sü tỗ t tr tỡ r X0 tr ỵ ữủ tọ (A, B) ❝â t❤➸ ❝❤➨♦ ❤♦→ ✤÷đ❝✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ❍➺ q✉↔ ✷✳✺✳✺✳ ❈❤♦ ❝➦♣ (A, B) ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ❤♦➦❝ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ✈➔ ❝❤➨♦ ❤â❛ ✤÷đ❝✳ õ tr t0 tr ỵ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t t❤ü❝ t➳✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✺✳✻✳ ❈❤♦ (A, B) ❧➔ ♠ët ❝➦♣ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ❑❤✐ õ t0 tứ ữợ ú ✭✷✳✶✹✮ ❜à ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ ✭✷✳✶✺✮✳ > ✈➔ ❝♦✐ ❝➦♣ ♥❤✐➵✉ (A + I, B)✱ ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ❚❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✷✳✺✳✺ mintrX T (A + I)X = t0 ( ) ❇➙② ❣✐í ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ t❤❡♦ s❛✉ ❜ð✐ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❣✐→ trà r ỵ õ tr ỹ t ữỡ ợ ❑❤✐ ✤â ❝➦♣ ♥➔② ❧➔ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ✈➔ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❧➔ t✉②➺t ✤è✐✳ ❇➜t ❦ý ❣✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉ X1 ✈ỵ✐ X1T BX1 = J1 t❤ä❛ ữỡ tr AX1 = BX1 ợ = diag(Λ+, Λ−) ✭tr♦♥❣ ✤â sü ♣❤➙♥ ❝❤✐❛ ❦❤è✐ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ❝õ❛ J1 tr♦♥❣ ✭✷✳✶✺✮ ✈➔ Λ+, Λ− ❧➔ ✤è✐ ①ù♥❣✮ s❛♦ ❝❤♦ α1+, , αp+ ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ Λ+ ✈➔ αq− , , α1− ❧➔ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ Λ− 1 ✷✳✻ ❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✴♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ❝❤➼♥❤ t➢❝✿ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝✳ ▼ët ❝→❝❤ tê♥❣ q✉→t✱ trữợ t tr r ♠❛ tr➟♥ (A, B)✱ ✈ỵ✐ A, B ❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❦❤✐ B = I ✱ t❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥✳ ❑❤✐ B ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱ t❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ✸✶ r✐➯♥❣ ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➻♥❤ ❜➔② ð ▼ư❝ ✷✳✺✳ Ð ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ B ❧➔ ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ tù❝ ❧➔ B T = −B ✳ ❉♦ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ♣❤↔♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ❧✉ỉ♥ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ✤÷đ❝ ✈➲ ♠❛ tr➟♥ P♦✐ss♦♥  J = I −I   ♥❤í ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ✤➥♥❣ ♥➯♥✱ ❦❤ỉ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû B = J ✳ ❍â❛ r❛✱ ✤➙② ❧↕✐ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ♠➔ ♥❣÷í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ ①→❝ ✤à♥❤ ♥â ❧➔ s rữợ t ú tổ ỵ s R2nì2n ổ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ t❤ü❝ ❝ï 2n × 2n✱ P(2n) ❧➔ t R2nì2n ỗ tr ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱ ✈➔ Sp(2n) ❧➔ ♥❤â♠ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ t❤ü❝✱ tù❝ ❧➔✱ Sp(2n) = M ∈ R2n×2n : M T JM = J ❚❛ ❝ô♥❣ ♥â✐ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝ï 2n×2k, k < n✱ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ M T J2n M = J2k ỵ t➟♣ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ♥➔② ❧➔ Sp(2k, 2n) ◆➳✉ A ởt tỷ P(2n) õ tỗ t ♠ët ♠❛ tr➟♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ M s❛♦ ❝❤♦  M T AM =  D 0 D  , tr♦♥❣ õ D ởt tr ữớ ợ ♣❤➛♥ tû ❞÷ì♥❣ d1 (A) ≤ d2 (A) ≤ ≤ dn (A) ❈→❝ sè di (A), i = 1, , n✱ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❝õ❛ tr A tữớ ữủ ỵ s ỵ rtsr tr ✷✳✶ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❍❡r♠✐t✐❛♥✳ ▼ët ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✈➟② ❝ơ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝❤♦ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ✣➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ♥❣÷í✐ ✤å❝✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ õ ỵ rtsr trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝✮ ❈❤♦ A ∈ P(2n)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ≤ j ≤ n = max M⊂C 2n dj (A) dim M=j = dj (A) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ x∈M x,Ax =1 max M⊂C 2n dim M=2n−j+1 x, iJx , x∈M x,Ax =1 x, iJx ❚➼❝❤ ổ ữợ tổ tữớ tr Rm Cm ữủ ỵ Ã, à r ú tổ t ổ ữợ tr ổ ự t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ t❤❡♦ ❜✐➳♥ ✤➛✉ t✐➯♥✳ ❈❤♦ A P (2n), t ởt t ổ ữợ ❦❤→❝ tr➯♥ C2n ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t (x, y) = x, Ay ỵ ổ t ổ ữợ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❜ð✐ H✳ ✣➦t A# = iA−1 J ❑❤✐ ✤â (x, A# y) = i x, Jy = (A# x, y) ❉♦ ✤â✱ A# ❧➔ t♦→♥ tû ❍❡r♠✐t✐❛♥ tr➯♥ H ❈→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❝õ❛ A−1 ✤÷đ❝ s➢♣ ①➳♣ t❤❡♦ t❤ù tü ❣✐↔♠ ❞➛♥ ❧➔ 1 ≥ ≥ ≥ d1 (A) d2 (A) dn (A) ❈→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✭t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✮ ❝õ❛ A# ❧➔ 1 −1 −1 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ d1 (A) d2 (A) dn (A) dn (A) d1 (A) ỵ tr➻♥❤ ❜➔② ð ▼ö❝ ✷✳✶ ❝❤♦ ♠❛ tr➟♥ A# ✱ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❤➺ q q trồ ỵ ố ợ tr➟♥ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ❧➔ ♥❣✉②➯♥ t➢❝ ✤❛♥ ①❡♥ ❝❤♦ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A ✈➔ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝♦♥ ❝❤➼♥❤✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝ơ♥❣ ✤ó♥❣ ❝❤♦ ❣✐→ tr r st ỵ ỵ ❝❤♦ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝✮ ✸✸ ❈❤♦ A ∈ P(2n)✳ P❤➙♥ ❤♦↕❝❤ A ❜ð✐ A = [Aij ] tr♦♥❣ ✤â ♠é✐ Aij , i, j = 1, 2, ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝ï n×n✳ ▼ët ♠❛ tr➟♥ B ∈ P(2n−2) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝♦♥ s✲ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ A ♥➳✉ B = [Bij ]✱ ✈➔ ♠é✐ Bij ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝♦♥ ❝❤➼♥❤ (n−1)×(n−1) ❝õ❛ Aij ❝â ❝ị♥❣ ✈à tr➼ tr♦♥❣ Aij ✈ỵ✐ i, j = 1, 2✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ B ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ tø A ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ①â❛ ❤➔♥❣ ✈➔ ❝ët t❤ù i ✈➔ i + ❝õ❛ A✱ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët sè ≤ i ≤ n✳ ❑❤✐ ✤â dj (A) ≤ dj (B) ≤ dj+2 (A), ≤ j ≤ n − 1, tr♦♥❣ õ ú t q ữợ r dn+1(A) = ú tổ ọ q ự ỵ ●✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ❤➻♥❤ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❜➔✐ t tố ữ ữợ ỵ A ∈ P(2n) ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ t➜t ❝↔ ≤ k ≤ n k dj (A) = j=1 M Sp(2k,2n) trM T AM rữợ ự t t❤↔♦ ❧✉➟♥ t❤➯♠ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝✳ ❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜②✱ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû M ❝õ❛ Sp(2n) ✤➲✉ ❝â ♠ët ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❦❤è✐   A B , M = ✭✷✳✷✷✮ C G tr♦♥❣ ✤â A, B, C, G ❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝ï n × n t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ AGT − BC T = I, AB T − BAT = 0, CGT − GC T = ✭✷✳✷✸✮ ❈❤ó♥❣ t❛ ❧✐➯♥ ❦➳t ✈ỵ✐ M ♠ët ♠❛ tr➟♥ M ❝â ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ mij = (a2ij + b2ij + c2ij + gij ) ▼❛ tr➟♥ ♥➔② ❝â ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➭♣ ✤➩ ✈➔ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tèt tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠❛ tr➟♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝✳ ❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t ự ỵ ự ✈ỵ✐ ♠å✐ i, j ✱ ▼ët ♠❛ tr➟♥ A ❝ï n ì n ữủ aij ≥ n aij = ✈ỵ✐ t➜t ❝↔ ≤ i ≤ n j=1 ✸✹ ✈➔ n aij = ✈ỵ✐ t➜t ❝↔ ≤ j ≤ n i=1 ▼ët ♠❛ tr➟♥ B ✈ỵ✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ s✐➯✉✲♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❦➨♣ ♥➳✉ ❝â ♠ët ♠❛ tr➟♥ A ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❦➨♣ s❛♦ ❝❤♦ bij ≥ aij ✈ỵ✐ ♠å✐ i, j ✳ ▲➟♣ ❧✉➟♥ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣ M ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ s✐➯✉✲♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❦➨♣✳ ❚❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ♠❛ tr➟♥ M ∈ Sp(2n) ♠❛ tr➟♥ M ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t n mij ≥ 1, ≤ i ≤ n, j=1 ✈➔ n mij ≥ 1, ≤ j ≤ n ✭✷✳✷✹✮ i=1 ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ AGT − BC T = I tr♦♥❣ ✭✷✳✷✸✮✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â n (aij gij − bij cij ) 1= j=1 n ≤ j=1 n = 2 (aij + gij )+ n j=1 (bij + c2ij ) mij , j=1 ✈ỵ✐ ≤ i ≤ n ⑩♣ ❞ư♥❣ ❧➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ M T ❝❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ❤❛✐ tr♦♥❣ ✭✷✳✷✹✮ ❝ơ♥❣ ✤ó♥❣✳ ❚✐➳♣ ✤â t❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❦❤✐ k = n✳ ❑❤ỉ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣   D  A=D= D ●å✐ M ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❜➜t ❦ý ❝õ❛ Sp(2n) ✈➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥â t❤➔♥❤   P Q  M = R S t❤❡♦ ❝→❝ q✉② t➢❝ ✭✷✳✷✷✮ ✈➔ ✭✷✳✷✸✮✳ ❑❤✐ ✤â trM T DM = tr(P T DP + QT DQ + RT DR + S T DS) ✸✺ n n 2 (p2ij + qij + rij + s2ij ) di (A) = j=1 n i=1 n = di (A) i=1 n ≥2 (2mij ) j=1 di (A), i=1 sû ❞ö♥❣ ✭✷✳✷✹✮✳ ❑❤✐ M = I ✱ ❤❛✐ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ t➟♥ ❝ị♥❣ ✈➲ ❜➯♥ tr→✐ ✈➔ ❜➯♥ ♣❤↔✐ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ◆❤÷ ✈➟② n T M ∈Sp(2n) trM AM = dj (A) j=1 ✣➙② ❧➔ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ✭✷✳✷✶✮ ❦❤✐ k = n✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ k ≤ n✳ ●å✐ M ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝ï 2n × 2k t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ M T J2n M = J2k P❤➙♥ ❤♦↕❝❤ M t❤➔♥❤   P Q , M = R S tr♦♥❣ ✤â ♠é✐ ❦❤è✐ ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝ï n × k ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ữủ ởt tr st ù 2n ì 2n L=  P Q  R S tr♦♥❣ ✤â ♠é✐ ❦❤è✐ ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝ï n × n ✈➔ k ❝ët ✤➛✉ t➯♥ ❝õ❛ P, Q, R, S ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝→❝ ❝ët ❝õ❛ P , Q , R , S ✳ ▼❛ tr➟♥ M T AM ❦❤✐ ✤â ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝♦♥ s✲❝❤➼♥❤ ❝ï 2k × 2k ❝õ❛ LT AL✳ ❈→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❝õ❛ LT AL ❧➔ d1 (A) ≤ d2 (A) ≤ ≤ dn (A) ●å✐ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ M T AM ❧➔ d1 ≤ d2 ≤ ≤ dk ỵ dj dj (A) ợ ≤ j ≤ k ❚ø tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ð tr➯♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ t❤➜② r➡♥❣ k T trM AM ≥ dj j=1 ố ũ ỵ tr t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ k T trM AM ≥ dj (A) j=1 ✸✻ ✣➙② ❝ô♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ú ỵ t Sp(2k, 2n) ổ ❝❤➦♥ ♥➯♥ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ♠ư❝ t✐➯✉ ✭✷✳✷✶✮ ❦❤ỉ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❉♦ ✤â✱ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥✱ t❛ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ s✉② r❛ ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ tỹ ữ t tr ỵ t ♠✐♥ ❜➡♥❣ ♠❛① ✈➔ k ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❜ð✐ k ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❧ỵ♥ ♥❤➜t✳ ✣✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t tố ữ tr ỵ t❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ✈➨❝ tì r✐➯♥❣ ù♥❣ ✈ỵ✐ k ❣✐→ trà r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ✣➸ t➻♠ ✤÷đ❝ k ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✤â✱ ♥❣÷í✐ t❛ t tử ỵ s T AMmin tr♦♥❣ ✤â✱ Mmin ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ✈ø❛ t➻♠ ✤÷đ❝✳ ❝❤♦ ♠❛ tr➟♥ Mmin ❈❤✐ t✐➳t ✈➲ ✈✐➺❝ ♥➔② ✈➔ ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✭✷✳✷✶✮ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ t➻♠ t❤➜② tr♦♥❣ ❦➳t q✉↔ ❣➛♥ ✤➙②✱ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tø ❬✼❪✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ◆❣♦↕✐ trø ✈✐➺❝ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✈➔ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤ê ❜✐➳♥ ✤➸ t➼♥❤ ❣✐→ trà r✐➯♥❣✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝❤ t✐➳♣ tố ữ t tr r rữợ t õ ợ ỵ rtsr ✈è♥ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❜✐➸✉ t❤à ♠ët ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ t❤æ♥❣ q✉❛ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ♠✐♥✐♠❛①✳ ❚✐➳♣ ✤➳♥✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❤❛② ❝➦♣ ♠❛ tr➟♥ t❤ỉ♥❣ q✉❛ tè✐ t❤✐➸✉ ❤â❛ ❤➔♠ ✈➳t ♠❛ tr➟♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔②✳ ✣➙② ❝â t❤➸ ❝♦✐ ❧➔ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❝õ❛ ỵ tr ỳ ❜✐➳♥ t❤➸ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ♥â✳ ▲➛♥ ❧÷đt✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② tè✐ t❤✐➸✉ ❤â❛ ✈➳t ❝õ❛ t➾ sè ❘❛②❧❡✐❣❤ ♠ð rë♥❣✱ ①➨t t➾ sè ❘❛②❧❡✐❣❤ ✈ỵ✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❝ët trü❝ ❣✐❛♦ ✤÷đ❝ t✐➳♣ ❝➟♥ ♥❤÷ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ tr➯♥ ✤❛ t↕♣❀ t❤❛② ❝❤♦ t➾ sè ❘❛②❧❡✐❣❤ ♥❤÷ ❧➔ ❤➔♠ ♠ư❝ t✐➯✉✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝ơ♥❣ ①➨t ❤➔♠ ♠ư❝ t✐➯✉ ❇r♦❝❦❡tt ✈ỵ✐ ♠ët ❧đ✐ t❤➳ rã r➔♥❣ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝❤♦ t❛ ♥❣❛② ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝➛♥ t➻♠✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ tè✐ ÷✉ ✤÷đ❝ ♠ð rë♥❣ ✤➸ ①➨t ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❦❤æ♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ♥❤÷ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ r✐➯♥❣ s②♠♣❧❡❝t✐❝✳ ✸✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ❱ô ❱➠♥ ❚➛♥ ✭✷✵✶✺✮✱ ❱➲ ♠ët sè t❤✉➟t t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❝ï ợ t s rữớ ❑❤♦❛ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✷❪ P✳✲❆✳ ❆❜s✐❧✱ ❘✳ ▼❛❤♦♥② ✫ ❘✳ ❙❡♣✉❧❝❤r❡ ✭✷✵✵✽✮✱ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ▼❛tr✐① ▼❛♥✐❢♦❧❞s✱ Pr✐♥❝❡t♦♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ❬✸❪ P✳ ❆r❜❡♥③ ✫ ❉✳ ❑r❡ss♥❡r ✭✷✵✶✷✮✱ ❆❧❣♦r✐t❤♠s ♦♥ ▲❡❝t✉r❡ ♥♦t❡ ♦♥ s♦❧✈✐♥❣ ❧❛r❣❡ s❝❛❧❡ ❡✐❣❡♥✲ ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✱ ❉ ✲ ▼❆❚❍ ❊❚❍ ❩☎✉r✐❝❤✳ ❬✹❪ ❘✳❲✳ ❇r♦❝❦❡tt ✭✶✾✾✶✮✱ ✏❉②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠s t❤❛t s♦rt ❧✐sts✱ ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡ ♠❛✲ tr✐❝❡s✱ ❛♥❞ s♦❧✈❡ ❧✐♥❡❛r ♣r♦❣r❛♠✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s✑✳ ▲✐♥❡❛r ❆❧❣❡❜r❛ ❆♣♣❧✳✱ ✶✹✻✿ ✼✾✲✾✶✳ ❬✺❪ ●✳❍✳ ●♦❧✉❜ ✫ ❈✳❋✳ ❱❛♥ ▲♦❛♥ ✭✷✵✶✹✮✱ ▼❛tr✐① ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥s✱ ❚❤❡ ❏♦❤♥s ❍♦♣❦✐♥s ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ❬✻❪ ❏✳ ◆♦❝❡❞❛❧ ✫ ❙✳❏✳ ❲r✐❣❤t ✭✷✵✵✻✮✱ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ❙♣r✐♥❣❡r ❙❝✐✲ ❡♥❝❡✰❇✉s✐♥❡ss ▼❡❞✐❛✳ ❬✼❪ ◆✳❚✳ ❙♦♥✱ P✳✲❆✳ ❆❜s✐❧✱ ❇✳ ●❛♦ ✫ ❚✳ ❙t②❦❡❧ ✭✷✵✷✶✮✱ ✏❙②♠♣❧❡❝t✐❝ ❡✐❣❡♥✲ ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✈✐❛ tr❛❝❡ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✑✳ ❛r❳✐✈✿✷✶✵✶✳✵✷✻✶✽ ❬♠❛t❤✳❖❈❪ ✸✽ ✸✾ ❬✽❪ ❏✳❑✳ ❙tr✐❦♦ ✫ ❑✳ ❱❡s❡❧✐❝ ✭✶✾✾✺✮✱ ✏❚r❛❝❡ ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s②♠♠❡tr✐❝ ♣❡♥❝✐❧s✑✳ ▲✐♥❡❛r ❆❧❣❡❜r❛ ❆♣♣❧✳✱ ✷✶✻✿ ✶✸✾✲✶✺✽✳