2 Gi£i b i to¡n gi¡ trà ri¶ng thæng qua tèi ÷u hâa
2.5 Mët sè b i to¡n gi¡ trà ri¶ng khæng ti¶u chu©n
Trong möc n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè b i to¡n gi¡ trà ri¶ng khæng ti¶u chu©n m câ thº gi£i ÷ñc thæng qua c¡ch ti¸p cªn tèi ÷u. Nëi dung cõa möc n y l di¹n gi£i mët sè ph¦n trong c¡c b i b¡o [8]. Cö thº, chóng tæi xem mët sè t½nh ch§t cõa lo¤i c°p ma trªn quan trång nh§t m ph²p ch²o hâa
A → FTAF, B →FTBF
câ thº thüc hi»n ÷ñc. â l c°p ma trªn x¡c ành.
ành ngh¾a 2.5.1. Mët c°p ma trªn (A, B) ÷ñc gåi l (nûa) x¡c ành d÷ìng n¸u tçn t¤i mët sè λ sao cho ma trªn A−λB l nûa x¡c ành d÷ìng. Sè λ sao cho ma trªn A−λB x¡c ành gåi l chuyºn dàch x¡c ành. Tªp hñp cõa t§t c£ c¡c dàch chuyºn x¡c ành t¤o th nh c¡c kho£ng mð ÷ñc gåi l kho£ng x¡c ành. Thæng th÷íng, ng÷íi ta hay x²t b i to¡n gi¡ trà ri¶ng cho c°p ma trªn èi xùng(A, B) vîi i·u ki»n x¡c ành d÷ìng th¶m choB. Ch¯ng h¤n, b i to¡n tr¼nh b y ð möc tr÷îc thuëc lo¤i n y. D¹ th§y, ¥y l mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa c°p ma trªn x¡c ành d÷ìng ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n.
Trong möc n y, chóng tæi quan t¥m ¸n mët lîp c¡c c°p ma trªn èi xùng °c bi»t trong â,B khæng nh§t thi¸t ph£i x¡c ành. Tuy nhi¶n, ta c¦n i·u ki»n
B kh£ nghàch. Cö thº, ta x²t b i to¡n cüc trà sau cho mët c°p èi xùng têng qu¡t (A, B):
trXTAX = min, XTBX =J1, (2.13) trong â B khæng suy bi¸n, J1 = diag(Ip1,−Iq1), v p1 ≤ p, q1 ≤ q, vîi (p, q) l qu¡n t½nh cõa B.
Tr÷îc ti¶n chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ bê trñ cho ành lþ ch½nh ð möc n y. Chùng minh cõa c¡c ph¡t biºu n y câ thº t¼m th§y trong c¡c t i li»u tham kh£o ¢ n¶u.
ành lþ 2.5.2. Cho A, J l mët c°p nûa x¡c ành d÷ìng trong â
Gi£ sû chóng ÷ñc chia th nh A = H KT K U , J = J1 0 0 J2 trong â H, J1 câ bªc m v p= π(J), q =ν(J), p+q =n p1 = π(J1), q1 =ν(J1), p1 +q1 =m. Kþ hi»u bði α−q ≤... ≤α−1 ≤ α+1 ≤ ...≤αp+, θ−q 1 ≤... ≤θ1− ≤θ+1 ≤ ...≤ θ+p 1
c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c°p A, J v H, J1 t÷ìng ùng. Khi â
α+i ≤ θ+i ≤ αi++n−m, i = 1, ..., p1, α−j+n−m ≤θj− ≤α−j , j = 1, ..., q1,
trong â αk+ =∞ n¸u k > p, α−k =−∞ n¸u k > q.
M»nh · 2.5.3. Cho A−λ0B l ma trªn nûa x¡c ành d÷ìng. Khi â: i) Tçn t¤i mët ma trªn kh£ nghàch C CTAC = A0 0 0 A00 , CTBC = J0 0 0 J00 ,
trong â bªc cõa A b¬ng bªc cõa J0, v J = diag(1, ..., n), i ∈ {−1,1}.
Ð ¥y A0 l mët ma trªn ch²o v λ0 khæng ph£i l gi¡ trà ri¶ng cõa c°p (A0, J0), trong khi c°p (A00, J00) ch¿ câ gi¡ trà ri¶ng (bëi) λ0. B§t ký trong sè c¡c ma trªn A0 v A00 ·u câ thº l ma trªn réng. N¸u c°p (A, B) l x¡c ành d÷ìng, A00 công câ thº ÷ñc chån ÷ñc l ma trªn ch²o.
ii) C¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c°p (A, B) bao gçm c¡c bëi ¤i sè cõa chóng, còng vîi λ0, câ thº ÷ñc sp x¸p l
α−q ≤ ...≤α−1 ≤λ0 ≤ ...≤ α+p,
iii) Tªp hñp t§t c£ λ0 m A−λ0B l nûa x¡c ành b¬ng kho£ng âng [α1−, α+1].
iv) C°p (A, B) l x¡c ành d÷ìng n¸u v ch¿ n¸u α−1 < α+1. Trong tr÷íng hñp â, tªp t§t c£ λ0 l m cho A−λ0B x¡c ành d÷ìng b¬ng kho£ng mð (α−1, α+1).
v) Cho λ1 = (α−1 +α1+)/2 v λ 6= λ1. Khi â vîi λ > λ1, kþ hi»u n(λ) l sè c¡c gi¡ trà ri¶ng trong [λ1, λ), trong â λ1, n¸u l mët gi¡ trà ri¶ng, ÷ñc ¸m π(J00) l¦n. Khi â,
n(λ) =ν(A−λB),
v t÷ìng tü cho λ < λ1.
ành lþ 2.5.4. Cho (A, B) l mët c°p nûa x¡c ành d÷ìng sao cho qu¡n t½nh cõa B b¬ng (p, q). Khi â h m X → trXTAX (2.14) giîi h¤n trong tªp X m XTBX = J1 (2.15) J1 = diag(Ip1,−Iq1), 0≤ q1 ≤ q, p1+q1 = m bà ch°n d÷îi bði t0 = p1 X i=1 α+i − q1 X j=1 αj−, (2.16) trong â α−q ≤ ...≤ α−1 ≤α+1 ≤...≤ α+p
l c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c°p (A, B). Ngo i ra, gi£ sû tçn t¤i ma trªn X0 thäa m¢n (2.15) v bao gçm c¡c v²c tì ri¶ng t÷ìng ùng vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng
α+1, ..., α+p1, α−q1, ..., α−1.
Khi â cªn d÷îi t0 ¤t ÷ñc t¤i X0.
Chùng minh. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû B ¢ ÷ñc chu©n hâa. Tùc l
Tr¶n thüc t¸, v¼ B khæng suy bi¸n, n¶n tçn t¤i G khæng suy bi¸n sao cho
B =GJ GT.
Khi â sü thay th¸ Y = GTX d¨n ¸n mët h m ìn gi£n hìn nh÷ng t÷ìng ÷ìng
Y → trYTAY,b Ab=G−1AG−T
bà giîi h¤n trong tªp
S = Y :YTJ Y = J1 . (2.18) Tr÷îc h¸t chóng ta chùng minh ành lþ cho tr÷íng hñp p=p1, q = q1, tùc l , ma trªn X vuæng. Trong tr÷íng hñp n y i·u ki»n (2.15) trð th nh
XTJ X =J (2.19)
v J1 = J. B§t ký X n o tø (2.19) ·u ÷ñc gåi l J - trüc giao, v rã r ng l t§t c£ c¡c ma trªn J - trüc giao t¤o th nh mët nhâm nh¥n.
Cho c°p (A, J) l x¡c ành d÷ìng. Khi â theo M»nh · 2.5.3 tçn t¤i mët ma trªn X0 sao cho X0TAX0 =JΛ, Λ = diag(Λ+,Λ−), X0TJ X0 = J, trong â Λ+ = diag(α+1, ..., α+p),Λ− = diag(α−1, ..., α−q). °t t0 =trX0TAX0 = p X i=1 α+i − q X j=1 α−j . Khi â XTAX = YTJΛY, Y =X0−1X.
Do Y l J- trüc giao n¶n nâ câ sü ph¥n t½ch
Y = H(W) U1 0 0 U2 , H(W) = √ I +W WT W WT √ I +W WT
trong â W l ma trªn p×q v U1, U2 l c¡c khèi trüc giao. Do â, trXTAX = trYTJΛY = trH(W)JΛH(W) = tr(pI +W WTΛ+pI +W WT −WΛ−WT) + tr(WTΛ+W −pI +WTWΛ−pI +WTW) = t0+ 2(trW WTΛ+−trWTWΛ−) = t0+ 2[trW WT(Λ+−µI) + trWTW(µI−Λ−)],
trong â µ l mët dàch chuyºn x¡c ành. V¼ Λ+ − µI v µI −Λ− l x¡c ành d÷ìng, n¶n
trW WT(Λ+−µI) ≥0, trWTW(µI −Λ−) ≥0.
Do â trXTAX ≥t0.
èi vîi c°p nûa x¡c ành d÷ìng(A, J)chóng ta l§y >0v x²t c°p(A+I, J), l x¡c ành d÷ìng v cho d¦n v· khæng. Kh¯ng ành trXT ≥ t0 ÷ñc suy ra tø t½nh li¶n töc v chuyºn qua giîi h¤n. °c bi»t,
trA ≥t0. (2.20)
Rã r ng l trXT = t0 n¸u X l mët ma trªn J - trüc giao ch²o hâa A.
B¥y gií chóng ta chuyºn sang XTAX vîi X khæng vuæng. Cho C = (X X) l mët ph¦n bò cõa b§t ký X ∈S n o m CJ C =J2. Khi â
A1 = CTAT = XTAX XTAX XTAX XTAX . K½ hi»u θ−q1 ≤... ≤θ1− ≤θ+1 ≤ ...≤ θ+p1
c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c°p (XTAX, J1). Tø (2.20), ta câ trXTAX ≥ p1 X i=1 θi+− q1 X j=1 θj−.
V¼ c¡c c°p (A, J) v (A1, J) câ còng gi¡ trà ri¶ng theo ành lþ 2.5.2 èi vîi c°p (A1, J) v c¡c c°p con cõa nâ (XTAX, J1) n¶n
trXTAX ≥ p1 X i=1 α+i − q1 X j=1 α−j = t0.
Ngo i ra, n¸u câ mët X0 vîi AX0 =J X0Λ, X0TJ X0 =J1, v Λ = diag(α+1, ..., αp+1, α−q1, ..., α−1),
th¼ trX0TAX0 =t0.
Gi£ thi¸t v· sü tçn t¤i ma trªn v²c tì ri¶ng X0 trong ành lþ 2.5.4 hiºn nhi¶n ÷ñc thäa m¢n n¸u c°p (A, B) câ thº ch²o ho¡ ÷ñc. Nh÷ vªy, chóng ta câ H» qu£ 2.5.5. Cho c°p (A, B) x¡c ành d÷ìng ho°c nûa x¡c ành d÷ìng v ch²o hâa ÷ñc. Khi â gi¡ trà t0 trong ành lþ 2.5.4 l gi¡ trà nhä nh§t thüc t¸.
H» qu£ 2.5.6. Cho (A, B) l mët c°p nûa x¡c ành d÷ìng. Khi â t0 tø (2.16) l cªn d÷îi óng cõa h m (2.14) bà giîi h¤n bði (2.15).
Chùng minh. Cho > 0 v coi c°p nhi¹u (A+I, B), l x¡c ành d÷ìng. Theo H» qu£ 2.5.5
mintrXT(A+I)X =t0().
B¥y gií kh¯ng ành theo sau bði t½nh li¶n töc cõa c¡c gi¡ trà ri¶ng.
ành lþ 2.5.7. Cho h m (2.14) câ gi¡ trà cüc tiºu àa ph÷ìng n¸u bà giîi h¤n bði (2.15). Khi â c°p n y l nûa x¡c ành d÷ìng v gi¡ trà nhä nh§t l tuy»t èi. B§t ký gi¡ trà cüc tiºu X1 vîi X1TBX1 =J1 thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh
AX1 =BX1Λ
vîi Λ = diag(Λ+,Λ−) (trong â sü ph¥n chia khèi gièng nh÷ cõa J1 trong (2.15) v Λ+,Λ−l èi xùng) sao cho α+1, ..., αp+1 l c¡c gi¡ trà ri¶ng cõaΛ+ v α−q1, ..., α1−
l c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa Λ−.
2.6 B i to¡n gi¡ trà ri¶ng cõa c°p ma trªn èi xùng/ph£n èi xùng ch½nh tc: gi¡ trà ri¶ng symplectic.
Mët c¡ch têng qu¡t, c¡c möc tr÷îc ¢ x²t gi¡ trà ri¶ng cõa c°p ma trªn (A, B), vîi A, B l c¡c ma trªn èi xùng. Thªt vªy, khi B = I, ta câ b i to¡n gi¡ trà ri¶ng ti¶u chu©n. Khi B èi xùng x¡c ành d÷ìng, ta câ b i to¡n gi¡ trà
ri¶ng èi xùng x¡c ành. Tr÷íng hñp cán l¤i l b i to¡n gi¡ trà ri¶ng khæng x¡c ành tr¼nh b y ð Möc 2.5. Ð möc n y, chóng ta s³ x²t tr÷íng hñpB l ph£n èi xùng, tùc l BT =−B. Do mët ma trªn ph£n èi xùng luæn câ thº ÷a ÷ñc v· ma trªn Poisson J = 0 I −I 0
nhí ph²p bi¸n êi t÷ìng ¯ng n¶n, khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû
B = J. Hâa ra, ¥y l¤i l mët b i to¡n gi¡ trà ri¶ng °c bi»t, b i to¡n gi¡ trà ri¶ng symplectic m ng÷íi ¦u ti¶n x¡c ành nâ l Williamson. Tr÷îc ti¶n, chóng tæi nhc l¤i nëi dung ành lþ Williamson ð ¥y.
Gåi R2n×2n l khæng gian cõa c¡c ma trªn thüc cï 2n×2n, P(2n) l tªp con cõa R2n×2n bao gçm c¡c ma trªn x¡c ành d÷ìng, v Sp(2n) l nhâm c¡c ma trªn symplectic thüc, tùc l ,
Sp(2n) =M ∈R2n×2n :MTJ M =J .
Ta công nâi c¡c ma trªn cï2n×2k, k < n, l ma trªn symplectic n¸uMTJ2nM =
J2k v kþ hi»u tªp c¡c ma trªn n y l Sp(2k,2n).
N¸u A l mët ph¦n tû cõa P(2n), khi â tçn t¤i mët ma trªn symplectic M
sao cho MTAM = D 0 0 D ,
trong â D l mët ma trªn ÷íng ch²o vîi c¡c ph¦n tû d÷ìng
d1(A)≤ d2(A) ≤... ≤dn(A).
C¡c sè di(A), i = 1, ..., n, ÷ñc gåi l gi¡ trà ri¶ng symplectic cõa ma trªn A. ¥y th÷íng ÷ñc gåi l ành lþ Williamson.
ành lþ minimax Courant-Fischer-Weyl ¢ tr¼nh b y ð Möc 2.1 l mët trong nhúng cæng cö quan trång trong vi»c ph¥n t½ch c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c¡c ma trªn Hermitian. Mët k¸t qu£ t÷ìng tü nh÷ vªy công thäa m¢n cho gi¡ trà ri¶ng symplectic cõa ma trªn èi xùng x¡c ành d÷ìng. º thuªn ti»n cho ng÷íi åc, chóng tæi ph¡t biºu nëi dung v chùng minh cõa nâ.
ành lþ 2.6.1. (Minimax Courant-Fischer-Weyl cho gi¡ trà ri¶ng symplectic) Cho A∈ P(2n). Khi â, vîi 1≤j ≤n
1 dj(A) = M⊂maxC2n dimM=j min x∈M hx,Axi=1 hx, iJ xi, 1 dj(A) = M⊂maxC2n dimM=2n−j+1 min x∈M hx,Axi=1 hx, iJ xi.
Chùng minh. T½ch væ h÷îng Euclid thæng th÷íng tr¶nRm ho°cCm ÷ñc kþ hi»u bðih·,·i. Nhc l¤i r¬ng chóng tæi t½ch væ h÷îng Euclid trong khæng gian phùc l tuy¸n t½nh li¶n hñp theo bi¸n ¦u ti¶n. Cho A ∈ P(2n), ta ành ngh¾a mët t½ch væ h÷îng kh¡c tr¶n C2n b¬ng c¡ch °t
(x, y) =hx, Ayi.
Ta kþ hi»u khæng gian t½ch væ h÷îng t÷ìng ùng bðiH. °t A# =iA−1J. Khi â (x, A#y) =ihx, J yi= (A#x, y).
Do â, A# l to¡n tû Hermitian tr¶n H. C¡c gi¡ trà ri¶ng symplectic cõa A−1
÷ñc sp x¸p theo thù tü gi£m d¦n l 1
d1(A) ≥ 1
d2(A) ≥... ≥ 1
dn(A). C¡c gi¡ trà ri¶ng (thæng th÷íng) cõa A# l
1 d1(A) ≥ 1 d2(A) ≥ ...≥ 1 dn(A) ≥ −1 dn(A) ≥... ≥ −1 d1(A).
p döng nguy¶n lþ minimax ¢ tr¼nh b y ð Möc 2.1 cho ma trªn A#, ta câ i·u ph£i chùng minh.
Mët trong nhúng h» qu£ quan trång cõa nguy¶n lþ minimax èi vîi ma trªn Hermitian l nguy¶n tc an xen cho c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A v c¡c gi¡ trà cõa mët ma trªn con ch½nh. i·u â công óng cho gi¡ trà ri¶ng symplectic.
Cho A ∈ P(2n). Ph¥n ho¤ch A bði A = [Aij] trong â méi Aij, i, j = 1,2, l mët ma trªn cïn×n. Mët ma trªnB ∈P(2n−2) ÷ñc gåi l mët ma trªn cons- ch½nh cõa A n¸uB = [Bij], v méiBij l mët ma trªn con ch½nh(n−1)×(n−1) cõa Aij câ còng và tr½ trong Aij vîi i, j = 1,2. Nâi c¡ch kh¡c, B nhªn ÷ñc tø A
b¬ng c¡ch xâa h ng v cët thù i v i+ 1 cõa A, èi vîi mët sè 1≤ i≤ n. Khi â
dj(A)≤ dj(B) ≤dj+2(A), 1≤j ≤n−1,
trong â chóng ta ¡p döng quy ÷îc r¬ng dn+1(A) =∞.
Chóng tæi bä qua chùng minh ành lþ n y.
Gi¡ trà ri¶ng symplectic ÷ñc ành h¼nh thæng qua b i to¡n tèi ÷u d÷îi ¥y. ành lþ 2.6.3. Cho A∈ P(2n). Khi â vîi t§t c£ 1≤k ≤ n
2 k X j=1 dj(A) = min M∈Sp(2k,2n)trMTAM. (2.21) Tr÷îc khi chùng minh, ta th£o luªn th¶m mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn symplectic. Ta nhªn th§y, måi ph¦n tûM cõaSp(2n) ·u câ mët ph¥n t½ch khèi
M = A B C G , (2.22)
trong â A, B, C, G l c¡c ma trªn cï n×n thäa m¢n i·u ki»n
AGT −BCT =I, ABT −BAT = 0, CGT −GCT = 0. (2.23) Chóng ta li¶n k¸t vîi M mët ma trªn Mf câ c¡c ph¦n tû ÷ñc cho bði
e
mij = 1 2(a
2
ij +b2ij +c2ij +gij2).
Ma trªn n y câ mët sè t½nh ch§t µp ³ v câ thº ÷ñc sû döng tèt trong vi»c nghi¶n cùu ma trªn symplectic.
B¥y gií chóng ta i ¸n chùng minh ành lþ 2.6.3.
Chùng minh. Mët ma trªn A cï n×n ÷ñc cho l ng¨u nhi¶n k²p n¸u aij ≥ 0 vîi måi i, j,
n X
j=1
v
n X
i=1
aij = 1 vîi t§t c£ 1≤j ≤n.
Mët ma trªn B vîi c¡c ph¦n tû khæng ¥m ÷ñc gåi l si¶u-ng¨u nhi¶n k²p n¸u câ mët ma trªn A ng¨u nhi¶n k²p sao cho bij ≥ aij vîi måi i, j. Lªp luªn ti¸p theo cho th§y r¬ng Mf l mët ma trªn si¶u-ng¨u nhi¶n k²p.
Ta kh¯ng ành r¬ng, vîi måi ma trªn M ∈Sp(2n) ma trªn Mfcâ t½nh ch§t n X j=1 e mij ≥ 1, 1≤i ≤ n, v n X i=1 e mij ≥1, 1≤ j ≤ n. (2.24) Thªt vªy, tø i·u ki»n AGT −BCT =I trong (2.23), chóng ta câ
1 = n X j=1 (aijgij −bijcij) ≤ n X j=1 1 2(a 2 ij +gij2) + n X j=1 1 2(b 2 ij +c2ij) = n X j=1 e mij, vîi 1≤ i ≤n.
p döng lªp luªn t÷ìng tü cho MT chóng ta th§y r¬ng b§t ¯ng thùc thù hai trong (2.24) công óng. Ti¸p â ta x²t tr÷íng hñp °c bi»t khi k = n. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng
A =Db = D 0 0 D .
Gåi M l mët ph¦n tû b§t ký cõa Sp(2n) v ph¥n t½ch nâ th nh
M = P Q R S
theo c¡c quy tc (2.22) v (2.23). Khi â
= n X i=1 di(A) n X j=1 (p2ij +qij2 +r2ij +s2ij) = n X i=1 di(A) n X j=1 (2meij) ≥2 n X i=1 di(A),
sû döng (2.24). Khi M =I, hai ¤i l÷ñng tªn còng v· b¶n tr¡i v b¶n ph£i b¬ng nhau. Nh÷ vªy min M∈Sp(2n)trMTAM = 2 n X j=1 dj(A).
¥y l tr÷íng hñp °c bi»t cõa (2.21) khi k =n.
B¥y gií ta x²t tr÷íng hñp k ≤ n. Gåi M l ma trªn cï 2n ×2k thäa m¢n i·u ki»n MTJ2nM = J2k. Ph¥n ho¤ch M th nh
M = P0 Q0 R0 S0 ,
trong â méi khèi l mët ma trªn cï n×k. Khi â ta câ thº t¼m ÷ñc mët ma trªn symplectic cï 2n×2n L = P Q R S
trong â méi khèi l mët ma trªn cï n×n v k cët ¦u t¶n cõa P, Q, R, S l¦n l÷ñt l c¡c cët cõa P0, Q0, R0, S0. Ma trªn MTAM khi â l mët ma trªn con
s-ch½nh cï 2k×2k cõa LTAL.
C¡c gi¡ trà ri¶ng symplectic cõa LTAL l d1(A) ≤ d2(A) ≤ ... ≤ dn(A). Gåi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa MTAM l d01 ≤ d02 ≤ ... ≤ d0k. B¬ng nguy¶n lþ xen k³